1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理
已知两角和任意一边， 已知两角和任意一边， 求其他两边和一角 。 。 【例 1】 在△ABC 中，已知A = 45 ， C = 30 ， C c = 10，解三角形. 解： B =180° (A + C) =105° a b
定理的应用
c sin A 10×sin 45° ∴a = =10 2 = sinC sin30° b c = ∵ sin B sin C c sin B 10×sin 105° ∴ b= = = 5( 6 + 2 ) sin 30° sin C
a c = ∵ sin A sinC
A
c
B
【巩固练习】
6+ 2 sin 75 = 4
1.在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°， c= 3 2 ，解三角形.
答案：C = 60°, a = 3 + 3 , b = 2 3
2.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°， b=12 ，解三角形.
答案：C = 30°, a = 4 3 , c = 4 3
回应情境 △ABC中，已知 ＝75，C＝60，AC＝100，求 中 已知A＝ ， ＝ ， ＝ ， B AB． ． c 解： = 180° (A + C) = 45° B
b c a ∵ = sin B sinC 60 b sinC 100× sin60° ∴c = = C sin B sin45° = 50 6
b
A
c
D
B
C
a
c
B
D
a b c b 同理可得 = = sin A sin B sinC sin B
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
必修5课件 1.1.1 正弦定理
当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度， 沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、 的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意： （1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的 问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边 和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。 注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况： 在
人教版 必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以 即得： = = 2 sin C ， sin A sin B
高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2， 故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。
1.1.1正弦定理1
图2 C
D
思考
a b c ＝ 求证: ＝ sin A sin B sin C
＝ ？
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
1.1.1正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a
B
(1)若三角形是锐角三角形, 如图 1, 过点A作AD⊥BC于 D, AD , sin C 此时有 sin B AD c b
应用正弦定理化边为角：
＝
2R
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 或化角为边：sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A : B : C 3: 2 :1,
2：31 ： 那么对应的三边之比a : b : c等于 ____________
B 30 , C 105
0
（三角形中大边对大角）
a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
课堂小结
（1）三角形常用公式： A B C
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① ②
已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
1.1.1正弦定理
[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形 评析] 已知三角形的任意两个角和一边 评析 已知三角形的任意两个角和一边， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计 算出三角形的另两边． 算出三角形的另两边． (2)运算过程中， 运算过程中， 要注意三角函数公式的应用， 运算过程中 要注意三角函数公式的应用， 此题中对 105°作了“拆角”处理． 作了“ 作了 拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦 评析] 已知两边及一边对角时， 评析 已知两边及一边对角时 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无 解的情况． 解的情况． (2)在三角形中， 在三角形中， 在三角形中 注意运用大边对大角或大角对大边的性 局限于一个三角形中)． 质(局限于一个三角形中 ． 局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况 ． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一边 用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角， 已知两边及其中一边的对角， 用正弦定理， 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理， 可能有两 一解或无解． 解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 ， 况如下： 况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图 形
①a＝ ＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解 解的个数 一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
1.1.1正弦定理2012.4.26
(正确解法 正确解法)解：根据正弦定理， 正确解法
b ⋅ sin A 25 ⋅ sin 133 sin B = = ≈ 0.8311 a 22
0
∵00<B<1800且a<b 而A=1330 ∴这样的三角形不存在！ 这样的三角形不存在！
练习:P4 2
正弦定理的另一种证法
证二:如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
0
∴B≈640
错！
∵00<B<1800且a<b ∴B≈640或B≈1160 (1)当B≈640时，… (2)当B≈1160时，… 特别注意！
20 3 变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= 3
cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精 确到1cm）. 解：根据正弦定理，
3 20 ⋅ sin 60 0 b ⋅ sin A 1 3 sin B = = = 20 2 a
例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm， ABC中 已知a=20cm，b=28cm， a=20cm 解三角形（角度精确到1 A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到 1cm） 1cm）.
C b A a c B
解：根据正弦定理，
b ⋅ sin A 28 ⋅ sin 40 sin B = = ≈ 0.8999 a 20
π
a C
a = sin A c
B
b = sin B c
c A
b
二、提出问题： 提出问题： 三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子准 确量化的表示？ 确量化的表示？ 探究一： 探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究 △ 中 结合三角函数， 边角关系？ 边角关系？
A
a b = sin A = sin B c c a b ⇒ = = c sinC=1 sin A sin B a b c ⇒ = = sin A sin B sin C
1.1.1正弦定理
C/
1 1 1 另证2: S absin C = bc sin A = ac sin B ∆ABC = 2 2 2
A
c
B
b
ha
1 证明： S∆ABC = aha ∵ 2
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
D
b c = , 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C
a c 同理可得 = , sin A sin C
a b c 即： = = sin A sin B sinC
若三角形是钝角三角形 且角 如图2, 若三角形是钝角三角形,且角 是钝角如图 钝角三角形 且角C是 过点A作AD⊥BC， 交BC延长线于D, 此时也有 sin B =
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 大角对大边，
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： 正弦定理： = = = 2R sin A sin B sinC
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 一般地，把三角形的三个角A 和它们的对边a 叫做三角形的元 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形 的过程叫解三角形
a
B
N
一解
已知A、a、b；求B
(1)A < 90°时 d = asin A
d < a < b时
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第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
① 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其
它的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对 边a,b,c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形。
【课堂练习】
10
2 14
Q 又
B 180 ( A C ) 105
bc sin B sinC
b c sin B 10 sin105 19
sinC
sin 30
例2 在ABC中，已知 a 4,b 4 2, B 45，求A,C和边c .
解：由 a b sin A sin B
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
பைடு நூலகம்
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【课外作业】
用向量法证明正弦定理。
A
r e
B
C
【课堂练习】
（3）在△ABC中，根据下列条件解三角形。
① A 600, B 450,c 20
② a 1,b 2, B 450
C 75
① a 30 2 10 6
b 20 3 2
A 30
C 105
②
c 6 2
2
【课堂练习】
③ a 4,b 2, B 450 ④ c 6，A ,a 2,求b
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
证法二：
证明：做∆ABC的外接圆e O ，设其半径为R。
过点B做直径A’B，连接A’C。 则∠A’CB=90°,∠A=∠A’。
sin A sin A' a 2R
2R a sin A
2R b
同理：
2R
sin B c
sin C
所以
a b c 2R sin A sin B sin C
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
4
③ 无解 ④ b 3 1或 3 1
【课堂小结】
1、正弦定理：
a b c 2R(R为三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C
2、正弦定理的推导过程； 3、正弦定理在解三角形中的应用。
【作业】
• 必做题：P4，1、2 • 选做题：P10，6、7 • 预习新课：余弦定理
aC
？对于锐角和钝角三角形，以上关系是否仍然成 立呢？
对于锐角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
对于钝角∆ABC，有
a b c sin A sin B sinC
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即
a b c sin A sin B sinC
那么在三角形中，边和角之间有没有准确的量 化关系呢？
• 如图，∆ABC中，∠A所 对的边BC长为a，∠B所 对的边AC长为b，∠C所 对的边AB长为c。
【探究一】三角形中的角和边的关系
根据三角函数定义，找出直角三角 形中的边角关系。
A
c
b
a b c sin A sin B
sinC 1
abc B sin A sin B sinC