矩阵8

定理8.2.1 存在， 定理8.2.1 设 A ∈ R m×n 且 A＋存在，则
(1 ) A + ∈ A{1};
( 2 ) 若A是 n阶可逆矩阵，则 A + = A −1 ; 阶可逆矩阵，
( 3 ) 方程组 Ax = b 相容的充分必要条件是 AA + b = b;
( 4 ) 若方程组 Ax = b相容，则其通解是 相容， x = A + b + ( I − A + A) y , ∀y ∈ R n
第8章 广义逆矩阵
广义逆矩阵A 8.1 广义逆矩阵 -与线性方程组的解 广义逆矩阵A 8.2 广义逆矩阵 +与方程组的最小二乘解
广义逆矩阵A 8.1 广义逆矩阵 -与线性方程组的解
的解， 考虑线性方程组 Ax = b 的解，其中
x1 b1 x2 b2 m×n A = (aij ) ∈ R , x = , b = ∈ Rm M M x b n m
定理8.2.5 定理8.2.5
矩阵， 设A是 m×n矩阵，则 是 × 矩阵
(1) ( A+ ) + = A ;
( 2) ( A+ )T = ( AT )+ ; ( 3) A+ AAT = AT = AT AA + ;
(4) ( AT A) + = A+ ( AT ) + = A+ ( A+ )T ;
(1) 若方程组 Ax = b相容 , 则x = A + b是其极小范数解。 是其极小范数解。
( 2) 若方程组 Ax = b不相容 , 则其最小二乘解的通式 为 x = A + b + ( I − A + A) y , ∀ y ∈ R n .
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( 3 ) 若方程组 Ax = b 不相容 , 则 x = A + b 是其极小最小二 乘解 .
定理8.2.2 存在并且唯一。 定理8.2.2 设 A ∈ R m×n 则 A＋存在并且唯一。 ，
定理8.2.3 定理8.2.3 设A是秩为 r 的 m×n 矩阵，其满秩分解 是秩为 × 矩阵， 为 A=BC ，其中
B ∈ Rm×r , C ∈ Rr×n , rank( B) = rank(C ) = r，
(5) A + = ( AT A) + AT = AT ( AAT ) + ;
(6) rank( A) = rank( A+ ) = rank( AA+ ) = rank( A+ A) .
注
A-1的许多性质, A+并不具备，一般地 的许多性质, 并不具备，
(1) ( AB ) + ≠ B + A + ;
( 2) AA + ≠ A+ A;
( 3) ( A k )+ ≠ ( A + )k .
定义8.2.2 定义8.2.2 设 A ∈ R n 果存在 x ∈ R ，使
m ×n
不相容， 且方程组 AX=b 不相容，如
Ax − b 2 = min
的最小二乘解。 则称 x 是方程组 AX=b 的最小二乘解。
定理8.2.6 不相容， 定理8.2.6 设方程组 Ax=b 不相容，则 x 为其最小 二乘解的充分必要条件是 AT Ax = AT b . 定理8.2.7 定理8.2.7 设A是 m×n 矩阵， 是 × 矩阵，
Ir PAQ = 0 0 0
则 G ∈ A{1}的充分必要条件是
Ir G = Q L K P M
其中 K ∈ R r ×( m − r ) , L ∈ R ( n − r )× r 和 M ∈ R ( n − r )×( m − r )是任意矩阵 .
定理8.1.7 设 A是 m×n 矩阵， P 和 Q 分别是m 阶 定理8.1.7 是 × 矩阵， 分别是 – 阶非奇异方阵， 的减号逆， 和n 阶非奇异方阵，且B = PAQ，A 是A的减号逆，则 ， 的减号逆
x = ( I − A − A) y , ∀y ∈ R n
定理8.1.4 定理8.1.4 设 A − 是A的任一减号逆且 b ∈ R(A) ，则 的任一减号逆且 线性方程组 Ax = b 的通解是
x = A − b + ( I − A − A) y , ∀y ∈ R n
定理8.1.5 定理8.1.5 设 A ∈ R m×n , B ∈ R p×q , C ∈ R m×q , (1)矩阵方程 (1)矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件是 矩阵方程 有解的充分必要条件是
(1) rank ( A) ≤ rank ( A− ) ;
( 2) AA − 和 A − A是幂等矩阵 , 并且 rank ( AA − ) = rank ( A − A) = rank ( A) ;
( 3) Q −1 A − P −1 ∈ B{1} .
广义逆矩阵A 8.2 广义逆矩阵 +与方程组的最小二乘解
定义8.2.1 定义8.2.1 设 A ∈ R m×n，如果存在 n×m 矩阵 ，满 × 矩阵G， 足如下条件： 足如下条件：
(1)
AGA = A ;
( 2) GAG = G ;
( 3) ( AG ) = AG ;
T
(4) (GA)T = GA .
加号逆或 广义逆， 则称 G 是 A 的加号逆或 Moore-Penrose 广义逆，记为Ｇ =A＋。
AA−CB− B = C
(2)如果 有解， (2)如果AXB=C有解，则其通解是 如果 有解
X = A−CB− + Y − A− AYBB− , ∀Y ∈ Rn× p
推论8.1.1 推论8.1.1 线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件 是 AA-b=b .
定理8.1.6 设A是m×n矩阵且 矩阵且rank(A) = r≥1，如果存 定理 是 × 矩阵且 ， 在非奇异矩阵 P 和 Q 使得
则 A + = C T ( CC T ) −1 ( B T B ) −1 B T。
推论8.2.1 设A是m×n矩阵， 矩阵， 推论8.2.1 是 × 矩阵
(1) 若rank ( A) = n, 则 A + = ( AT A) −1 AT ;
( 2) 若rank ( A) = m , 则A+ = AT ( AAT ) −1 .
G ∈ A{1} 的充分必要条件是 AGA = A。
定理8.1.2 的任一减号逆， 定理8.1.2 设 A− 是A的任一减号逆，则 A{1} 的通 的任一减号逆 式为
A{1} = { A− + U − A− AUAA − | U ∈ R n×m }
定理8.1.3 定理8.1.3 设 A− 是A的任一减号逆，则齐次线性方 的任一减号逆， 程组 Ax = 0 的通解是
可解（ 相容） 则方程组 Ax = b 可解（或相容）的充分必要条件是
b ∈ R ( A ) ≡ { Ay | y ∈ R n }
定义8.1.1 矩阵， 定义8.1.1 设 A 是 m×n 矩阵，如果存在 n×m 矩阵 G，使 ∀b ∈ R( A), x = Gb 是方程组 Ax = b 的解，则称G为 的解， ， 为 A的一个减号逆，记为 G = A− 。 的一个减号逆 的一个减号逆， A的全体减号逆记为 A{1}。 的全体减号逆记为 定理8.1.1 定理8.1.1
1 1 ，求 A+ . 例8.2.1 设 A = 0 0
定理8.2.4 定理8.2.4 矩阵， 设A是 m×n矩阵， 是 × 矩阵
(1) 若 U , V 分别为 m , n 阶正交矩阵 , 则 (UAV ) + = V T A + U T ;
R 0 ( 2) 若 A = 0 0 且 R为 r阶可逆矩阵 , 则 R −1 0 A+ = 0 0 n× m