2019-2020学年北京市东城区高三上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年北京市东城区高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B = （）A ．{}|12x x -<<B ．{}|11x x -≤<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|11x x -<≤2．复数在复平面内的对应点位于（）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（）A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2xy =D ．1||y x =-4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A ．7B ．9C ．10D ．137．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+>D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.11．能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______..12．在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，||4AC = ，||2BD = ，则四边形ABCD 的面积是_______.13．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．14．将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）三、解答题15．在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C =.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.16．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至202l 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.18．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R .（1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.19．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k的取值范围.20．已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.数学试题参考答案1-8DBBAB CAC9．4；10．12454；11.0；12．4；13．2或10；14．②>15．（1）因为sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C =又因为0C π<<，所以23C π∠=.（2）由正弦定理，可得32sin 12sin 2b C B c ⨯===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=16．（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X012P0.180.490.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.17．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B BC B = ，所以1BC ⊥平面11A B C .（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =- ，()10,2,2A B =--.所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-.设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=--- 因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.18．（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=，设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.19．（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得2222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.①直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.同理可得220,1y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭.所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=- .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>- .解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是7227,0,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20．（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2tm b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k=++++++=-++-++++++此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++ ()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++ ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.。
2019-2020学年人教A版北京市通州区高三(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．24．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．67．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题．14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．18．已知椭圆C ：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|﹣2＜x＜﹣1} 【分析】根据题意，由并集的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}；故选：A．2．在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解：∵复数＝＝＝，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知点A（2，a）为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF|等于（）A．4 B．3 C．D．2【分析】由题意可得抛物线的焦点和准线，而|AF|等于点A到准线的距离d＝|2﹣（﹣1）|，计算可得．解：由题意可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，由抛物线的定义可知|AF|等于点A到准线的距离d，而d＝|2﹣（﹣1）|＝3，故|AF|＝3，故选：B．4．若x＞y＞0，则下列各式中一定正确的是（）A．B．tan x＞tan yC．D．lnx＞lny【分析】A．利用不等式的基本性质即可判断出正误．B．利用三角函数的单调性周期性即可判断出正误．C．利用指数函数的单调性即可判断出正误．D．利用对数函数的单调性即可判断出正误．解：A．∵x＞y＞0，∴＞，因此不正确；B．取x＝π+，y＝，满足x＞y＞0，但是tan x＜tan y，因此不正确；C．由x＞y＞0，∴＜，因此不正确；D．由x＞y＞0，∴lnx＞lny，因此正确．故选：D．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以：AB＝．故选：C．6．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A．24 B．12 C．8 D．6【分析】根据题意，分3步依次分析甲、乙和其他2人的站法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2种，乙的站法有2种，②，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2种，③，将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种情况，则不同站法有2×2×2＝8种；故选：C．7．对于向量，，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．解：当，且与的夹角为120°时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8．关于函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1有以下三个判断①函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1；②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为﹣1；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，可得x2+ax﹣1＝0，△＞0，函数恒有两个零点，可得两个零点之积，即可判断出正误；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＞0．可得方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．可得其单调性极值，函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，即可判断出正误；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，可得4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a，即可判断出正误．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，e x﹣1＞0．①令f（x）＝0，则x2+ax﹣1＝0，△＝a2+4＞0，则函数恒有两个零点且两个零点之积为﹣1，正确；②f′（x）＝[x2+（2+a）x+a﹣1]e x﹣1．令g（x）＝x2+（2+a）x+a﹣1，△＝（2+a）2﹣4（a﹣1）＝a2+8＞0．∴方程x2+（2+a）x+a﹣1＝0，有两个不相等的实数根．又e x﹣1＞0，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，则函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．∴函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a﹣1，因此②不正确；③若x＝﹣2是函数的一个极值点，则4﹣2（2+a）+a﹣1＝0，解得a＝﹣1．∴f′（x）＝（x2+x﹣2）e x﹣1＝（x+2）（x﹣1）e x﹣1．可得x＝1时函数f（x）取得极小值，f（1）＝（1﹣1﹣1）e0＝﹣1．则函数极小值为﹣1．其中正确判断的个数有2个．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量＝（3，﹣2），＝（1，m），若⊥（），则m＝﹣5 ．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m），则﹣＝（2，﹣m﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．10．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，那么数列{a n}的前n项和S n等于．