高中数学第三章统计案例1.2相关系数知识导航北师大版选修2-3资料
1.2相关系数
自主整理
判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：
（1）_______________________________________________________________. （2）_______________________________________________________________. 高手笔记
1.假设两个随机变量的数据分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)，…，（x n ，y n ），则变量间线性相关系数r 的计算公式为
r=
∑∑∑∑∑∑======---=
=---=
n
i i n
i i n
i i
i n
i i
n i i
i n
i i
yy
xx xy y
n y x
n x y
x n y
x y y
x x
y y x x
l l l 1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)
()
()
()(
2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高. （2）|r|值越接近0,Q 越大,变量之间的线性相关程度越低. (3)当r ＞0时,l xy ＞0,b=
xx
xy l l ＞0,两个变量正相关.
当r ＜0时,l xy ＜0,b=
xx
xy l l ＜0,两个变量负相关.
当r=0时,两个变量线性不相关. 名师解惑
如何用变量间线性系数r 来恒量两变量间的线性相关程度的大小? 剖析：误差Q(a ，b ）=
∑
=n
i 1
［y i -(a+bx i )］2
=l yy +n ［y -(a+b x )］2
+l xx (b-xx
xy l l )2
-
xx
xy
l l 2.
当b=
xx
xy l l ,a=y -b x 时，Q （a ，b ）最小=l yy -
xx
xy
l l 2
=l yy （1-
yy
xx xy
l l l 2
）=l yy ·（1-r 2
）.
∵Q (a,b)≥0，
∴1-r 2
≥0，即r∈［-1，1］.
（1）|r|值越大，1-r 2
越接近于0，误差Q （a ，b ）越小，两变量之间的线性相关程度越高.
（2）|r|值越接近于0，1-r 2
越大，误差Q （a ，b ）越大，两变量之间的线性相关程度越低. （3）当r=0时，两变量线性不相关. 讲练互动 【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x （克/
解：列表如下
x =
7=24,y =7
, r=
2
7
1
2
7
1
2
2
7
1
777y
y x
x y
x y
x l l l i i i i i i
i yy
xx xy ---=
∑∑∑===
=
2
2
)
7
94.202(758922474144794
.20224716.4900⨯-⨯-⨯
⨯-=0.96. 由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.
绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱. 变式训练
(2)用最小二乘估计求线性回归方程；
(3)求相关系数r,并作出评价. 解:(1)略. x =
5=109，y =5
=23.2，
b=
1570308
109
5609752.2310951295252
2
5
1
2
5
1=⨯-⨯⨯-=
--∑∑==x
x y
x y
x i i i i
i
=0.196， a=y -b x =23.2-0.196×109=1.836. ∴回归方程为y=1.836+0.196x ，
（3）r=
=---∑∑∑===5
1
2
22
5
1
2
5
1
555i i
i i i i
i
y y
x
x y
x y
x
6
.651570308
2.2358.27561095609752.231095129522
2⨯=
⨯-∙⨯-⨯⨯-=0.96，
拟合程度较高. 【例题2】为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示.
（1）试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ （2）求相关系数r.
x =
10
=158.8，y =159.1， b=
6.472
.378.158102522221.1598.1581025268810102
2
101
2
10
1=⨯-⨯⨯-=
--∑∑==x x y
x y
x i i i i
i ≈0.78，
a=y -b x =159.1-0.78×158.8=35.
∴回归直线方程为y=35+0.78x.
当x=161时,y=160.58 cm,即女儿身高为160.58 cm.
（2）r=
2
10
1
2
2
10
1
2
10
1
101010y
y x x y
x y
x i i i i i i
i
-∙
--∑∑∑====
=⨯-⨯-⨯⨯-2
21.159102531858.15810222.2521
.1598.158********
9
.566.472.37⨯≈0.715.
绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x 与y 的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际价值了，它也就不能反映变量x 与y 之间的变化规律.
