第二章 线性系统分析

b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制

一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。



线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
3、线性时不变系统的主要性质： （1）迭加性质
系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出 之和，即
线性时不变系统的各输入分量所引起的输出互不影 响，即一个输入的存在并不影响另一个输入的响应。
（2）齐次性： 若 x(t ) y(t ) ，则 ax(t ) ay(t ) （3）微分、积分性
系统对输入微分的响应等同于对原输入响应（输 出信号）的微分。
许多实际测试系统无法在较大工作范围内满足线性 时不变要求，但在有效测量范围内近似满足线性时 不变传输特性要求也可。
一般在工程中使用的测试装置都看作线性时不变系统
二、线性系统分析基础
由若干相互联系、相互作用的装置为实现 一定的目的而组成的体系称为系统。最常见、 最具有普遍意义的系统是线性系统。
1、系统分析目的 找出系统固有的传 递特性，既输入--系统 --输出三者之间的关系。 传递（运输）特性包括 系统自身的静、动态特 性。
漂移通常表示为在相应条件下的示值变化。例如：
δ=1.3mV/8h表示每8小时电压波动1.3mV。
其它：可靠性、分辨率等
二、测量系统的动态特性
测试系统的动态特性不仅取决于系统的结构参 数，而且与输入信号有关。研究测试系统的动态特 性实质就是建立输入信号、输出信号和系统结构参 数三者之间的关系——数学建模。
四、系统的噪声干扰与抑制
测试过程中，除待测量信号外，各种不可见的、 随机的噪声信号也出现在测试系统中。这些信号与 有用信号叠加在一起，扭曲了测量结果。
干扰噪声来源 •机械振动或冲击会对测试系统(尤其是中的半导体元件产生干扰； •温度的变化会导致电路参数和工作点的变化，产 生干扰； •电磁的干扰； • ……

3、回程误差（滞后，Hysteresis error）
测试系统在输入量由小增大和由大减小的测试过程中， 对于同一个输入量可能对应有多个不同的输出量。 得到的两个输出量之间差值最大者记为hmax，则定义回 程误差为:
hmax 100% A
式中： hmax ——最大差值 A ——测量量程
4、稳定性和漂移（Drift） 稳定性是指系统在一定工作条件下，当输入量不变 时，输出量随时间变化的程度，也叫漂移。 产生漂移的原因：一是系统自身结构参数的变化， 另一个是周围环境的变化（如温度、湿度等）对输 出的影响。最常见的漂移是温漂，即由于周围的温 度变化而引起输出的变化，进一步引起系统的灵敏 度发生漂移，即灵敏度漂移。其它常见：零漂。
系统的传递（传输）特性：系统的输出与输入量之 间的变换或运算关系。
理想的测试系统传输特性
1）具有单值的、确定的输入－输出关系。对于每一输入量 都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可 以确定另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
2)系统的特性不随时间的推移发生改变。
最佳的测试系统具有线性时不变特性。
y(t ) e j (t ) 应用：频率保持性在动态测试中具有重要作 用，假设某线性测量系统的输入信号频率已 知，那么输出信号中就只有与输入频率相同 的成分才可能是由该激励引起的响应，而其 它的频率皆为噪声干扰。
唯一解：
三、测试系统的传输特性
一、静态特性（Static characteristics） 通常在静态测量中，输入和输出不随时间而 改变，线形系统微分方程中的输入和输出的各阶 导数均为零，于是有：
动态特性的数学描述： 1）微分方程 2）传递函数 3）频率响应函数 4）阶跃响应函数等
最基本的数学模型，求 解困难
输出y(t)的拉氏变换 Y(s)和输入x(t)的拉氏 变换X(s)之比称为系统 的传递函数，与微分方 程完全等价
频率响应函数
系统的初始条件为零时，输出y(t)的傅立叶变换 Y(ω )和输入x(t)的傅立叶变换X(ω )之比称为系统 的频率响应函数，记为H(ω )或H(jω )。 对微分方程进行傅立叶变换，可得频率响应函数为
噪声信号传输途径
在设计时选 用低噪声的 元器件，印 刷电路板设 计时元件合 理排放等方 式来增强信 道的抗干扰 性
良好的屏蔽、正确的接地，减少 磁感应和电容耦合
使用交流稳 压器、隔离 稳压器
滤波
令x(t ) e jt , 则其二阶导数为
d 2 x(t ) d 2 e jt 2 jt 2 j e x(t ) 2 2 dt dt
d 2 x(t ) 2 x(t ) 0 2 dt


d 2 y (t ) 2 y (t ) 0 2 dt
d n xt n j X n dt
2、一阶系统
线性时不变系统是一个怎样的量？
τ jω Y(ω )
－低通性质：幅值比 A(ω)随输入频率ω的 增大而减小。 －系统的工作频率范 围取决于时间常数τ。 当ωτ较小时，幅值和 相位的失真都较小。 当ωτ一定时，τ越小， 测试系统的工作频率 范围越宽。
若x(t) →y(t) , 则x'(t) →y'(t) 当初始条件为零时，系统对原输入信号积分的响 应等同于对原输入响应的积分。
若x(t) →y(t) , 则∫x(t)dt →∫y(t)dt
推广：
这个性质意味着作用于线性系统的各个输入所产 生的输出是互不影响的。一个输入的存在绝不影响另 一个输入所引起的输出。 在分析多输入同时加在系统上所产生的总效果时，可 以先分别分析单个输入的效果，然后叠加起来表示总 效果。
（4）频率保持性 jt x e 若系统的输入为某一频率的正弦输入 0 ， 则其稳态输出也将是同一频率的正弦信 号 y0 e j (t ) ，即
设有：x（t）→y（t） 则：ω2x（t）→ ω2 y（t） →比例特性
d 2 x(t ) d 2 y(t ) →微分特性 2 2 dt dt 2 d 2 x(t ) d y(t ) 2 2 x ( t ) y(t ) →迭加特性 2 2 dt dt
2 、非线性度（ non-linearity——线性度 linearity ） 测量装置的定标曲线偏离其拟合直线的程度称非 线性度。
用系统标称输出范围（全 量程）A内，定度曲线与 拟合直线的最大偏差表示。 通常表示成相对误差形式。
拟合直线的确定方法： 端基直线：通过测量范围上下限点的直线 最小二乘直线：拟合直线与定度曲线间偏差Bi的 平方和最小。