【分析】设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：在公差d不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，且a1，a3，a7依次成等比数列，可得a32＝a1a7，即（2+2d）2＝2（2+6d），解得d＝1，（0舍去），则数列{a n}的前n项和S n＝2n+n（n﹣1）＝n2+n．故答案为：n2+n．11．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1 ．【分析】设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c，结合渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．解：设双曲线的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由题意可得c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，两条渐近线互相垂直，可得﹣＝﹣1，解得a＝b＝1，则双曲线的标准方程为x2﹣y2＝1，故答案为：x2﹣y2＝1．12．在△ABC中，a＝3，，∠B＝2∠A，则cos B＝．【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos A的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解cos B的值．解：∵a＝3，，∠B＝2∠A，∴由正弦定理，可得＝＝，∴解得cos A＝，∴cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1＝．故答案为：．13．已知a，b，a+m均为大于0的实数，给出下列五个论断：①a＞b，②a＜b，③m＞0，④m＜0，⑤．以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）．【分析】利用不等式的基本性质可得由①③⇒⑤．（答案不唯一）．解：因为：若a，b满足a＞b，b＞0，则a＞b，m＞0，⇒﹣＝＝＞0；即由①③⇒⑤．（答案不唯一）．故答案为：①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）14．如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路l，花园中间有一条公路AB（AB是圆O的直径），规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA．规划要求：道路PB，QA不穿过花园．已知OC⊥l，BD ⊥l（C、D为垂足），测得OC＝0.9，BD＝1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米．在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m元．【分析】根据题意找到对应的点P，Q，利用三角形相似计算即可解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园，所以作AQ⊥l，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短，如图：根据平行线段成比例可得AQ＝0.6，即有AQ为△BMD的中位线，所以BM＝2AB＝2，则在Rt△BMD中，DM＝1.6，又因为△PBD∽△BMD，所以PB＝＝＝1.5，故修建道路总费用的最小值为1.5m+0.6m＝2.1m，故答案为：2.1m．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）先化简f（x），根据周期计算公式即可得出T．（II）利用三角函数的单调性即可得出．解：＝，（Ⅰ）f（x）的最小正周期T＝，（Ⅱ）因为，所以，所以当，即x＝0时，f（x）取得最小值0；当，即时，f（x）取得最大值．16．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H 学校比例等级优秀8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%良好37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%及格22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%不及格33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X0 1 2P（Ⅲ）S12＝S22．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠SAD＝∠DAB＝90°，SA＝3，SB＝5，AB＝4，BC＝2，AD＝1．（Ⅰ）求证：AB⊥平面SAD；（Ⅱ）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）点E，F分别为线段BC，SB上的一点，若平面AEF∥平面SCD，求三棱锥B﹣AEF 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥SA，AB⊥AD，然后证明AB⊥平面SAD．（Ⅱ）建立如图直角坐标系，求出平面SAB的法向量，平面SDC的法向量，通过向量的数量积求解即可．（Ⅲ）利用V B﹣AEF＝V F﹣ABE，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△SAB中，因为SA＝3，AB＝4，SB＝5，所以AB⊥SA．又因为∠DAB＝90°所以AB⊥AD，因为SA∩AD＝A所以AB⊥平面SAD．（Ⅱ）解：因为SA⊥AD，AB⊥SA，AB⊥AD．建立如图直角坐标系则A（0，0，0）B（0，4，0），C（2，4，0），D（1，0，0），S（0，0，3）．平面SAB的法向量为．设平面SDC的法向量为所以有即，令x＝1所以平面SDC的法向量为，所以．（Ⅲ）解：因为平面AEF∥平面SCD，平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以AE∥CD，平面AEF∩平面SBC＝EF，平面SCD∩平面SBC＝SC，所以FE∥SC，由AE∥CD，AD∥BC得四边形AEDC为平行四边形．所以E为BC中点．又FE∥SC，所以F为SB中点，所以F到平面ABE的距离为，又△ABE的面积为2，所以V B﹣AEF＝V F﹣ABE＝1．18．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长，结合离心率求出a，b，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则，PN的中点，通过，结合函数的值域为[﹣12，20]，求解n的范围即可．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q，利用|MP|＝|MN|，通过函数的值域为[﹣12，20]，求解即可．解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2又离心率，所以所以b2＝a2﹣c2＝2．所以椭圆C的方程为；．（Ⅱ）法一：设点P（x0，y0），则所以PN的中点，，．因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ⊥NP，则，即．又因为，所以所以．函数的值域为[﹣12，20]所以0≤n2≤20所以．法二：设点P（x0，y0），则．设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以|MP|＝|MN|，即，所以．函数的值域为[﹣12，20]，所以0≤n2≤20．所以．19．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣零点的个数．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由为偶函数，g（0）＝1，把求g（x）在x∈R上零点个数，转化为求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．利用导数研究函数单调性，再由函数零点存在性定理判定．解：（Ⅰ）f'（x）＝x cos x，∴f'（0）＝0．又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（Ⅱ）∵为偶函数，g（0）＝1，∴要求g（x）在x∈R上零点个数，只需求g（x）在x∈（0，+∞）上零点个数即可．，令g'（x）＝0，得，k ∈N，∴g（x ）在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增k∈N*，列表得：x 0 …g'（x）0 + 0 ﹣0 + 0 ﹣0 …g （x ）1 ↗极大值↘极小值↗极大值↘极小值…由上表可以看出g（x ）在（k∈N ）处取得极大值，在（k∈N）处取得极小值，又；．当k∈N*且k≥1时，，（或，）．∴g（x）在x∈（0，+∞）上只有一个零点．故函数零点的个数为2．20．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{a n}满足如下条件：①a n∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜a m．若数列{b n}满足b n＝，其中n＝1，2，…，m，则称{b n}为{a n}的“伴随数列”．（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若{b n}为{a n}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞b m；（Ⅲ）已知数列{a n}存在“伴随数列”{b n}，且a1＝1，a m＝2049，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）只要用作差法证明{b n}的单调性即可，（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．（Ⅱ）证明：因为，1≤n≤m﹣1，n∈N*，又因为a1＜a2＜…＜a m，所以有a n﹣a n+1＜0，所以，所以b1＞b2＞…＞b m成立．（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有，因为，b1＞b2＞…＞b m．所以，所以，所以，因为，所以a n﹣a n﹣1≥m﹣1，又a m﹣a1＝（a m﹣a m﹣1）+（a m﹣1﹣a m﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2所以（m﹣1）2≤2048，所以m≤46，又，所以m≤33，例如：a n＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，所以，m的最大值是33．。
东城区2019-2020第一学期期末数学答案(终稿)(1)
高三数学参考答案及评分标准
2020.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D
（2）C
（3）B
（5）B
（6）C
（7） A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
（11） 0 （答案不唯一） （13） 2 或10
3
...................................................................................................7 分
（Ⅱ）由正弦定理得 sin B= b sin C 2
3 2
1,
c
23 2
又因为 0 B ， 3
则切线 l
方程为
y
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(x
x0 ) .
又直线 l
过
P(1, b)
，有 b
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(1
x0 )
，
即
2 3
x03
2 x02
+2x0
3a
b
0
.
设 g(x) 2 x3 2x2 2x 3a b ， 3
g '(x) 2x2 4x 2 2(x 1)2 0 .
（4）A （8）C
（10） 1 45 24
（12） 4 （14）②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
2019-2020学年北京市人大附中高三(上)统练数学试卷(八)