只有在x 与y 之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可以用于预测取值的情况. 变式训练
（2）预测x=25时y 的取值； (3)求线性相关系数r. 解：
x =8，y =49.7，
b=
2101322
8108507.49810529810102
10
1
2
210
1=⨯-⨯⨯-=
--∑∑==i i
i i
i
x
x
y x y
x ≈6.3， a=y -b x =49.7-6.3×8=-0.7，
∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x. 当x=25时,y=156.8，
r=
2
10
1
2
10
1
2
2
10
1
101010y
y x
x y
x y
x i i i i i i
i
---∑∑∑====
2
2
7
.4910331498
108507.498105298⨯-⨯-⨯⨯-=0.992 5.
x 与y 之间有很强的线性相关性.。
高中数学第三章统计案例3.1.2相关系数教案北师大版选修2_3
1.2 相关系数（一）、问题情境1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．（二）、学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．（三）、探析新课1、相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，样本相关系数r 的计算公式为2、相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．3、对相关系数r 进行显著性检验的步骤： 相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系。
《相关系数》(北师大版 选修2-3)
A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关
当堂检测
3.在回归分析中,相关系数|r|越大,则误差Q(a,b)应( A ) A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对 4.两个变量满足如下表的关系:
由表可知：
2 2 x 1 00 ， y i i 75 ， xi yi 0 ，
n
n
n
i 1
i 1
i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x 0 ，y 2.71，则可得
r 0 7 0 2.71 100 7 0 2 75 7 2.712 0
你发现什么了？？ r=0，则变量间并不存在线性相关关系。即此时 建立线性回归方程是没有意义的。
=1 i=1
6
6
6
=1
2 =79,
∑
6
=1
2 =30
268, ∑ x iyi =1
=1
6
∴r=
=1
∑
6
-6
2 2 ∑ 2-6 6
=1 6
∑ 2- 6
6
=
1 481 -6×3.5×71 79-6×3 .52×
30 268 -6×71 2
≈-0. 91,
=1
∴y 与 x 具有较高的相关程度. ∴
b= =1 6
自主学习
活动:请阅读课本P76-P77“思考交流”之前的内容， 思考下列问题： 1、相关系数r的计算公式是什么？ 2、说出相关系数r的取值范围。 3、相关系数与线性相关的程度有怎样的关系？ 4、根据相关系数r的范围，线性相关可以分为几类？
点拨精讲
2019_2020学年高中数学第3章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
自主预习 探新知
1．回归分析
设变量 y 对 x 的线性回归方程为 y＝a＋bx，由最小二乘法知系数
的计算公式为：n
xi－ x yi－ y
i＝1
n
xiyi－n x y
i＝1
b＝llxxyx＝_____i＝n_1 __xi_－__x_2____＝___i＝n_1x_2i_－__n_x_2____，a＝__y_－__b_x______.
第三章 统计案例
§1 回归分析 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析
学习目标
核心素养
1.了解回归分析的思想和方法．(重点) 通过对回归分析的学
2．掌握相关系数的计算和判断线性相关 习，培养“逻辑推理”、
的方法．(重点) “数学抽象”、“数学
3．了解常见的非线性回归模型转化为线 运算”的数学素养.
2．利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较，若 r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
1．下列两变量中具有相关关系的是( ) A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重 C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积
B [选项 A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系； 选项 C 中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系； 选项 D 中球的体积是43π 与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有 选项 B 中人的身高与体重具有相关关系．]
_u_＝__a_＋__b_v____
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个变量的相关系数 r＞0，则两个变量正相关． ( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强． ( ) (3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负． ( )
高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结课件 北师大版选修2-3
即时训练
一、选择题 1．一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，数据(略)，由此 建立的身高与年龄的回归模型为^y＝7.19x＋73.93，用这个模型 预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是( ) A．身高一定是 145.83cm B．身高在 145.83cm 以上 C．身高在 145.83 左右 D．身高在 145.83cm 以下
(2) 没 有 充 分 的 证 据 显 示 是 否 喜 欢 韩 剧 和 性 别 有 关 ， 则 χ2≤2.706，
由 χ2＝32x56x×x3x－x 6x×6x2＝38x≤2.706，解得 x≤7.216， x·2·2·x
∵2x、6x为整数，∴若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和 性别有关，则男生至多有 6 人．
[解析] (1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i1 2 3
4
5
6
78
xi 70 74 80 78 85 92 90 95 yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1 140 i 9 10 11 12 13 14 15
4．通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用.
