2015年高考数学模拟试卷(新课标)1

2015年高考数学模拟试卷（新课标）1．已知集合},1|{2R x xy y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M ( ) A. ),1[+∞- B. ]2,1[- C. ),2[+∞ D. φ 2．设0(s i n c o s )a x xd x π=+⎰，则二项式6(，展开式中含2x 项的系数是（ ） A. 192- B. 192 C. -6 D. 63．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x y i ++的值为（ ） A ．4 B ．一4 C ．4+4iD ．2i4．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ．4D ． 55．公差不为0的等差数列{}n a 中, 2200520072009330a a a -+=,数列{}n b 是等比数列，且20072007b a =,则20062008b b =（ ）A ．4B ．8C ．16D ．36 6．阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为A.0B.23 C.3 D.23-7．某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为A ．2．2．2．28．把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍 （纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x9．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则·=（ ）.A 2 .B 1 .C -1 .D -210．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则12310a a a a ++++=（ ）A ．0B ．100-C ．100D ．1020011．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC ,若四面体P ABC -的体积为32，则该球的体积为 （ ）A B ．2π C ． D ．12．函数xxx y sin 2sin 3cos 42---=的最大值是（ ）A ．37 B ．3- C ．37- D ． 113．观察下列等式：12=1，12—22=—3，12—22+32=6，12—22+32—42=-10， …………………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，12—22+32—42+…+（—1）n+1n 2=14．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥0620y x x y y ，则目标函数y x z +=的最大值为15．某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有16．设集合{}{}|01,|12A x x B x x =≤<=≤≤，函数2,()(),42,()x x A f x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩ 0x A ∈ 且0[()]f f x A ∈， 则0x 的取值范围是17．已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a ﹑b﹑c，若c o s c o s A bB a= 且sin cos C A =．(Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小；(Ⅱ)设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 18．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； 取到的2只中至少有一只正品.19． 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．20．已知椭圆22122:10)x y C a b a b+=>>（的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆222:(3)1C x y +-=的一条直径，若与AF 平行且在y轴上的截距为3线l 恰好与圆2C 相切． (Ⅰ)已知椭圆1C 的离心率；(Ⅱ)若PM PN ⋅的最大值为49，求椭圆C 1的方程． 21．设函数21()ln ().2a f x x ax x a R -=+-∈(Ⅰ) 当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性. （Ⅲ）（理科）若对任意(3,4)a ∈及OSBAC任意12,[1,2]x x ∈，恒有212(1)ln 2()()2a m f x f x -+>- 成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O 内切△ABC 的边于D 、E 、F ，AB=AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G.BGC DH FAOE⑴证明：圆心O 在直线AD 上； ⑵证明：点C 是线段GD 的中点. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π. ⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q =，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数()|1||22|.f xx x =-++ ⑴解不等式()5f x >；⑵若不等式()()f x a a <∈R 的解集为空集，求a 的取值范围.参考答案1．B【解析】},1|{2R x x y y M ∈-==[1,),2]N =-+∞=,所以[1M N =-.2．A 【解析】00(s i n c o s )(c o s s i n )|1(1)2a x x d x x x ππ=+=-+=--=⎰,所以二项式的展开式通项为6632166(1)(1)2rrrrr r r rr T C xC x ----+=-=-,令3-r=2，则r=1,所以展开式中含2x 项的系数是1562192C -=-.3．B 【解析】(2)1,21,1,3,x i y i x y x y --=-+∴-=-=-∴==,则 42(1)(1)(2)4x y i i i ++=+==-.4．D【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，不妨设P 在第一象限，则由已知得2222(2)22m n am n c n c m -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,∴5a 2-6ac+c 2=0，方程两边同除a 2得：e 2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），故选D ． 5．D 【解析】2220052007200920072007200720072007330,6,0,6a a a a a b a a -+=∴==≠∴=,所以22200620082007636b b b ===. 6．B【解析】退出循环体时n=2012,所以234562011sins in s i ns in si n 3333333S πππππππ=+++++++, 234562011sin sin sin sin sin sin ...sin 3333333πππππππ=+++++++7．A 【解析】此几何体是一个四棱锥，其侧面积为11111121112222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=侧. 8．A【解析】132s i n ()s i n (2)66y xy x πππ=+→=+→向右平移横坐标缩短到原来的倍sin[2()]sin(2)cos 2362y x x x πππ=-+=-=-,因为当2π-=x 时，cos 22y x =-=-,所以所得图象的一条对称轴方程为2π-=x .9．D【解析】圆心O 到直线Ax+By+C=0的距离1d ==,∴∠AOB=23π∴2||||cos 22cos 23OM ON OM ON AOB π⋅=⋅∠=⨯=-. 10．B 【解析】2222()()cos()(1)(n n n f n n n n n n π⎧-===-⋅⎨⎩为奇数为偶数)212()(1)(1)(1)(1)n n n a f n f n n n +=++=-+-+由221(1)[(1)](1)(21)n n n n n +=--+=-+得1231003579...199201250100a a a a ++++=-+-++-=-⨯=-11．