2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=03.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为105.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√36.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 137.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.49.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．11.（填空题，4分）直线l：y=kx-1被圆C：（x-2）2+y2=4截得的弦长为4，则k的值为___ ．12.（填空题，4分）已知m，4，n是等差数列，那么(√2)m•(√2)n =___ ；mn的最大值为___ ．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π）+2 √2 cos2x．6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．16.（问答题，12分）设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）统练数学试卷（八）参考答案与试题解析试题数：17，总分：1001.（单选题，5分）设全集为R，集合A={x|x2-1＞0}，集合B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A.（-∞，-1）B.（-∞，-1]C.（1，+∞）D.[1，+∞）【正确答案】：C【解析】：运用二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】：解：全集为R，集合A={x|x2-1＞0}={x|x＞1或x＜-1}，集合B={y|y=3x，x∈R}={y|y＞0}，A∩B=[（-∞，-1）∪（1，+∞）]∩（0，+∞）=（1，+∞），故选：C．【点评】：本题考查集合的化简和运算，考查二次不等式和指数函数的值域，考查运算能力，属于中档题．2.（单选题，5分）直线l与圆x2+y2+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点（-2，3），则直线l的方程为（）A.x+y-3=0B.x+y-1=0C.x-y+5=0D.x-y-5=0【正确答案】：C【解析】：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．【解答】：解：圆x2+y2+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为C （-1，2）．∵弦AB的中点D（-2，3），∴k CD= 3−2−2+1=-1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0．故选：C．【点评】：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．3.（单选题，5分）将函数y=sin（x+ π4）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1 2，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是（）A.y=sin2xB.y=sin 12xC.y=sin（2x+ π4）D.y=sin（2x- π4）【正确答案】：D【解析】：利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再利用平移变换可得答案．【解答】：解：函数y=sin（x+ π4）图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+ π4）图象，再将函数y=sin（2x+ π4）图象向右平移π4个单位，所得图象的函数解析式为y=sin[2（x- π4）+ π4）]=sin（2x- π4），故选：D．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关键，属于中档题．4.（单选题，5分）已知方程x217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，下列结论正确的是（）A.k的取值范围为8＜k＜17B.k的取值范围为k＜8C.双曲线的焦距为10D.双曲线的实轴长为10【正确答案】：B【解析】：由题意可得17-k＞0，k-8＜0，解得k的范围，将双曲线的方程化为标准方程，可得a，b，c，即可判断正确结论．【解答】：解：方程x 217−k + y2k−8=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得17-k＞0，k-8＜0，解得k＜8，则双曲线的方程为x 217−k - y28−k=1，可得a= √17−k，b= √8−k，c= √25−2k，则A，C，D均错，B正确．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和焦距，考查运算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，a=8，b=10，△ABC的面积为20√3，则△ABC中最大角的正切值是（）A. 5√33B. −√3C. −√33D. 5√33或−√3【正确答案】：D【解析】：根据三角形的面积公式求出C的值，再讨论确定是否为最大角，从而求出最大角的正切值．【解答】：解：由△ABC的面积为S△ABC= 12×8×10×sinC=20 √3，解得sinC= √32；又0＜C＜π，所以C= π3或2π3．① 当C= 2π3时，C是最大角，其tan 2π3=- √3；② 当C= π3时，由余弦定理得c= √82+102−2×8×10×cosπ3=2 √21＜10．所以边b是最大边．由余弦定理得cosB= 2√21)222×8×2√21= √2114，所以B为锐角，sinB= √1−cos2B = √1−(√2114)2= 5√714，所以tanB= sinBcosB =5√714√2114= 5√33．综上知，△ABC中最大角的正切值是- √3或5√33．故选：D．【点评】：本题考查了三角形的面积计算问题，也考查了余弦定理和正切函数的应用问题，是中档题．6.（单选题，5分）若双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为（）A. √32B. 12C. √22D. 13【正确答案】：A【解析】：利用双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，得到ba= 12，由此可求出椭圆x2 a2+y2b2=1的离心率．【解答】：解：∵双曲线x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为2y±x=0，∴ b a = 12，即b= 12a．∴在椭圆x2a2+y2b2=1中，c= √a2−(12a)2= √32a，∴e= ca = √32．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，有不共线的三点A，B，C，已知AB，AC所在直线的斜率分别为k1，k2，则“k1k2＞-1”是“∠BAC为锐角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．＞0，【解答】：解：由题意“∠BAC为锐角”，可得：tan∠BAC= k1−k21+k1k2即（k1-k2）（1+k1k2）＞0，∵k1k2＞-1，不一定大于0，∴tan∠BAC= k1−k21+k1k2＞0，同理tan∠BAC= k1−k21+k1k2k1k2不一定大于-1∴是既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.（单选题，5分）对于曲线C：y=f（x）上任意一点A（x1，y1），在曲线C上都存在唯一的B（x2，y2），满足线段AB的中点在直线l：y-2=0上，则称直线l为曲线C的“腰线”，则下列曲线中：① y=e x；② y=x3-x；③ y=2sinx；④ y=lnx．则l为“腰线”的曲线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：A【解析】：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”的前提是y1+y2=4成立，且满足任意的点A，存在唯一的点B，分别对① ② ③ ④ ，结合函数的值域和单调性，即可得到所求结论．【解答】：解：由题意可得直线l为曲线C的“腰线”，等价为y1+y2=4，对于① ，y=e x，由e x1+e x2=4，且e x＞0，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故① 错误；对于② ，y=x3-x，由y1+y2=4，即（x13-x1）+（x23-x2）=4，当x13-x1=4，x23-x2=0，可得x2=0或x2=±1，不满足任意的点A，存在唯一的点B，故② 错误；对于③ ，y=2sinx的值域为[-2，2]，由2sinx1+2sinx2=4，可得sinx1=sinx2=1，不满足任意的x1，存在唯一的x2，故③ 错误；对于④ ，y=lnx的值域为R，且y=lnx在（0，+∞）递增，由lnx1+lnx2=4，满足任意的x1，存在唯一的x2，故④ 正确．故选：A．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，以及函数的单调性和值域，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.（填空题，4分）直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，那么m的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用两直线平行的位置关系即可求出m的值．【解答】：解：∵直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y-6=0平行，∴ 2 m =m+13≠4−6，∴m=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了两直线平行的位置关系，是基础题．10.（填空题，4分）在等比数列{a n}中，a2=2，且1a1+1a3=54，则a1+a3的值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，且1a1+1a3=54，∴ q 2 + 12q= 54，解得q=2或12．当q=2时，则a 1+a 3= 22+2×2 =5； 当q= 12时，则a 1+a 3= 212+2× 12=5．故答案为：5．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.（填空题，4分）直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4，则k 的值为___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：直接利用直线与圆的位置关系的应用求出结果．【解答】：解：直线l ：y=kx-1被圆C ：（x-2）2+y 2=4截得的弦长为4， 所以：直线y=kx-1经过圆心（2，0）， 则0=2k-1，解得k= 12 ． 故答案为： 12 ．【点评】：本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知m ，4，n 是等差数列，那么 (√2)m•(√2)n=___ ；mn 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]16; [2]16【解析】：由m ，4，n 是等差数列，可得m+n=8．再利用指数幂的运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：∵m ，4，n 是等差数列， ∴m+n=8．则 (√2)m•(√2)n= (√2)m+n= (√2)8=24=16； mn ≤(m+n 2)2=16，当且仅当m=n 时取等号．因此mn 的最大值为16． 故答案分别为：16；16．【点评】：本题考查了等差数列的性质、指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．13.（填空题，4分）如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．给出下列说法：① 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；② 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，再对比观察图（2）和图（3）中的改变量与未变量即可得解．【解答】：解：图（1）中，点A的几何意义代表付出的成本，射线AB的倾斜程度表示票价，图（2）中射线AB的倾斜程度未变，只将点A上移，所以说法① 正确，图（3）中点A的位置未变，将射线AB的倾斜程度变大，所以说法③ 正确，故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查函数图象的变换，理解函数图象中截距和倾斜度的几何意义是解题的关键，考查学生将理论与实际生活相联系的能力和逻辑推理能力，属于基础题．