苏教版高一数学幂函数
苏教版数学高一必修1素材 3.3幂函数要点精析
3.3 幂函数要点精析1．幂函数的一般形式为y = xα，其中x 是自变量，α是常数，其定义域是使xα有意义的x值的集合．幂函数的定义域随幂指数的变化而变化，所以应根据各种幂指数的意义来确定幂函数的定义域．2．由幂函数定义可知，函数y = 2x2、y = x2－1等都不是幂函数．反比例函数y=kx(k≠0)，一次函数y = kx＋b (k≠0)，二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)中，分别当k = 1，k = 1且b = 0，a = 1且b = c = 0时，即y = x1-，y = x，y = x2是幂函数，当这些条件不具备时，它们均不符合幂函数的定义，但它们是由幂函数经过算术运算而得到的初等函数．3．幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．4．幂函数的图象和性质：幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要幂指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生和大的变化．⑴幂函数的图象都过点(1，1)，除原点外，任何幂函数的图象与坐标轴都不相交．当α= 1，3和－1时，幂函数y = xα的图象在第一或第三象限；当α= 2时，幂函数y = xα的图象在第一或第二象限；α=12时，幂函数y = xα的图象在第一象限．就是说，任何幂函数的图象一定经过第一象限且一定不经过第四象限．⑵当α= 1，2，3，12时，幂函数图象过原点，且在[0，＋∞)上是增函数，此性质还可以推广到当α＞0时也成立．⑶当α=－1时，幂函数图象不过原点，且在(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，函数y = x1-的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．(若再用描点法做出α=－2或α=－3等函数的图象，还可以得到α=－1时的幂函数图象的性质就是α＜0时的幂函数图象的基本性质)．⑷按照函数奇偶性定义，函数y = x、y = x3和y = x1-都是奇函数，函数y = x2是偶函数，由于函数y = x 12的定义域关于原点不对称，函数在其它象限无图象，只在第一象限有图象，所以函数y = x 12是非奇非偶函数．⑸任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．5．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同，且幂的底数为正数，分别比较，并且注意分别与0与1，与－1比较，从而确定大小关系．6．利用幂函数知识解题时，要注意数形结合，并且注意幂函数的图象在第一象限内凸凹情况需和直线y = x比较．作幂函数的图象关键是利用幂函数的有关特性先作出在第一象限内的图象，然后再根据定义域、值域以及奇偶性作出在其它象限内的图象(如果存在的话)．。
苏教版高中数学必修一第课时——幂函数教师
第二十七课时 幂函数（1）【学习导航】知识网络学习要求1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；； 2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想．自学评价1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点(1,1)；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上单调递增；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 单调递减；（3）当2,2α=-时，幂函数是 偶函数 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 奇函数 ．【精典范例】例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x = （2）12y x =（3）2y x -= （4）22y x x -=+ （5）1122y x x-=+ （6）1124()3()f x x x =+-分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域； 【解】（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=-Q∴此函数为奇函数．（2）12y x x ==∴此函数的定义域为[0,)+∞Q 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数．（3）221y xx-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2211()()()f x f x x x-===-Q∴此函数为偶函数 （4）22221y x xx x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞222211()()()()f x x x f x x x-=-+=+=-Q ∴此函数为偶函数 （5）1122y x xx x-=+=∴此函数的定义域为[0,)+∞Q 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数 （6）11424()3()3f x x x x x=+-=-00x x ≥⎧∴⎨-≥⎩0x ∴=∴此函数的定义域为{0}∴此函数既是奇函数又是偶函数点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．例2：比较大小： （1）11221.5,1.7（2）听课随笔33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路． 【解】（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数，1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<， ∴30.53log 0.50.53<<点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小．追踪训练一1．在函数（1）21,y x=（2）22,y x =（3）2y x x =+，（4）1y =中，是幂函数序号为 （1） ．2.已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式； 答案：12y x =3．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．答案：[1,3)【选修延伸】一、幂函数图象的运用例3：已知122x x <，求x 的取值范围． 【解】在同一坐标系中作出幂函数2y x =和12y x =的图象，可得x 的取值范围为(0,1)．点评:数形结合的运用是解决问题的关键．二、幂函数单调性的证明例4: 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 【解】证：设120x x ≤<， 则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <Q120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x < ∴此函数在[0,)+∞上是增函数追踪训练二1．下列函数中，在区间(0,2)上是单调增函数的是 （ B ） A ．12log (1)y x =+ B ．12y x = C ．12y x =- D ．1()2xy =2．函数122(1)y x =-的值域是 （ D ）A ．[0,)+∞B ．(0,1]C ．(0,1)D ．[0,1]3．若1122a a -<，则a 的取值范围是 （ C ） A ．1a ≥ B ．0a > C ．01a <<D ．01a ≤≤ 4．证明：函数3()1f x x =--在(,)-∞+∞上是减函数． 证：略．听课随笔。
苏教版必修一.《幂函数》ppt
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所 以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
（1）y=x
2 5
（2）y=x
1 3
3
（3）y=x 4
（4）y=x-2
2、已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2),
试 求 出 这 个 函 数 的 解 析式.
