我所认识的应力应变关系

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。

物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。

则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。

在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。

所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。

有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。

由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。

这样的一组方程即所谓的本构方程。

讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。

一．典型应力-应变关系图1-1 典型应力-应变曲线1） 弹性阶段（OC 段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。

该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。

2）塑性阶段（CDEF 段）CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。

CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。

超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。

这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。

这一现象称为“颈缩”（necking ）。

此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。

这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。

该阶段应力和应变的关系：)(εϕσ=。

3）卸载规律如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。

在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。

如果用OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有p e εεε+= (1-1)即总应变等于弹性应变加上塑性应变。

该阶段应力和应变的关系满足εσ∆=∆E 。

4）卸载后重新加载DO ′段若在卸载后重新加载，则σ—ε曲线基本上仍沿直线O ′D 变化，直至应力超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。

由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化（简称为硬化）现象。

为了与初始屈服相区别，我们把继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点D 称为后继屈服点，相应的应力称为后继屈服应力，并σS ′用表示。

显然，由于硬化作用，σS ′＞σS ，而且与σS 不同，σS ′不是材料常数，它的大小与塑性变形的大小和历史有关。

5）卸载全部载荷后反向加载如果在完全卸载后施加相反方向的荷载，譬如由拉伸改为压缩，则σ—ε曲线上弹性阶段OC 段沿曲线OA ′变化，有()()-+=s s σσ。

DO ′D ′段沿DO '的延长线下降，开始是呈直线关系，但到达D ″点后又开始进入屈服，此时()()-+≥''s s σσ，即出现反方向的屈服应力降低的现象，这种现象称为Bauschinger 效应。

这个效应说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。

这样，即使是初始各向同性的材料，在出现塑性变形之后，就变为各向异性。

虽然在多数情况下为了简化而忽略Bauschinger 效应，但对有反复加载和卸载的情形，必须予以考虑。

二．屈服条件研究材料的塑性特性时，首先要弄清楚材料什么时候进入塑性变形阶段，即什么时候达到屈服。

固体在载荷作用下，最初处于弹性状态，随着载荷逐步增加至一定程度使固体内应力较大的部位出现塑性变形，固体由初始弹性状态进入塑性状态的过程就是初始屈服。

需要找到确定材料初始弹性状态的界限的准则，这个准则就称为初始屈服条件，简称屈服条件。

1.屈服函数与屈服曲面在简单应力状态下，如前面所述的应力应变关系曲线可知，当固体内部应力达到初始屈服极限时将产生初始屈服。

在复杂应力状态下，一般屈服条件可以表示为应力分量、应变分量、时间t 和温度T 的函数，它可写成：(,,,)0ij ij f t T σε= （3-1）不考虑时间效应和接近常温的情况下，时间t 和温度T 对塑性状态没什么影响，在初始屈服之前，应力和应变之间具有一一对应关系，所以应变分量ij ε可以用应力分量ij σ表示，因此屈服条件就仅仅是应力分量的函数了，它可表示为：()0ij f σ= （3-2）以应力张量的六个分量为坐标轴，就建立起一个六维应力空间，屈服函数()0ij f σ=表示应力空间中的一个曲面，即屈服曲面（简称屈服面）。

当应力点ij σ位于该曲面之内时（即()0ij f σ<），材料处于弹性状态；当应力点位于此曲面上时（即()0ij f σ=），材料由初始弹性开始屈服；如果应力进一步增加，材料进入塑性状态。

假设：1)材料是初始各向同性的。

屈服函数与坐标的选取无关，它可写成应力张量不变量的函数123(,,)0f I I I = （3-3）或写成主应力的函数123(,,)0f σσσ= （3-4）2)平均应力（静水应力）不影响塑性状态。

屈服函数只应与应力偏量的不变量有关，即''23(,)0f J J = （3-5）或者写成只是应力偏量主值的函数123(,,)0f S S S = （3-6）这个假设对金属材料成立，但对于一些非金属材料，如混凝土、岩石等则不成立。

通过第一个假设，屈服面由六维空间中的一个超曲面简化为三维主应力空间中的一个曲面；通过第二个假设，屈服面简化为一条曲线。

在主应力空间中，固体一点的应力状态可以用一个矢量OP 来描述（图3-5），矢量OP 可写为：123OP i j k σσσ=++ （3-7）分解成为偏量部分与球量部分有：123()m m m OP S i S j S k i j k OQ ON σσσ=+++++=+ （3-8）有上述第二个假定，ON 与材料的塑性状态无关。

从几何上看ON 与123,,σσσ轴的夹角相等，且正交于过原点的一个平面，这个平面的方程为：1230σσσ++= （3-9）这个平面平均应力等于0，习惯称之为π平面。

根据第二个假定，在主应力空间中，屈服面必定是一个垂直与π平面的等截面的柱面，它的母线与矢量ON 平行。

屈服面是一个等截面的柱面，它在任意垂直与ON 的平面上的投影曲线都是一样的，研究这个柱面的特征，只要研究它在π平面上的投影曲线即可，这条投影曲线称为屈服曲线。

2.常用屈服条件（1）Tresca 屈服条件1864年，法国人Tresca 做了一系列的金属挤压试验来研究屈服条件。

根据实验，他提出假设：当最大剪应力达到某一极限值时，材料发生屈服。

这个条件称为Tresca 屈服条件，也称为最大剪应力条件。

m a x k τ= （3-10）k 是和屈服有关的材料常数，可由单向拉伸实验或纯剪切实验确定。

（2）Mises 屈服条件Tresca 屈服条件在π平面上的几何图形是一个正六边形，它的六个顶点是由试验得到的，但是连接这六个点得直线却是假设的，而且Tresca 正六边形的角点也给问题的数学处理带来了不便。

在1913年，Mises 提出采用一个圆来连接Tresca 正六边形的六个顶点可能更加合理，它可以避免由于屈服曲线不光滑而造成的数学困难。

Mises 提出的屈服条件为：2J C = （3-11）其中，C 也是和材料性质有关的一个常数。

它可通过实验确定。

若做简单拉伸实验，则材料屈服时有21231,0,3s s J C σσσσσ=====，所以： 213s C σ= （3-12）若做纯剪实验，则材料屈服时有21232,0,s sJ Cσστστ=-====，所以2sCτ=（3-13）对大多数材料，实验证明Mises屈服条件比Tresca屈服条件更接近实验结果。

三．加载条件加载和卸载准则1．理想塑性材料加载和卸载由于理想塑性材料的加载面和屈服面总是保持一致，所以，加载函数和屈服函数可以统一表示为它们均与塑性变形的大小和加载历史无关。

于是，在荷载改变的过程中，如果应力点保持在屈服面上，即df=0，此时塑性变形可以任意增长，就称为加载。

当应力点从屈服面上退回屈服面内，即df<0，就表示变形状态从塑性变为弹性，此时不产生新的塑性变形，称为卸载。

理想塑性材料的上述加载和卸载准则，可以用数学形式表示为2.强化材料加载、卸载。