平面解析几何与直线的方程
高三数学平面解析几何部分 直线的方程知识精讲 人教实验版B
高三数学平面解析几何部分直线的方程知识精讲一. 本周教学内容：平面解析几何部分：直线的方程二. 教学目的：掌握直线方程的几种形式及其相关应用三. 教学重点、难点： 重点：（1）直线的斜率与倾斜角；（2）直线方程的几种形式及求法；（3）两直线的位置关系；（4）点到直线的距离；（5）有关对称问题． 难点：（1）注意斜率与倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，其X 围是0°≤θ<180°，但并不是每条直线都有斜率．（2）直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的“局限性”．（3）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．（4）在运用公式=d 求平行直线间的距离时，一定要把,x y 项的系数化成相等．（5）中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决．四. 知识分析： 【知识梳理】1. 直线的斜率与倾斜角（1）已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12≠x x ，那么直线PQ 的斜率为2121-=-y y k x x 。
（2）在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的角度，称为这条直线的倾斜角，由定义可知倾斜角的取值X 围是[)0,π。
2. 两条直线平行或垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//⇔=l l k k 。
（2）两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121⊥⇔⋅=-l l k k 。
3. 直线的点斜式方程如果直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则把方程00()-=-y y k x x 叫做直线的点斜式方程。
解析几何中的直线方程
解析几何中的直线方程解析几何是数学中的一门重要分支，它是研究几何图形的性质以及它们的运动与变形规律的学科。
在解析几何的学习中，直线方程是非常重要的基本知识，本文将对几何解析中的直线方程作出详细解析。
一、直线方程的定义直线方程是用数学符号表达直线所满足的条件或者性质，通常用代数方程或不等式式表示。
在平面直角坐标系中，如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b表示；而如果直线的两个点的坐标已知，则使用两点式表示。
二、斜率表示的直线方程如果直线的斜率已知，则使用一般式方程y = kx + b进行表示。
在该式子中，k代表直线的斜率，b代表直线与y轴相交的截距。
因此，斜率k和截距b的数值都非常关键，它们可以帮助我们准确地标定一条直线。
需要注意的是，斜率k的值可能是正的、负的或零，它所代表的意义与数学实际意义也不相同。
当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右下方倾斜；当k=0时，直线水平。
此外，当斜率不存在时（例如垂直于x轴），方程中的k会出现分母为零的问题。
三、两点表示的直线方程如果直线过两个已知点，则可以使用两点式表示。
两点式是直线方程的一种，它可以通过任意两个不同的点来确定一条直线。
与斜率表示的方程不同，两点式可以准确地表示出一条经过具体坐标点的直线，因此在实际问题中得到了广泛的应用。
具体而言，两点式的表达式为：(y2 – y1) / (x2 – x1) = k。
在该式子中，k表示直线的斜率，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示直线所经过的两个点的坐标。
这个方程式等价于将k带入一般式方程，即可得到与直线有关的其它参数。
四、斜截式表示的直线方程当直线经过y轴时，我们可以采用斜截式表示的方程表示它。
在此种情况下，方程的表达式一般为:y = kx + b。
此处的k为斜率，而b则代表截距。
这种表示方式比较直观，因为它可以清楚地显示出直线与y轴的截距，不需要进一步计算。
需要指出的是，表达式中的k和b的值会随着直线的不同而发生变化，因此我们需要根据实际的数据和信息来计算这两个变量的值，进而作出正确的判断和决策。
高中 平面解析几何直线方程 知识点+例题
辅导讲义――直线方程围是___________1、五种直线方程：名称已知条件 示意图方程使用范围点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k斜率存在斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b斜率存在两点式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2斜率存在且不为0截距式在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且ab ≠0斜率存在且不为0，不过原点一般式在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一般式方程表示2、直线的截距：（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的知识模块2直线方程 精典例题透析题型一：求直线的倾斜角与斜率[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．题型二：三点共线问题[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．题型三：求直线方程[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．[巩固]写出下列直线的斜截式方程．（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；（2）斜率为1.题型五：直线方程的综合应用[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.2．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角α是_______.解析 ∵tan α＝－sin π7cosπ7＝－tan π7＝tan 67π，∵α∈[0，π)，∴α＝67π.3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 夯实基础训练当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0)．7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.15．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．。
