振动力学

有限元方法在振动力学上的应用分析

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有限元方法在振动力学上的应用分析

摘要：有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的振动问题的数值方法。对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。最后,使用MA TLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点位移,固有振动频率和特征值分析。[1]

关键词：有限元振动力学固有频率特征值

目录

1发展背景 (3)

1.1有限元的发展背景 (3)

1.2有限元法应用于工程计算的发展背景 (3)

2基础理论推导 (4)

2.1有限元理论 (4)

2.2理论推导 (4)

3参数影响 (8)

3.1边界条件的影响 (8)

3.2网格划分对有限元模态分析的影响 (8)

3.3单元类型的影响 (8)

4实例分析 (9)

4.1杆件分析 (9)

4.2梁的自然频率 (10)

5结论 (11)

1，发展背景

1.1有限元的发展背景

有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。为解决这类问题,美国学者提出用GFEM （Gener-alized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题。[2]

比利时学者提出用HSM （the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解决实际开裂问题。

在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。[3]

目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差,与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；[4]在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理，质量高。

1.2 有限元法应用于工程计算的发展背景

FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了50余年的发展。20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。1943年，Courant第一次提出单元概念。1945~1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”,并描绘为“有限元法 = Rayleigh Ritz法 + 分片函数”。几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element Analysis)系统,如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP 等。20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的办法之一。[5]

2基础理论推导

2.1有限元理论

有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方法。它先将拟分析的工程结构模型，假想地分割成有限个单元，组成离散化模型。各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来，单元节点可为铰接或其它形式。然后导出各单元体的运动方程式，最后将这些单元体的运动方程式叠加而得到离散了的工程结构的有限元运动方程式。因此，有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元组成的与原结构非常接近的离散系统，有限元法是离散化方法。计算所得结果的精确程度取决于单元体的划分。

有限元法的基本过程为， （1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单元。 （2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运动方程式。 （3）组合与叠加各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵，得到整个离散系统的运动方程式。 （4）解特征方程，求出频率与振型，或求解动力响应问题和动应力问题。 有限元法中采用的单元类型有二维、三维等，其形状、大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因此它能适应复杂的结构，如板、壳、杆等组合的结构物，也适用于各种不同的边界条件。有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此便于计算机计算，并安排标准程序和通用程序。

2.2理论推导

2.2.1单元的质量、刚度矩阵 （1）杆单元

一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。由于单元很小，ρ、A 均视为常量。很容易就可以推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力，这里就不再赘述

（2）梁单元

如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一是角位移。 图中 是力 是力矩 是对应的线位移 是对应的角位移 是分布载荷 是梁单元上任意位移 x 处的挠度。

[6]

在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x 的三次方程，可写成：

()() ,31t f t f ()()t f t f 42, ()() ,31t t ωω()()t t 42, ωω()t x f ,()t x ,ω