知识结构
专题研究
回归分析
蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地 年平均使用氮肥量 x kg 与每单位面积蔬菜 年平均产量 y t 之间 的关系有如下数据：
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
高中数学 第三章 统计案例章末复习课学案 北师大版选修23
第三章统计案例学习目标 1.能通过相关系数判断两变量间的线性相关性.2.掌握建立线性回归模型的步骤.3.理解条件概率的定义及计算方法.4.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.5.掌握利用独立性检验解决一些实际问题．知识点一线性回归分析1．线性回归方程在线性回归方程y＝a＋bx中，b＝____________＝____________，a＝____________.其中x ＝____________，y＝____________.2．相关系数(1)相关系数r的计算公式r＝∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2∑ni＝1y2i－n y2.(2)相关系数r的取值范围是________，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(3)当r>0时，b________0，称两个变量正相关；当r<0时，b________0，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．知识点二独立性检验1．2×2列联表设A、B为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格其中，a表示变量A取 ________，且变量B取 ________时的数据，b表示变量A取 ______，且变量B取________时的数据；c表示变量A取 __________，且变量B取 ________时的数据；d表示变量A取________，且变量B取________时的数据．上表在统计中称为2×2列联表．2．统计量χ2＝____________________.3．独立性检验当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；当χ2>2.706时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有________的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有________的把握判定变量A，B有关联．类型一线性回归分析例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程．(3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：且知x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．类型二 独立性检验思想与应用例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．反思与感悟 独立性检验问题的求解策略 χ2统计量法：通过公式 χ2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算统计量，再用以下结果对变量的独立性进行判断．(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的．(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联．(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联．(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的线性回归方程y＝bx＋a中，b( )A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内2．已知线性回归方程中斜率的估计值为1.23，回归方程过点(4,5)，则线性回归方程为( ) A．y＝1.23x＋0.08 B．y＝0.08x＋1.23C．y＝1.23x＋4 D．y＝1.23x＋53．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到χ2≈9.643，则以下说法正确的是( )A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有1%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关4．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：根据以上数据可得出( )A．种子是否经过处理与是否生病有关B．种子是否经过处理与是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关5．对于线性回归方程y＝bx＋a，当x＝3时，对应的y的估计值是17，当x＝8时，对应的y的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x＝________时，y的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确变量．(2)画出散点图，观察它们之间的关系．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．答案精析知识梳理 知识点一1.∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2y －b x 1n ∑ni ＝1x i 1n ∑ni ＝1y i2．(2)[－1,1] (3)> < 知识点二1．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d A 1 B 1 A 1 B 2 A 2 B 1 A 2 B 2 2.n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d3．90% 95% 99% 题型探究例1 解 (1)散点图如图．(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑5i ＝1x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑5i ＝1x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ＝132－5×2×1030－5×22＝3.2， a ＝y －b x ＝3.6.所以线性回归方程为y ＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝8，则y ＝3.2×8＋3.6＝29.2， 故估计2018年该城市人口总数为292万人．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 例2 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝－228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 跟踪训练2 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如下：(3)χ2＝－212×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．当堂训练1．C 2.A 3.D 4.B5．y＝x＋14 24。
高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数同步测控 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
高中数学第三章统计案例1.2 相关系数同步测控北师大版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章统计案例1.2 相关系数同步测控北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学第三章统计案例 1.2 相关系数同步测控北师大版选修2—3我夯基，我达标1。
下列结论正确的是（ )①函数关系是一种确定性关系②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A.①② B。
①②③ C.①②④ D.①②③④答案:C2。
已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本的平均值为x=4，y=5,则回归直线的方程是（）A。
y=1.23x+4 B。
y=1.23x+5C。
y=1.23x+0。
08 D。
y=0。
08x+1。
23解析:回归直线都过点(y，x），即(4，5)点,斜率为1.23。
答案：B3。
回归分析中，相关系数｜r｜值越大，则误差Q（a，b）应( ）A.越小B.越大C。
可能大也可能小 D.以上都不对解析:Q=l yy（1—r2）＞0,∴|r｜越大，Q(a，b）越小。
答案：A4.对于相关系数r，下列说法正确的是（ )A。
｜r|越大，相关程度越小B。
｜r|越小，相关程度越大C.|r|越大，相关程度越小，|r ｜越小，相关程度越大D 。
｜r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大,|r|越接近于0，相关程度越小 答案：D5.两个变量满足如下关系。
北师大版高中数学选修2-3课件：3.1.2 相关系数 3.1.3 可线性化的回归分析
预习探究
3.非线性回归问题可以通过换元法转化为线性回归问题来解决,常见曲线方 程的变换公式如下表:
曲线方程
换元
换元后的线性方程
y'=a+bx'
y=axb y'=ln y,x'=ln x y'=A+bx'(A=ln a)
y=a+bln x y'=y,x'=ln x
y'=a+bx'
备课素材
1．为什么要采用相关性检验？
考点类析
[小结] 对于非线性回归问题,我们可以利用已知数据画出散点图,把它与学过的 各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图像进行比较,挑选一种跟散点 图拟合得最好的函数,采用适当的变量变换,把问题化为线性回归问题,使之得 到解决.
考点类析
【拓展】为了研究某种细菌随天数x的变化 繁殖个数y的变化情况,收集数据如下:
新课导入
[导入一] 复习启发导入 上节课，我们已经学习了最小二乘法，并会求解变量之间的线性回归方程， 那么两个变量之间的线性相关程度还可以用什么来刻画呢？这就是我们本节 课所要学习的相关系数问题，进入课题．
新课导入
