环境流体力学第二章分子扩散
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环境水利学第2章 费克扩散(3)
i
)2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 3 m0 表示曲线偏斜度：=0 左右对称; >0左右不对称，长尾伸向正轴方向； ＜0，长尾伸向负轴方向。
>0
=0
＜ 0
图 对浓度分布图形的影响
第四节 浓度分布的各阶矩
df 即θ=常数k1,因此有： 2f k1 。 d
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 0
m cdx ,推出k0=1 2
c( x, t )
m x2 exp( ) 4Dt 4Dt
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
exp(u 2 )du ]
c0 x [ erf ( )] 2 2 4Dt
c0 c0 x x 即 ：c( x , t ) [1 erf ( )] erfc ( ) 2 2 4 Dt 4 Dt
式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即
erf ( z ) 2
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为：
c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞
其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 刻t位于x的浓度应为:
2
2
2 2 ( x 2 x x x )c( x , t )dt
)2
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大， 分布曲线愈平坦。
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 3 m0 表示曲线偏斜度：=0 左右对称; >0左右不对称，长尾伸向正轴方向； ＜0，长尾伸向负轴方向。
>0
=0
＜ 0
图 对浓度分布图形的影响
第四节 浓度分布的各阶矩
df 即θ=常数k1,因此有： 2f k1 。 d
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律，有 0
m cdx ,推出k0=1 2
c( x, t )
m x2 exp( ) 4Dt 4Dt
为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下）
exp(u 2 )du ]
c0 x [ erf ( )] 2 2 4Dt
c0 c0 x x 即 ：c( x , t ) [1 erf ( )] erfc ( ) 2 2 4 Dt 4 Dt
式中：erf(z)为误差函数，erfc(z)为余误差函数，即
erf ( z ) 2
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为：
c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞
其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 刻t位于x的浓度应为:
2
2
2 2 ( x 2 x x x )c( x , t )dt
环境流体力学第二章分子扩散
C是扩散物质的浓度。 c
x
度。
:x方向的浓度梯
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2·s-1 。
公式中的负号
费克定律第一定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: Q Dc
哈密顿算子 i j k
x y z
Q D c x
第三节 费克定律
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
1
exp( x2 )
M
2 2Dt
2( 2Dt )2
瞬时点源一维无界空间的浓度分布 污染源点和坐标原点重合的情况
瞬时点源一维无界空间的浓度 场在任一时刻t沿x轴是正态分 布，随时间t的增加，浓度的峰 值Cm变小，而扩散的范围变宽， 分布曲线趋于平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
2 x
(x
x )2 c(x,t)dx
M0
(x2
2xx
2 x
)c(
x,
t
)dx
M0
M2
2xM1
M0
x2M 0
2 x
M2 M0
2 x
i
xi 2ci xi ( i
ci xi
xi ci xi )2
ci xi
i
i
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，2值愈大，
分布曲线愈平坦。
第六节 浓度分布的各阶矩
对于正态分布曲线（标准）有：M1
时刻M0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。
2、 浓度分布的统计特征值 （1）浓度分布的距离均值（数学期望）
第六节 浓度分布的各阶矩
流体力学中的流体流动的湍流阻力和湍流扩散
流体力学中的流体流动的湍流阻力和湍流扩散湍流是流体力学中一种复杂而普遍存在的现象，它通常伴随着流体流动的湍流阻力和湍流扩散。
湍流阻力和湍流扩散是湍流对流体流动性质的重要影响因素，对于理解和控制湍流现象具有重要的意义。
一、湍流阻力湍流阻力是指在流体流动中由于湍流的产生而引起的阻碍流动的力。
在湍流中，流体粒子的速度和方向会发生不断变化，形成旋涡结构，导致流体阻力的增加。
湍流阻力的大小主要由雷诺数、流体的粘度和速度梯度等因素决定。
雷诺数是描述流体流动状态的重要参数，定义为惯性力与粘性力的比值。
当雷诺数较大时，流体的惯性力相对较大，流动趋于湍流；当雷诺数较小时，粘性力相对较大，流动趋于层流。
湍流阻力随着雷诺数的增加而增加，在雷诺数较大时达到最大值。
此外，流体的粘度也对湍流阻力起着重要作用。
粘度较大的流体，在相同的流速条件下，湍流阻力较小；而粘度较小的流体，湍流阻力较大。
因此，在一些工业应用中，可以通过改变流体的粘度来实现湍流阻力的控制。
二、湍流扩散湍流扩散是指在湍流中，流体中的物质在空间上不断混合扩散的过程。
由于湍流的不规则性和不稳定性，流体中的物质会被湍流所携带，并在湍流的过程中发生不断的混合扩散。
湍流扩散的程度和速率决定了物质在流体中的传输和分布情况。
在湍流扩散过程中，湍流的剧烈变动会增加物质之间的相互接触和混合，从而加快扩散的速率。
此外，湍流剧烈变动使得流体中的物质随机分布，形成无序的物质输运。
因此，湍流扩散使得物质的分布更加均匀，从而影响流体的输运和传输性质。
对于湍流扩散的研究，可以应用多种方法进行分析和计算。
其中，莱维稳定分布和混沌理论等在湍流扩散的研究中扮演重要的角色。
通过对湍流扩散的深入研究，可以更好地理解和预测湍流的传输性质，为相关领域的应用提供理论和实践指导。
结语湍流阻力和湍流扩散是流体力学中湍流现象的重要表现形式。
湍流阻力会影响流体流动的能量损失和流体输运的效率，而湍流扩散则影响着物质的传输和混合特性。
环境流体力学第二章分子扩散
件下的解。
Hale Waihona Puke -x0x.
