条件概率
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
表示为P(A|B)，读作“B发生下A的概率”。
其中，A和B都是事件。
全概率公式是指在多个互斥事件的情况下，求解某事件发生的概率。
表示为P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)，其中，A和B1~Bn都是事件，且
B1~Bn互斥（即只能有一个事件发生）且构成全集（即所有事件的并集是样本空间）。
意思是将A发生的情况分别在B1到Bn分别发生下计算，再加起来就是A发生的概率。
例如，某次摇色子，摇出的数为1~6之一，设事件A为“得到奇数”，事件B为“得到4点以下的数”。
则P(A|B)表示在已知得到4以下的数的情况下，得到奇数的概率。
全概率公式中需要先考虑各个条件下得到4以下的数的概率，再乘以相应条件下得到奇数的概率，最后将得到奇数的结果相加，就可以得到最终的结果。
条件概率公式推导
条件概率公式推导
条件概率是指在已知某一事件的前提下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算需要用到条件概率公式。
下面就来推导一下条件概率公式。
假设有两个事件A和B，且B的概率不为0。
则，在已知B发生的前提下，A发生的概率为：
P(A|B) = P(AB) / P(B)
其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，即交集的概率。
P(B)表示事件B发生的概率，即B的概率。
由乘法公式可得：
P(AB) = P(A) * P(B|A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的前提下，事件B发生的概率。
即，B在A发生的条件下的概率。
将P(AB)代入条件概率公式中得：
P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)
这就是条件概率公式的推导过程。
通过条件概率公式，我们可以计算在已知某事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
这对于概率论和统计学都有着重要的应用。
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条件概率公式
条件概率公式条件概率是指在给定一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率公式可以帮助我们计算这种概率。
首先，我们需要明确以下两个概念：1. 事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率，称为事件 A 在事件 B 的条件下的概率，记为 P(A|B)。
2. 事件 A 与事件 B 同时发生的概率，称为事件 A 与事件 B 的交集的概率，记为 P(A∩B)。
那么，条件概率公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B) 表示事件 A 与事件 B 的交集的概率，而 P(B) 表示事件 B发生的概率。
这个公式可以解释为：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率等于事件 A 与事件 B 同时发生的概率除以事件 B 发生的概率。
例如，假设我们想要计算在一批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率。
假设这个批次的总人数为 N，其中男生的人数为 M，喜欢足球的人数为K。
那么，我们可以使用条件概率公式计算：P(男生且喜欢足球) = P(喜欢足球|男生) * P(男生)其中，P(喜欢足球|男生) 表示在已知这些学生是男生的情况下，喜欢足球的学生所占的比例。
而这个比例可以通过在这批学生中数一数同时满足这两个条件的学生数目，并将它除以男生的人数 M 来计算。
即：P(喜欢足球|男生) = K / MP(男生) 表示这些学生中男生所占的比例，即 M / N。
那么，根据条件概率公式，我们得到：P(男生且喜欢足球) = (K / M) * (M / N) = K / N这个结果表示，在这批学生中，男生与喜欢足球的学生的交集的概率等于喜欢足球的学生所占的比例（K / N）。
另外，条件概率公式还可以进一步推广到多个事件的情况。
例如，如果我们想要计算在事件 B 和事件 C 同时发生的条件下，事件 A 发生的概率，可以使用以下公式：P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)其中，P(A∩B∩C) 表示事件 A、事件 B 和事件 C 的交集的概率，P(B∩C) 表示事件 B 和事件 C 同时发生的概率。
条件概率与全概率公式
条件概率与全概率公式
条件概率是指在一定条件下某事件发生的概率，例如，已知某人感染了疾病，求这个人的年龄在40岁以下的概率。
这里，已知某人感染了疾病就是条件，年龄在40岁以下是事件。
条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中，P(A|B)表示在条件B下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
全概率公式是指将一个事件拆分成多个互不重叠的子事件，并计算每个子事件的概率，然后将它们相加得到整个事件发生的概率。
例如，某医院有三个科室，分别是内科、外科和儿科，每个科室的病人比例为60%、30%和10%。
现在需要求这个医院的所有病人中，感染肺炎的比例。
这里，感染肺炎是整个事件，内科、外科和儿科是子事件。
全概率公式为：P(A) = Σ P(A|Bi) * P(Bi)，其中，P(A)表示事件A的概率，P(A|Bi)表示在条件Bi下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。
在这个例子中，感染肺炎的比例为：P(肺炎) = P(肺炎|内科) * P(内科) + P(肺炎|外科) * P(外科) + P(肺炎|儿科) * P(儿科)。
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条件概率公开课
首先，根据训练数据集学习HMM的参数，包括初始状态概率、状态转移概率和观测概 率；然后，对于给定的观测序列，使用Viterbi算法或前向-后向算法计算最可能的状态
序列。
条件随机场（CRF）模型原理及实现
原理
条件随机场是一种判别式概率模型， 用于在给定一组输入特征的情况下预 测输出序列。CRF通过定义一组势函 数来描述输出序列中各个元素之间的 依赖关系。
在分类、回归等任务中，利用条件概率模型 对数据进行建模和预测。
D
02 条件概率计算方法
直接计算法
定义法
根据条件概率的定义，直接计算事件 A在事件B发生的条件下的概率，即 P(A|B) = P(AB) / P(B)。
适用范围
适用于事件B的概率P(B) > 0，且事件 A和事件B同时发生的概率P(AB)可以 直接计算或通过实验获得的情况。
乘法公式法
乘法公式
利用条件概率的乘法公式P(AB) = P(A) * P(B|A)或P(AB) = P(B) * P(A|B)来计 算条件概率。
适用范围
适用于已知其中一个事件的概率和另一个事件在该事件发生的条件下的概率， 需要求解两个事件同时发生的概率的情况。
全概率公式法
全概率公式
如果事件B1, B2, ..., Bn构成一个完备事件组，且它们的概率之和为1，则对任一事件A，有P(A) = Σ P(Bi) * P(A|Bi)，其中i=1,2,...,n。
实现
首先，根据训练数据集学习CRF的参 数，包括势函数的权重；然后，对于 给定的输入特征序列，使用动态规划 算法（如Viterbi算法）找到使得势函 数之和最大的输出序列。
条件概率在金融风险评估中应
05
《条件概率》课件
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
条件概率知识点
条件概率知识点一、条件概率的定义。
1. 概念。
- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。
那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。
2. 性质。
- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。
- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。
- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。
二、条件概率的计算方法。
1. 公式法。
- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。
- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。
设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。
AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。
那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。
2. 缩减样本空间法。
- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。
- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。
三、条件概率的乘法公式。
1. 公式。
- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。
条件概率发生率
条件概率发生率
条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
它是概率论中的一个重要概念，有着广泛的应用。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(AB)/P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(AB)表示A和B同时发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
条件概率的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，医生可以根据病人的症状和临床表现来判断其是否患有某种疾病；在金融风险管理中，可以根据历史数据和市场情况来预测某些事件的发生概率；在自然语言处理中，可以根据语境和上下文来识别词语的含义。
但是，条件概率的计算需要满足一定的前提条件，例如独立性假设。
如果两个事件不是独立的，则条件概率的计算结果可能会产生误差。
因此，在使用条件概率进行推断和预测时，需要仔细考虑其适用范围和限制条件。
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●三维目标 1．知识与技能 (1)理解条件概率的定义． (2)掌握条件概率的两种计算方法． (3)利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法 通过逐步探究，让学生体会条件概率的思想． 3．情感、态度与价值观 体会数学的应用价值，增强数学的应用意识．
发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一
定相等．
2．在条件概率的定义中，要强调P(A)＞0.当
P(A)＝0时，P(B|A)＝0.
3．P(B|A)＝PPAAB可变形为P(AB)＝ P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求 得第三个值.
A
17
【当堂测评】
1．下列正确的是( )
所构成的事件
D，称为事件
A
与
B
的交(或积)，记作D＝A∩B (或 D＝AB )．
2．条件概率
名称
定义
符号表示 计算公式
对于任何两个事件A和B，
条件 在已知事件A 发生的条件 P(B|A)
概率 下，事件B发生的概率叫做
条件概率.
P(B|A)= PA∩B，
PA P(A)>0
利用定义求条件概率
一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取两个 球，记事件“第一次抽到黑球”为 A；事件“第二次抽到黑球” 为 B.
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．P(A∩B|A)＝P(B)
C.PPABB＝P(B|A)
D．P(A|B)＝nnABB
【解析】 由条件概率公式易知D正确．
【答案】 D
2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝
{第二次出现正面}，则P(B|A)等于( )
1
1
1
1
A.4
B.2
C.6
D.8
【解析】 P(AB)＝14，P(A)＝12，∴P(B|A)＝12.
【答案】 B
3．设某动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁 的概率为 0.4，现有一个 20 岁的这种动物，则它活到 25 岁的概 率是________．
【解析】 根据条件概率公式知P＝00..48＝0.5. 【答案】 0.5.
4．掷两颗均匀的骰子，问： (1)至少有一颗是6点的概率是多少？ (2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率 又是多少？ 【解】 (1)对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况， 它们是等可能的． 设A＝“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情 况，∴P(A)＝3116.
根据题意知P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，
根∩B)＝
P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率
为0.72.
【 总结提升】
1．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)
是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B
3
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝nnAAB＝1220＝35.
有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这
批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
【解】 设种子发芽为事件A，芽成长为幼苗为事件B，则
种子发芽后成长为幼苗为事件A∩B(发芽，又成长为幼苗)．
【思路探究】 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入 公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直 接利用基本事件个数求解．
【自主解答】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到
舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A
2 6
＝30，
根据分步计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝nnΩA＝2300＝
2 3.
(2)因为n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝nnAΩB＝1320＝25. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下， 第2次抽到舞蹈节目的概率为
2 P(B|A)＝PPAAB＝52＝35.
【提示】 (1)P(A)＝19030，P(B)＝19000，P(A∩B)＝18050. (2)事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件 长度合格，其概率为P(A|B)＝8950. (3)P(A|B)＝PPA∩BB.
【精讲点拨】
1．两个事件 A 与 B 的交(或积)
把由事件
A
和
同时发生 B
●重点难点 重点：条件概率的概念． 难点：条件概率的求法及应用． 教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和 所需的知识特点入手，引导学生结合古典概型知识，不断地观 察、分析、理解条件概率的概念，通过例题与练习，进一步让 学生对条件概率的求法及应用有更深的认识，从而化解难点、 强化重点．
1.了解条件概率的概念． 课标 2.掌握求条件概率的两种方法．(重点)
解读 3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(难
点)
条件概率 【前置检测】
100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量 合格，85 件产品的长度、质量都合格．
令 A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝ {产品的长度、质量都合格}，(1)求 P(A)、P(B)、P(A∩B)；(2)任 取一件产品，已知其质量合格(即 B 发生)，求它的长度(即 A 发生) 也合格(记为 A|B)的概率；(3)试探求 P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的 关系．
(1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率； (2)求 P(B|A)．
【思路探究】 解答本题可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用 公式P(B|A)＝PPAAB求概率．
【自主解答】 由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝25， P(B)＝2×15＋ ×34×2＝280＝25， P(AB)＝25× ×14＝110.
1 (2)P(B|A)＝PPAAB＝120＝14.
5
利用基本事件个数求条件概率
现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的 概率．