14.（填空题，4分）曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：① 曲线C过点（-1，1）；② 曲线C关于点（-1，1）对称；③ 若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④ 设p0为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=-1、点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2．其中，所有正确结论的序号是___ ．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】：解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y-1|=k2，对于① ，将（-1，1）代入验证，此方程不过此点，所以① 错；对于② ，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y 代换，方程不变，故此曲线关于（-1，1）对称．② 正确；对于③ ，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|∴|PA|+|PB|≥2 √|PA||PB| =2k，③ 正确；对于④ ，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k2．所以④ 正确．故答案为：② ③ ④ ．【点评】：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．）+2 √2 cos2x．15.（问答题，12分）已知函数f（x）= √2 sin（2x- π6（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的最值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式以及两角和差的正弦公式，进行化简，结合三角函数的单调性进行求解．（Ⅱ）根据三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）f （x ）= √2 sin （2x- π6 ）+2 √2 cos 2x= √2 （sin2x• √32 - 12 cos2x+cos2x+1）= √2 （sin2x• √32 + 12 cos2x+1）= √2 sin （2x+ π6 ）+ √2 ， 由2kπ- π2 ≤2x+ π6 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z 得kπ- π3 ≤x≤kπ+ π6 ，k∈Z ，即函数的单调递增区间为[kπ- π3 ，kπ+ π6 ]，k∈Z ， 由2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2，k∈Z 得kπ+ π6 ≤x≤kπ+ 2π3 ，k∈Z ，即函数的单调递减区间为[kπ+ π6，kπ+ 2π3]，k∈Z ； （Ⅱ）当sin （2x+ π6）=1时，函数f （x ）取得最大值， 此时最大值为f （x ）= √2+√2 =2 √2 ．当sin （2x+ π6 ）=-1时，函数f （x ）取得最小值， 此时最大值为f （x ）=- √2+√2 =0．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．16.（问答题，12分）设函数f （x ）=x 2+ax-lnx （a∈R ）． （Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O 作曲线y=f （x ）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）a=1时，f （x ）=x 2+ax-lnx （x ＞0）， f′(x )=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x，根据函数的定义域，确定f′（x ）＞0和f′（x ）＞0的范围，进而得到函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt-1=0的唯一的解，可得结论．【解答】：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax-lnx（x＞0），∴ f′(x)=2x+1−1x =(2x−1)(x+1)x，又∵ x∈(0 ， 12) ， f′(x)＜0 ， x∈(12 ， +∞) ， f′(x)＞0，f（x）的单调递减区间为(0 ， 12)，单调递增区间为(12 ， +∞)．（Ⅱ）∵ f′(x)=2x+a−1x又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即2x+a−1x≤0对任意x∈（0，1]恒成立，∴ a≤1x−2x对任意x∈（0，1]恒成立，令g(x)=1x−2x，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=-1．∴a≤-1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+a−1x，∴过M点的切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t），即y−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(x−t)又切线过原点，所以，0−(t2+at−lnt)=(2t+a−1t)(0−t)，即t2+lnt-1=0，显然t=1是方程t2+lnt-1=0的解，设φ（t）=t2+lnt-1，则φ′（t）=2t+ 1t＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt-1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，是导数的综合应用，难度中档．17.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32，且过点（1，√32）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x=m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C过点（1，√32），所以1a2+34b2=1，解得椭圆C的方程；（Ⅱ）若MB是线段PN的垂直平分线，k PB•k MB=-1，设P（x0，y0），则P关于B的对称点N（2-x0，-y0），进而得到实数m的值．【解答】：（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为√32，所以a2=4b2．又因为椭圆C 过点（1， √32），所以 1a 2+34b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆C 的方程为 x 24+y 2=1 ． （Ⅱ）设P （x 0，y 0），-2＜x 0＜2，x 0≠1，则 x 024+y 02=1 ．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N （2-x 0，-y 0），所以2-x 0=m ． 由A （-2，0），P （x 0，y 0），可得直线AP 的方程为y= y 0x 0+2（x+2）， 令x=m ，得y= y 0x0+2（m+2），即M （m ， y 0x0+2（m+2））． 因为PB⊥MB ，所以k PB •k MB =-1，所以k PB •k MB = y 0x 0−1 • y0x 0+2(m+2)m−1=-1，即 y 02•(m+2)(x 0−1)(x 0+2)(m−1) =-1．因为 x 024+y 02=1 ．所以 (x 0−2)(m+2)4(x 0−1)(m−1)=1． 因为x 0=2-m ，化简得3m 2-10m+4=0，解得m= 5±√133． 因为m ＞2，所以m= 5+√133【点评】：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线垂直的充要条件，难度较大．。
八年级数学东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测 (含答案)
东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1.在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一.数字0.0009用科学记数法表示应为A.4910-⨯B. 3910-⨯C. 30.910-⨯D. 40.910-⨯ 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．()m a b ma mb +=+B ．23313(1)1x x x x -+=-+ C ．()()23212x x x x ++=++ D ．22(2)+4+4a a a +=3.如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是A.①B.②C.③D.④4. 下列各式计算正确的是 A.2133a aa -⋅= B.236()ab ab = C.22(2)4x x -=- D.824623x x x ÷=5. 对于任意的实数x ，总有意义的分式是A.152--x x B.231x x -+ C.x x 812+ D.21x -6.如图，△ABC 中，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ，则∠BEC 的大小为A.40°B.50°C.80°D.100°7.若分式2213x x -+的值为正数，则x 需满足的条件是 A. x 为任意实数 B. 12x ＜ C. 12x ＞D. 12x ＞- 8. 已知△ABC ,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB ,AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，点M 一定在A.∠A 的平分线上B.AC 边的高上C.BC 边的垂直平分线上D.AB 边的中线上9.如图，已知∠MON 及其边上一点A .以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM ，ON于点B 和C .再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B .错误的结论是 A. AOC ABC S S =△△ B. ∠OCB ＝90° C. ∠MON ＝30° D. OC ＝2BC10. 已知OP 平分∠AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ,M 均不与点O 重合.在OB 上确定点N ，使QN =QM ，则满足条件的点N 的个数为A.1 个B.2个C.1或2个D.无数个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 因式分解：39a a -＝ _ . 12. 已知 -2是关于x 的分式方程23x kx x -=+的根，则实数k 的值为________ . 13. 如图，BE 与CD 交于点A ,且∠C ＝∠D .添加一个条件： ，使得△ABC ≌△AED .BA CM第8题图 第9题图14. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A ，C 重合，折痕为EF .若∠BAE =28°，则∠AEF 的大小为 °.15. 如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ＝4，E ，P 分别是AC ，AD 上的动点，则C P +EP 的最小值等于 .16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角” (如图)就是一例. 这个三角形给出了()na b +（n =1，2，3，4，5，6）的展开式（按a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数.（1）()5a b +展开式中4a b 的系数为 ；（2）()7a b +展开式中各项系数的和为 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3+23x x x +-. 18.下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段m ，n 及∠O .求作：△ABC ，使得线段m ，n 及∠O 分别是它的两边和一角. 作法：如图,① 以点O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点M ,N ； ② 画一条射线AP ，以点A 为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点B ； ③ 以点B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ； ④ 画射线AD ；⑤ 以点A 为圆心，n 长为半径画弧，交AD 于点C ； ⑥ 连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形. 请回答:（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ； （2）∠A ＝∠O 的作图依据是 ； （3）小红说小明的作图不全面，原因是 .19.计算：()201π533-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AD ＝AE .连接BD ,CE,∠ABD ＝∠ACE . 求证：AB ＝AC .21. 计算：2()()()4()2m n m n m n m m n m ⎡⎤+-+---÷⎣⎦.B22. 解方程：2151=24xx x +--- . 23.在三角形纸片ABC 中,∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，点E 在AC 上，AE ＝3.将三角形纸片按图1方式折叠,使点A 的对应点A '落在AB 的延长线上，折痕为ED ,A E '交BC 于点F .（1）求∠CFE 的度数；（2）如图2，,继续将纸片沿BF 折叠，点A '的对应点为A ''，A F ''交DE 于点G .求线段DG 的长.图1 图224. 如图，△ABC .（1）尺规作图：过点C 作AB 的垂线交AB 于点O .不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB ，OC 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点B ，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC =4.5，∠A =45°，写出点B 关于y 轴的对称点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△ACD 的面积.25. 先化简，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 是满足|3|3a a -=-的最大整数.26. 列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积. （1） 在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.A'F E C A GA'F E C设首届进博会企业平均展览面积为x 平方米，把下表补充完整： 届别总面积（平方米）企业平均展览面积（平方米）首 届 270 000x第二届 330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）.27. 在ABC 中，AB ＞BC ,直线l 垂直平分AC .（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD . ①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2） 如图2，直线l 与ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD . 求证：∠BAD =∠BCD .28.对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在 △ABC 的边上，且 123n PM PM PM PM ====L L ，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距lE D A C B lA B 图1 图2点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C . 若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）图1 图2东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDABCCADC二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.()()33a a a +- 12. 2 13.答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC ＝AD 14. 59 15. 4 16. 5 ；128三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17. 解： 原式()()()()332=223x x x x x -+++-L L L L 分()()2336423x x x x x -++=+-L L L L 分 ()()26523x x x +=+-L L L L 分 18.（1）BD ,MN ;……………………1分（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；……………………3分 （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. ……………………5分19.解：()-201π53⎛⎫- ⎪⎝⎭94=-+……………………4分=……………………5分20.证明：∵∠BAC ＝∠DAE,∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD.即∠BAD ＝∠CAE. ……………………2分 在△BAD 和△CAE 中,,BAD CAE ABD ACE AD AE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝∴△BAD ≌△CAE （AAS ）. …………………… 4分 ∴ AB ＝AC. …………………… 5分2222222()()()4()2(243454)2m (22)2m n m n m n m m n mm n m mn n m mn m mn m m n ⎡⎤+-+---÷⎣⎦=-+-+-+÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.解：分分分B()()()222124532453112343x x x x x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++--=++-+==-=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22.解：分分分经检验：13x =-是原方程的解. ∴13x =-.……………………5分23.解：（1）∵∠A ＝30°,∴∠A '＝30°. ……………………1分 ∵∠A BF '＝90°, ∴∠A FB '＝60°. ……………………2分∵∠CFE ＝∠A FB '，∴∠CFE ＝60°. ……………………3分（2）∵点A 与点A '关于直线DE 对称，∴DE ⊥AA '.∵∠A =30°，AE =3, ∴1322DE AE == . ……………………4分 由（1）知，∠CFE =60°，∠C =60°，∴△CFE 是等边三角形.∴EF =CE =AC -AE =1. ……………………5分 同理，△EFG 也是等边三角形， ∴12DG DE EG =-=DG =DE -EG =.……………………6分 24.解：（1）……………………………………………………………………………………2分GA''DA'FECAB图2A'FECA图1（2）D (-3,0)； ……………………4分 （3）13927==2228ACD S ⨯⨯△.……………………6分22222221225.[](2)(2)44(1)2[](2)(2)442(2124)4231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⋅++---+=-⋅++--+=⋅+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+解：原式分分分分∵a 是满足|3|3a a -=-的最大整数， ∴30a -≥. ∴3a ≤.∴=3a . ……………………5分 ∴1=15原式.……………………6分……………………………………………………………………………………4分（2）270 000330000+300=(1+12.8%)x x.……………………6分 27. 解：（1）①补全图形;……………………1分② 结论：∠BAD +∠BCD =180°. ……………………2分证明：过点D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ， 则∠AED =∠CFD =90°.∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF . ∵直线l 垂直平分AC ，∴DA =DC. ……………………3分在Rt ADE 和Rt CDF 中， DA DC DE DF =⎧⎨=⎩，，∴Rt ADE ≌Rt CDF . ∴∠BAD =∠FCD.∵∠FCD +∠BCD =180°，∴Rt ADN ≌Rt CDM.∴∠BAD =∠BCD. ……………………7分28.解：（1）①是，不是；……………………2分②……………………3分（2）如图，DC ＝2，或DC ＝1； ……………………5分B（3）32a a PC ＜＜.……………………7分。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
北京市东城区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B = （）A.{}|12x x -<< B.{}|11x x -≤<C.{}|12x x ≤< D.{}|11x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B = {}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)--，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2xy = D.1||y x =-【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n⊥C.若//n α，m n ⊥，则m α⊥ D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确；对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确；对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A.7B.9C.10D.13【答案】C 【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B.若2παβ+<，则cos cos αβ+<C.若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D.若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<是正确的；对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>，所以cos cos αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 2124ππ-+=+<，所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 1622ππ+=-+<，所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=，在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OCa b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =，即R =在直角1O OC ∆中，22222121OCOO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.【答案】(1).12(2).454【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.【答案】0【解析】【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =，若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <<+所以命题为真命题的一个m 的值为0.