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1节直线的方程教学案含解析新人教A版
第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。
高数空间解析几何学平面与空间直线的方程
06
案例分析与实践应
用
案例分析：平面与空间直线方程的求解
要点一
平面方程求解
要点二
空间直线方程求解
通过给定的平面上的三个非共线点，可以确定一个平面方 程。求解过程涉及向量运算和线性方程组求解。
根据空间直线的两个点或一点和方向向量，可以求解空间 直线的方程。求解过程需要运用向量运算和参数方程。
实践应用：空间几何在工程和物理中的应用
高数空间解析几何学 平面与空间直线的方 程
目录
CONTENTS
• 引言 • 平面方程 • 空间直线方程 • 平面与空间直线的位置关系 • 空间解析几何中的向量方法 • 案例分析与实践应用
01
引言
目的和背景
深入理解空间几何
通过解析几何学的研究，可以更加深 入地理解空间的几何性质，包括点、 线、面等基本元素的关系和性质。
向量的数量积
向量的数量积是一个标量，等于两向量模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
向量在平面和空间中的应用
平面及其方程
平面可以由一点和法向量确定，其方程可以表示为点 法式、一般式等。
空间直线及其方程
空间直线可以由两点确定，也可以由一点和方向向量 确定，其方程可以表示为点向式、参数式等。
空间距离和角度
利用向量的数量积可以计算空间中两点间的距离、两 平面间的夹角等问题。
渲染和光照
通过空间解析几何，计算机图形 学可以实现真实感渲染，包括光 线的传播、反射和折射等效果的 模拟。
碰撞检测和物理模
拟
空间解析几何在计算机图形学中 用于实现碰撞检测、物理模拟等 功能，提高虚拟世界的真实感和 交互性。
THANKS
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解决实际问题
平面解析几何中的直线方程
平面解析几何中的直线方程直线是解析几何中的基本概念之一，在平面解析几何中，直线方程是研究直线性质的重要工具。
本文将介绍平面解析几何中的直线方程，包括点斜式、斜截式和一般式三种表示方法。
一、点斜式点斜式是一种较为常用的直线方程表示方法。
它通过直线上的一个已知点和直线的斜率来表达直线的方程。
设直线上某一点为P（x1，y1），直线的斜率为k，则直线方程的点斜式可以表示为：y - y1 = k(x - x1)其中，（x，y）为直线上的任意一点。
点斜式的优点在于可以通过已知点和斜率来确定直线方程。
例如，已知一直线过点A（2，3），斜率为2，则直线的点斜式方程为：y - 3 = 2(x - 2)二、斜截式斜截式也是一种常见的直线方程表示方法。
它通过直线的斜率和与y轴的截距来表达直线的方程。
设直线的斜率为k，与y轴的截距为b，则直线方程的斜截式可以表示为：y = kx + b其中，（x，y）为直线上的任意一点。
斜截式的优点在于可以直接得到直线与y轴相交的截距。
例如，已知一直线的斜率为3，与y轴的截距为2，则直线的斜截式方程为：y = 3x + 2三、一般式一般式是直线方程的一种标准形式，它通过直线的两个未知数系数A、B和一个常数C来表达直线的方程。
直线方程的一般式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数且A、B不全为0，（x，y）为直线上的任意一点。
一般式的优点在于可以直接读取直线的系数。
例如，已知一直线的一般式方程为2x + 3y - 4 = 0，则该直线的系数为A=2，B=3，C=-4。
本文简要介绍了平面解析几何中直线方程的三种常见表示方法，包括点斜式、斜截式和一般式。
点斜式通过已知点和斜率来确定直线方程，斜截式通过斜率和截距来确定直线方程，一般式通过直线的系数来确定直线方程。
不同的表示方法适用于不同的问题和求解方式。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的表达方式，可以更方便地进行计算和分析。
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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第八章平面解析几何第1节直线与方程
第八章平面解析几何第1节直线与方程[六年新课标全国卷试题分析]第1节直线与方程[考纲展示]1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.②范围:倾斜角α的范围为[0,π). (2)直线的斜率①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α,倾斜角是π2的直线没有斜率. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=2121yy xx --.2.直线方程的五种形式3.两条直线位置关系的判定4.两条直线的交点设直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,将这两条直线的方程联立,得方程组1112220,0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩ (1)若方程组有唯一解,则l 1与l 2相交,此解就是l 1,l 2交点的坐标;(2)若方程组无解,则l1与l2无公共点,此时l1∥l2;(3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合.5.