关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
4 6
Q3
2 1
3、用割集矩阵Q表示的KCL的矩阵形式
②
Qi=0
（支路电流 i=[i1 i2
Q1 i1 i2 i3 i4 i5 i6
①
3
6 2
4
Q3
③
… ib]T）
0 1 0 1 0 0 0 1
-1 -1 1 Qi = 1 0 0
④
1
5
Q2
-1 -1 0 -1
-i1 -i2 +i3
= i1 +i4 +i5 -i1 -i2 -i4 +i6 =0 即：属于一个割集的所有支 路电流的代数和等于零
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 -1 -1 -1
ut1 ut1 ut2 = ut3 ut2 ut3 -ut1+ ut2- ut3 -ut1- ut3 ut2- ut3
四、割集矩阵
• 设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。 • 支路与割集的关联性质可用割集矩阵描述。
•
下面仅介绍独立割集矩阵，简称割集矩阵。
割集方向： 移去割集所有支路，G被分割成两部分
后， 从其中一部分指向另一部分的方向。
每一个割集只有两个可能的方向。
1、独立割集矩阵（简称割集矩阵）
1 2 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0
4 5 0 -1 0 0 1 -1
6 1 1 1
i=BTil=
i1 i2 i3 i4 i5 i6
=
1 0 1 0 -1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 1
il1 il2 = il3
il1 il2 il1+ il2 il3 -il1 -il3 il1 +il2 +il3
例如：
3 ① 2
②
4
独立回路数为3，选其中一组
3 3 6 4
6
④ 1 5
③
2
5 2
6
6
3
5
1
1
1 B= 2 3
1 1
0
2 0
1
3 1
1
4 5 0 -1
0 0
6 1
1
0
0
0
1 -1
1
2、基本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回 路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用Bf表示。 写Bf时，注意安排其行列次序如下： 1、把l条连支依次排列在对应于Bf的第1到第l 列， 然后再排列树支； 2、取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号，（二者要一致） 3、以该连支的方向为对应的回路的绕行方向， Bf中将出现一个l 阶的单位子矩阵， 即有
il=[il1 il2 … ill]T
各支路电流 i=BTil =
i1 i2
。 。 。
in
上式表明电路中各支路电流可以用与该支路关联 的所有回路中的回路电流表示，这正是回路电流法的 基本思想。
例如： 3
① 2
② 4 6 ④ 5 1 ③
3
6
3
4
2
5 2
6
6
3
5
1
1
1 用矩阵B表示的KCL的矩阵形式：B = 2 3
u=Qf ut
上式表明电路的支路电压可以用树支电压（割 集电压）表示，这就是割集电压的基本思想。
② 3 ① 2 ④ 1
3
选支路3、5、6为树支
4 ③ 5
1 2
6
割集 (树支)电压 ：ut=[ut1 ut2 ut3]T
支路电压u=[u3 u5 u6 u1 u2 u4]T3Leabharlann 5u=QfTut=
6 1 2 4
§15.2 关联矩阵、回路矩阵、 割集矩阵
一、有向图
电路的图是电路拓扑 结构的抽象描述，若图中每 一支路都赋予一个参考方向， 它成为有向图。
②
i3
① i6
i4 ③
有向图的性质可以用 关联矩阵、回路矩阵和割集 矩阵描述。
i2 i1
④
i5
二、关联矩阵
1、支路和结点关联 设一条支路连接于某两个结点，则称该支路 与这两个结点相关联。 2、关联矩阵 设有向图的结点数为n，支路数为b，且所有 结点与支路均加以编号。 于是，该有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶 的矩阵，用Aa表示。 它的行对应结点，列对应支路。 它的任一元素ajk定义如下：
上式表明电路中的各支路电压可以用与该支 路关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点 电压法的思想。
例如：
3 ① 2
② 4 6 ④ 5 ③
④是参考节点，电压为零
A=
-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 u= ATun -un1 +un3 -un1 un1 -un2 -un2 +un3 un3 un2
5、用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 电路中的b个支路电压可以用一个b阶列向量表示 (n-1) 个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示
u=[u1 u2 … ub]T
un=[un1 un2 … un(n-1)]T
用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 u= ATun （注：转置矩阵：A的每一行是AT的每一列）
1
1 2 3
u1 u2 u3 u4 = u5 u6
1
2
3 4 5 6
-1 0 -1 0 1 -1 0 -1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0
un1 un2 un3
=
u= ATun
KVL的矩阵形式
三、回路矩阵