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，||4AC = ，||2BD = ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4【解析】【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅ ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，AB AC AC AD ⋅=⋅，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅= ，所以AC BD⊥uuu r uu u r 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC = ，||2BD = ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．【答案】2或10【解析】【分析】令2sin()x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=，即sin()2x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质，可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =.或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =.故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）【答案】(1).②(2).>【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-，当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==，当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =，当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯，即a b 与b c 的大小关系是a b >b c.故答案为：②，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π∠=（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C +=，即tan C =又因为0C π<<，所以23C π∠=.（2）由正弦定理，可得32sin 12sin 2b C B c ⨯===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至202l 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，P D，即可得到结论.得到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X012P0.180.490.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ-【解析】【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =- ，()10,2,2A B =--.所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-.设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R .（1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=，设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.①直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=- .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>- .解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是7227,0,,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析【解析】【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++ 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++ ()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++ ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |x ＞1，或x ＜0} B ．{x |x ≥1，或x ≤0}C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≥1}2．若复数z 1，z 2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z 1•z 2＝（ ） A ．2+iB ．1﹣2iC ．﹣1﹣2iD ．﹣i3．已知函数f （x ）＝3sin2x ，将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数g （x ）的解析式为（ ） A ．g(x)=3sin(2x −π8) B ．g(x)=3sin(2x −π4) C ．g(x)=3sin(2x +π8)D ．g(x)=3sin(2x +π4)4．已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1，则|a →+2b →|=（ ） A ．3B ．√3C ．2−√3D ．15．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n 则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β6．已知直线l 1：mx +（m +1）y +2＝0，l 2：（m +1）x +（m +4）y ﹣3＝0，则“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为（ ） A ．3B ．√3C ．5D ．√58．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t （月）满足函数关系式v ＝ab t （其中a ，b 为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 2≈0.3．） A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月9．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且在（0，+∞）上单调递减，若f(12)=f(−2)=1，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）有两个零点 B ．f （﹣1）＞﹣1C ．f （﹣3）＜1D ．f(12)＜f(2)10．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段B 1D 1上有两个动点E ，F （E 在F 的左边），且EF =√2．下列说法不正确的是（ ）A ．当E 运动时，二面角E ﹣AB ﹣C 的最小值为45°B ．当E ，F 运动时，三棱锥体积B ﹣AEF 不变C ．当E ，F 运动时，存在点E ，F 使得AE ∥BFD ．当E ，F 运动时，二面角C ﹣EF ﹣B 为定值 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11．函数f （x ）=√x +1+ln （2﹣x ）的定义域为 ． 12．已知等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48，则a 11＝ ．13．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π3]的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式为 ．14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，n ∈N *，且{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）={2x −a ，x ≤0x 2−3ax +a ，x ＞0当a ＝0时，f （x ）的值域为 ；若f （x ）有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，A 1C 1＝1，M ，N 分别是BC ，BA 的中点．（1）求证：A 1N ∥平面B 1BCC 1；（2）求平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值； （3）求点A 1到平面C 1MA 的距离．17．（13分）在①a +c ＝13，②b ＝7，③a +b +c ＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0． （1）求角B ；（2）若____，c ＞a ，BA →⋅BC →=20，求sin A ．18．（13分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？19．（15分）已知函数f （x ）＝2alnx ﹣x 2+1 （1）若a ＝1，求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若a ＞0，求函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值；（3）若f （x ）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a 的最大值． 20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ，点A 不在直线l 上， （ⅰ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ⅱ）从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)，写出|BD |的最小值（结论不要求证明）．21．（15分）已知无穷数列{a n }满足a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}（n ＝1，2，3，⋯），其中max {x ，y }表示x ，y 中最大的数，min {x ，y }表示x ，y 中最小的数． （1）当a 1＝1，a 2＝2时，写出a 4的所有可能值；（2）若数列{a n }中的项存在最大值，证明：0为数列{a n }中的项；（3）若a n ＞0（n ＝1，2，3，⋯），是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M ？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |x ＞1，或x ＜0} B ．{x |x ≥1，或x ≤0}C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≥1}解：∵全集U ＝{x |x ＞0}，集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}＝{x |0＜x ＜1}，∁U A ＝{x |x ≥1}． 故选：D ．2．若复数z 1，z 2在复平面内对应点的坐标分别为（2，1），（0，﹣1），则z 1•z 2＝（ ） A ．2+iB ．1﹣2iC ．﹣1﹣2iD ．﹣i解：由已知：复数z 1＝2+i ，z 2＝﹣i ，所以z 1•z 2＝（2+i ）（﹣i ）＝1﹣2i ． 故选：B ．3．已知函数f （x ）＝3sin2x ，将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数g （x ）的解析式为（ ） A ．g(x)=3sin(2x −π8) B ．g(x)=3sin(2x −π4) C ．g(x)=3sin(2x +π8)D ．g(x)=3sin(2x +π4)解：将函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到f(x −π8)=3sin2(x −π8)=3sin(2x −π4)， 故g(x)=3sin(2x −π4)． 故选：B ．4．已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1，则|a →+2b →|=（ ） A ．