2014-2015学年安徽省蚌埠市重点中学九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)

2014—2015学年度第一学期九年级第二次月考数 学 试 卷2014年12月一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA 的值为（ ）A ．125 B ．512 C ．1312 D ．135 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的余弦值（ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．424．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若|sinA ﹣21|+（cosB ﹣2)21=0，则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ． 45°C ．60°D ．90° 5．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（ ） A ．2121S S =B ．21S S =C ．2127S S =D ．2158S S =第2题图 第3题图 第5题图6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于（ ） A ．33 B ． 332 C ．335 D ．357．如图，从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部点D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是（ ）A ．()366+米B ． ()336+米C ．()326+米 D ．12米班级 姓名 考场号 座位号 学号………………………………装………………………………订………………………………线………………………………8．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC 、BD ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AE=BEB ．=C ．OE=DED ．∠DBC=90°第6题图 第7题图 第8题图9．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC的长为（ ）A ．52 cmB ．54 cmC ．52 cm 或54 cmD ．32cm 或34cm 10．如图，一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A ．310海里/小时B ．30海里/小时C ．320海里/小时D ．330海里/小时第10题图 第11题图 第12题图二．填空题（共5小题，共20分）11．如图，已知A 、B 、C 三点都在⊙O 上，∠AOB=50°，∠ACB=_________度． 12．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 _________．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y=x+2与以O 点为圆心，2为半径的圆的位置关系为____________． 14．规定：sin （﹣x ）=﹣sinx ，cos （﹣x ）=cosx ，sin （x+y ）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是____________（写出所有正确的序号） ①cos （﹣60°）=﹣21； ②sin75°=426+； ③sin2x=2sinx•cosx； ④sin （x ﹣y ）=sinx•cosy﹣cosx•siny．15．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM=MB=2cm ，QM=4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值_____________________________（单位：秒） 第15题图三．解答题（共8小题，共70分）16．（6分）已知α是锐角，且sin （α+15°）=23， 计算8﹣4cos α﹣（π﹣3.14)+tan α+131-⎪⎭⎫⎝⎛的值．17．（6分）如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB 是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC 在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）18．（8分）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△BCE ； （2）如果AD 2=AE•AC，求证：CD=CB ．19．（8分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，即MN 的长）为2米，求小桥所在圆的半径．20．（10分）已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）当BD=6，sinC=53时，求⊙O 的半径．21．（8分）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A 点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M ，N 为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）．在A 点测得岛屿的西端点M 在点A 的东北方向；航行4海里后到达B 点，测得岛屿的东端点N 在点B 的北偏东60°方向，（其中N ，M ，C 在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN 之间的距离．22．（10分）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义： 等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图，在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad A=ABBC 腰底边．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°的值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23 D ．2 （2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ． （3）已知sin α=53，其中α为锐角，试求sad α的值．班级 姓名 考场号 座位号 学号………………………………装………………………………订………………………………线………………………………23．（14分） 如图，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE=31，A （3，0），D （-1，0），E （0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；2014—2015学年度第一学期九年级第二次月考数学参考答案2014年12月一．