解 : 设 所 求 幂 函 数 为y x ,
因 为 函 数 过 点(2, 2 ),所 以 2 2 ,
所 以 log2
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
形的边长a
1
S2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是: y x
定义
一 般 地,函 数y x叫 做 幂 函 数,其 中x是 自 变 量,
看看未知数x是指数还是底数
苏教版数学高一苏教版必修13.3幂函数
主动成长 夯基达标 1.若f （x ）＝（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）为奇函数，则m 、n 的值为( )A ．m ＝1，n ＝2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝±1，n ＝2D ．m ＝±1，n ∈R思路解析：f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ），即无论x 取何值,（m 2－1）x 2-（m －1）x ＋n －2＝－［（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）］都成立,即2（m 2－1）x 2＋2（n －2）＝0．∴⎩⎨⎧=-=-.02,012n m ∴⎩⎨⎧=±=.2,1n m 答案：C2.下列函数中是幂函数的是( )A.y =x xB.y =3x 21C.y =x 21+1D.y =x-2 思路解析：根据幂函数的基本形式为y =x n 易得到答案.答案：D3.幂函数y =x n (n ∈Q )的图象一定经过点( )A.(0,0)B.(1,1)C.(-1,-1)D.(0,1)思路解析：本题主要考查了幂函数的图象的性质.答案：B4.设f （x ）为偶函数，对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f （2＋x ）＝－2f （2－x ），已知f （－1）＝4，那么f （－3）等于 …( )A.2B.-2C.8D.-8思路解析：∵f （x ）为偶函数，∴f （－1）＝f （1）＝4．∴令x ＝1，得f （3）＝－2f （1）＝－2×4＝－8．答案：D5.幂函数f (x )的图象过点(2，516)，则函数的解析式是( )A.f (x -2)=(x -2)45B.f (x -2)=x 45-2C.f (x -2)=x 54-2D.f (x -2)=(x -2)54思路解析：可以先求f (x )的表达式，然后再去求f (x -2)的表达式. 设f (x )=x a ,则516=2a,∴254=2a . ∴a =54.∴f (x )=x 54.因此f (x -2)=(x -2)54. 答案：D 6.比较(54)21和(109)31两个数的大小. 思路解析：使用幂函数的图象以及性质.∵54<109,21>0, ∴根据幂函数的单调性，有(54)21<(109)21. 又0<109<1, 21>31, ∴根据指数函数的单调性，有(109)21<(109)31. ∴综上可知(54)21<(109)31. 解：(54)21<(109)31. 7.已知函数f (x )=(a -1)x a 2+a -1，那么当a ＝ 时，f （x ）为正比例函数，当a ＝ 时，f （x ）为反比例函数；当a ＝ 时，f （x ）为二次函数；当a ＝ 时，f （x ）为幂函数．思路解析：（1）当⎩⎨⎧=-+≠-11,012a a a 即a ＝－2时，f （x ）为正比例函数； （2）当⎩⎨⎧-=-+≠-11,012a a a 即a ＝0或a ＝－1时，f （x ）为反比例函数；（3）当⎩⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a =2131±-时，f （x ）为二次函数； （4）当a －1＝1，即a ＝2时，f （x ）是幂函数．答案：－2 0或－12131±- 2 8.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，则b ＋c＝ ．思路解析：∵f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，∴b ＝0．∵g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，∴c －2＝0，即c ＝2．∴b ＋c ＝0＋2＝2．答案：29.证明函数y =x 21-1在［0,+∞)上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=(1x -1)-(2x -1)=1x -2x =2121x x x x +-. 因为x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2,所以x 1-x 2<0，1x +2x >0.所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在［0,+∞)上是增函数.10.某公司产值最初为m 万元，以后连续三年持续增长，这三年的增长率分别为a ,b ,c ,求这三年的平均增长率.思路解析：第一年的产值为m (1+a ),第二年的产值为m (1+a )(1+b ),第三年的产值为m (1+a )(1+b )(1+c ),如果设平均增长率为x ,则第三年的产值也为m (1+x )3.解：设这三年的平均增长率为x ,依题意，得m (1+x )3=m (1+a )(1+b )(1+c ).解得x =()()()11113-+++c b a .