3B ．√3C ．2−√3D ．1解：已知向量a →与向量b →的夹角为120°，|a →|=|b →|=1， 则a →⋅b →=1×1×(−12)=−12，则|a →+2b →|=√a →2+4a →⋅b →+4b →2=√1−2+4=√3． 故选：B ．5．已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n 则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β解：根据题意，依次分析选项：对于A ，l 与n 可能平行，也可能异面，A 错误； 对于B ，l 与β可能平行、也能相交，B 错误；对于C ，l 与m 可以平行、也可以相交或异面，C 错误； 对于D ，若l ⊥α，l ∥β，必有α⊥β，D 正确； 故选：D ．6．已知直线l 1：mx +（m +1）y +2＝0，l 2：（m +1）x +（m +4）y ﹣3＝0，则“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若“l 1⊥l 2”，则m （m +1）+（m +1）（m +4）＝0，解得：m ＝﹣1，或m ＝﹣2 故“m ＝﹣2”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件， 故选：A ．7．已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为（ ） A ．3B ．√3C ．5D ．√5解：设圆心到直线的距离为d ，由题意可得2√r 2−d 2=6， 即d 2＝r 2﹣9，结合点到直线距离公式可得：√1+3=√r 2−9，解得：r ＝5．故选：C ．8．已知某种垃圾的分解率为v ，与时间t （月）满足函数关系式v ＝ab t （其中a ，b 为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（ ）（参考数据：lg 2≈0.3．） A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月解：由题意可得，{v(12)=ab 12=0.1v(24)=ab 24=0.2，解得b =2112，a ＝0.05，故v （t ）＝0.5×(2112)t ，令v （t ）＝1，可得(2112)t =20，即t =log 211220=lg20lg2112=1+lg2112lg2≈12×(1+0.3)0.3=52． 故选：B ．9．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且在（0，+∞）上单调递减，若f(12)=f(−2)=1，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）有两个零点B ．f （﹣1）＞﹣1C．f（﹣3）＜1D．f(12)＜f(2)解：根据题意可得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，（﹣∞，0）上为减函数，f（0）＝0，由f(12)=f(−2)=1，得f(−12)=f（2）＝﹣1，对于A，由f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f(12)=1，f（2）＝﹣1，所以存在x0∈(12，2)，使f（x0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上有一个零点，同理f（x）在（﹣∞，0）上有一个零点，又因为f（0）＝0，所以f（x）有三个零点，故A错误；对于B，因为函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以f(−1)＞f(−12)=−1，故B正确；对于C，因为函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，所以f（﹣3）＞f（﹣2）＝1，故C错误；对于D，因为f(12)=1，f（2）＝﹣1，所以f(12)＞f(2)，故D错误．故选：B．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E﹣AB﹣C的最小值为45°B．当E，F运动时，三棱锥体积B﹣AEF不变C．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BFD．当E，F运动时，二面角C﹣EF﹣B为定值解：对A：建立如图所示的空间直角坐标系，则A （2，2，0），B （0，2，0），C （0，0，0），D （2，0.0），D 1（2，0，2）， 因为E 1F 在 B 1D 1 上，且B 1D 1=2√2，EF =√2，可设E （t ，2﹣t ，2），（1≤t ≤2）， 则F （t ﹣1，3﹣t ，2），AE →=（t ﹣2，﹣t ，2），AB →=（﹣2，0，0），BF →=（t ﹣1，1﹣t ，2）， 设平面ABE 的法向量为 m =（x ，y ，z ），所以{AB →⋅m →=−2x =0AE →⋅m →=(t −2)x −ty +2z =0，取y ＝2，则m =(0，2，t)，平面ABC 的法向量为n →=（0，0，1）， 所以cos ＜m →，n →＞=√t +4，设二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=t √t +4=1√1+4t2，因为1≤t ≤2，y =√1+4t 2，在[1，2]上单调递减， 所以√2≤√1+4t 2≤√5，√55≤cosθ≤√22，当且仅当t ＝2时，cos θ取得最大值√22，即θ取最小值 45°，故A 说法正确． 对B ：因为S △BEF =12×EF ×BB 1=12×√2×2=√2，点A 到平面 BDD 1B 1的距离为√2， 所以体积为V B ﹣AEF ＝V A ﹣BEF =13×√2×√2=23，即体积为定值，故B 说法正确． 对C ：若AE ∥BF ，则A ，B ．B 1，D 1四点共面，与AB 和B 1D 1是异面直线矛盾，故C 说法错误． 对D ：连接CD 1，CB 1，CE ，平面EFB 即为平面BDD 1B 1，而平面CEF 即为平面CB 1D 1， 故当E ，F 运动 时，二面角C ﹣EF ﹣B 的大小保持不变，故D 说法正确．故选：C ．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11．函数f （x ）=√x +1+ln （2﹣x ）的定义域为 [﹣1，2） ． 解：要使f （x ）有意义，则{x +1≥02−x ＞0；∴﹣1≤x ＜2；∴f （x ）的定义域为[﹣1，2）．故答案为：[﹣1，2）．12．已知等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48，则a 11＝ 768 ． 解：∵等比数列{a n }中，a 4＝6，a 7＝48， ∴q 3=a 7a 4=486=8，q ＝2，a 11=a 7⋅q 4=48×24=768． 故答案为：768．13．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π3]的部分图像如图所示，则函数f （x ）的解析式为 f(x)=2sin(2x +π6) ．解：由图象可得，A ＝2，T2=2π3−π6=π2，即T ＝π，∴ω=2ππ=2， ∵f(π6)=2sin(π3+φ)=2，∴π3+φ=2kπ+π2，k ∈Z ， 即φ=2kπ+π6，k ∈Z ，又|φ|＜π3，∴φ=π6． ∴函数f （x ）的解析式为f(x)=2sin(2x +π6)． 故答案为：f(x)=2sin(2x +π6)14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，n ∈N *，且{a n }为单调递增数列，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，2） ．解：∵数列{a n }的通项公式为a n =n +λn ，且数列{a n }是递增数列， ∴a n +1﹣a n =n +1+λn+1−n −λn =−λn(n+1)+1＞0，n ∈N *恒成立， 即λ＜n 2+n ，n ∈N *恒成立， 而n 2+n ，n ∈N *随n 的增大而增大，即当n ＝1时，n 2+n ，n ∈N *取得最小值2，则λ＜2， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，2）， 故答案为：（﹣∞，2）．15．已知函数f （x ）={2x −a ，x ≤0x 2−3ax +a ，x ＞0当a ＝0时，f （x ）的值域为 （0，+∞） ；若f （x ）有三个零点，则a 的取值范围是 （49，1] ．解：当a ＝0时，f （x ）={2x ，x ≤0x 2，x ＞0，由x ＞0可得f （x ）＞0；x ≤0时，f （x ）∈（0，1]，可得a ＝0时，f （x ）的值域为（0，+∞）；由f （x ）有三个零点，可得x ≤0时，2x ﹣a ＝0即a ＝2x ∈（0，1]； 由x ＞0时，f （x ）＝0有两解，可得a ＞0，Δ＞0即9a 2﹣4a ＞0，解得a ＞49，综上可得49＜a ≤1．故答案为：（0，+∞），（49，1]．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，A 1C 1＝1，M ，N 分别是BC ，BA 的中点．（1）求证：A 1N ∥平面B 1BCC 1；（2）求平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值； （3）求点A 1到平面C 1MA 的距离．解：（1）证明：连接MN ，C 1A ．由M ，N 分别是BC ，BA 的中点，根据中位线性质，MN ∥AC ，且MN =AC2=1，由棱台性质，A 1C 1∥AC ，于是MN ∥A 1C 1，由MN ＝A 1C 1＝1可知，四边形MNA 1C 1是平行四边形，则A 1N ∥MC 1， 又A 1N ⊄平面B 1BCC 1，MC 1⊂平面B 1BCC 1，于是A 1N ∥平面B 1BCC 1．（2）以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B 1（1，0，2），M （1，1，0），C 1（0，1，2），A 1（0，0，2）， 设平面B 1MA的一个法向量为e →1=(x ，y ，z)，则{e→1⋅AB 1→=0e →1⋅AM →=0，解得e →1=(−2，2，1)， 平面ACC 1A 1的一个法向量为e →2=(1，0，0)， 设平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角为θ，|cos〈e →1，e →2〉|=|e →1e →2|e →1||e →2||=2√4+4+1⋅1=23，所以cosθ=23， 所以平面B 1MA 与平面ACC 1A 1所成夹角的余弦值为23．（3）设平面C 1MA 的一个法向量为e →3=(x ，y ，z)，则{e →3⋅AC 1→=0e →1⋅AM →=0，解得e →3=(−2，2，−1)，AA 1→=(0，0，2)，所以距离d =|e →3AA 1→|e →3||=|23|=23，点A 1到平面C 1MA 的距离为23．17．（13分）在①a +c ＝13，②b ＝7，③a +b +c ＝20三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并完成试题． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0． （1）求角B ；（2）若____，c ＞a ，BA →⋅BC →=20，求sin A ． 解：（1）∵c cos A ﹣2b cos B +a cos C ＝0，∴在△ABC 中，由正弦定理得，sin C cos A ﹣2sin B cos B +sin A cos C ＝0， ∴sin （A +C ）＝2sin B cos B ， ∵A ，B ，C 是△ABC 的内角， ∴sin （A +C ）＝sin B ≠0， ∴cosB =12， 所以，B =π3． （2）选择①a +c ＝13，∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，∵c ＞a ，∴c ＝8，a ＝5，在△ABC 中，由余弦定理得，b =√a 2+b 2−2abcosB =√52+82−2×5×8×12=7， 在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b =5√314． （2）选择②b ＝7．∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，在△ABC 中，由余弦定理得，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac ＝（a +c ）2﹣120， ∴a +c ＝13， ∵c ＞a ，∴a ＝5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b =5√314， （2）选择③a +b +c ＝20．