自动控制原理复习资料——卢京潮版第七章

第七章 非线性控制系统分析§7.1 非线性系统概述● 非线性系统运动的规律，其形式多样。

线性系统只是一种近似描述 ● 非线性系统特征—不满足迭加原理1) 稳定性 ⎩⎨⎧平衡点灯可能有多个入有关关，而且与初条件，输不仅与自身结构参数有2) 自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3) 自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

自振是非线性系统特有的运动形式。

4) 正弦响应的复杂性 (1) 跳跃谐振及多值响应 (2) 倍频振荡与分频振荡 (3) 组合振荡(混沌) (4) 频率捕捉 ● 非线性系统研究方法 1) 小扰动线性化处理2) 相平面法-----用于二阶非线性系统运动分析3) 描述函数法-----用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。

4) 仿真研究---利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。

常见非线性因素对系统运动特性的影响：1. 死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ss σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2. 饱和(如运算放大器，学习效率等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ 3. 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法：(1) 提高齿轮精度 ； (2) 采用双片齿轮； (3) 用校正装置补偿。

4. 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性 摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性5. 继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性　等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性　等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）§7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)1. 相平面相轨迹二阶非线性系统运动方程：()[(),()]xt f x t x t = ――定常非线性运动方程即：[,][,]dxdx f xx dx dtdx f x x dx x⋅==()()xxt x t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩以为纵标，x为横标，构成一个平面（二维空间）称之为相平面（状态平面）系统运动时，，以t为参变量在相平面上描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动） 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。

它不仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图象。

二维空间(平面)上表示点的运动的概念，可以扩展到N 维空间中去。

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩状态：系统运动的状况状态变量：表征系统状态的变量状态平面（相平面）：由状态变量张成的平面状态轨迹（相轨迹）：系统运动时状态变量在状态平面上描绘出的运动轨迹1. 相平面：由,c c构成的，用以描述系统运动特性的平面。

相轨迹：,c c随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。

例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹例：系统方程为20n x x ωξ+=　(=0)求相轨迹方程。

解： 2n dx dx dx xx x dx dt dxω=⋅==-2n xdx xdx ω=-222122n x x c ω=-+ 22222nnxc x A ωω+=令得：222221nx xA A ω+= ――椭圆方程系统特征方程： 220n s ω+=特征根：1,2n j λω=±（中心点） 平衡点（奇点）：0e x =自控演示实验x-y 记录仪所画的相轨迹：2. 二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）自由运动方程 ξ范围 极点位置 奇点名称20n n x x x ξωω++= 0011101ξξξξξ=⎧⎪⎪⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪⎪≥⎪⎪⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎪⎪<-⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 中心点 稳定焦点 稳定节点 不稳定节点 不稳定节点 鞍点注：1).奇点=平衡点=各阶导数为0之点; 2).实极点数值=特殊相轨迹的斜率;3).右移时　x x0> 左移时　＜x x 0 时　一般垂直通过＝0x例1.系统方程为：20n x x ξω+=作相轨迹 解：原方程＝2[2]0n n dx dxxx x dx dxξωξω⋅+=+=即：0--2--2n n xdx dt ξωξω=⎧⎪⎨=⎪⎩ 横轴（平衡点集合） 斜率为-的直线族3.利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出一类二阶非线性系统的相轨迹。

例2.系统运动方程：0x x x ++=，作出其相轨迹。

解：原方程：0 0 (1)0 0 (2)x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩解(1)：2(1)()0s s X s ++=1,20.5s =-± 解(2)：2(1)()0s s X s +-=120.62 ; 1.62s s ==-――鞍点作图，可见初始条件≠0时自由运动结果总发散（向负方向）例3.系统运动方程：0xx signx ++= ，作相轨迹。

解：原方程：100(3)1100(4)1x x x x x x x x ++=≥--=-⎧⎨+-=<--=⎩ 平衡点： 平衡点：'''1'''1,21''''''1,20(4):0x x x x x x s j x x s j =+=-⎫−−−−→+=--=±⎪⎬−−−−→+=--=±⎪⎭令令对(3):都是中心点（相轨迹为圆）对 作图：见下页：222222(1)0 (1)(1)(1) (1)(1)dxx x xx dxxdxx d x x x A xx A ++==-+=-++=-++++= 可见：系统自由运动总是稳定的：奇点为一线段［-1，1］，依初始条件00x x⎧⎨⎩ 不同，最终可以稳定在［-1，1］之间任一点上。