[导入二] 有关法律规定：香烟盒上必须印有“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健 康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？要回 答这样的问题，我们一起来学习本节的知识．
考点类析
考点一 变量相关关系的判断
例1 对变量x,y由观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得散点图3-1-2(1);对变量u,v由观测数据 (ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图3-1-2(2).由这两个散点图可以判断 ( ) A.变量x与y正相关,u与v正相关
2019北师大版高中数学选修2-3检测_第三章 统计案例包_1 (4)
第三章统计案例§1回归分析1.1回归分析1.B[解析]①③散点图中的点在一条直线附近,其变量具有相关关系.2.C[解析]回归直线一定经过样本点的中心,所以将样本点的中心的坐标代入方程,得b=-1,所以y=-x+3.3.A[解析]画散点图(图略),可以得到这些样本点在一条直线附近,故回顾方程最可能是线性函数.4.B[解析]计算得==2,==4.5,∵点(,)在回归直线上,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6.5.D[解析]由题意,得==4,==6,经检验,只有选项D符合.6.B[解析]==2,==2.6,将(2,2.6)代入y=bx+0.94,解得b=0.83.7.B[解析]==170,==69.因为回归直线过样本点的中心(,),所以将(170,69)代入y=0.56x+a得a=-26.2,所以线性回归方程为y=0.56x-26.2.当x=172时,y=70.12,则其体重约为70.12 kg.8.(3,10)[解析]画出散点图(图略).易知点(3,10)明显异常,其余各点均在一条直线附近.9.60[解析]=-=10,==40,则样本点的中心为(10,40),回归直线经过样本点的中心,所以40=-2×10+a,即a=60.10.11年[解析]由已知得=3,=2.34,将(3,2.34)代入y=bx-0.69,得b=1.01,当y=10时,x≈10.68,故该汽车最多可使用11年.-≈2.62,从而a=-b=28.5-2.62×6.5=11.47,所以线11.y=11.47+2.62x[解析]根据给出的数据可得=6.5,=28.5,则b=-性回归方程为y=11.47+2.62x.12.解:(1)=6,≈79.86.(2)b=-≈4.75,a=-b=79.86-4.75×6=51.36,-所以回归方程为y=4.75x+51.36.(3)当y=200时,200=4.75x+51.36,所以x≈31.29,故该店每天至少要销售32件这种服装.13.解:(1)设丢失的数据为m,则4.5+m+3+2.5=3.5×4,解得m=4,即丢失的数据是4.(2)由数据求得=7.5,则b=--=-0.7,-∴a=-b=8.75,∴y 关于x 的线性回归方程为y=-0.7x+8.75.(3)当x=10时,y=1.75,|1.75-2|=0.25<0.3; 当x=11时,y=1.05,|1.05-1.2|=0.15<0.3.∴该地区的“煤改电”项目已经达到预期.14.B [解析] 依题意可知样本点的中心为,则 =×+a ,解得a=. 15.解:(1)以频率估计概率,所求概率P=2×(0.15+0.2)=0.7. (2)根据题意,可得如下表格:则 =2, =500,x i y i =6300,=30,所以b=--=130.再由a= -b ,得a=240,故所求线性回归方程为y=130x+240.(3)下午上课时间推迟到2:20时,x=5,则y=890,890×(0.05+0.025)×2=133.5, 故家距学校的路程在6千米以上的走读生中约有133人(134人)午休.1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析1.B [解析] 由表中数据画出散点图,如图所示,由散点图可知b<0,a>0.2.D [解析] 根据相关系数的定义,变量之间的相关关系可利用相关系数r 进行判断:当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示变量x ,y 负相关;|r|越接近于1,相关程度越强;|r|越接近于0,相关程度越弱.故①②③正确.3.D [解析] 此题所给的线性相关系数r=-0.690,|r|=0.690<0.75,说明不具有很强的相关性,由相关系数为负,可知应选D .4.D [解析] 利用相关系数判断两个变量的线性相关性,相关系数的正、负体现两个变量的正相关或负相关,相关系数的绝对值越接近于1,说明两变量线性相关性越强,而0.85>0.82>0.78>0.69,所以最能体现出A ,B 两变量具有很强的线性相关性的是丁.5.D [解析] 画出散点图可知x与y 成负相关,又根据表中数据可得 = - =12, ==385,故选D .6.D [解析] 对y=ax b 两边取自然对数,得ln y=ln (ax b )=ln a+b ln x ,所以所作的变换为u=ln y ,c=ln a ,v=ln x.7.D [解析] 把x 看作自变量,y 看作其函数值,从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快. A 选项中一次函数是以一个恒定的幅度变化,其图像是直线,不符合本题的变化规律. B 选项为对数型函数,随着x 的增大y 的递增速度不断变慢,不符合本题的变化规律.C 选项为指数型函数,随着x 的增大y 的递增速度不断变快,但增长速度超出题目中y 的增长速度,不符合本题的变化规律.D 选项是二次函数,对比数据知,其最接近这组数据的变化趋势.