1、独立回路矩阵：简称回路矩阵。 一回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联。 设有向图的独立回路数为l，支路数为b，对所有独立 回路和支路均加以编号，于是， 该有向图的回路矩阵是一个l×b的矩阵，用B表示。 B的行对应一个回路，列对应于支路， 它的任一元素，bjk定义如下： bjk = +1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向一致； bjk = -1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向相反； bjk = 0，表示支路k与回路j无关联。
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式 电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai = 结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式 Ai =0
例如：
3 ① 2
② 4 6 ④ 5 1 1 2 3 2 3 4 5 6 ③
Bf=[1l |Bt]
l和t分别表示与连支和树支对应的部分
② 3 ① 6 4 ③ 5 1
3
6
3
4
2
5 2
6
6
3
5
2
④ 1
1
选3，5，6为树支 1l 基本回路矩阵
1
2
3
4
5
6
1 B=2 3
1
1 0 1 0 -1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 1
2 4 3 5 6
1 Bf = 2 3
4、用基本割集矩阵Qf 表示的KVL的矩阵形式
假设(n-1)个树支电压：ut=[ut1 ut2 … ut(n -1)]T
由于通常选单树支割集为独立(基本)割集，此 时树支电压又可视为对应的割集电压，所以ut 又是 基本割集组的割集电压列向量。 由于Qf 的每一列，也就是QfT 的每一行，表示 一条支路与割集的关联情况，按矩阵相乘的规则可 得支路电压： T
Qf=[1t|Ql]
式中下标t 和l 分别表示对应于树支和连支部分。
例如：
3 ①
② 4 6 ③
Q1
3
4
2
④
5
1
2
5 1
Q2
1
选支路3、5、6为树支 写出基本割集矩阵Qf ： 3 5 6 1 2 4 1 1 0 0 -1 -1 0 Qf = 2 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 -1 -1 -1
1
2
3
4
5
6
3、降阶关联矩阵
1 Aa= 2 3 4
-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 -1 -1
当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的 元素，所以Aa的行不是彼此独立的。 或者说按Aa的每一列只有+1和-1两个非零元素 这一特点。 Aa中的任一行必能从其他(n-1)行导出。 如果把Aa的任一行划去，剩下的(n-1) ×b矩阵 用A表示，并称为降阶关联矩阵。 今后主要用这种降阶关联矩阵，往往省去“降 阶”二字。
例如：
3 ①
② 4 6 ③
Q1
3
4
2
④
5 1
2
5 1
Q2
1
选支路3、5、6为树支，独立割集数为3 割集矩阵 1 2 3 -1 -1 1 1 0 0 4 0 1 5 0 1 0 6 0 0 1
1
6
4
Q3
Q=
1 2 3
2
-1 -1 0 -1
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种 割集矩阵就称为基本割集矩阵，用 Qf 表示。 写 Qf 时，注意安排其行列次序如下： 1、把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第 (n-1) 列，然后再排列连支； 2、取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的 序号相同， 3、选割集方向与相应树支方向一致， 则 Qf 有如下形式
它的任一元素ajk定义如下： ajk= +1，表示支路k与结点j关联并且它的方 向背离结点； ajk= -1，表示支路k与结点j关联并且它指向 结点； ajk= 0，表示支路k与结点j无关联。
13-电路方程的矩阵形式
矩阵形式 KVL : ub AT un
B 二.基本回路矩阵： = { b i j } l b 基本回路数 支路数 1.约定：（1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先连支后树支。 1 支路j与回路i关联，方向一致。 bij= -1 支路j 与回路i关联，方向相反。 0 支路j 不在回路 i 中。 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 5 4 支路 3l 3 4 5 6 回路 1 2 3 l3 0 1 -1 0 l2 1 1 0 0 1 -1 1 = [ 1 Bt ] 2 B= 2 0 1 6 1 0 1 -1 l1 3 0 0 Bl Bt 1
2.基本回路矩阵Bf 表示的基尔霍夫定律的矩阵形式 （1）KVL的矩阵形式
设 ub [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul
ut
u1 u3 u4 u2 u5 u6
l个独立 KVL方程
（2）KVL的矩阵形式 ３ 电路中的（n-1）个树支电压可用 （n-1）阶列向量表示，即 Q
４ ６ ５ 1 Q2
ut ut 1
T
ut 2
0 1 0 1 0 1
... ut ( n1)
1
T
２ Q3
ub Q f ut
1 0 0 T Q f ut 1 1 0
本章内容佳木斯大学信息电子技术学院佳木斯大学信息电子技术学院13131关联矩阵回路矩阵割集矩阵132回路电流方程的矩阵形式133结点电压方程的矩阵形式134状态方程136割集电压方程的矩阵形式135本章主要在图的基本概念的基础上介绍了关联矩阵回路矩阵和割集矩阵以及用这些矩阵表示的kclkvl方程
电路方程的矩阵形式
用回路矩阵表示的KVL矩阵方程
用回路矩阵表示的KCL矩阵方程
三、割集矩阵及用割集矩阵表示的KCL、KVL矩阵方程 1 割集矩阵：表示支路和割集关联性质的矩阵
比较回路电流方程的矩阵形式（15-16式）和 割集电压方程的矩阵形式（15-17式）
·对某些图有Qf=A；
·当选择的独立割集都由汇集在一个节点上的
支路组成时，割集电压法即节点电压法。
§6 网络的状态变量分析法
一、输入输出法与状态变量法
动态网络的时域分析法与运算电路法都 是输入输出法建立输入输出的关系
2 割集的方向
移去一个割集的所有 支路时，连通图分为 两部分，从其中一部 分指向另一部分的方 向
树的概念
树支：连接所有节点，不构成闭合回路的支路与节点相互连通 的图。图G的树为：（a)、(b)、(c)。(d)、(e)不是树
割 集 的 定 义
adf, bcf, abe,def,bdef, acef,abcd七种是割集, adef ,abcde不是割集。
状态变量 列向量
状态变量
三、列状态方程
对线性时不变动态网络，独立的电容电压和 电感电流就是能满足上述条件的一组变量， 可作为网络的一组状态变量。举例见P357
对于复杂的电路宜用树的概念列写状态方程
对常态网络（不含纯电容回路和纯电感割集 的网络），借用特有树（常态树），分别列 出电容树支对应的基本割集的KCL方程和电 感连支的基本回路的KVL方程。P360
支路间约束---支路间KCL、KVL约束（用关联矩阵表 示）
11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
§11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵一、关联矩阵 0Ai =支路电流列向量关联矩阵, 支路与节点的关联关系降阶的关联矩阵11jk k j a k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与节点关联，且离开支路与节点关联，且指向支路与节点不关联 二、回路矩阵1，独立回路矩阵： 支路电压列向量独立回路矩阵, 反映支路与独立回路的关联关系11jk k j b k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与回路关联，且方向一致支路与回路关联，且方向不一致支路与回路不关联 2，基本回路矩阵： f B 约定： ①将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列②将连支对应的列号取为基本回路号③取连支方向作为基本回路方向举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本回路如下5 31243561001100101111001011f t t B B ⎡⎤⎢⎥=---=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦标准形式 三、割集矩阵1，独立割集矩阵1123213463156:0: 0:0Q i i i Q i i i i Q i i i -++=-++=-+=1234561110001011010100011i i i i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0Qi =支路电流列向量独立割集矩阵,反映支路与独立割集的关联关系1,1,0kj k j q k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与割集关联且方向一致支路与割集关联且方向不一致支路与割集不关联2，基本割集矩阵 f Q约定： ①将树支与连支按支路编号由小到大分别集中排列②将树支对应的列号称为基本割集号③取树支方向作为基本割集方向Q举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本割集如下，基本割集矩阵为3 5 6 1 2 41001100101111001011f tt Q Q -⎡⎤⎢⎥=-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦标准形式 比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支反映中，各支路左右顺序不变时，则有：T l t Q B =-事实上，该关系式可以得到证明，详见书中§11-4 。
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
01
02
03
04
05
3、降阶关联矩阵
123456
Aa=
1 2 3 4
-1 0 +1 0
-1 0 0 +1
+1 -1 0 0
0 -1 +1 0
0 0 +1 -1
0 +1 0 -1
降阶关联矩阵
Q =
1 2 3
123456
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
-1
-1
0
-1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
3
2
1
4
5
1
4
2
6
1
选支路3、5、6为树支
Q1
Q2
Q3
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同， 且选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式
因此有
Bu =0
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
Bu=
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
电路 第四版 第16章 电路的矩阵方程
第16章 电路的矩阵方程
任一元素ajk的定义如下: (1)ajk=+1,表示节点j 与支路k 关联,且支路方向 背离节点j。 (2)ajk=-1,表示节点j 与支路k 关联,支路方向指 向节点j。 (3)ajk=0,表示节点j与支路k 不关联。
B 矩阵的建立方法与A 矩阵相似。回路矩阵的行和独立 回路相对应,列和支路相对应。则回路j与支路k 的关联关系 可用路的矩阵方程
bjk取值的具体意义如下: (1)bjk=+1,表示回路j与支路k 关联,且方向一致。 (2)bjk=-1,表示回路j与支路k 关联,但方向相反。 (3)bjk=0,表示回路j与支路k 不关联。 仍以图16-1为例,选支路2、4、6为树支,支路1、3、5为 连支,则图16-1就变为图16-2。图中,独立回路数为3,设分别为 l1、l2 和l3(单连支回路)。
第16章 电路的矩阵方程 于是得图16-2的回路矩阵为
第16章 电路的矩阵方程
图16-2 支路与回路的关联关系
第16章 电路的矩阵方程
由第3章可知,单连支回路是独立回路,称为基本回路。如 果使回路矩阵的列序(支路顺序)和连支所对应的基本回路的 排序一致,则这样的回路矩阵称为基本回路矩阵,用Bf表示。 若连支的方向和对应回路的绕行方向一致,则Bf中将出现一 个l阶的单位子矩阵,即
对于一个具有n 个节点、b 条支路的电路,设各支路电压 的列向量为
第16章 电路的矩阵方程 再设n-1个节点电压的列向量为
利用关联矩阵A,由节点电压可以表示各支路上的电压,即
电路方程的矩阵形式
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电路方程的矩阵形式
12-1 割集
一、图论知识回顾
网络拓扑 连接性质
i1 i2 i3
i1 i2 i3
抽象
∑i =0
+
抽象
支路 电路图
−
i1 i2 i3
抽象图
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电路方程的矩阵形式
1.名词和定义
16个 树不唯一
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电路方程的矩阵形式
树支：属于树的支路。
连支：属于G 而不属于T 的 支路。
树支数 bt = n−1 连支数 bl = b −(n − 1)
单连支回路(基本回路)：
4
4
1 3 56
2
树支数 4 1 连支数 3
5
7
单连支回路 单连支回路
独立回路 独立回路
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电路方程的矩阵形式
2. 矩阵形式的KVL QTut = u
1 0 0
0
Q= Tut
0 −1
−1
1 0 1 1
0
1
0
−1
u4 = u5 u6
0 −1 1
Q1
4
5 Q2
3
2
6
Q3 1
u4
u4
u5
Qi = 0
i4
0 −1 1
i5 i6 i1 i2
=
i3
i4 − i1 − i2
关联矩阵,回路矩阵和割集矩阵的关系
关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。
对于图7-5-1所示的有向图，选支路1、2、3为树支，作单树支割集如图所示，则可写出其基本回路矩阵与基本割集矩阵如下：图 7-5-1用左乘，可得：即有：（7-5-1）由矩阵性质可得另一形式为：（7-5-2）此二式反映了相同编号的网络中，基本割集矩阵与基本回路矩阵之间的关系。
对于式7-5-1的一般证明可简略描述如下：令，则D中任一元素为，下标j表示第j条单连支回路，k表示第k个割集，而则表示把第j回路中i支路元素与第k割集中i支路元素相乘。
显然，若i支路不是同时包含在j回路与k割集中，则其乘积必为零。
而同时包含在j回路与k割集中的支路条数必为偶数。
因为若移去k割集的所有支路，则电路分为独立的两部分。
若闭合回路跨越两部分电路，显然其连接两部分的支路条数（包含在k割集中）必为偶数条。
例如对于图7-5-1所示的网络，同时包含在割集1与回路1（由支路4组成的单连支回路）中的支路为4与1。
对于成对出现在回路和割集中的支路，如果二条支路方向与回路一致，（此时对应行中二个元素同号），则该二条支路与割集方向必一正一反（此时对应行中二个元素异号），则的值必为零。
反之，若二条支路方向与回路方向一正一反，则相对于割集方向必同号，其乘积亦为零。
可见矩阵D中元素均为零，从而可推出式（7-5-1）。
若网络支路编号严格按先树支后连支编排，则式（7-5-1）可写为：即有：（7-5-3）式中，表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。
对于图7-5-1的电路，若设节点4为参考节点，写出它的关联矩阵为：用A左乘，得：即有：（7-5-4）或（7-5-5）实际上若选择割集只包围一个节点，且割集方向离开节点，则这样组成的割集即为关联矩阵A，即是说关联矩阵无非是割集矩阵的一种形式。
电路方程的矩阵形式
2
4
③
3Q
1
25 Q
3
④Q
1
Q1（1，2，4，5） Q2（3，2，4） Q3（6，4，5）
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、关联矩阵
1、完全关联矩阵Aa
6
①
②
2
4
③ 节点 1： i1 i2 i6 0 节点 2： i2 i3 i4 0
1
3 5
树 指图G中的一个连通子图，它包含图G的全部节点 而不包含任一回路。
显然，对含n个节点的电路来说，树支数目为n-1。
6
①
②
2
4
③①
②
③
1
3 5
3
1
5
④
④
G
6
①
②
2
4
③
1
3 5Biblioteka ④12.2 回路、树、割集
①
②
③
3
1
5
④
6
②
①
③
3 1
④
6
②
①
2
4
③
3
1
5
④ G
12.2 回路、树、割集
①
②
2
4
③
5
④
②
①
l11 0 0 1 1 0 Bf l20 1 0 0 1 1[Bl :Bt][1l :Bt]
l30 0 1 1 0 1
Bl
Bt
12.3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
三、割集矩阵 描述有向图中割集和支路关联的性质
1、独立割集矩阵Q:
独立割集的个数为n-1个 给割集赋一方向
矩阵论在电路分析中的应用
矩阵论在电路分析中的应用摘要: 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵理论与方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论与方法也有着十分重要的应用。
当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
本文以电路分析为例，讲解矩阵论的重要作用。
关键词: 矩阵论；电路分析Application of matrix theory in circuit analysisAbstract: With the rapid development of science and technology, classical linear algebra knowledge can no longer meet the needs of modern science and technology. Matrix theory and methods have become essential tools in modern science and technology. Disciplinary fields such as numerical analysis, optimization theory, differential equations, probability statistics, cybernetics, mechanics, electronics, and networks are all closely related to matrix theory. Even in thefields of economic management, finance, insurance, social sciences, matrix theory also has very important applications. The rapid development of today's electronic computers and computing technologies has opened up a wider prospect for the application of matrix theory. This article uses circuit analysis as an example to explain the important role of matrix theory.Key words: Matrix theory; circuit analysis在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图，每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。
电路第五版邱关源原著电路教案第15章
第15章电路方程的矩阵形式●本章重点1、了解图有关的概念；2、掌握与图的描述有关的三个矩阵；3、基本回路与基本割集的选择；4、状态方程的列写方法。
●本章难点1、复杂电路建立状态方程。
●教学方法本章主要讲述了图论中的基本概念、三个重要矩阵（关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵）及由此导出的KCL、KVL矩阵方程，最后，讲述了列写电路的状态方程的两种方法，即直观法和系统法。
对重点内容，课堂上不仅要把概念讲解透彻，并通过讲例题加以分析，课下布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。
本章讲授共用4课时。
对回路电流方程、节点电压方程、割集电压方程和列表方程等内容以自学为主。
●授课内容15.1割集一、图的概念1，图(线图)：线段（支路）与点（节点）的集合。
2，有向图：标出支路电压，电流参考方向的图。
3，连通图：任意两个节点间至少存在一条由支路构成的路径。
4，子图：若图G1中所有支路和节点都属于图G，就把G1称为G的子图。
二、树、基本回路、割集(a) (b) (c)(d) (e) (f)1、树1）定义：在连通图G中，把所有的节点连通起来，但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
①含所有节点，②不具有回路，③连通的，④为G的子图。
电路的图G如图(a)所示，图(b)为图G的一棵树，图(c)不是图G的树（未含所有节点）；图(d)不是图G的树（出现了回路）；图(e)不是图G的树（不是连通图）；图(f)不是图G的树（不是图G的子图）。
2）树支：属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数＝n－1＝独立节点数3）连支：不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数＝b-(n-1)=独立回路数。
连支的集合称为余树、补树2、基本回路：在图G中选取一棵树后，由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路(单连支回路)。
1）基本回路数=连支数。
2）基本回路的KVL方程相互独立。
3）不同的树对应于不同的基本回路。
3、割集：图G中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。