2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程导学案 九年级数学上
北师大版数学九年级上册2.2.1用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程教案 (1)
用配方法求解一元二次方程
一、教学目标
知识与技能目标:
1、 会用直接开平方法解形如：)0()(2≥=+n n m x 的一元二次方程.
2、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法目标:
1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,使学生体会转化的数学思想.
2、
在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数
学思想解决问题的能力.
情感与态度目标：启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问
题、解决问题的能力.
二、教学重、难点
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
教学难点:会用配方法解一元二次方程.
三、教学方法：
启发—探究式的教学方法。
四、教学准备：
多媒体、投影仪 教师活动 学生活动 教学说明
（一）1、创设情境，引入问题 要使一块长方形场地的长比宽多6m ，并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？ 解：设场地的宽xm ,则长为 ()m x 6+ ， 列方程得：()
166=+x x 即：01662=-+x x (二)回顾旧知,获取新知 1、平方根的意义，如 a x =2 那么a x ±=. 观看课件，并思考问题 在这一问题中如何解所得到的方程？
从实际问题出发,让学生感受到“数学无处不在”
学生在原有平方根的基础上能解方程
教师就一元二次方
程的有两个根进行说明
启发学生观察方程
的特点
体会解一元二次方程的降次思想。
新湘教版初中数学九年级上册2.2.1第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1教案(精品).doc
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20，长为32的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为50002，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－错误!2＋错误!－错误!＝0解：方程两边同除以－错误!，得2－5＋错误!＝0移项，得2－5＝－错误!配方，得2－5＋(错误!)2＝－错误!＋(错误!)2，即(－错误!)2＝错误!所以－错误!＝错误!或－错误!＝－错误!所以1＝错误!，2＝错误!易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】利用配方法求代数式的值已知a2－3a＋b2－错误!＋错误!＝0，求a－4b的值．解：原等式可以写成：(a－错误!)2＋(b －错误!)2＝0∴a－错误!＝0，b－错误!＝0，解得：a＝错误!，b＝错误!∴a－4b＝错误!－4×错误!＝－错误!方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论取何值，代数式2－5＋7的值恒为正．解：∵2－5＋7＝2－5＋(错误!)2＋7－(错误!)2＝(－错误!)2＋错误!，而(－错误!)2≥0， ∴(－错误!)2＋错误!≥错误! ∴代数式2－5＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式； (2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥。
2.2.2用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与配方法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示配方法的基本原理。
五、教学反思
在本次教学中，我发现学生们对于配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程这一知识点，普遍存在一些疑惑和难点。首先，学生在理解配方法的基本原理上还存在一定的困难，尤其是将二次项系数化为1的过程，以及为何要添加和减去同一个数。在接下来的教学中，我需要更加细致地解释这一过程，通过具体例题和图示，让学生直观地感受到配方法的优势。
-二次项系数的转换：将非1的二次项系数转换为1是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习逐步突破。
-实际问题中的方程提取：从实际问题中抽象出一元二次方程，对学生的抽象思维能力要求较高，是教学难点之一。
-举例：
*难点解析：在2x^2 - 4x + 1 = 0的求解过程中，学生可能会对为何要添加和减去(4/2)^2 = 4这一步骤感到困惑，需要教师详细解释其目的。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“配方法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，学生在实际应用方面也遇到了挑战。他们往往难以从实际问题中抽象出一元二次方程，这说明我们在培养学生数学抽象素养方面还需加强。在以后的教学中，我会多设计一些与实际生活相关的案例，让学生在实践中提高这一能力。
北师大版数学九年级上册2.2.1用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程教案
用配方法求解一元二次方程教学目标：（一）知识与技能：1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。
2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
（二）过程与方法目标：1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n(n>0)的方程.（重点）2.理解配方法的基本思路.（难点）3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）（三）情感,态度与价值观启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的能力。
教学过程：一复习旧知用直接开平方法解下列方程：（1）9x2=4 (2)( x+3)2=0总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。
二创设情境，设疑引新填一填：1.如果x2 = a,那么x= .2.若一个数的平方等于9,则这个数是;若一个数的平方等于7,则这个数是.3.完全平方式:式子a2 ±2ab +b2叫完全平方式,且a2 ±2ab +b2= .三讲授新课（一）用直接开平方法解一元二次方程例1：用直接开平方法解下面一元二次方程.（1）x2 = 5;（2）2x2 + 3 = 5 .解：（1）x1 = , x2= .（2）2x2 + 3 = 5 ,2x2 = 2 ,x2 = 1 .x1 = 1 , x2= -1 .（3）x2 + 2x + 1 = 5 （4）(x + 6)2 + 72 = 102解：（3）x2 + 2x + 1 = 5（x + 1）2 = 5x1= , x2 =（4）(x + 6)2 + 72 = 102(x + 6)2 = 102 - 72(x + 6)2 = 51x1= , x2 =（二）配方法的基本思路填一填：（1）x2 +12x + _____ = ( x + 6 )2;（2）x2 - 4x + _____ = ( x - ____ )2;（3）x2 + 8 x + ____ = ( x + ____ )2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子，如何配成完全平方？x2+ax + ( )2 = ( x+ )2例1：解方程x2 + 8x - 9 = 0解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 8x = 9 ,两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,即（x+4）2 = 25 .两边开平方,得x + 4 = ±5 ,即x + 4 =5 或x + 4 = -5.所以x1 = 1 , x2= -9.例2：解决梯子底部滑动问题：x2 + 12x -15=0 .解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 12x = 15 ,两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得x2 + 12x + 62 = 15 + 62 ,即（x+6）2 = 51 .两边开平方,得x + 6 = ,即x + 6 = 或x + 6 = .所以x1 = , x2= .（三）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例3：用配方法解x2 + 2x -1 = 0.解：移项，得x2 + 2x =1 ,配方，得x2 + 2x + 1 =1 + 1,即（x + 1）2 = 2.开平方, 得x + 1 = .解得x1 = , x2=四、当堂练习1.方程x2 - 4 = 0 的解是（）A. x =2B. x = -2C. x =±2D. x =±42.用配方法解关于x的一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0,配方后的方程可以是（）A. (x - 1) 2 = 4B. (x + 1) 2 = 4C. (x - 1) 2 = 16D. (x + 1) 2 = 163. 解方程：(x + 1 )(x -1) + 2(x + 3) = 8解：方程化简，得x2 + 2x + 5 = 8.移项，得x2 + 2x = 3,配方，得x2 + 2x + 1 =3 + 1 ,即（x + 1）2 = 4.开平方, 得x + 1 = ±2.解得x1 = 1 , x2= -3.五、课堂小结用配方法解一元二次方程：直接开平方法：形如（x + m）2 = n (n≥0)基本思路：将方程转化为（x + m）2 = n(n≥0)的形式，在用直接开平方法，直接求根.解二次项系数为1的一元二次方程步骤1、移项2、配方3、直接开平方求解六、布置作业。
九年级数学上册2.2.1配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教案新版湘教版
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
[滨州中考]在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，则BC的长为(A)
A.6B．7.5C．8D．12.5
[解析]如图4－3－7，∵∠C＝90°，
∴sinA＝.
图4－3－7
∴BC＝AB·sinA＝10×＝6.
【探究2】(多媒体出示)
2.无“斜”选“切”的策略：若已知和所求均未涉及斜边，则要选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略.
3.清明节时，某中学的近千名师生到
龙山烈士陵园祭奠抗战烈士．如图4－3－6，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，该山坡的高BC为多少米？[答案：100米]
图4－3－6
鼓励学生独立解决问题，让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】(多媒体出示)
1.涉“斜”选“弦”的策略：当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫作涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)的策略.
[解析] (1)如图①，∠ABP＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵BC＝6，∴AB＝3，∴AC＝3，在Rt△BAP中，tan30°＝，AP＝AB·tan30°＝3×＝，∴CP＝3－＝2.
湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
九年级数学上册《用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程》教案、教学设计
2.增强学生的团队合作意识。
-在小组合作中，培养学生相互尊重、倾听他人意见的习惯。
-通过集体努力解决问题，让学生体会到团队合作的重要性。
3.树立正确的价值观。
-引导学生认识到学习数学不仅仅是解题，更是培养逻辑思维、解决实际问题的能力。
-倡导勤奋学习、积极探索的精神，帮助学生树立正确的学习观和人生观。
作业布置后，我会提醒学生按时完成，并鼓励他们在遇到问题时积极与同学讨论，或向老师请教。同时，我会及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现并纠正错误，进一步提高解题能力。
然后，我在黑板上写下方程x^2 = 25，并询问学生如何求解。学生们可能会提出直接开平方的方法。这时，我引入配方法的概念，指出虽然直接开平方可行，但并非所有情况都这么简单。当我们遇到方程ax^2 + bx + c = 0，且a不等于1时，配方法就显得尤为重要。
（二）讲授新知
1.将方程的常数项移到等号右边。
-引导学生通过配方前后方程的对比，理解配方法在数学解题中的价值。
3.反思与评价：
-完成练习后，鼓励学生进行自我反思，评价解题过程中的得失。
-教师应及时给予反馈，指导学生总结经验，提高解题效率。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和信心。
-设置难度适宜的题目，让不同水平的学生都能体验到成功解题的乐趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：配方法在求解二次项系数不是1的一元二次方程中的应用。
-理解并掌握配方法的原理，能够将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式。
-学会通过配方将方程化为完全平方公式，进而求解。
九年级数学上册 2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教案1 (新版)湘教版
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)一、情境导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0. 解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0. 移项，得x 2－5x ＝－52. 配方，得x 2－5x ＋(52)2＝－52＋(52)2， 即(x －52)2＝154. 所以x －52＝152或x －52＝－152. 所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得：a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x －5x ＋7的值恒为正．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2 ＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．。
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2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
【学习目标】1、知识与技能：能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程。
2、能力培养：进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、情感与态度：培养观察能力，运用所学旧知识解决新问题。
【学习重点】能够熟练地应用配方法解一元二次方程。
【学习过程】
一、前置准备：1、上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么？其关键是什么？
二、自学探究：熟练掌握解一元二次方程的两种方法。
1、解下列方程：
（1）（2-x ）2=3 （2）（x-2）2=64 （3）2（x+1）2=2
9
2、用配方法解方程：
（1）x 2-6x-40=0 （2）x 2-6x+7=0 （3）x 2+4x+3=0
（4）x 2-8x+9=0 （5）x 2-3
7x=2
三、合作交流：1、当x 取何值时，代数式10-6x+x 2有最小值，是几？
2、配方法证明y 2-12y+42的值恒大于0。
四、归纳总结：通过本节课的学习你进一步熟练了哪些知识？与同学交流一下。
五、例题解析：
例1 解方程3x 2+8x-3=0
分析：如何将二次项系数化为1？这样你可得方程 。
试将解方程的解答过程写出。
六、当堂训练：
解下列方程：
1、2x 2+5x-3=0
2、3x 2-4x-7=0
3、5x 2-6x+1=0
4、x 2+6x=1
【学习笔记】通过本节课你认为学的比较好的内容是什么？不足又是什么？
【课下训练】
1、（1）x 2-4x+ =（x- ）2；（2）x 2-
34x+ =（x- ）2 2、方程x 2-12x=9964经配方后得（x- ）2=
3、方程（x+m ）2=n 的根是
4、当x=-1满足方程x 2-2（a+1）2x-9=0 时，a=
5、已知：方程（m+1）x 2m+1+（m-3）x-1=0，试问：
（1）m 取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；
（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程?
6、方程y 2-4=2y 配方，得（ ）
A.(y+2)2=6
B. (y-1)2=5
C. (y-1)2=3
D. (y+1)2=-3.
7、已知m 2-13m+12=0,则m 的取值为（ ）
A.1
B.12
C.-1和-12
D.1和12
【链接中考】1、关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+3x+a 2-3a-4=0的一个根为0，则a 的值为
（ ）
A 、-1
B 、4
C 、-1或 4
D 、1
2、不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A 、总不小于2 B 、总不小于7 C 、 可为任何实数 D 、可能为负数。