故选D .8.a ,c ,b [解析] 图a ,c 中所有散点集中在某条直线附近,图a 中的回归直线,y 随x 的增大而增大,因此是正相关,同理c 是负相关.9.0 [解析] 由b=- --=0,得(x i - )(y i - )=0,所以r=- --- =0.10.[解析] 由r=- ---,r=.11.②⑤④③①12.解:(1)散点图如图所示,(2)由表中数据得=52.5, =3.5, =3.5,=54,∴b=0.7,∴a=1.05,∴y=0.7x+1.05. 回归直线如上图所示. 13.解: ==18, ==7.4,=142+162+182+202+222=1660,x i =14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620,所以b=--=-1.15,则c= -b =7.4+1.15×18=28.1,因此,表中数据的线性回归方程为z=-1.15x+28.1,因此细菌个数y 关于温度x 的回归方程为y=e -1.15x+28.1.14.y=e0.25x-2.58[解析]因为z=0.25x-2.58,z=ln y,所以该模型的回归方程为y=e0.25x-2.58.15.解:由题得y与μ的数据如下表所示:由上表可以得到=×(1+0.5+…+0.005)=0.224 8,=×(10.15+5.52+…+1.15)=3.14,则r=-≈0.999 8.--由于r的值非常接近于1,这表明两个变量的线性相关关系很强,从而求y与μ的回归方程有意义.又b=-≈8.98,-则a=-b=3.14-8.98×0.224 8≈1.12,所以y关于μ的回归方程为y=1.12+8.98μ.§2独立性检验2.1独立性检验2.2独立性检验的基本思想2.3独立性检验的应用1.C[解析]因为a+25=73,所以a=48.又因为a+18=b,所以b=66,故选C.2.D[解析]根据独立性检验的知识可知选D.3.D[解析]只有χ2>6.635时,才有99%以上的把握认为该电视栏目优秀与改革有关系,故选D.4.C[解析]根据χ2=-,(ad-bc)2越大,χ2的值也越大,说明X与Y之间的关系越强.5.D[解析]由χ2≈3.852>3.841,可以知道有95%以上的把握认为性别与是否爱好运动有关,因此,判断出错的可能性为5%.6.A[解析]χ2≈11.377>6.635,故选A.7.D[解析]比较|ad-bc|.A中,|10-12|=2;B中,|10-12|=2;C中,|10-12|=2;D中,|8-15|=7.故选D.8.90%0.1[解析]因为3.365>2.706,所以有90%以上的把握判定“变量A,B有关联”,犯错误的概率不超过1-90%=10%=0.1.9.1.78不能[解析]根据列联表中的数据,可以求得χ2=-≈1.78,而1.78<2.706,所以不能得出这两种手术对病人是否又发作心脏病有影响.10.0.05[解析]由χ2≈4.844>3.841可得,认为选修文理科与性别有关系出错的可能性不大于0.05.11.99%[解析]由公式χ2=-,得χ2=-≈9.67.因为9.67>6.635,所以有99%以上的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”.12.解:(1)(2)由公式得χ2=-≈10.759.因为10.759>6.635,所以有99%以上的把握认为“抽样员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的”,进而可以认为“企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的”.:(1)13.解(2)方法一,喜欢玩电脑游戏的人中认为作业多的学生所占的比例为≈66.7%,不喜欢玩电脑游戏的人中认为作业多的学生所占的比例为≈34.8%,由于两者的百分比不等,且相差比较大,由此我们可以推断喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关.方法二,χ2=-≈5.059>3.841,所以有95%以上的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关.14.1[解析]由题意知χ2=---=->2.706,易得a=1满足题意.15.解:(1)χ2=-=≈9.167>6.635,∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下,能认为成绩优秀与“翻转合作学习法”有关.(2)设从“翻转班”中抽出x人,从“对照班”中抽出y人,由分层抽样的特点可知==,解得x=4,y=2.在这6名学生中,抽出3名学生的所有抽样情况共有=20(种),其中至少有1名“对照班”学生的抽样情况有+=16(种).记事件A为“至少抽到1名‘对照班’学生”,则P(A)==.滚动习题(五)1.D[解析]由相关关系与函数关系的定义可以得到.2.D[解析]由图可以看出,在选择模型时应选择直线模型,数据D偏离回归直线最大,所以去掉D后,线性相关系数会变大,所以漏掉的数据应是数据D.3.C[解析]对于变量Y与X而言,Y随X的增大而增大,故Y与X正相关,即r1>0;对于变量V与U而言,V随U的增大而减小,故V与U 负相关,即r2<0.