几种距离(1)两点距离两点P,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2(2)点线距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离(3)线线距离两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离A B+1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × )(3)过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可用方程y-y 0=k(x-x 0)表示.( × )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示.( √ )(5)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1=k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (6)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (7)已知直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( √ )2.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y 等于( B ) (A)-1 (B)-3 (C)0 (D)2解析:由k=32124y ----=tan 3π4=-1, 得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.3.已知直线l:ax+y-2-a=0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( D ) (A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:由题意可知a ≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=2a a +.所以2a a+=a+2,解得a=-2或a=1.故选D.4.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m 的值为( B )(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10解析:由题意知4(2)mm ---=-2, 解得m=-8.故选B.5.过点(1,0),且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( C ) (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0解析:因为直线x-2y-2=0的斜率为12,所以所求直线的斜率k=-2.所以所求直线的方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.故选C.6.已知直线l 1:kx+2y+1=0,l 2:x+y+2=0平行,则k= ,l 1,l 2之间的距离是 .解析:由l 1∥l 2,则1k =21≠12, 所以k=2,l 1:2x+2y+1=0. 先将2x+2y+1=0化为x+y+12=0,则两平行线间的距离为答案:2直线的倾斜角与斜率[例1] (1)已知直线方程为xcos 300°+ysin 300°=3,则直线的倾斜角为( )(A)60° (B)60°或300°(C)30° (D)30°或330°(2)直线l 过点P(1,0),且与以为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 .解析:(1)因为直线方程为xcos 300°+ysin 300°=3,所以直线的斜率为k=-cos300sin300︒︒=-cos(36060)sin(36060)︒-︒︒-︒=-cos(60)sin(60)-︒-︒=cos60sin 60︒︒.因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),所以倾斜角为30°,故选C.(2)如图,因为k AP =1021--=1,kBP 所以k ∈(-∞]∪[1,+∞).答案:(1)C (2)(-∞]∪[1,+∞)跟踪训练1:已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l 与线段AB 有公共点.(1)求直线l 的斜率k 的取值范围; (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围.解:如图,由题意可知,k PA =4031---=-1,k PB =2031--=1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间, 又PB 的倾斜角是π4,PA 的倾斜角是3π4,所以α的取值范围是[π4,3π4]. 直线方程[例2] (1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x 的斜率的13的直线方程; (2)求经过点A(-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程.解:(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×13=-43. 又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-43(x-1), 即4x+3y-13=0.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为2x a +y a =1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-25,所以直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.