答：这三年的平均增长率为x =()()()11113-+++c b a .11.已知幂函数f (x )=x m 2-2m -3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数.求函数f (x )的解析式.思路解析：因为f (x )是偶函数，故m 2-2m -3是偶数.又f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，故m 2-2m -3<0,可解得-1<m <3,而m ∈Z.则只有m =1.所以有f (x )=x -4.解：f (x )=x -4.走近高考12.已知x ∈N *,f (x )=()⎩⎨⎧〈+≥-.3,2,3,352x x f x x 其值域设为D ，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D 的元素是 .（写出所有可能的数值）思路分析：代入解方程可得.答案：-26,14,6513.函数f (x )=(m 2-m -1)x m 2+m -3是幂函数，且当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）是增函数，求f （x ）的解析式．解：根据幂函数定义，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1．当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，＋∞）上是增函数；当m ＝－1时，f （x ）＝x －3在（0，＋∞）上是减函数，不合要求．故f （x ）＝x 3．14.设f (x )=cbx ax ++12（a 、b 、c 为自然数）为奇函数，且f （1）＝2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值．解法一：∵f （x ）为奇函数，∴f （x ）＋f （－x ）＝0．∴(ax 2+1)(c bx +1+bx c -1)=0． ∴(ax 2+1)·()()bx c c bx c -+2=0对一切定义域内的x 成立． ∴f (x )=c bx ax ++12∵f （1）＝2，∴ba 1+=2． 又∵f （2）＜3，∴b a 214+<3． 消去a ，得b <23． 又∵b ∈N *，∴b ＝1，从而a ＝1．∴a ＝b ＝1，c ＝0．解法二：设g （x ）＝a x 2＋1，φ（x ）＝bx ＋c ．∴g （－x ）＝a （－x ）2＋1＝ax 2＋1＝g （x ）．∴g （x ）为偶函数．由f (x )=()()x x g ϕ，得φ(x )=()()x f x g ． ∵f （x ）是奇函数，g （x ）为偶函数， ∴φ(-x )=()()x f x g --=()()x f x g -=-()()x f x g =-φ(x )． 因此φ（x ）一定是奇函数．由φ（－x ）＝－φ（x ），得c ＝0．由f (1)=2由①得a ＝2b －1，代入②解得b <23． 又b ∈Z +，故b ＝1，从而a ＝1． 综上，a ＝b ＝1，c ＝0．15.已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x51(7+3t -2t 2),t ∈Z 是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t 的值和函数f (x )的解析式. 思路解析：关于幂函数y =x n (n ∈Q ,n ≠0)的奇偶性问题，设n=q p (|p |,|q|互质),当q 为偶数时，p 必为奇数.y =x q p是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y =x q p 的奇偶性与p 的奇偶性对应.解：∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1.∴t =-1,1或0.当t =0时,f (x )=x 57是奇函数.当t =-1时,f (x )=x 52是偶函数.当t =1时,f (x )=x 58是偶函数.且52，58都大于0，在(0,+∞)为增函数. 故t =1，且f (x )=x 58或t =-1且f (x )=x 52.。
新教材苏教版数学必修第一册课件6.1 幂函数
第六
章
幂函数、指数函数和对数函数
6．1 幂函数
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，结合 y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝ x，y＝ 数学抽象、直观想象、
x3 的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数
逻辑推理
研究下列 3 个问题： ①如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克，那么她需要支付 p＝w 元， 这里 p 是 w 的函数； ②如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 S＝a2，这里 S 是 a 的函数； ③如果某人 t s 内骑车行进了 1 m，那么他骑车的平均速度 v＝t－1 m/s，这里 v 是 t 的函数．
[跟踪训练]
1
1
1．若(3－2m) 2 ＞(m＋1) 2 ，求实数 m 的取值范围．
1
3－2m≥0，
解：因为 y＝x 2 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以m＋1≥0，
解得－1≤m
3－2m＞m＋1，
＜23.
故实数 m 的取值范围为－1，23.
2．已知幂函数 f(x)＝x－2m2－m＋3，其中 m∈{x|－2<x<2，x∈Z }，满足： (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的 x∈R ，都有 f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1)，(2)的幂函数 f(x)的解析式，并求 x∈[0，3]时，f(x)的值域．
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.3 幂函数
3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增 增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点 都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) ★★答案★★：(1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1★★答案★★：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________． ★★答案★★：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． ★★答案★★：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【★★答案★★】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数， 则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】 因为图象与x ，y 轴都无交点， 所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.★★答案★★：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432， 又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别 函数名称 解析式 解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0， 且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸； 当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [★★答案★★] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1★★答案★★：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3★★答案★★：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. ★★答案★★：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限． ★★答案★★：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0， 则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (a 2＋3)<f (3)， 即(a 2＋3)－1<3－1， 故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减， 故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0.★★答案★★：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．★★答案★★：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. ★★答案★★：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， 所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *， 所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去． 当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1， 此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ， 所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )， 所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数， 所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．★★答案★★：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又因为m ∈Z ， 所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为－3＜0， 所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， 所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， 所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0， 所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)． 解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。
苏教版高中数学必修1幂函数教案1
幂函数教学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。
情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。
教学重点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。
难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。
教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。
教学准备：多媒体课件，几何画板。
教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。
学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。
教学程序与环节设计：的函数，其中x是自变量，是α常数。
函数与指数函数的异同。
组织探究材料一：幂函数定义及其图象。
一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数。
例1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y =1x2（2）y=2x2 （3）y=x2 + x（4）y = 2x （5）y=1下面我们举例学习这类函数的一些性质。
利用几何画板作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．师：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。
引导学生注意辨析。
生：观察所图象，体会幂函数的变化规律。
归纳概材料二：幂函数的图象变化规律归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都经过点（1，1）；（2）当0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在第一象限图象逐渐上升；当0<α时，幂函数的图象在第一象限逐渐下降。
在第一象限内，当x从右边趋向原点时，师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律和性质。
高一数学苏教版必修一：3.3幂函数
一、填空题1. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(4，2)，则k＋α＝__________．【★答案★】【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f(4)＝2，所以4α＝2，解得α＝，从而k＋α＝.2. 已知二次函数f(x)＝2x2－mx＋3.若f(－4)＝f(0)，则f(1)的值为________．【★答案★】13【解析】∵ f(－4)＝f(0)，∴ f(x)图象的对称轴为直线x＝－2，∴＝－2，∴ m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴ f(1)＝2＋8＋3＝13.3. 设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)的值为________．【★答案★】112【解析】令f(x)≤0，得3≤x≤20.∴当3≤x≤20时，g(x)＝f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(3)＝g(4)＝g(5)＝g(6)＝0.∴ g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＝g(1)＋g(2)＝2f(1)＋2f(2)＝112.4. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式是f(x)＝________．【★答案★】－2x2＋4【解析】f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，由已知条件ab＋2a＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，则因此f(x)＝－2x2＋4.点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是__________．【★答案★】y＝－x2＋2x＋8【解析】设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴方程为x＝1，当x＝1时，y max＝－9a＝9，∴ a＝－1，∴ y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.6. 设α∈，则使幂函数f(x)＝xα的图象分布在一、三象限，且在(0，＋∞)上为减函数的α取值个数为__________个．【★答案★】1【解析】只有α＝－1适合题意．7. 若图象过点(1，0)的二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为0，＋∞)，则a＝__________．【★答案★】2【解析】由题意抛物线的对称轴方程是x＝1，所以a＝2.8. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为________．【★答案★】(2－，2＋)【解析】易知f(a)＝e a－1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.9. 设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中是真命题的有________．(填序号)①当b>0时，函数f(x)在R上是单调增函数；②当b<0时，函数f(x)在R上有最小值；③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0可能有三个实数根．【★答案★】①③④【解析】由于函数的单调性与常数项无关，所以可取c＝0，此时f(x)＝|x|x＋bx(b>0)是奇函数，且在0，＋∞)上显然是增函数，即知①正确；取b<0，c＝0，结合图象即知②错误，④正确；由于y＝|x|x＋bx是奇函数，其图象关于原点(0，0)对称，所以f(x) 的图象关于点(0，c)对称，所以③正确．10. 已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数y＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D.若AB＝BC，则实数t的值为____________．【★答案★】－学￥科￥网...二、解答题11. 已知函数f(x)＝x2＋a，x∈R.(1) 对任意x1，x2∈R，比较f(x1)＋f(x2)]与f的大小；(2) 若x∈－1，1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．【★答案★】（1）见解析（2）－1≤a≤0.【解析】试题分析：（1）作差后配方，根据平方数非负得证（2）根据绝对值定义将不等式转化为对应函数最值：，求对应函数最值可得实数a的取值范围．试题解析：解：(1) ∵ 对任意x1，x2∈R， f(x1)＋f(x2)]－f＝(x1－x2)2≥0，∴f(x1)＋f(x2)]≥f.(2) 由|f(x)|≤1，得－1≤f(x)≤1，即－1≤x2＋a≤1，得解得－1≤a≤0.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.12. 已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1) 求m的值；(2) 求函数g(x)＝h(x)＋在x∈上的值域．【★答案★】（1）0（2）试题解析：解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)为奇函数，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，则x＝－t2＋，t∈0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域为.13. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，且f(2)＝15.(1)求函数f(x)的解析式；(2) 令g(x)＝(2－2m)x－f(x)．①若函数g(x)在x∈0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g(x)在x∈0，2]上的最小值．【★答案★】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2.②见解析【解析】试题分析：（1）设二次函数一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入条件化简，根据恒等条件得2a＝－2，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2.再根据f(2)＝15，求c（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.试题解析：解：(1) 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝－2x＋1，∴ 2a＝－2，a＋b＝1，∴ a＝－1，b＝2.又f(2)＝15，∴ c＝15.∴ f(x)＝－x2＋2x＋15.(2) ①∵ f(x)＝－x2＋2x＋15，∴ g(x)＝(2－2m)x－f(x)＝x2－2mx－15.又g(x)在x∈0，2]上是单调函数，∴对称轴x＝m在区间0，2]的左侧或右侧，∴ m≤0或m≥2.② g(x)＝x2－2mx－15，x∈0，2]，对称轴x＝m，当m＞2时，g(x)min＝g(2)＝4－4m－15＝－4m－11；当m＜0时，g(x)min＝g(0)＝－15；当0≤m≤2时，g(x)min＝g(m)＝m2－2m2－15＝－m2－15.综上所述，g(x)min＝点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.。
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苏教版高一数学幂函数
幂函数教案（第一课时）
无锡市八士中学李强
教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。
本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。
组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。
对于幂函数，只需重点掌握这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。
学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
教学目标：
㈠知识和技能
1．了解幂函数的概念，会画幂函数，，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2．了解几个常见的幂函数的性质。
㈡过程与方法
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识
图能力。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
㈢情感、态度与价值观
1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中
处处有数学，激发学生的学习兴趣。
2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点
常见幂函数的概念和性质
教学难点
幂函数的单调性与幂指数的关系
教学过程
一、创设情景，引入新课
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她
需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？
（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S
是a的函数。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V
是a的函数。
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里
a是S的函数
问题5：如果某人s内骑车行进了km，那么他骑车的速度，
这里v是t的函数。
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上
几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都
是变量)
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果
让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题）
二、新课讲解
（一）幂函数的概念
如果设变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎
样的一些具体的函数式？
这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给
出幂函数的一般式吗？
这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？
幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾
指数函数的概念）
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类
重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数
对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数
试一试：判断下列函数那些是幂函数
（1）（2）（3）（4）
我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前
面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应
该研究什么呢？（研究图象和性质）
（二）几个常见幂函数的图象和性质
在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在
同一坐标系中画出它们的图象。
根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。
定义域值域奇偶性单调性定点图象范围
【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共
同性质。
（1）函数的图象都过点
（2）函数在上单调递增；
归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。
(演示几何画板制作课件：幂函数.asp)
请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
（利用drawtools软件作图研究）归纳：时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。
（三）例题剖析
【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
（1）（2）（3）
分析：根据你的学习经历，你觉得求一个函数的定义域应该从哪些方面来考虑？
方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域。
（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；
（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；（3） 0的0次幂没有意义；
（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。
结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据"偶次根号下非负"这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域。
归纳分析如果判断幂函数的单调性（第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系）
【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上""或""）
(1) ________(2)________
(3)__________(4)____________
分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小
三、课堂小结
1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别
2、常见幂函数的图象和幂函数的性质。
四、布置作业
㈠课本第73页习题2.4第1、2、3题
㈡思考题：根据下列条件对于幂函数的有关性质的叙述，分别指出幂函数的图象具有下列特点之一时的的值，其中（1）图象过原点，且随的增大而上升；
（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随的增大而下降；
（3）图象关于轴对称，且与坐标轴相交；
（4）图象关于轴对称，但不与坐标轴相交；
（5）图象关于原点对称，且过原点；
（6）图象关于原点对称，但不过原点；
检测与反馈姓名
1、下列函数中，是幂函数的是（）
A、B、C、D、
2、下列结论正确的是（）
A、幂函数的图象一定过原点
B、当时，幂函数是减函数
C、当时，幂函数是增函数
D、函数既是二次函数，也是幂函数
3、下列函数中，在是增函数的是（）
A、B、C、D、
4、函数的图象大致是（）
5、已知某幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为_______________________
6、写出下列函数的定义域，并指出它们的单调性：（1）（2）（3）
同伴评（优、良、中、须努力）
自评（优、良、中、须努力）
教师评（优、良、中、须努力）。