∴r2<0<r1.4.D[解析]由于散点图在回归分析过程中的作用是粗略判断变量是否线性相关,因此D正确.5.B[解析]对于①,两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1,①中说法正确;对于②,在回归直线方程y=-0.5x+2中,当解释变量x每增加1个单位时,预报变量y平均减少0.5个单位,②中说法正确;对于③,在对分类变量X与Y进行独立性检验时,随机变量χ2越大,则“X与Y有关系”的把握程度越大,故③中的说法错误.故选B.6.B[解析]由题意得,==4.5,因为y=0.7x+0.35,所以=0.7×4.5+0.35=3.5,所以t=4×3.5-2.5-4-4.5=3,故选B.7.A[解析]根据2×2列联表与独立性检验可知,与相差越大,X与Y有关系的可能性越大,又a,c相差越大,与相差越大,故选A.8.①③④[解析]①炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有关外,还受冶炼温度等其他因素的影响,具有相关关系;③柑橘的产量除了受气温影响以外,还受施肥量以及水分等因素的影响,具有相关关系;④森林的同一种树木,其横断面直径一般随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光照等因素的影响,具有相关关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系,不具有相关关系.9.①②⑤[解析]因为分类变量X,Y独立,所以-≈0,易得ad≈bc,故①⑤正确;②式化简得ad≈bc,故②正确;③④错误.10.y=6.5x-10[解析]不妨设线性回归方程为y=bx+a.由已知得b=6.5,又回归直线恒过点(2,3),所以2b+a=3,解得a=-10,故回归直线的方程为y=6.5x-10.11.11.8[解析]由题意知,=10,=8,∵b≈0.76,∴a=-b=0.4,∴y=0.76x+0.4,∴该社区年收入为15万元的家庭年支出约为0.76×15+0.4=11.8(万元).12.解:(1)茎叶图如图所示,(2)2×2列联表如下所示:χ2=-≈3.274<3.841,所以没有95%的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关.13.解:(1)==12.5,==8.25,∴b=-≈0.728 6,-∴a=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5,∴y=0.728 6x-0.857 5.(2)由y≤10,得到0.728 6x-0.857 5≤10,解得x≤14.901 9,∴机器的运转速度应控制在14.901 9转/秒内.--≈≈0.04.14.解:(1)x i与i(i=1,2,…,20)的相关系数r=--由于<0.25,故可以认为水稻苗的株高与抽取次序无关.(2)①由于=7.95,s≈0.294,所以(-3s,+3s)即(7.068,8.832),由样本数据可以看出,第9株水稻的株高为7.05 cm,该水稻苗为异常苗,因此需要对培育环境进行检查和修正.②剔除(-3s,+3s)之外的数据7.05,剩下数据的样本平均数为×(20×7.95-7.05)≈8.00,因此总体的均值的估计值为8.00.≈20×0.2942+20×7.952≈1265.779,剔除7.05,剩下数据的样本方差为×(1265.779-7.052-19×8.002)≈0.004,因此总体的标准差的估计值为≈0.06.。
高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学
1.2相关系数自主整理判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：（1）_______________________________________________________________. （2）_______________________________________________________________. 高手笔记1.假设两个随机变量的数据分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)，…，（x n ，y n ），则变量间线性相关系数r 的计算公式为r=∑∑∑∑∑∑======---==---=ni i ni i ni ii ni in i ii ni iyyxx xy yn y xn x yx n yx y yx xy y x xl l l 122122121121)()()()(2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高. （2）|r|值越接近0,Q 越大,变量之间的线性相关程度越低. (3)当r ＞0时,l xy ＞0,b=xxxy l l ＞0,两个变量正相关.当r ＜0时,l xy ＜0,b=xxxy l l ＜0,两个变量负相关.当r=0时,两个变量线性不相关. 名师解惑如何用变量间线性系数r 来恒量两变量间的线性相关程度的大小? 剖析：误差Q(a ，b ）=∑=ni 1［y i -(a+bx i )］2=l yy +n ［y -(a+b x )］2+l xx (b-xxxy l l )2-xxxyl l 2.当b=xxxy l l ,a=y -b x 时，Q （a ，b ）最小=l yy -xxxyl l 2=l yy （1-yyxx xyl l l 2）=l yy ·（1-r 2）.∵Q (a,b)≥0，∴1-r 2≥0，即r∈［-1，1］.