2018届四川省成都市第七中学高三下学期三诊模拟考试数学(理)试题(word版)

成都七中2018届高三三诊模拟试题(理科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}230A x x x =->，{}1B x y x ==-，则A B 为（ ）A ．[)0,3B ．()1,3C ．(]0,1D ．∅ 2. 已知复数z 满足1+1zz i=- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ． i B ．-1 C ． 1 D ．i -3. 把[]0,1内的均匀随机数x 分别转化为[]0,4和[]4,1内的均匀随机数1y ，2y ，需实施的变换分别为 A ．124,54y x y x =-=- B ．1244,43y x y x =-=+ C ． 124,54y x y x ==- D ． 124,43y x y x ==+4. 已知命题:p x R ∃∈,20x ->，命题:q x R ∀∈，x x <，则下列说法中正确的是（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C. 命题()p q ∧⌝真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．642+ C. 4+42 D ．26. 已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC =，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（ ） A ．14 B ． 13 C. 12 D ．237. 已知二项式91()2x ax +的展开式中3x 的系数为212-，则()1e a x dx x +⎰的值为（ ） A ．212e + B ． 232e - C. 232e + D ．252e -8. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ） A ．42z ≤ B ． 45z ≤ C. 50z ≤ D ．52z ≤9. 已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有 （ ）A ． 240种B ．360种 C.480种 D ．600种 10.将函数()sin ()0,22f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移56π个单位长度得到cos y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ． 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ C. 5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 11. 已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ． 2 C. 3 D ．412. 定义函数348,12,2()1(),222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则函数()()6g x xf x =-在区间1,2()n n N *⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2n C.3(21)4n - D ．3(21)2n - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若随机变量2(:)Z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P z μσμσ-<≤+=.已知随机变量(6,4)XN ，则(28)P X <≤ ．14. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，则ABC ∆面积的取值范围是 ．15. 已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，则C 的半径r 的取值范围 ．16. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}2nn a ⋅的前n 项和n S ，求n S .18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄 [)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计 支持 不支持 总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 参考数据：20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 19. 在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，四边形ADEF 是正方形，//AB DC ，1AB AD ==，2CD =，5AC EC ==，（1）求证：平面EBC ⊥平面EBD ；（2）设M 为线段EC 上一点，3EM EC =，求二面角M BD E --的平面角的余弦值.20. 设1F 、2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF 的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1x ky =-与椭圆E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '(A '与B 不重合)，则直线A B '与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 21.已知函数1()ln f x a x x=+，其中a R ∈； （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x 的不等式22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++，当1x ≥时恒成立，求t 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为25cos ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立. （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1m >，1n >，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值.成都七中2018届高三三诊模拟数学试题(理答案)一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BBACC 11、12：BD二、填空题13. 0.8185 14. 333(,]24 15. 10410[,)35 16.28,203ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∴21n a n =+（2）12(12)2n n +--⨯18.解:（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充22⨯列联表如下：45岁以下45岁以上总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计5050100因为2K 的观测值2100(3554515) 6.25 3.84150508020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为63=84，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为11622837C C C =，故所求概率347374P ==. ②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以X 的可能取值为0,1,2.262815(0)28C P X C ===，116228123(1)287C C P X C ====，22281(2)28C PX C ===. 故随机变量X 的分布列为：X 0 1 2P152837 128所以311()127282E X =⨯+⨯=.19. 解:（1）因为1AD =，2CD =，5AC =，222AD CD AC +=所以ADC ∆为直角三角形，且AD DC ⊥ 同理因为1,2ED CD ==，5EC =，222ED CD EC +=所以EDC ∆为直角三角形，且ED DC ⊥， 又四边形ADEF 是正方形，所以AD DE ⊥又因为//AB DC 所以DA AB ⊥.在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ， 故四边形ABHD 是正方形，所以45ADB ∠=︒.在BCH ∆中，1BH CH ==，∴45BCH ∠=︒.2BC =，∴45BDC ∠=︒，∴90DBC ∠=︒∴BC BD ⊥.∵ED AD ⊥，ED DC ⊥,AD DC D =.AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD . 所以BD ⊥平面ABCD ,又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED BC ⊥ 因为BDED D =，BD ⊂平面EBD ，ED ⊂平面EBD .∴BC ⊥平面EBD ，BC ⊂平面EBC ，∴平面EBC ⊥平面EBD（2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系(如图)则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)D E B C .令00(0,,)M y z ，则00(0,,1)EM y z -，(0,2,1)EC -因为3EM EC =，∴00(0,3,33)(0,2,1)y z a -=- ∴22(0,,)33M =.因为BC ⊥平面EBD ，∴(1,1,0)BC -，取(1,1,0)n -是平面EBD 的一个法向量.设平面MBD 的法向量为(,,)m x y z =.则00m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即022033x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即x y z =-=-. 令1y =-，得(1,1,1)m =-， ∴()26cos ,323m n m n m n ⋅===⋅，20.解:（1）易知2a =，4c b =-，24b <所以()14,0F b --，()24,0F b -，设(),P x y ，则()124,PF PF b x y⋅=----，()2222222224,44(1)444b x b b x y x y b x b b x b b ---=++-=+-+-=-+-+因为[]2,2x ∈-，故当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1，即221(1)444b b b =-⨯+-+，解得1b =故所求的椭圆方程为2214x y += （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则11(,)A x y '-，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(4)230k y ky +--=，故12224k y y k +=+，12234y y k -⋅=+. 经过点11(,)A x y '-，22(,)B x y 的直线方和为112121y y x x y y x x +-=+- 令0y =，则21211121211211121212()()x x x x y y y x x y x y x y x y y y y y y --+++=+==+++， 又因为111x ky =-，221x ky =-，∴当0y =时，222112************2262+(1)(1)2()4442244k kx y x y ky y ky y ky y y y k k x k k y y y y k k ---+--+++=====-++++，这说明，直线A B '与x 轴交于定点(4,0)-. 21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x-'=-+= 当1x =时，()0f x '=，解得1a = 经验证1a =满足条件，（Ⅱ）当1a =时，22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++ 整理得(2)ln(1)t x x x <++- 令()(2)ln(1)h x x x x =++-， 则21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++，(1)x ≥ 所以min ()3ln 21h x =-，即3ln 21(0,2)t <-∈ ∴1t =（Ⅲ）[]3()(3)3ln (3)(3)g x g x a x x x x +-=----令(3)(0,2)t x x =-∈,，构造函数3()3ln F t a t t=-- 即方程3()3ln 0F t a t t=--=在区间(0,2)上只少有两个解 又(1)0F =，所以方程3()3ln 0F t a t t=--=在区间(0,1)(1,2)⋃上有解2233()a atF t t t t-'=-=当0a ≤时，()0F t '>，即函数()y F t =在(0,2)上是增函数，且(1)0F =， 所以此时方程在区间(0,1)(1,2)⋃上无解 当01a <≤时，()0F t '>，同上方程无解当13a <<时，函数()F t 在3(0,)a 上递增，在3(,2)a上递减，且31a > 要使方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)⋃上有解，则(2)0F <，即33ln 202ln 4a a -<⇒>所以此时3(,3)ln 4a ∈ 当3a >时，函数()F t 在3(0,)a 上递增，在3(,2)a 上递减，且31a <，此时方程()0F t =在3(0,)a内必有解，当3a =时，函数()F t 在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，且(1)0F = 所以方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)⋃内无解 综上，实数a 的范围是3(,3)(3,)ln 4⋃+∞22.解:（Ⅰ）222225cos ()()cos sin 12252sin x y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y += ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ= 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即222:(2)(1)1C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为(4,0)-直线l 的倾斜角为4πα=，2sin cos 2αα==所以直线l 的参数方程为24222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，所以2(32)4420∆=--⨯=>.设,A B 对应的参数分别为12,t t 则所以1232t t +=，124t t =.所以22121212()4(32)442AB t t t t t t =-=+-=-⨯=.23.解：（1）令1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}1t T t t ∈=≤.（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n +≥≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式26m n mn +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号. 所以m n +的最小值为18.。