数列中的奇偶项分类讨论问题20170313
数列中的奇偶项分类讨论问题20170313
数列中的奇偶项分类讨论问题20170313数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为nS ，且248,40a S ==．数列{}nb 的前n 项和为n T ，且230n nT b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}na ,{}nb 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n nn ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44na a nd =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)nn bb n -=≥数列{}nb 为等比数列，132n nb-∴=⋅．（Ⅱ）14 32nn nn cn -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ．当n为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--．当n为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()nn n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数例2.数列{}na 中，()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，nS 为数列{}na 的前n 项和，求nS 。
{}na练习、（12宁波一模）已知数列{}na 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21nn ba -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n bb +=+（2）①证明：数列{}2nb +等比数列；②若22122,,9kk k aa a +++成等比数列，2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨⎩--=解：当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数，n 为偶数为奇数,S 222232(n 1);21+)3;2232,23,2n n n n n n n n nn n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b aa a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n ba a ab b ++-==+=+=+（2）①因为111122(2)1,20,2,22n nnnb b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2nb +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2nb +可得，1121322,322n n nn ba ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9kk k aa a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)kk k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. ……………14分2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n ，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m －1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.4．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 （C ） （A ）4（B ）6 （C ）8 （D ）10 6、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.7、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
q n1 q
)
,
q
1 .
na1
,q 1
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
当n为奇数时，Sn a1 a3 an a2 a4 an1
n 1 2 (a1
an )
n 1 2 (a2
an1 )
n2
3n 2
2
2
2
当n为偶数时，Sn a1 a3 an1 a2 a4 an
n 2
(a1
an1 )
n 2
(a
2
an )
n2
3n .
2
2
2
综上，S n
n2
n
2
3n ， n偶数 2 3n 2，n奇数
2
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
变式1、已知在数列an 中，a1 1，an an1 2n 2，求an及 数列an 的前n项和Sn .
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
电白一中 邱展民
数列中的分类讨论思想之奇偶分析法
知识回顾：
等差数列：an a1 (n 1)d
等比数列：an a1 q n1
Sn
n(a1 2
an )
a1n
n(n 1)d 2
Sn
a1
(1 1
解： a1 1, an an1 2n 2 , a2 3, 当n 2时，an-1 an 2(n 1) 2, 则an1 an1 2 (n 2).
数列奇偶项分类讨论
数列奇偶项分类讨论
稿子一：
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊数列奇偶项分类讨论这个有趣的话题。
你说数列奇偶项分类讨论，是不是有点让人头疼？其实呀，没那么可怕！比如说，有些数列它的奇数项和偶数项就像两个性格不同的小伙伴。
有时候奇数项乖乖地按照一种规律变化，偶数项呢又有自己独特的小脾气。
就像一群小朋友排队，男生一排，女生一排，各自有着不同的身高增长规律。
举个例子呗，假如有个数列，奇数项每次都加 2，偶数项每次都乘 3。
那咱们就得把它们分开来看，不能混为一谈。
而且哦，在做题的时候，咱们得睁大双眼，看清楚题目给的条件是关于奇数项还是偶数项的。
可别马虎啦，不然就容易出错哟。
还有还有，当咱们搞清楚了奇偶项的规律，解题就会变得轻松好多呢。
就像找到了打开宝箱的钥匙，那种感觉超棒的！
怎么样，是不是觉得数列奇偶项分类讨论也没那么难啦？
稿子二：
嗨嗨，小伙伴们！今天咱们要一起攻克数列奇偶项分类讨论这个小难关啦！
你想想，数列就像一群调皮的小精灵在排队玩耍。
有的时候奇数项的小精灵们一组，偶数项的小精灵们又一组。
比如说，一个数列奇数项是等差数列，偶数项是等比数列。
这时候咱们就得细心观察，把它们分开照顾。
为啥要分类讨论呢？这就好比我们分男生女生比赛，规则不一样，得分方式也不同呀。
做题的时候，咱们可不能一视同仁，得给奇偶项不同的“待遇”。
比如说，先把奇数项的规律找出来，写下来，再去研究偶数项。
有时候，奇偶项的规律可能会相互影响，这就更需要我们聪明的小脑袋瓜好好思考啦。
高中数学数列中的奇偶项问题(经典题型归纳)
数列中的奇偶项问题题型一、等差等比奇偶项问题(1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列公差为________(2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______(3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为_________；项数为_____________题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1n n a a f n +⋅=）1．定义“等和数列”：在一个数列中，如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为___________________2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________4．已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S .5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足()*143n n a a n n N ++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； （2）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；6．（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列{}n a ，{}n b 中，已知10a =,21a =,11b =,212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.题型三、含有()1n-类型1．已知()1123456..........1n n S n -=-+-+-+-，则173350S S S ++=_____________2．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则的前60项和为________3．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211nn n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112nn n n S a =--，*n N ∈，则123100..........S S S S +++=____5．已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；题型四、含有{}2n a 、{}21n a-类型1．(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ．2．（镇江市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．3．【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；4．（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，{}221n n a pa ++成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．题型五、已知条件明确奇偶项问题1．（无锡市2018届高三第一学期期中质检，19）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N . （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由.2．已知数列{}n a 中，11a =，))1n a +=，设232n n b a -=（1）证明数列{}n b 是等比数列（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n3．(2015江苏省连云港、徐州、宿迁三模19)．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，*n N ∈n ∈N *．正项等比数列{}n b 满足：22b a =，46b a =，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*,21,2n n na n k cb n k k N =-⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求所有正整数m 的值，使得221nn T T -恰好为数列{}n c 中的项．。
数列的奇偶项问题教学
数列的奇偶项问题教学同学们，今天咱们来唠唠数列里一个特别有趣的事儿——奇偶项问题。
这就好比数列这个大家族里，突然分成了两个小帮派，一个是奇数项组成的帮派，一个是偶数项组成的帮派。
一、为啥要研究奇偶项呢？你们想啊，数列有时候就像一个调皮的小怪兽，它的规律不是那么一目了然的。
有时候整个数列看起来乱乱的，但是当我们把它的奇数项和偶数项单独拎出来看的时候，哇塞，就像给这个小怪兽打了一针镇定剂，规律一下子就清晰了。
比如说，有些数列的奇数项可能是一个等差数列，而偶数项可能是一个等比数列呢。
这就像是这个数列在玩一种特别的游戏，奇数项和偶数项有各自的玩法。
二、怎么识别奇偶项问题呢？这就像是侦探找线索一样。
当你看到数列的通项公式或者递推公式里，有那种和项数的奇偶性有关的东西，那你就得小心喽，这很可能就是奇偶项问题在向你招手呢。
比如说，递推公式里有类似“当n为奇数时，an + 1 = f(an)”，“当n为偶数时，an + 1 = g(an)”这样的描述，或者通项公式里有根据n是奇数还是偶数而有不同表达式的情况，这就像是数列在给你发送信号：“我这里有奇偶项的秘密哦！”三、具体例子来一波1. 通项公式的奇偶项咱们来看个例子哈，an = {n, n为奇数；2n, n为偶数}。
这个数列就很直白地告诉我们它的奇偶项规律了。
奇数项就是n，那就是1、3、5、7……这样的数；偶数项呢，就是2n，那就是2×2 = 4，2×4 = 8，2×6 = 12……这样的数。
你看，奇数项和偶数项就像两条不同轨道上的小火车，各自按照自己的速度和方向行驶。
2. 递推公式的奇偶项再看这个递推公式：当n为奇数时，an + 1 = an + 2；当n为偶数时，an + 1 = 2an。
咱们从第一项a1 = 1开始。
因为1是奇数，所以a2 = a1 + 2 = 1+ 2 = 3。
现在2是偶数了，那么a3 = 2a2 = 2×3 = 6。
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题例1、〔12一模〕数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. 〔1〕求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+〔2〕①证明：数列{}2n b +等比数列；②假设22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：〔1〕2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+〔2〕①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，那么12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、〔14二模〕设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．〔I 〕求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；〔II 〕设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ，求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：〔Ⅰ〕由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分〔Ⅱ〕14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分 当n 为奇数时，〔法一〕1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++- ……………13分点评:根据结论1退而求之.〔法二〕132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分 点评：分清项数，根据奇偶进展分组求和。
数列中的奇、偶项问题
数列中的奇、偶项问题类型一、数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；例1-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝4n .(1)求数列{a n }的前100项和S 100；(2)求数列{a n }的通项公式.练．设各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，且2a ，61a -，11a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差d ；（2）{}n b 满足1n n n b b a ++=，且111b a +=，求{}n b 的通项公式．练．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（）A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．40412022例1-2.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n .练．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++= .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N ∈，122n c c c +++< .类型二、含有(－1)n 的类型；例2-1.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n ，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求数列{b n }的前100项和S 100；(2)若数列{b n }是公差为2的等差数列，求数列{a n }的通项公式.例2-2.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *.(1)求a 3；(2)求S 1＋S 2＋…＋S 100.练.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于()A.200B.－200C.400D.－400练.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .类型三、含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；例3-1.已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝na n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .练．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（）A ．100332005-B ．201632017-C ．100832017-D ．100932018-练．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）．A ．4950-B ．4851-C ．4851D ．4950类型四、已知条件明确的奇偶项问题.例4-1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1n ＋n －1，n 为奇数，－2n ，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，求证：数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式.练.已知数列{a n }满足a n a n ＋12＋12，n 为正奇数，a n 2＋n2，n 为正偶数.(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2){a 2n }的通项公式.练．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若nS 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.练．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（）A．B ．4C ．D ．2018练．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（）A ．32B ．43C ．34D ．35练．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2nn n n S a n =--∈，则12100S S S +++= （）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦练．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．。