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 瞬时单位平面源的扩散
• 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质 。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位
• 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面-x
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2·s-1 。
公式中的负号
. 费克定律第一定律
费克定律第二定律 三维的费克定律: QDc
哈密顿算子 i j k
x y z
第三节 费克定律
Q D c x
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该 物理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
.
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数
假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0
方程线性
第三节 一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M
的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布， 这是扩散方程的最基本的解。
• 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重
合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线
性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条
分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
环境水力学ch2-5
1、层流中的瞬时源
在动水环境中，分别讨论：
1）、三维扩散 2）、二维扩散 3）、一维扩散
1）、三维扩散
不可压缩流体三维层流随流扩散方程
c c c c 2c 2c 2c u v w D( 2 2 2 ) t x y z x y z
应用条件： 一维非离散（nondispersion）随流条件：u =常 数，v=w=0
q y vc
qz wc
式中： u，v，w为流速的三个分量； qx，qy，qz为对应的 质量通量；c为污染物的浓度，其量纲为[ML-3]。
随流分子扩散的质量通量
随流分子扩散是在流场中叠加一个浓度场，
这里流速场为：
质量通量为：
u u ( x, y , z , t ) v v ( x, y , z , t ) w w( x, y, z , t ) c c ( x, y , z , t )
lim 2
c(r , t ) 0
r x2 y 2 z 2
求解方法：
1.
2.
变量代换
叠加法
z
从物理意义上，可分解 为随流输移和分子扩散。
y
P(x,y,z)
x
u
ut
Ｏ
Ｏ1
一般解
m ( x ut) 2 y 2 z 2 c( x, y, z, t ) exp{ } 32 (4Dt) 4Dt
式中：c 为时均浓度（mg/L）; m 为污染源的质量（g）。
2）、二维扩散
应用条件：
均匀流场： w=0，
u为垂线上的平均流速
u u 0 x z
定解问题：
c c 2c 2c u D[ 2 2 ] t x x z
2、环境水力学-迁移扩散理论-移流扩散及紊流扩散
和边界条件，如果满足，这就是所求的解。
对于一维扩散问题的解：
M C x, t e 4 Dt
x2 4 Dt
( x ut )2 M C exp 4 Dt 4 Dt
（2-90）
C的分布见图。
对二维问题的解为：
2 2 M x u t y C exp 4Dt 4 Dt
t
m
得
（2-94）
又令
ru 1 4D
代入积分式（2-94）
转化得
（2-95）
若时间的积分限 t ，则
r 0，故(2-95)式转化为 4 Dt
xu m exp( ) 2 2 1 2 D C ( x, y , z ) ( 2 ) d 3 0 exp 2 2 Dr
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
（2-82）
上式就是一维恒定均匀流场三维扩散的随流扩散方程。
用解析法求解三维随流扩散方程很困难，一般情况 下只考虑一维随流扩散方程，下面就讨论一维流场三维 扩散的随流扩散方程的几种解答。
（2-92）
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分
析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化，
从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。 在研究移流扩散方程的时候，仍然采用的欧拉方法，
面分子扩散问题中按照若干初始条件和边界条件得出了解析解答。
将置换解法应用到二维、三维扩散问题中来，一维流
对于一维扩散问题的解：
M C x, t e 4 Dt
x2 4 Dt
( x ut )2 M C exp 4 Dt 4 Dt
（2-90）
C的分布见图。
对二维问题的解为：
2 2 M x u t y C exp 4Dt 4 Dt
t
m
得
（2-94）
又令
ru 1 4D
代入积分式（2-94）
转化得
（2-95）
若时间的积分限 t ，则
r 0，故(2-95)式转化为 4 Dt
xu m exp( ) 2 2 1 2 D C ( x, y , z ) ( 2 ) d 3 0 exp 2 2 Dr
2C 2C 2C C C u D 2 2 2 t x x y z
（2-82）
上式就是一维恒定均匀流场三维扩散的随流扩散方程。
用解析法求解三维随流扩散方程很困难，一般情况 下只考虑一维随流扩散方程，下面就讨论一维流场三维 扩散的随流扩散方程的几种解答。
（2-92）
第一章
迁移扩散理论
一、分子扩散
二、移流扩散及紊动扩散 三、剪切流动的分散