（1）|r|值越大，1-r 2越接近于0，误差Q （a ，b ）越小，两变量之间的线性相关程度越高.（2）|r|值越接近于0，1-r 2越大，误差Q （a ，b ）越大，两变量之间的线性相关程度越低. （3）当r=0时，两变量线性不相关. 讲练互动 【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x （克/解：列表如下x =7=24,y =7, r=2712712271777yy xx yx yx l l l i i i i i ii yyxx xy ---=∑∑∑====22)794.202(758922474144794.20224716.4900⨯-⨯-⨯⨯-=0.96. 由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱. 变式训练(2)用最小二乘估计求线性回归方程；(3)求相关系数r,并作出评价. 解:(1)略. x =5=109，y =5=23.2，b=15703081095609752.2310951295252251251=⨯-⨯⨯-=--∑∑==xx yx yx i i i ii=0.196， a=y -b x =23.2-0.196×109=1.836. ∴回归方程为y=1.836+0.196x ，（3）r==---∑∑∑===5122251251555i ii i i iiy yxx yx yx6.6515703082.2358.27561095609752.2310951295222⨯=⨯-•⨯-⨯⨯-=0.96，拟合程度较高. 【例题2】为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示.（1）试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ （2）求相关系数r.x =10=158.8，y =159.1， b=6.472.378.158102522221.1598.158102526881010221012101=⨯-⨯⨯-=--∑∑==x x yx yx i i i ii ≈0.78，a=y -b x =159.1-0.78×158.8=35.∴回归直线方程为y=35+0.78x.当x=161时,y=160.58 cm,即女儿身高为160.58 cm.（2）r=2101221012101101010yy x x yx yx i i i i i ii-•--∑∑∑=====⨯-⨯-⨯⨯-221.159102531858.15810222.2521.1598.158********9.566.472.37⨯≈0.715.绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x 与y 的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际价值了，它也就不能反映变量x 与y 之间的变化规律.只有在x 与y 之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可以用于预测取值的情况. 变式训练（2）预测x=25时y 的取值； (3)求线性相关系数r. 解：x =8，y =49.7，b=21013228108507.4981052981010210122101=⨯-⨯⨯-=--∑∑==i ii iixxy x yx ≈6.3， a=y -b x =49.7-6.3×8=-0.7，∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x. 当x=25时,y=156.8，r=2101210122101101010yy xx yx yx i i i i i ii---∑∑∑====227.4910331498108507.498105298⨯-⨯-⨯⨯-=0.992 5.x 与y 之间有很强的线性相关性.。
高中数学第三章统计案例模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i xi yi 1 70 5. 1 2 74 6. 0 444 10 108 11. 0 3 80 6. 8 544 11 115 11. 8 4 78 7. 8 608. 4 12 123 12. 2 5 85 9. 0 765 13 130 12. 5 6 92 10. 2 938. 4 14 138 12. 8 7 90 10. 0 900 15 145 13. 0 8 95 12. 0 1 140
������ = ������-����������������� , ������)称为样本点的中心. ������ ������ =1
知识网络
要点梳理
(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类 变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数 列联表(称为2×2列联表)为
xi2 =161 125,
15
i=1
∑ ������������2 =1
628. 55, ∑ xi yi =16 076. 8.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题一 回归分析 【例1】 蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均 使用氮肥量x kg与每单位面积蔬菜年平均产量y t之间的关系有如 下数据: