2017年高二上学期数学竞赛试卷 Word版含答案
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)1.2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解2.填空题1.已知向量$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{PB}=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$，则向量$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角等于$\frac{\pi}{4}$。
2.已知集合$A=\{x| (ax-1)(a-x)>0\}$，且$a\in A$，$3\notin A$，则实数$a$的取值范围是$1\leq a<2$或$2<a\leq 3$。
3.已知复数$z=\cos(\frac{2\pi}{3})+i\sin(\frac{2\pi}{3})$，则$z^3+z^2=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$。
4.在平面直角坐标系$xOy$中，设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线右支上一点，$M$是$PF_2$的中点，且$OM\perp PF_2$，$3PF_1=4PF_2$，则双曲线的离心率为$5$。
5.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$。
若函数$y=\log_2x$的定义域为$[a,b]$，值域为$[0,2]$，则区间$[a,b]$的长度的最大值与最小值的差为$3$。
6.若关于$x$的二次方程$mx^2+(2m-1)x-m+2=0(m>0)$的两个互异的根都小于$1$，则实数$m$的取值范围是$\left(\frac{3+\sqrt{7}}{4},+\infty\right)$。
7.若$\tan4x=\frac{3\sin4x\sin2x\sinx}{\cos8x\cos4x\cos4x\cos2x\cos2x\cos x\cos x}$，则$\sin^2x+\sin^24x+\sin^28x=3$。
2017年五套数学竞赛题附答案
2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，则实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，则b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，则=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，则实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，定义函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，则直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a ρρρρρ若λ()c b λλ---1所有取不到的值的集合为____________.10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，则实数a=_______.二. 解答题11. （本题满分20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每个n ，求()x x f n 3=的实数解。
2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 21-★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以21)5(1)2()100(-=-=-=-f f f2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 ◆答案： []13,1+-★解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2017A 3、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为 ◆答案：2113 ★解析：由题意得()0,3A ，()1,0F ，设P 点的坐标为()θθsin 10,cos 3，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ，则 ()ϕθθθ+=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆sin 2113cos 321sin 10321OFP OAP OAPF S S S ，可得面积最大值为2113。
2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： 75★解析：考虑平稳数abc 。
①若0=b ，则1=a ，{}1,0∈c ，有2个平稳数；②若1=b ，则{}2,1∈a ，{}2,1,0∈c ，有632=⨯个平稳数； ③若[]8,2∈b ，则a ，{}1,,1+-∈b b b c ，有63337=⨯⨯个平稳数； ④若9=b ，则{}9,8,∈c a ，有422=⨯个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为7546362=+++。
高二数学竞赛试题及答案.doc
高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
浙江省2017年高中(高二)希望杯二试数学试题Word版含答案
第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（特） 第2试试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.设x ，y ，z 都是正实数，01a <<，若log x a a x =，1log y aa y =，1()log xa z a=，则（ ）A ．y z x <<.B ．x z y <<.C ．x y z <<.D ．z x y <<. 2.函数sin cos y ax ax =+的最小正周期为4，则它们的对称轴可能是直线（ ） A ．12x π=-. B ．0x =. C ．12x π=. D ．12x =. 3.二元不等式142x y xy +≤+所表示的平面上的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．4.If ABC ∆ and DEF ∆satisfy thatsin cos A D =,sin cos B E =,sin cos C F =,then （ ）A ．Both ABC ∆ and DEF ∆ are acute triangles .B ．Both ABC ∆ and DEF ∆ are obtuse triangles .C. ABC ∆ is an acute triangles ,and DEF ∆is an obtuse triangles . D ．ABC ∆ is an obtuse triangles ,and DEF ∆is an acute triangles .（英汉小词典：acute 锐角的；obtuse 钝角的）5.已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，且5393n n A n B n +=+（1,2,3,n =），则使nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3. B ．4. C.5. D ．6.6.在三棱锥VABC 中，AVB AVC ∠=∠，则VA BC ⊥是VB VC =的（ A ．充分不必要条件.B ．充要条件. C.必要不充分条件.D ．既不充分也不必要条件.7.For a tan rec gular triangle ABC in a Cartesian coordinate system ，there are (2,1)AB =，(3,)AC m =，then the number of different possible values of m is （ ）A ．0.B ．1. C.2. D ．3.8.一项“闯关”游戏的规则为：在桌面上抛掷一个各面内分别写有1,2,3，…，12的正十二面体n 次，若抛掷n 次后朝下的面内n 个数的和不小于211n +，则算过关，现有一人做此游戏，他最多只能连过（ ）A ．10关.B ．11关. C.12关. D ．13关. 9.The number of roots of the equation cos(cos )sin αα= inthe int erval ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦is （ ）A ．0.B ．1. C.2. D ．3.10.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30︒的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．（1,2）. B．. C.[2,)+∞. D．)+∞. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题4分，共40分.）11.集合{1,1,12}A d d =++，2{1,,}B r r =，若A B =，则r = ． 12.已知方程24210x x --=的两个根为cos α，cos β，α，β(0,)π∈，则cos()αβ-= ．13.光线沿着直线3+1=0x y +射入，遇到直线210x y --=反射，则反射光线所在直线的方程是 ．14.已知整数a ，b ，c 满足22222874a b c ab b c +++<++，则a b c ++= ． 15.已知i x R +∈（1,2,,2017i =）满足122017x x x ≥≥≥，122017420x x x +++=，如果121()k k y x x x k=+++（1,2,,2017k =），则122017y y y +++的最小值是 ．16.已知数列{}n a ，满足11a =，11(21)n n n n a n a a a ++=++，则2017a = ． 17.数列2{lg(10002)}a-的前n 项和为n S ，则使n S 取得最大值的n 的值是 .18.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱11A B 上的动点，过点P 、B 、1D 作截面，则截面面积的最小值是 .19.正方形ABCD 的边长为a ，点A 和B 在抛物线2y x =上，点C 和D 在直线21y x =-上，则a = .20.已知圆C 经过双曲线22(2)(1)1916x y +--=的两个焦点，并且与x 轴交于M 、N 两点，若8MN =，则圆C 的方程是 .三、解答题 每题要写出推算过程.21. 若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证：2221a b c +++≤.22. 如图，四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1DA AC ==，BC =（1）求异面直线AB ，CD 所成角的余弦值；（2）若E ，F 分别为AB ，CD 上的点，且满足AE AB CF CD λλ==，01λ<<.若EF 与平面ABC 所成角为α，求sin α的最大值.23.数列{}n a 中，已知13a =，2112(1)n n n a a a --=-（2n ≥）.（1）判断数列{}n a 的单调性，并证明你的结论； （2）若数列{}n b 满足2n n n a b a =-（n N +∈），求数列{}n b 的通项公式.试卷答案一、选择题1-5:DDBDC 6-10:BCBBB二、填空题11.12-13.91330x y ++=14.415.420 16.21201717.1919.20.22(2(5)41x y ++-=）三、解答题21.原不等式等价于2222()a b c a b c +++≤++，ab bc ca ≤++，即23()abc ab bc ca ≤++222222=2()a b b c c a abc a b c +++++，也即222222abc a b b c c a ≤++，（*） 又222222a b b c b ac +≥，222222b c c a c ab +≥， 222222c a a b a bc +≥，上面三式相加即得（*）. 故待证不等式成立.22.（1）作CG ⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CG 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则cos ,||||AB CDAB CD AB CD <>=623==， 所以，异面直线AB ，CD （2）FE FA AE =+()FC CA AE =++ ()CF CA AE =-++CD CA AB λλ=-++(1,0,1)(1,0,0)(λλ=-++- (2,)λλ=-+-.易知，平面ABC 的法向量(0,0,1)n =.于是||sin |cos ,|||||FE n FE n FE n α=<>====≤当12λ=，即12λ=时，等号成立. 所以sin α23.（1）数列{}n a 是递减数列. 首先，由数学归纳法易证2n a >（n N +∈）又212(1)nn n n n a a a a a +-=--221112(1)21n n n n n a a a a a ⎛⎫-+==-+ ⎪--⎝⎭， 由2n a >，得111n a <-， 即1121n n a a +<<-， 所以10n n a a +-<， 故数列{}n a 是递减数列. （2）1112n n n a b a +++=-222(1)22(1)nn nn a a a a -=-- 222(2)n nn a b a ==-， 又11132a b a ==-， 所以2224122()n n n n b b b b ---===11822312n n n b b ---====，即123n n b -=.。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。
2017年五套数学竞赛题附答案
2017年浙江高中数学竞赛一，填空题（每题8分，共80分）1. 在多项式()()610321x x x 的展开式+-的系数为______.2. 已知()5log35log172+=-a a ，那么实数a=_________.3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，那么b a 22-的取值范围是___________.4. 设()1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x yx y x x x R y x 且，那么=-y x _______. 5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，那么实数a 的取值范围为____.6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S pq，概念函数,1p q p q f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则()32=x f 在S 中根的个数为___________.7. 已知动点P ,M,N 别离在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，那么PN PM +的最小值为__________.8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，那么直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.9.已知平面向量0.10,321,,,=⋅<<===c b c b a若λ，()λλ---1所有取不到的值的集合为____________. 10. 已知()()()0421212,0.1,0,2222=---+-+⎩⎨⎧≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，那么实数a=_______.二. 解答题11. （此题总分值20分）设()()()，⋯=+=+=+,2,1,316,322121n x f x x f x x f n n 对每一个n ，求()x x f n 3=的实数解。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
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2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ）（A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数2．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）93． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ）（A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 185．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 ( )（A ）三角形 （B ）正方形（C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,07．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234=S S S S Sλ+++，则λ一定满足( )（A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ<5.5第4题8. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是 ．10. 若直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是 ．11.已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是 ．12．如图，在三棱锥S —ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则三棱锥S —ABC 的外 接球的体积为 .13. 定义在R 上的函数f （x ）满足),(21)3(,1)1()(,0)0(x f xf x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，则)20141(f 的值为__ __. 14．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。
已知集合{}2014M x x x Z =≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =⊆，，。
若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。
则不同的“好集”的个数为 ．2014年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值．16．已知函数2()1f x x a x =+-，a 为常数．（1）当2a =时，求函数()f x 在[0,2]上的最小值和最大值； （2）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*nn M n N T T T =+++∈()，求证：1324M ≤<．2017年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.______4________________ 10._____ [_______________ 11.______1(,1]2_______________ 12._____92π________________________13._____1128__________ 14.______1006_______________________四、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15. 解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++，由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=． （4分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。
若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！ 若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-， 解得π)12(,21+===k c b a ，所以，1cos -=acb ． （10分）16. 解：（1）当2a =时，22222,1,()2122,1,x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩22(1)3,1,(1)1,1,x x x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 所以当[1,2]x ∈时，max min [()]6,[()]1f x f x ==当[0,1]x ∈时，max min [()]2,[()]1f x f x ==所以()f x 在[0,2]上的最大值为6，最小值为1。
(5分)（2）因为22,1,(),1,x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩2222(),1,24(),1,24a a x a x a a x a x ⎧+--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩而()f x 在[0,)+∞上单调递增所以当1x ≥时，()f x 必单调递增，得12a-≤即2a ≥- 当01x ≤<时，()f x 亦必单调递增，得02a≤即0a ≤且2211a a a a +-≥-+恒成立故所求实数a 的取值范围为[2,0]-。
(10分) 17. 15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，∴22n n S a +=， ① 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，1122n n S a --+=. ②①－②得1122---=-n n n n a a S S ()2,*≥∈n N n ， ∴122--=n n n a a a 。
∴12-=n n a a 。
∴21=-n na a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴nn a 2=()2n ≥.当1n =时，1122a ==，符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =()*n ∈N 。
………………………………………3分（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +⋅=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，()112n +-，12n+ 222+，232+，…，()212n +-，22n+332+，…，()312n +-，32n+……………… 2n n+构造如下n 行n 列的数表：112+，122+，132+，…，()112n +-，12n+ 212+，222+，232+，…，()212n +-，22n+312+，322+，332+，…，()312n +-，32n+………………12n +，22n +，32n +，… ，()12n n +-，2n n+设上表第一行的和为T ，则()()41242112n n T -==--.于是()()2124221222222n n n T T -=++++++++()()()22414212141nnn-=-⋅-+-()()1821213n n +=--. ∴()()1421213nn n T +=-⋅-.…………………………………………………………8分（3）∵()()1421213nn n T +=-⋅-， ∴()()112323114212142121n n n n n n n T ++⨯⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭。