三角恒等变换说课稿 教案 教学设计
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
教学设计1：3.2 简单的三角恒等变换
必修四第3章 三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解 由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=． 点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值． 预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12； （2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2． 点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用． 预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0， 由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=． 点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案． 可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证 左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解 原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
第2课时（一）导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sin x ，y=cosx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例思路1例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt△OBC 中,BC =cosα,BC=sinα,在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx -6π)-2cos 22xω,x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1,可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k∈Z),解得kπ-6π≤x≤kπ+3π(k∈Z).所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k∈Z).点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π),所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.和即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0. 依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π.由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先21又∵tanα=tan［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.（四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.（五）作业。
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
本章复习本章知识网络教学分析理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识回顾提出问题①列出本章所学的11个公式，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变换的能力有什么帮助？②三角函数的变换灵活性大、方法多，回顾从前所学，三角变换都有哪些变换？③如果对三角函数变换题型进行归类，那么回顾从前所学，常见的基本题型有哪些？ 活动：问题①，本章的11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βtan (α＋β)， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，角度变换是三角函数恒等变换的首选方法，在进行三角恒等变换时，对角之间的关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变换等．如：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等．还需熟练掌握一些常见的式子：如：sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，sin x ±3cos x ＝2sin(x ±π3)等． 问题③，教师引导学生回顾总结，适时的点拨学生，常见三角恒等变换的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角.1°给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；2°给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；3°给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．对于化简，有两种常见的形式：1°未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；2°根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明.1°无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用.2°有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：①～③略．应用示例思路1例1(1)化简tan2A tan(30°－A )＋tan2A ·tan(60°－A )＋tan(30°－A )tan(60°－A )；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角”，而条件是“切”且是“单角”．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝tan(30°－A)＋tan(60°－A)1－tan(30°－A)tan(60°－A)，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2A tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这一点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2. ∴cos(α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1， 即得2tan α＝1，代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例1已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必要运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可以说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以tan 2θ＋tan θ－2＝0.tan θ＝1〕． ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32 ＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32 ＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ，cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式，主要是和角公式、差角公式、倍角公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．作业课本复习参考题A组3.设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械的训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套题型．第2课时βA.154π B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案：C 注意选用α＋β的余弦．2．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( ) A ．－2 007 B ．－12 007C ．2 007 D.12 007答案：C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7 答案：A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．4．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2， 求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．答案：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较高的知识点，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式或其变形式．应用示例思路1例1若cos(π4－x )＝－45，5π4<x <7π4，求sin2x －2sin 2x 1＋tan x. 活动：本例是课本总复习B 组题中的一道姊妹题，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x )的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x )这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x ＝sin2x (cos x －sin x )cos x ＋sin x＝sin2x 1－tan x 1＋tan x＝sin2x tan(π4－x )＝cos(π2－2x )tan(π4－x ) ＝[2cos 2(π4－x )－1]tan(π4－x )． ∵5π4<x <7π4，∴－3π2<π4－x <－π. 又∵cos(π4－x )＝－45，∴sin(π4－x )＝35，tan(π4－x )＝－34. ∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100. 例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值． 活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一，由倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0⇔2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇔2cos 2α(2sin α－1)·(sin α＋1)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0. ∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)． 点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识的基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.＋π6)∵x ∈[0，π2]， ∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1. 因此，由f (x )的值域为[－5,1]，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，使多数考生能较轻松的完成．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法. (2)求sin2α－2cos 2sin (α－π4)的值． 活动：三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全放给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12， 解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin (α－π4)＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010. 即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么位置，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅. 1212＝π6，求sin α－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强但难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β的关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值． 解：由题意知a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)， ∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2. cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos 2α22cos α2＝cos α2，∴θ1＝α2. cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin 2β22sin β2＝sin β2＝cos(β2－π2)， ∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2. 又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3. sin α－β＝－π)＝－1.1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，培养学生的逻辑思维能力；（2）通过练习和应用，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作意识和解决问题的自信心。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义（1）引入三角函数的定义和图像；（2）解释三角恒等变换的含义和作用。
2. 三角恒等变换的基本公式（1）sin(α±β)的公式；（2）cos(α±β)的公式；（3）tan(α±β)的公式。
三、教学过程1. 导入（1）复习相关三角函数的定义和图像；（2）提出问题，引导学生思考三角恒等变换的必要性。
2. 新课讲解（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）引导学生推导三角恒等变换的基本公式。
3. 练习与应用（1）布置相关的练习题，巩固学生对三角恒等变换的理解；（2）引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教学评价1. 课堂讲解的评价：（1）观察学生在课堂上的参与度和理解程度；（2）通过提问和回答，检查学生对三角恒等变换的理解。
2. 练习题的评价：（1）检查学生完成练习题的情况和答案的正确性；（2）分析学生在解题过程中存在的问题和错误，及时进行反馈和指导。
五、教学资源1. 教学PPT：包含三角恒等变换的概念、意义和基本公式的讲解；2. 练习题：提供相关的练习题，供学生巩固和应用所学知识；3. 教学参考书：提供详细的三角恒等变换的讲解和例题。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的三角函数例子，让学生理解恒等变换的应用。
2. 小组讨论：让学生分组讨论三角恒等变换的性质，促进学生之间的交流和合作。
3. 问题解决：设计一些实际问题，让学生运用所学的三角恒等变换知识去解决，提高学生的应用能力。
简单的三角恒等变换说课稿
简单的三角恒等变换说课稿一、说教材（一）作用与地位本文《简单的三角恒等变换》是高中数学课程中的重要组成部分，属于三角函数章节。
它不仅承担着巩固学生对三角函数基础知识的掌握，而且肩负着培养学生逻辑思维能力和数学变换技巧的重任。
在数学教育中，三角恒等变换是联系实际应用与理论推导的桥梁，通过学习，学生能够更好地理解数学在自然科学和社会科学中的应用。
（二）主要内容本文主要围绕以下三个方面的内容展开：1. 三角恒等变换的基本概念：包括正弦、余弦、正切的和差公式、倍角公式、半角公式等。
2. 三角恒等变换的基本方法：运用上述公式进行三角函数式的化简、求值等。
3. 三角恒等变换在实际问题中的应用：结合实际案例，让学生体验三角恒等变换在解决具体问题时的作用。
二、说教学目标（一）知识与技能目标1. 理解并掌握三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 能够熟练运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学变换技巧。
（二）过程与方法目标1. 通过自主探究、合作交流，培养学生主动学习的习惯。
2. 通过问题解决，提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。
2. 引导学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
三、说教学重难点（一）重点1. 三角恒等变换的基本概念和基本方法。
2. 三角恒等变换在实际问题中的应用。
（二）难点1. 理解并熟练运用三角恒等变换公式。
2. 解决实际问题时，能够灵活运用三角恒等变换。
四、说教法（一）启发法在教学过程中，我将以启发式教学为主，引导学生通过观察、思考、总结等环节，自主发现三角恒等变换的规律。
具体操作如下：1. 以实际问题导入，激发学生的好奇心和求知欲。
2. 引导学生回顾已学的三角函数知识，为新知识的学习做好铺垫。
3. 设计一系列具有启发性的问题，让学生在思考问题的过程中，自然地发现三角恒等变换的规律。
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
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三角恒等变换
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2
π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030
tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题
例1 已知sin （α+β）=
32，sin （α-β）=51，求β
αtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）
0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。