选择题（共10小题）1．D ． 2．D ． 3．B ． 4．D ． 5．B ． 6．C ． 7．A ． 8．C ． 9．C ． 10．D ． 二．填空题（共5小题）11．25． 12．5． 13．相交． 14．②③④ 15．t=2或3≤t≤7或t=8 三．解答题（共8小题） 16．解：∵sin60°=23，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3．17．解：由题意得：Rt △ACB 中，AB=6米，∠A=20°，∴AC=AB•cos∠A≈6×0.94=5.64，∴在5.3～5.7米范围内，故符合要求． 18．解答： 证明：（1）如图，∵∠A 与∠B 是对的圆周角，∴∠A=∠B ，又∵∠1=∠2，∴△ADE ∽△BCE ； （2）如图，∵AD 2=AE•AC，∴ACADAD AE ， 又∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACD ， ∴∠AED=∠ADC ，又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°， 即∠AED=90°， ∴直径AC ⊥BD ，∴=，∴CD=CB ．19． 解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米， ∴8米高旗杆DE 的影子为：12m ，∵测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m ），∴GM=MH=4m ．如图，设小桥的圆心为O ，连接OM 、OG ．设小桥所在圆的半径为r ，∵MN=2m ，∴OM=（r ﹣2）m ．在Rt △OGM 中，由勾股定理得：∴OG 2=OM 2+42， ∴r 2=（r ﹣2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m ． 20．（1）证明：连接OE ，∵AB=BC 且D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE=∠DBE ，∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠DBE ，∴OE ∥BD ，∵BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ，∵OE 为⊙O 半径，∴AC 与⊙O 相切． （2）解：∵BD=6，sinC=53，BD ⊥AC ，∴BC=10，∴AB=BC=10， 设⊙O 的半径为r ，则AO=10﹣r ，∵AB=BC ，∴∠C=∠A ，∴sinA=sinC=53， ∵AC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，∴sinA=5310=-=r r OA OE ，∴r=415答：⊙O 的半径是415．21．解：在直角△ACM ，∠CAM=45度，则△ACM 是等腰直角三角形，则AC=CM=12（海里），∴BC=AC ﹣AB=12﹣4=8（海里），直角△BCN 中，CN=BC•tan∠CBN=3BC=83（海里），∴MN=CN ﹣CM=83﹣12（海里）．答：钓鱼岛东西两端点MN 之间的距离是（83﹣12）海里．22． 解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°=11=1．故选B ．（2）当∠A 接近0°时，sad α接近0，当∠A 接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sad α接近2．于是sadA 的取值范围是0＜sadA ＜2．故答案为0＜sadA ＜2．（3）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，sin ∠A=53．在AB 上取点D ，使AD=AC ，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC=3k ，AB=5k ， 则AD=AC=()()k k k 43522=-，又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin ∠A=53． ∴DH=ADsin ∠A=512k ，AH=22DH AD -=516k ． 则在△CDH 中，CH=AC ﹣AH=54k ，CD=22CH DH +=5104k ． 于是在△ACD 中，AD=AC=4k ，CD=5104k ．由正对的定义可得：sadA=510=AD CD ，即sad α=510．23．解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a （x-3）（x+1）．将E （0，3）代入上式，解得：a=-1．∴y=-x 2+2x+3．则点B （1，4）． （2）证明：如图1，过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M （0，4）．在Rt △AOE 中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE=2322=+OE OA ．在Rt △EMB 中，EM=OM-OE=1=BM ，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=222=+BM EM ．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB =90°．∴AB是△ABE 外接圆的直径．在Rt △ABE 中，tan ∠BAE=31=AE BE =tan ∠CBE ，∴∠BAE=∠CBE ．在Rt △ABE 中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB ⊥AB ．∴CB 是△ABE 外接圆的切线．（3）解：Rt △ABE 中，∠AEB =90°，tan ∠BAE=31，sin ∠BAE=1010，cos ∠BAE=10103；若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则△DEP 必为直角三角形；①DE 为斜边时，P 1在x 轴上，此时P 1与O 重合；由D （-1，0）、E （0，3），得OD=1、OE=3，即tan ∠DEO=31=tan ∠BAE ，即∠DEO=∠BAE 满足△DEO ∽△BAE 的条件，因此 O 点是符合条件的P 1点，坐标为（0，0）．②DE 为短直角边时，P 2在x 轴上；若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠DEP 2=∠AEB=90°，sin ∠DP 2E=sin ∠BAE=1010；而DE=103122=+，则DP 2=DE÷sin ∠DP 2E=101010÷=10，OP 2=DP 2-OD=9即：P 2（9，0）； ③DE 为长直角边时，点P 3在y 轴上；若以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠EDP 3=∠AEB=90°，cos ∠DEP 3=cos ∠BAE=10103；则EP 3=DE÷cos ∠DEP 3=3101010310=÷，OP 3=EP 3-OE=31；综上，得：P 1（0，0），P 2（9，0），P 3（0，-31）．。