∵BA →⋅BC →=20，∴ac cos B ＝20，即12ac =20，∴ac ＝40，在△ABC 中，由余弦定理得，[20﹣（a +c ）]2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝（a +c ）2﹣3ac ＝（a +c ）2﹣120， ∴a +c ＝13， ∵c ＞a ，∴a ＝5．在△ABC 中，由正弦定理得，sinA =asinB b=5√314． 18．（13分）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011﹣2020年的植树成活率（%）统计如表：（表中“/”表示该年末植树）：规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X 表示这3年中优质工程的个数，求X 的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？解：（1）乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A ， 所以P(A)=C 42C 72=4×32×17×62×1=1242=27．（2）甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， 则X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=328， P(X =1)=C 31⋅C 31⋅C 51+C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=514， P(X =2)=C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 41⋅C 51+C 31⋅C 31⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=1128， P(X =3)=C 31⋅C 41⋅C 51C 61⋅C 71⋅C 101=17， 则X 的分布列为：（3）不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小． 因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为47，12，且47＞12．则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为x 1，x 2，x 1=95.1+91.6+93.2+97.8+95.6+92.3+96.67=94.6，x 2=97.0+95.4+98.2+93.5+94.8+95.5+94.5+93.5+98.0+92.510=95.29，所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率，所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小． 19．（15分）已知函数f （x ）＝2alnx ﹣x 2+1 （1）若a ＝1，求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若a ＞0，求函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值； （3）若f （x ）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，求a 的最大值． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，f （x ）＝2lnx ﹣x 2+1，f ′（x ）=−2(x 2−1)x，（x ＞0），令f ′（x ）＜0．∵x ＞0，∴x 2﹣1＞0，解得：x ＞1， ∴函数f （x ）的单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）f ′（x ）=−2(x 2−a)x，（x ＞0）， 令f ′（x ）＝0，由a ＞0，解得x 1=√a ，x 2=−√a （舍去），①当√a ≤1，即0＜a ≤1时，在区间[1，+∞）上f ′（x ）≤0，函数f （x ）是减函数． 所以 函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （1）＝0；②当√a ＞1，即a ＞1时，x 在[1，+∞）上变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表∴函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （√a ）＝alna ﹣a +1，综上所述：当0＜a ≤1时，函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （1）＝0； 当a ＞1时，函数f （x ）在区间[1，+∞）上的最大值为f （√a ）＝alna ﹣a +1， （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当0＜a ≤1时，f （x ）≤f （1）＝0在区间[1，+∞）上恒成立； 当a ＞1时，由于f （x ）在区间[1，√a ]上是增函数，∴f （√a ）＞f （1）＝0，即在区间[1，+∞）上存在x =√a 使得f （x ）＞0． 综上所述，a 的最大值为1． 20．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l ：y ＝kx +m 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ⊥AN ，点A 不在直线l 上， （ⅰ）试证明直线l 过一定点，并求出此定点；（ⅱ）从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)，写出|BD |的最小值（结论不要求证明）． （Ⅰ）解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为√32，长轴的右端点为A （2，0）， 可得{c a=√32a =2c 2=a 2−b 2，解得a =2，b =1，c =√3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）证明：（ⅰ）联立方程组{y =kx +mx 24+y 2=1，整理得（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，可得x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以AM →=(x 1−2，y 1)，AN →=(x 2−2，y 2)， 因为AM ⊥AN ，即AM →⊥AN →，可得AM →⋅AN →=(x 1−2，y 1)⋅(x 2−2，y 2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+(km −2)(x 1+x 2)+m 2+4 =(k 2+1)⋅4m 2−44k 2+1+(km −2)×−8km 4k 2+1+m 2+4=5m 2+16km+12k24k 2+1=0，所以5m 2+16km +12k 2＝0，解得m ＝﹣2k 或m =−65k ，当m ＝﹣2k 时，直线方程为y ＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），此时过A （2，0），不符合题意（舍去）； 当m =−65k 时，直线方程为y =kx −6k5=k(x −65)，此时过P(65，0)，符合题意， 综上可得，直线过定点P(65，0)．（ii ）由题意，从点A 作AD ⊥MN 垂足为D ，点B(85，2)， 如图所示，点D 落在以AP 为直径的圆上，且圆心坐标为O 1(85，0)，半径为r =25， 则|O 1B |＝2，所以|BD |的最小值为|O 1B|−r =2−25=85． 21．（15分）已知无穷数列{a n }满足a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}（n ＝1，2，3，⋯），其中max {x ，y }表示x ，y 中最大的数，min {x ，y }表示x ，y 中最小的数． （1）当a 1＝1，a 2＝2时，写出a 4的所有可能值；（2）若数列{a n }中的项存在最大值，证明：0为数列{a n }中的项；（3）若a n ＞0（n ＝1，2，3，⋯），是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M ？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由．解：（1）由a n ＝max {a n +1，a n +2}﹣min {a n +1，a n +2}≥0，a 1＝max {2，a 3}﹣min {2，a 3}＝1， 若a 3＞2，则a 3﹣2＝1，即a 3＝3，此时a 2＝max {3，a 4}﹣min {3，a 4}＝2，当a4＞3，则a4﹣3＝2，即a4＝5；当a4＜3，则3﹣a4＝2，即a4＝1；若a3＜2，则2﹣a3＝1，即a3＝1，此时a2＝max{1，a4}﹣min{1，a4}＝2，当a4＞1，则a4﹣1＝2，即a4＝3；当a4＜1，则1﹣a4＝2，即a4＝﹣1（舍）；综上，a4的所有可能值为{1，3，5}．（2）证明：由（1）知：a n≥0，则min{a n+1，a n+2}≥0，数列{a n}中的项存在最大值，故存在n0∈N∗使a n≤a n，（n＝1，2，3，⋯），由a n0=max{a n0+1，a n0+2}−min{a n0+1，a n0+2}≤max{a n0+1，a n0+2}≤a n，所以min{a n0+1，a n0+2}=0，故存在k∈{n0+1，n0+2}使a k＝0，所以0为数列{a n}中的项；（3）不存在，理由如下：由a n＞0（n＝1，2，3，⋯），则a n≠a n+1（n＝2，3，⋯），设S＝{n|a n＞a n+1，n≥1}，若S＝∅，则a1≤a2，a i＜a i+1（i＝2，3，⋯），对任意M＞0，取n1=[Ma1]+2（[x]表示不超过x的最大整数），当n＞n1时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+...+（a3﹣a2）+a2＝a n﹣2+a n﹣3+...+a1+a2≥（n﹣1）a1＞M；若S≠∅，则S为有限集，设m＝max{n|a n＞a n+1，n≥1}，a m+i＜a m+i+1（i＝1，2，3，⋯），对任意M＞0，取n2=[Ma m+1]+m+1（[x]表示不超过x的最大整数），当n＞n2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+...+（a m+2﹣a m+1）+a m+1＝a n﹣2+a n﹣3+...+a m+a m+1≥（n ﹣m）a m+1＞M；综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M．。
北京市东城区2020届高三上学期期末教学统一检测语文试题[答案]
东城区2019—2020学年度第一学期期末统一检测高三语文2020．1本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的材料，完成1-5题。
材料一当前，我国经济已由高速增长阶段转向高质量发展阶段，人们更加注重经济发展的质量和效益。
加强知识产权保护是完善产权保护制度最重要的内容，也是对提高经济竞争力最大的激励，更是我国自身发展的内在需求。
实现创新驱动发展离不开知识产权保护。
过去几十年来，中国坚定不移地实施严格的知识产权保护制度，在加强知识产权制度建设、完善相关法律基础、打造专门法院等基础设施方面取得重大成效。
与此同时，知识产权保护效果、运用效益和国际影响力不断得到提升，实现了由知识产权弱国向知识产权大国的跨越。
世界知识产权组织总干事弗朗西斯·高锐表示，中国将知识产权置于战略高位，注重知识产权保护，并表现出长期政策决心，这是“值得其他国家学习的”。
同时，知识产权保护已成为中国经济发展的新动能。
例如，我国目前已成立了25家知识产权保护中心，凭借其快速预审、确权、维权为一体的协调联动方式，切实解决了权利人维权举证难、周期长、成本高等问题，为社会公众提供了更加便捷、高效、低成本的维权渠道。
此外，保护中心的建设与国家和地方的优势特色产业布局相结合，与各地自由贸易试验区、全面创新改革试验区、双创示范基地等有效对接，助推当地经济高质量发展。
在看到我国知识产权保护取得长足进步的同时，也必须清醒地认识到，目前我国知识产权保护的法律体系尚不完善，新领域、新业态发展不断对知识产权法律制度建设提出新的要求；保护的工作体系尚不健全，现有组织协调平台和机制作用未充分发挥，仲裁调解、行业自律、社会监督协同不够；保护的工作链条尚未理顺，纠纷受理、仲裁调解、行政执法、司法审判等环节之间缺乏高效衔接机制。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3