跟踪训练2:已知直线l 过点P(5,2),分别求满足下列条件的直线方程. (1)直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍; (2)直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52. 解:(1)当直线l 过原点时,直线l 的斜率为25, 所以直线方程为y=25x,即2x-5y=0;当直线l 不过原点时,设直线方程为2x a +y a =1,将x=5,y=2代入得a=92,所以直线方程为x+2y-9=0.综上,直线l 的方程为2x-5y=0或x+2y-9=0. (2)显然直线与坐标轴不垂直.因为直线l 经过点P(5,2),且能与坐标轴围成三角形,所以可设直线l 的方程为y-2=k(x-5)(k ≠0),则直线在x 轴上的截距为5-2k ,在y 轴上的截距为2-5k, 由题意,得12|5-2k |·|2-5k|=52, 即(5k-2)2=5|k|.当k>0时,原方程可化为(5k-2)2=5k,解得k=15或k=45; 当k<0时,原方程可化为(5k-2)2=-5k,此方程无实数解;故直线l 的方程为y-2=15(x-5)或y-2=45(x-5),即x-5y+5=0或4x-5y-10=0.两直线的位置关系[例3] 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0. (1)当l 1∥l 2时,求a 的值; (2)当l 1⊥l 2时,求a 的值.解:(1)法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0, l 2:x=0,l 1不平行于l 2;当a=0时,l 1:y=-3,l 2:x-y-1=0,l 1不平行于l 2; 当a ≠1且a ≠0时, 两直线方程可化为l 1:y=-2ax-3,l 2:y=11a-x-(a+1),由l 1∥l 2可得1,213(1),aa a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩解得a=-1.综上可知,a=-1.法二 由l 1∥l 2知2(1)120,(1)160a a a a --⨯=⎧⎪⎨--⨯≠⎪⎩⇒2220,(1)6a a a a ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩⇒a=-1. 解:(2)法一 当a=1时,l 1:x+2y+6=0,l 2:x=0,l 1与l 2不垂直,故a=1不符合;当a ≠1时,l 1:y=-2a x-3,l 2:y=11a -x-(a+1), 由l 1⊥l 2,得(-2a )·11a -=-1⇒a=23. 法二 因为l 1⊥l 2, 即a+2(a-1)=0,得a=23.跟踪训练3:(1)已知a 为实数,直线l 1:ax+y=1,l 2:x+ay=2a,则“a=-1”是“l 1∥l 2”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)已知直线l 1:ax+(3-a)y+1=0,l 2:x-2y=0.若l 1⊥l 2,则实数a 的值为 ,若l 1∥l 2,则a 的值为 . 解析:(1)由“l 1∥l 2”得a 2-1=0, 且a ×2a ≠1×1,解得a=-1或a=1,所以“a=-1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件.故选A. (2)由3a a -=-2,得a=2. 若l 1∥l 2,则1a =32a --,得a=-3.答案:(1)A (2)2 -3距离问题[例4] (1)已知点M 是直线上的一个动点,且点,-1),则|PM|的最小值为( )(A)12(B)1 (C)2 (D)3(2)若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0,则c 的值是 .解析:(1)|PM|的最小值即点到直线y=2的距离,故|PM|的最小值为1.选B.(2)依题意知,63=2a -≠1c-,解得a=-4,c ≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+2c=0,,,解得c=2或-6.答案:(1)B (2)2或-6跟踪训练4:(1)若P,Q 分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )(A)95 (B)185 (C)2910 (D)295(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a 的取值范围为 .解析:(1)因为36=48≠125-,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, =2910,所以|PQ|的最小值为2910.故选C.(2)由题意得,点P 到直线的距离为44315a ⨯-⨯-=1535a-. 又1535a-≤3,即|15-3a|≤15, 解得0≤a ≤10,所以a 的取值范围是[0,10].答案:(1)C (2)[0,10]对称问题[例5] (1)坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是( ) (A)(-45,85) (B)(-45,-85)(C)(45,-85) (D)(45,85)(2)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( ) (A)x-2y+3=0 (B)x-2y-3=0 (C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为 .解析:(1)直线x-2y+2=0的斜率k=12,设坐标原点(0,0)关于直线x-2y+2=0对称的点的坐标是(x 0,y 0),依题意可得0000220,222,x y y x ⎧-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩解得004,58,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即所求点的坐标是(-45,85). 故选A.(2)设所求直线上任意一点P(x,y),则P 关于x-y+2=0的对称点为P ′(x 0,y 0),由000020,22(),x x y y x x y y ++⎧-+=⎪⎨⎪-=--⎩得002,2,x y y x =-⎧⎨=+⎩ 由点P ′(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 则2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0. 故选A.(3)设A ′(x,y),由已知得221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A ′(-3313,413).答案:(1)A (2)A (3)(-3313,413)跟踪训练5:(1)若点(a,b)关于直线y=2x 的对称点在x 轴上,则a,b 满足的条件为( )(A)4a+3b=0 (B)3a+4b=0 (C)2a+3b=0 (D)3a+2b=0(2)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M 点对称的直线方程为( )(A)2x+3y-12=0 (B)2x-3y-12=0 (C)2x-3y+12=0 (D)2x+3y+12=0 解析:(1)设点(a,b)关于直线y=2x的对称点为(t,0),则有021,02,22b a tb a t -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯⎪⎩解得4a+3b=0.故选A.(2)由ax+y+3a-1=0, 可得a(x+3)+(y-1)=0,令30,10,x y +=⎧⎨-=⎩可得3,1,x y =-⎧⎨=⎩ 所以M(-3,1),M 不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于M 点对称的直线方程为2x+3y+C=0(C ≠-6),解得C=12或C=-6(舍去), 所以所求直线方程为2x+3y+12=0, 故选D.数学抽象——直线系方程中的核心素养由直线过定点的直线方程特点抽象出直线系方程,体现了数学抽象的核心素养. [典例] 求过直线2x+7y-4=0与7x-21y-1=0的交点,且和A(-3,1),B(5,7)等距离的直线方程.解:设所求直线方程为2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0, 即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由点A(-3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13, 所以所求的直线方程为21x-28y-13=0或x=1.(1)过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为;(2)经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为.解析:(1)设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),由题意知,2×1+3×(-4)+c=0,所以c=10,故所求直线方程为2x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0,又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.答案:(1)2x+3y+10=0 (2)x-2y=0y-9=0上存在点[例1] 已知两点A(-m,0)和B(2+m,0)(m>0),若在直线P,使得PA⊥PB,则实数m的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(0,4)(C)[3,+∞) (D)[4,+∞)解析:设P(x,y),则k PA =y x m+,k PB =2y x m--,由已知可得90,1,2x y yx m x m⎧-=⎪⎨⋅=-⎪+--⎩ 消去x 得 4y 2y+63-m 2-2m=0,由题意得220,(44(632)0,m m m >⎧⎪⎨∆=--⨯⨯--≥⎪⎩解得m ≥3.故选C.[例2] 已知直线l 过点(1,0),且倾斜角为直线l 0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l 的方程为( ) (A)4x-3y-3=0 (B)3x-4y-3=0 (C)3x-4y-4=0 (D)4x-3y-4=0解析:由题意可设直线l 0,l 的倾斜角分别为α,2α,因为直线l 0:x-2y-2=0的斜率为12,则tan α=12, 所以直线l 的斜率k=tan 2α=22tan 1tan αα-=212211()2⨯-=43,所以由点斜式可得直线l 的方程为y-0=43(x-1), 即4x-3y-4=0.故选D.[例3] 设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( ) (A)[-1,-12] (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)[12,1] 解析:由题意知y ′=2x+2,设P(x 0,y 0),则k=2x 0+2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4], 则0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,故-1≤x 0≤-12.故选A.[例4] 若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .解析:由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是3723,2231,72nm n m ++⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得3,531,5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故m+n=345. 答案:345[例5] 设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 . 解析:易知A(0,0),B(1,3)且两直线互相垂直, 即△APB 为直角三角形, 所以|PA|·|PB|≤222PA PB+=22AB =102=5. 当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立. 答案:5第1节 直线与方程[选题明细表](建议用时:20分钟)1.直线2x ·sin 210°-y-2=0的倾斜角是( B ) (A)45° (B)135° (C)30° (D)150°解析:由题意得k=2sin 210°=-2sin 30°=-1,故倾斜角为135°.故选B. 2.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( D )(A)k 1<k 2<k 3 (B)k 3<k 1<k 2 (C)k 3<k 2<k 1 (D)k 1<k 3<k 2解析:直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2.故选D.3.若直线l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与经过点(-2,1)、斜率为-23的直线垂直,则实数a 的值为( A )(A)-23 (B)-32 (C)23 (D)32解析:由题意得,直线l 的斜率为k=2-a-2-a+2=-1a (a ≠0),所以-1a ·(-23)=-1,所以a=-23,故选A.4.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x 的斜率的-14的直线方程为( A ) (A)3x+4y+15=0 (B)4x+3y+6=0 (C)3x+y+6=0 (D)3x-4y+10=0 解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-14×3=-34. 又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-34(x+1), 即3x+4y+15=0.5.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( C ) (A)(1,-3) (B)(4,3) (C)(3,1) (D)(2,3) 解析:2mx+x+my+y-7m-4=0, 即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由{2x +y =7,x +y =4,解得{x =3,y =1.则直线过定点(3,1),故选C. 6.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则m 的值是( A ) (A)1 (B)-2 (C)1或-2 (D)-32解析:①当m=-1时,两直线分别为x-2=0和x-2y-4=0,此时两直线相交,不合题意. ②当m ≠-1时,两直线的斜率都存在,由直线平行可得{-11+m =-m2,2≠-2,解得m=1.综上可得m=1.故选A.7.直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C ) (A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数.因为直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.8.已知坐标原点关于直线l 1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l 2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( B )(A)2x+3y+5=0 (B)3x-2y+5=0(C)3x+2y+5=0 (D)2x-3y+5=0解析:设A(x 0,y 0),依题意可得{x 02-y 02+1=0,y 0x 0=-1,解得{x 0=-1,y 0=1, 即A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l 2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l 2垂直于直线AB,又-1k AB =32, 所以直线l 2的方程为y-1=3(x+1), 即3x-2y+5=0.9.一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P 点,再从P 点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( B )(A)√2 (B)2 (C)3 (D)4解析:点(0,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为(-1,1),则最短路程为√(-1-1)2+(1-1)2=2.10.已知两直线l 1:(3+m)x+4y=5-3m,l 2:2x+(5+m)y=8,若l 1∥l 2,则m= ;若l 1⊥l 2,则m= .解析:若l 1∥l 2,则3+m =4≠5-3m , 即m=-7或m=-1(舍去),所以m=-7.若l 1⊥l 2,则(3+m)×2+4(5+m)=0,即m=-133. 答案:-7 -133(建议用时:25分钟)11.若直线l 1:y=k(x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点( B )(A)(0,4) (B)(0,2)(C)(-2,4) (D)(4,-2)解析:由题知直线l 1过定点(4,0),则由条件可知,直线l 2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线l 2所过定点为(0,2),故选B.12.已知直线l 1:2x-y+3=0,直线l 2:4x-2y-1=0和直线l 3:x+y-1=0,若点M 同时满足下列条件:①点M 是第一象限的点;②点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12; ③点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是√2∶√5.则点M 的坐标为( D )(A)(13,2) (B)(13,3718) (C)(19,2) (D)(19,3718) 解析:设点M(x 0,y 0),若点M 满足②,则00√5=12×00√16+4, 故2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0, 若点M(x 0,y 0)满足③,由点到直线的距离公式, 得00√5=√2√5×00√2, 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|,故x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0,由于点M(x 0,y 0)在第一象限,故3x 0+2=0不符合题意, 联立{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0, 解得{x 0=-3,y 0=12,不符合题意; 联立{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0,解得{x 0=19,y 0=3718, 即点M 的坐标为(1,37). 13.若△ABC 的顶点A(5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0,则直线BC 的方程为 .解析:由AC 边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0可以知道k AC =-2,又A(5,1),AC 边所在直线方程为2x+y-11=0,联立直线AC 与直线CM 方程得{2x +y-11=0,2x-y-5=0,解得{x =4,y =3,所以顶点C 的坐标为(4,3). 设B(x 0,y 0),AB 的中点M 为(x 0+52,y 0+12),由M 在直线2x-y-5=0上,得2x 0-y 0-1=0,B 在直线x-2y-5=0上,得x 0-2y 0-5=0,联立{2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0.解得{x 0=-1,y 0=-3,所以顶点B 的坐标为(-1,-3).于是直线BC 的方程为6x-5y-9=0.答案:6x-5y-9=014.已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解:法一 设直线方程为x a +y b =1(a>0,b>0),点P(3,2)代入得3a +2b =1≥2√6ab,得ab ≥24, 从而S △ABO =12ab ≥12, 当且仅当3a =2b 时等号成立,这时k=-b a =-23, 即△ABO 的面积的最小值为12.从而所求直线方程为2x+3y-12=0.法二 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k<0.则直线l 的方程为y-2=k(x-3)(k<0),且有A(3-2k,0),B(0,2-3k), 所以S △ABO =1(2-3k)(3-2) =12[12+(-9k)+4(-k)] ≥12[12+2√(-9k)·4(-k)] =12×(12+12)=12. 当且仅当-9k=4-k ,即k=-23时,等号成立, 即△ABO 的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x+3y-12=0.15.已知直线l 1:x+a 2y+1=0和直线l 2:(a 2+1)x-by+3=0(a,b ∈R).(1)若l 1∥l 2,求b 的取值范围;(2)若l 1⊥l 2,求|ab|的最小值.解:(1)因为l 1∥l 2,所以-b-(a 2+1)a 2=0,且a 2+1≠3.则b=-a 2(a 2+1)=-a 4-a 2=-(a 2+12)2+14, 因为a 2≥0,所以b ≤0.又因为a 2+1≠3,所以b ≠-6.故b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].(2)因为l 1⊥l 2,所以(a 2+1)-a 2b=0,又a=0,不满足l 1⊥l 2,则a ≠0,所以ab=a+1a ,|ab|=a+1a≥2,当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.。
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平面解析几何与直线的方程
在数学的世界里，平面解析几何是一门研究平面上的几何形状与运
动的学科。
其中一个重要的概念就是直线的方程。
直线是平面解析几
何的基础，了解直线的方程对于我们深入理解平面上的几何形状和运
动有着重要的作用。
本文将详细介绍平面解析几何与直线的方程。
直线是平面上两个点的连续不断的运动轨迹。
在平面解析几何中，
我们通过直线的方程来描述这条直线所遵循的规律和性质。
直线的方
程有多种形式，我们将分别介绍一元线性方程、斜截式方程和点斜式
方程。
一元线性方程是直线方程中最简单的形式。
一元线性方程的一般形
式可以表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的
截距。
斜率k决定了直线的倾斜程度，而截距b决定了直线与y轴的交点位置。
通过给定直线的斜率和截距，我们就可以确定直线的方程，
从而描述直线在平面上的位置和运动。
一元线性方程的形式简单明了，适用于许多几何问题的求解。
斜截式方程是另一种常见的直线方程形式。
斜截式方程的一般形式
可以表示为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线在y轴上的截距。
斜截式方程的特点是通过斜率m和截距c来描述直线的位置和运动。
斜截式方程常用于表达直线的方程，特别是当直线的斜率和截距
已知时。
通过斜截式方程，我们可以很容易地确定直线在平面上的位
置和运动轨迹。
点斜式方程是直线方程的另一种形式，也是一种常用的表达方式。
点斜式方程的一般形式可以表示为(y-y₁) = m(x-x₁)，其中m为直线的
斜率，(x₁, y₁)为直线上的一点。
点斜式方程通过已知直线上的一点和
斜率来确定直线的方程。
点斜式方程的优点是可以通过已知的点和斜
率来确定直线的方程，从而更直观地描述直线在平面上的位置和方向。
在平面解析几何中，直线方程的应用非常广泛。
通过直线方程，我
们可以解决许多几何问题，比如求两条直线的交点、判断两条直线是
否平行、求直线与坐标轴的交点等等。
直线方程不仅仅是理论研究的
工具，更是实际问题求解的基础。
综上所述，平面解析几何与直线的方程是数学中的重要概念。
直线
的方程有一元线性方程、斜截式方程和点斜式方程等不同形式，每种
形式都适用于不同的问题求解。
通过掌握直线方程的知识，我们可以
更深入地理解平面上的几何形状和运动，解决实际问题，提高数学建
模和分析的能力。