例4.系统运动方程为sin 0x x += 求出全部平衡点，并分析其特性。

解：令0sin 0xx x ==→=∴平衡点0,,2,,.e x k πππ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅当2sin (21):sin e k x x x k x x π∆∆π∆∆⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭时： 时　-∵在平衡点附近变化时，x 是小量，与sin x 等价。

∴原方程为1,21,2001x x s j x x s +=→=±⎧⎪⎨-=→=±⎪⎩ （中心点） （鞍点）平衡点颁布及其附近的相轨迹：4. 相轨迹作图法（解析法，等斜线法，δ图弧法）(1)等倾斜线法：系统方程为：(,)dxxx f x xdx=⋅=- (,)dx f x x dx xα=-= 令相轨迹的斜率得出等斜线方程：(,)f x xx αα⎧=-⎨=⎩ 相平面上此方程对应曲线点上的相轨迹斜率为等值 给定不同的α值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应α的 短线，可以构成相轨迹切线的方向场。

由此可画出非线性运动的相轨迹。

4. 等倾斜线法例1，系统如右，用等倾斜线法作系统相轨迹。

解：对线性部分：()(1)()k C s s Ts U s =+2()()()Ts s C s kU s += T c c k+=I 0IIIII M x h c h u h x h h c hM x h c h >⇒<-⎧⎪=-<<⇒-<<⎨⎪-<-⇒>⎩Ⅰ：...T c c kM +=(1)(1)dcdc dcdc Tc c T c T ckM dc dcαα+=++=T=k=M=11(11kMcT αα=++ 等倾斜线方程，水平线）Ⅲ：Tcc kM +=- ，同上讨论可得：111111T k kM cM T αα==-=-=++ 111T K M =⎧⎪=⎨⎪=⎩Ⅱ：0Tcc += (1)0T cα+=11Tα=-=- 画出等斜线并作出相轨迹见3号图： 系统自由运动分析：(1) 自由运动收敛，最终达到稳定。

(2)最终平衡位置[,]h h -例2，在例1中，将非线性特性改为纯滞环继电特性。

,0,0I ,0II ,0Tcc ku x hM x h xu x hM x h xc hkM c h c Tcc c h kM c h c +=>⎧⎪>-<⎪↓=⎨<-⎪-⎪<>⎩⎧<-⎧⎨⎪<>⎪⎩+=⎨>⎧⎪-⎨⎪>-<⎩⎩画等斜线（同例1,ⅠⅢ区）作相轨迹见6号图系统自由运动分析：自由运动的最终状态是自振（对应有一个极限环） 名类极限环（见挂图）§7.3 描述函数法1. 描述函数一般概念如右图示：对非线性环节输入正弦信号 一般地输入()y t 是一个周期信号()y t 例：对于理想的继电特性输出()y t 可以把周期信号展开成富立哀级数：0101()(cos sin )sin()n n n n n n y t A A n t B n t A y n t ωωωϕ∞=∞==++=++∑∑ 其中：2001()()2A y t d t πωπ=⎰201()cos ()n A y t n td t πωωπ=⎰201()sin ()n B y t n td t πωωπ=⎰n y =nn nA arctgB ϕ= 对于()y t 中的基波分量(n=1)有:11111()cos sin sin()y t A t B t y t ωωωϕ=+=+其中：2101()cos ()A y t td t πωωπ=⎰2101()sin ()B y t td t πωωπ=⎰1y =111A arctgB ϕ= 例：对理想继电特性输入（方波信号）中，基波分量可以如下求出: 由理想继电特性的对称性，可以确定00A =。

由()y t 的奇函数特性 可以确定0i A =2101()sin ()B y t td t πωωπ=⎰204()sin ()y t td t πωωπ=⎰2044[cos MMt πωππ=-=11110A arctgarctg B B ϕ===1114()cos sin 0sin My t A t B t t ωωωπ=+=+如果把各次谐波都加上有：――方波信号是各次谐波分量的迭加0112()sin 0()()4111[sin sin 3sin 5sin ]35n n y t A y n ty t y t Mt t t n t nωωωωωπ∞==+=+++=+++++∑ 而在各次谐波分量中，基波分量最能表征()y t 的特征。