D【解析】设该球的半径为R，22,AC R AC ∴, 则AB=2R ，由于AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC 2=AB 2-AC 2=R ， 所以Rt △ABC面积2122S BC AC R=⨯⨯= 又PO ⊥平面ABC ，且PO=R ，四面体P-ABC 的体积为32,213322P ABC V R R -∴=⨯⨯=,339,R ==所以该球的体积为34433V R ππ=⨯=⨯⨯=球. 12．A【解析】224cos 3sin 3sin 3sin ,2sin 2sin x x x xy x x--+-==--令2sin [1,3]x t -=∈， 所以23(2)3(2)11t t y t t t+---==+-在[1,3]t ∈上是增函数，所以当t=3即sinx=-1时，y 取得最大值，最大值为173133+-=.13．(1)(1)2nn n ⨯+-⨯. 【解析】由已知知等式：221(11)11(1),2⨯+==-⨯2232224222252(21)123(1),23(31)1236(1),24(41)123410(1),2...⨯+-=-=-⨯⨯+-+==-⨯⨯+-+-=-=-⨯ 由此我们可以推论出一个一般的结论：n N *∈,222212(1)1234...(1)(1)2n n n n n +⨯+-+-++-=-⨯. 14．4【解析】当直线z=x+y 经过直线y=x 与直线2x+y-6=0的交点(2,2)时，z 取得最大值，最大值为4. 15．112【解析】每人带一个座位，还有9个空座位，中间有8个空，从8个空中选出3个放甲、乙、丙,由于甲必须在另两人之间,所以382112C =.16．203log 12x << 【解析】∵0≤x 0＜1，∴f （x 0）=2x 0∈[1，2 ）=B,∴f[f （x 0）]=f （2x 0）=4-2•2x 0 ∵f[f （x 0）]∈A ，∴0≤4-2•2x 0＜1,∴20log 1x x <≤,∵0≤x 0＜1,∴203log 12x <<. 17．(Ⅰ)6A B π==,23C π=．(Ⅱ)单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈. 它的相邻两对称轴间的距离为2π. 【解析】(I)由cos cos A b B a =,根据正弦定理可得cos sin cos sin A BB A=,所以sin 2sin 2A B =，从而得到 A=B 或2A B π+=,然后再根据条件sin cos C A =分别研究,从而求出A 、B 、C 的值.(II)先根据三角恒等变换公式求出()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+,再借助正弦函数的单调增区间求出此函数f(x)的增区间.两相邻对称轴间的距离为周期的一半.(Ⅰ)由题设及正弦定理知:cos sin cos sin A BB A=,得sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2A B π+=．当A B =时,有sin(2)cos A A π-=, 即1sin 2A =,得6A B π==,23C π=; 当2A B π+=时,有sin()cos 2A ππ-=,即cos 1A =，不符题设，∴6A B π==,23C π=． …………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时, ()2sin(2)6f x x π=+为增函数，即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈. ………11分它的相邻两对称轴间的距离为2π. ………12分 18．（Ⅰ）213243)()()()(1111=⨯===B P A P B A P C P .（Ⅱ）2718352344848482E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【解析】（I ）设该人参加科目A 考试合格和补考为时间A 1、A 2，参加科目B 考试合格和补考合格为时间B 1、B 2，事件A 1、A 2、B 1、B 2互为独立，设该人不需要补考就可以获得证书为事件C ，则C=A 1B 1，然后根据相互独立事件的概率乘法公式可求出所求；（II ）ζ的取值可能为2，3，4，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出相应的概率，最后根据离散型随机变量的数学期望公式解之即可．设该人参加科目A 考试合格和补考为时间12A A 、，参加科目B 考试合格和补考合格为时间121A B B ，事件、、212A B B 、、相互独立.（Ⅰ）设该人不需要补考就可获得证书为事件C ，则C=11A B ，213243)()()()(1111=⨯===B P A P B A P C P . …………………4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4. 则P （3211279(2)43444816ξ==⨯+⨯==； P 312132311183(3)433443433488ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==； P 1312131131(4)443344334816ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== . …………………9分所以，随即变量ξ的分布列为ξ2 3 4P2748 1848 348所以2718352344848482E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………12分19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角A SC B -- 【解析】(I)由于侧面SBC 为等边三角形，O 为BC 的中点，所以S O B C ⊥， 只需再取AC 的中点M ，连接SM ，则根据条件易证：,AC SOM SO AC ⊥∴⊥平面, 问题得证.（II ）解决本小题的关键是找出二面角的平面角，具体做法是取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角.（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．…………………6分（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3………………13分 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．……10分3cos 3MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅， 所以二面角A SC B --．………12分 20．（Ⅰ）;22=e （Ⅱ）1163222=+y x ． 【解析】(I)先求出直线l 的方程为0)23(=--+c cy bx ,然后根据因为直线与圆1)3(:222=-+y x c 相切,得到123322=++-=cb cc cd ,从而可得到a,c 的关系，进而求出e.(II) 在（I ）的基础上，可把椭圆方程转化为22222x y c +=,这样根据条件建立关于c 的方程即可求出椭圆方程，因而设),(y x P 、圆2C 的圆心记为2C ，则22222222)((C PC C PC M C PC PM -=+⋅+=⋅2222(3)1(3)217()x y y c c y c =+--=-+++-≤≤,根据其最大值为49,可求出c 的值. （Ⅰ）由题意可知直线l 的方程为0)23(=--+c cy bx ，因为直线与圆1)3(:222=-+y x c 相切，所以123322=++-=c b cc cd ，即,222c a =从而;22=e …………………5分 （Ⅱ）设),(y x P 、圆2C 的圆心记为2C ，则122222=+cy c x （c ﹥0），又22222222)((C PC C PC M C PC PM -=+⋅+=⋅= )(172)3(1)3(2222c y c c y y x ≤≤-+++-=--+ ． …………………8分当此时椭圆方程为解得时，,4,49217)(32==+=⋅≥c c c MAX 1163222=+y x ； 当但解得时，325,49217)3()(3022-==+++--=⋅<<c c c c MAX,3325>-=c 故舍去．综上所述，椭圆的方程为1163222=+y x ． …………………12分 21．(Ⅰ) ()=(1)1,f x f ∴=极小值无极大值. （Ⅱ）当2a =时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当2a >时，()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1a -上单调递增； 当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减，在1(1,)1a -上单调递增； （Ⅲ）1.15m ≥。