紊动扩散欧拉（Euler）法
我们在上一节研究费克第二定律的过程中，就其分
析方法而言，实质上就是采用的欧拉法，即
对流场中给定的微小空间考察各种物理量的变化，
从“场”的角度来分析问题，从而得出微分方程。 在研究移流扩散方程的时候，仍然采用的欧拉方法，
面分子扩散问题中按照若干初始条件和边界条件得出了解析解答。
将置换解法应用到二维、三维扩散问题中来，一维流
环境流体力学第二章分子扩散
第五节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
M 2 对于正态分布曲线（标准）有： M1 0, x 0, x 2 M
0
将瞬时点源的解代入M2，得距离方差：
M 1 2 x 2 M0 M x2 x c( x, t )dx x exp( )dx 2 Dt 4 Dt 4 Dt
2
第四节 分子扩散方程
推广到三维： 故有
c Q t
Q Dc
Fick定律：
c D2c t 用直角坐标表示
c 2c 2c 2c D( 2 2 2 ) t x y z
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
x c x c x
i i i i i i
i
质量中心坐标x
表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离，当曲线对称于c轴时x=0。
（2）浓度分布的距离方差2
2 x 2 ( x ) c( x, t )dx x
M0
i
2 2 ( x 2 x )c( x, t )dx x x
第四节 浓度分布的各阶矩
1、 浓度对距离的各阶矩定义
零阶矩 M 0 c( x, t )dx ci xi
扩散第二定律
扩散第二定律扩散第二定律是描述质点扩散过程中的扩散速率的物理定律，也被称为菲克定律。
它描述了在稳态条件下，质点由高浓度区域向低浓度区域扩散的速率是由浓度梯度决定的。
扩散是指由高浓度区域向低浓度区域自发地传播的现象。
当浓度不均匀存在时，质点会受到无规则的碰撞，从而发生随机运动。
扩散过程中，质点会由高浓度区域向低浓度区域移动，直到达到浓度均匀分布的稳态。
具体地，扩散第二定律可以用以下方程来表示：∂C/∂t = D * ∇²C其中，∂C/∂t表示浓度变化的时间导数，C表示浓度分布函数，D表示扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子。
扩散第二定律描述了浓度分布随时间的变化规律。
扩散第二定律可以通过下面的推导得到：考虑一个一维的情况，即扩散发生在一个长度为L的导体中。
假设浓度梯度在x方向上为Grad(C)，并假设扩散系数D是常数。
根据物质守恒定律，单位时间内从x处流出的物质量等于单位时间内通过x处横截面的物质量减去单位时间内通过x+Δx处横截面的物质量：J(x)ΔS - J(x+Δx)ΔS = - ∂C/∂t ΔV其中，J(x)表示单位面积横截面通过x处的物质流，ΔS表示横截面面积，ΔV表示长度为Δx的小段体积。
将上式展开并忽略二阶项，可以得到：-J(x)ΔS + [Δx∂(J(x)ΔS)/∂x] = - ∂C/∂t ΔV将J(x) = -D∂C/∂x代入上式，并取极限∆x趋近于0，可以得到：∂C/∂t = D∂²C/∂x²这就是一维情况下的扩散第二定律。
类似地，可以推导出二维和三维情况下的扩散第二定律：∂C/∂t = D(∂²C/∂x² + ∂²C/∂y²)∂C/∂t = D(∂²C/∂x² +∂²C/∂y² + ∂²C/∂z²)扩散系数D是一个与物质性质相关的常数。
它表示单位浓度梯度下的物质传递率。
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(Байду номын сангаас)
0
x0 x0
水倾注到大河里，可以认为起始浓 度集中于微小体积内。
狄拉克（Dirac） 函数
物理含义：
当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上，污染物质量 为M,它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间
（2）边界条件：c(,t)=0, c(,t)/x=0
第五节 一维扩散方程的基本解
绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理 。 & 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、正常排 放）。 & 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如 热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。 & 连续源又分为恒定和非恒定源。 & 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方 程。
第三节 费克定律
费克定律： 1855年德国生理学家费克（Fick）提出 静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面 积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。
对一维扩散，费克定律可表示为：
Q c x
用等号 Q D c x
x
一维费克扩散示意图
式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量； C是扩散物质的浓度。 c x :x方向的浓度梯度。
c t
D(x2c2 y2c2
z2c2)
在扩散特性各向异性的液体中
ct Dx x2c2Dy y2c2Dz z2c2
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
& 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。 & 解的形式：解析解、数值解。 & 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在
分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温 度和压力有关。
