条件概率
条件概率与全概率
条件概率与全概率
条件概率是指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
用数学表示为P(B|A) = P(A∩B)/P(A) ，其中P(A∩B)表示事件A和
事件B同时发生的概率，P(A)则表示事件A发生的概率。
全概率公式是指如果将一个样本空间分成若干个互不相交的事件，并已知每个事件发生的概率，在此基础上求其他事件的概率。
这个公
式通常用于解决一个事件很难直接计算，但是能够在几个已知事件的
基础上计算的情况。
用数学表示为P(B) = ∑ P(Ai) P(B|Ai)，其中
P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的情况下，事件B发生的概率。
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
条件概率公式
条件概率公式条件概率是指在给定一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率公式可以帮助我们计算这种概率。
首先，我们需要明确以下两个概念：1. 事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率，称为事件 A 在事件 B 的条件下的概率，记为 P(A|B)。
2. 事件 A 与事件 B 同时发生的概率，称为事件 A 与事件 B 的交集的概率，记为 P(A∩B)。
那么，条件概率公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B) 表示事件 A 与事件 B 的交集的概率，而 P(B) 表示事件 B发生的概率。
这个公式可以解释为：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率等于事件 A 与事件 B 同时发生的概率除以事件 B 发生的概率。
例如，假设我们想要计算在一批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率。
假设这个批次的总人数为 N，其中男生的人数为 M，喜欢足球的人数为K。
那么，我们可以使用条件概率公式计算：P(男生且喜欢足球) = P(喜欢足球|男生) * P(男生)其中，P(喜欢足球|男生) 表示在已知这些学生是男生的情况下，喜欢足球的学生所占的比例。
而这个比例可以通过在这批学生中数一数同时满足这两个条件的学生数目，并将它除以男生的人数 M 来计算。
即：P(喜欢足球|男生) = K / MP(男生) 表示这些学生中男生所占的比例，即 M / N。
那么，根据条件概率公式，我们得到：P(男生且喜欢足球) = (K / M) * (M / N) = K / N这个结果表示，在这批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率等于喜欢足球的学生所占的比例（K / N）。
另外，条件概率公式还可以进一步推广到多个事件的情况。
例如，如果我们想要计算在事件 B 和事件 C 同时发生的条件下，事件 A 发生的概率，可以使用以下公式：P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)其中，P(A∩B∩C) 表示事件 A、事件 B 和事件 C 的交集的概率，P(B∩C) 表示事件 B 和事件 C 同时发生的概率。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
条件概率
全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n
i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
条件概率发生率
条件概率发生率
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
它是概率论中的一个重要概念，有着广泛的应用。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB)/P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(AB)表示A和B同时发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
条件概率的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，医生可以根据病人的症状和临床表现来判断其是否患有某种疾病；在金融风险管理中，可以根据历史数据和市场情况来预测某些事件的发生概率；在自然语言处理中，可以根据语境和上下文来识别词语的含义。
但是，条件概率的计算需要满足一定的前提条件，例如独立性假设。
如果两个事件不是独立的，则条件概率的计算结果可能会产生误差。
因此，在使用条件概率进行推断和预测时，需要仔细考虑其适用范围和限制条件。
- 1 -。
条件概率
§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
解读条件概率
解读条件概率
条件概率是统计学中一种重要的概念，表示在某些条件下某事件发生的概率。它可以用来表示事件之间的相关性，帮助我们分析和预测不同事件之间的关系。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A|B)表示在条件B下A事件发生的概率，P(A∩B)表示A事件和B事件同时发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率。
2.条件概率的计算依赖于全概率公式，因此需要先确定事件的总概率。
3.条件概率的计算结果只是一种概率估计，并不能百分之百准确。
4.条件概率的计算结果可能会受到假设和数据的影响，因此需要谨慎使用。
条件概率的计算可能会涉及多个事件，因此需要考虑事件之间的关系。
在使用条件概率时，需要综合考虑多种因素，以便得出准确的结论。
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B')P(B')
这样，我们就可以通过计算条件概率来估计下周五会不会下雨的概率了。
总的来说，条件概率是一之间的关系，为决策提供依据。使用条件概率时，需要注意以下几点：
1.条件概率是在某些条件下事件发生的概率，因此需要明确所给出的条件。
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条件概率
1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.
解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.
则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,
∴P(A|B)=9/14.
,
2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率.
解.设事件A表示“掷出含有1的点数”,设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.
则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式
∴P(A|B)=1/2.
,
,
3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率.
解.设事件A i表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,
由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,
P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .
由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).
4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.
解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,
事件B表示“最后取到的是白球”.
根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2.
∴
5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率
解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .
事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.
显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意
P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;
P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;
由全概率公式
P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.
6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率.
解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;
事件B表示“最后取到的是2号球”.
显然P(A)=1/N,
且P(B|A)=1/(N-1),;
,
∴=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N =(N2-N+1)/N2(N-1).
7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.
(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球;
(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球.
解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,事件A2表示“第二次取到的是红球”.
(1)要求的是事件A1A2的概率.
根据题意P(A1)=4/5, , P(A2|A1)=7/9,
∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.
(2)要求的是事件的概率.
根据题意: ,,
∴.
(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.
,,
,
,
∴.
(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.
由全概率公式:
=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.
8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,
设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)
显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且
P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;
P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.
由全概率公式得到
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)
=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.
9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、0.1 .求目标被命中的概率为多少?
解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,
设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,
设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”,
用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,
且A1、A2、A3构成一完备事件组.
又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1.
由全概率公式得到:
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.
10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响, 求加工出零件的次品率是多少?
解.设事件A i表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4
因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.
P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,
只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.
为了运算简便,我们求其对立事件的概率
=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.
∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.
11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求
(1)射击三次皆中目标的概率;
(2)射击三次有且只有2次命中目标的概率;
(3)射击三次至少有二次命中目标的概率.
解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3
根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3
某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.
(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).
由独立性:
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512.
(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示.
显然,
又根据独立性得到:
.
(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C表示.
至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C=B+A1A2A3
P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896.
12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4, 1/5, 求能将密码译出的概率. 解.设事件A i表示“第i人能译出密码”, i=1,2,3.
由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P(A1+A2+A3). 已知P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5,
而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.
∴P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6.
13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率.
解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3.
设事件B i表示“目标被命中i弹”, i=0,1,2,3.
设事件C表示“目标被摧毁”.
由已知P (A1)=0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.7;
P(C|B0)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|B3)=0.8.
又由于三次射击是相互独立的,所以
,
=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36,
=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41,
.由全概率公式得到
P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)
=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.。