数列的奇偶项3类问题说课讲解
数列的奇偶项3类问题数列的奇偶项问题问题一：有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同，称为数列的奇偶项问题.解题过程中，通常要采用奇偶分析法，即对脚标的奇偶分类讨论.看2014年全国高考卷的一道数列题.分析：题中给出的是通项与前n项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多，基本的办法就是利用二者的关系，把前n项和消去，得到相邻两项或相邻多项的关系.从（1）问的结论中，我们能判断数列为等差吗？显然不能，因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数，而上式中两项的脚标相差2.当然，我们可以这样来看：第一项，第三项，第五项，...，即奇数项可看作等差数列；第二项，第四项，第六项，...即偶数项可看作等差数列.但是，我们不能认为整个数列为等差数列.第（2）为探索题.对于探索题的解法，通常我们先假设存在，用特殊项，比如利用前3项成等差，求出参数的值（这个过程利用的是条件的必要性）；然后再验证该参数的值的确使得该数列为等差数列（这个过程是证明条件的充分性）.这种先用特殊法求值，再一般验证的办法，有利于减少探索时间，这在高考时间紧迫的情况下尤其显得重要.当然，解到这一步不算完，还要验证.若入=4时数列不是等差数列，则不存在符合题意的入.如何进行一般化的验证呢？证明数列为等差的途径有以下几个.其中，1是定义法，4是中项法，我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法，中项法证明等差数列中分别谈到过.2和3是定义法的拓展和延伸，2称为通项判断法，3称为前n项和判断法.2和3分别试图从通项和前n项和的形式上描述等差数列，当然方法2和3本质上依然是定义法.结合第（1）问提供的结论，我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式，为此需要采用奇偶分析法.同样的方法研究偶数项的通项公式.我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的.在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，属于“无脑解法”，不容易犯错.当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项公式，前提是项数不要搞错.下面，思考一个一般化的问题.看下面的简图.把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值（假设入>0）.可是，由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢？其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......文章的最后，留这样一道思考题.问题二数列的奇偶项问题22012年高考全国新课标理科卷第16题考到了这样一道数列题.题目非常简洁，解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨：怎么第1项也不告诉我啊？在数列的奇偶项问题中，我们谈到过，遇到(-1)^n的形式，要采用奇偶分析法.若n为奇数，得到下面的结论.若n为偶数，有下面的结论.请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.如何处理呢？注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.这样的话，我们就能够求出奇数项的和.解决复杂问题就是这样，既然我们求解通项公式很困难，能求什么就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.如何求偶数项的和呢？偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.下面我们换一个思考问题的角度.既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？思考1分钟.你看出来了吗？（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.按照这个思路，我们有了下面的解法.不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.它们二者之间有没有关系呢？带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.依然采用迭代的方法.这个式子表达什么含义呢？奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.所以，前60项和依然等于1830.本篇强调数列问题的基本方法：1.遇符号数列，采用奇偶分析法；2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.问题三数列的奇偶项问题3最近，真是数列开会啊，可见这个部分难题多.第1问分析：我们平时习惯于证明肯定的结论，否定形式的命题见的比较少.大家觉得肯定类型的结论和否定类型的结论，哪一类容易证明呢？往往否定的更难证明，因为“不是”意味着多种可能性.聪明的解决办法，就是采用反证法.即假设命题成立，然后推出矛盾，以这种“曲线证明”的方法说明原命题是不成立的.同时请注意，命题中有全称量词“任意”，在反设结论时，应该把全称量词改为特称量词.第（2）问分析：证明复杂数列为等差或者等比的方法，主要为定义法，这一方法在证明复杂数列为等差或等比数列的方法中谈到过.第（3）问分析：考察两个方面的问题，一是等比数列的求和，二是恒成立问题.先写通项、求和.题目要求Sn>-12恒成立，属于含参数的恒成立问题.为减少干扰，我们尽可能采用分离参数的方法.我们又一次遇到了数列的奇偶项问题，和数列的奇偶项问题2，数列的奇偶项问题一样，采用奇偶分析法.根据恒成立的原理，求出入的范围.本题复习到的方法：1.用反证法证明否定形式的命题；2.用定义法证明复杂数列为等差或等比数列；3.奇偶分析法处理奇偶项问题.。
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数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c nn n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅．（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++ =212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． 12222,221n n n n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数 例2.数列{}n a 中，()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S 。
{}n a 2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨⎩--=解：当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数，n 为偶数为奇数,S 222232(n 1);21+)3;2232,23,2n n n n n n n n nn n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.练习、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =.……………14分2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n ，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.4．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 （C ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）106、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.7、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2 B ．4 C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。
对比练习：(2014·衢州模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2 ＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.10、(2013·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．[解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n(2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.变式：(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解析：①设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. ②由①有S n ＝3×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数n 分奇偶讨论。