第三节 费克定律
某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2·s-1，水温为20℃）
D值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。
第四节 分子扩散方程
第二节、分子扩散方程的推导(单纯扩散）
一维为例
设c(x,t)是时刻t位于x处上扩
散质（溶质）的浓度。在该控
π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物 理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
第五节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c是M、D、x、t的函数
假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0
方程线性
Q (x ,t) [Q (x ,t) Q (x ,t) x ] c (x ,t) x
x
t
Q c 0 x t
Fick定律：
Q D c x
c t
D
2c x2
二阶线性抛物 型偏微分方程
如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以 热扩散系数a（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。
2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法
量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而
不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的
规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。
x
• 4、染料只沿长度方向扩散
令染液投入点为坐标原点
1.定解条件
第五节 一维扩散方程的基本解
一维分子扩散方程：
c
2c
D
t
x 2
瞬时点源或称瞬时无限平面源在无界空间的定解条件下的
解析解。定解条件在数学上表达为：
（1）初始条件： c(x,0)=M(x)
M(x)表示质量M集中于微小容积 内。相对概念。例如把一小桶颜色
一维 扩散中，浓度的量纲 [ML-1],浓度c应与M除以某一特征长度成 正比。 D t 是一个合适的特征长度
制体积内扩散质对时间的
t
变化率为：c ( x , t ) x t
变化量： c(x,t) xt
t
一维输移的控制体：两个具有单位面 积的平行面与x轴垂直
单位时间进入x面的扩散质通量为：Q(x,t)
从(x+△x)面出去的通量为: Q(x,t)Q(x,t)x x
第四节 分子扩散方程
根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量-流出的 污染物质=污染物质量对时间的变化率相等，即:
第二章 分子扩散
第一节 费克定律
第三节 费克定律
一、费克定律
静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微 粒也作不规则的运动，这个现象早已在1826年为布朗的 著名实验证实。分子运动称为布朗运动
费克（Fick）扩散（分子扩散）： 由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散
除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一 原因外，它还存在于一切流动的水体中。
D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为[L2T-1]
一般约为10-6~10-5cm2·s-1 。
公式中的负号
费克定律第一定律
费克定律第二定律
ur
三维的费克定律: QDc
哈密顿算子
r i
vj
r k
x y z
Q D c x
第三节 费克定律
说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散
一滴红墨水在玻璃杯中的扩散
件下的解。
-x
0
x
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 瞬时单位平面源的扩散
• 瞬时源：t=0时，在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质 。
• 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位
• 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M的薄片红色染液
• 3、染液薄片充满了整个断面-x
0
分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。
推广到三维： 故有
第四节 分子扩散方程
c
ur • Q
t
ur
QDc
Fick定律：
c D2c t
用直角坐标表示
c t
D(x2c2
y2c2
z2c2)
时变项
分子扩散项
扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现
在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，D为常数。
第五节 一维扩散方程的基本解
第三节 一维扩散方程的基本解
• 集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质量为M
的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布， 这是扩散方程的最基本的解。
• 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重
合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线
性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条