微专题26 数列中有关奇偶项问题

微专题26 数列中有关奇偶项问题真 题 感 悟(2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *). 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0).依题意，得⎩⎨⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎨⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n （n －1）2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n ).记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，①则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1＋32. 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1＋32＝（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *). 考 点 整 合1.数列与函数的关系：数列可以看成是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，4，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值.2.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，4，…，n }为定义域的函数表达式；如果对应的函数表达式是分段形式给出的，则数列的通项也分段给出.3.对于分奇偶给出的数列通项公式a n ＝⎩⎨⎧f （n ），（n 为奇数），g （n ），（n 为偶数）对应的数列问题我们称为数列中有关奇偶项问题.热点一 数列中与奇偶项有关的求和问题【例1】 (2019·苏州测试)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *).(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)若对任意n ∈N *，都有a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5成立，求a 1的取值范围. 解 (1)若数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，即2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).两式相减，得a n ＋2－a n ＝4.所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列.数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3.S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×（1＋4n －11）2＋2n ＝2n 2－3n ＋52； ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝n 2（1＋4n －7）2＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.(3)由(2)知，a n ＝⎩⎨⎧2n －2＋a 1，n 为奇数，2n －3－a 1，n 为偶数. ①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋1＝2n －1－a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21－a 1≥－4n 2＋16n －10. 令f (n )＝－4n 2＋16n －10＝－4(n －2)2＋6，当n ＝1或3时，f (n )max ＝2，所以a 21－a 1≥2.解得a 1≥2或a 1≤－1.②当n 为偶数时，a n ＝2n －a 1－3，a n ＋1＝2n ＋a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21＋3a 1≥－4n 2＋16n －12. 令g (n )＝－4n 2＋16n －12＝－4(n －2)2＋4，当n ＝2时，g (n )max ＝4，所以a 21＋3a 1≥4，解得a 1≥1或a 1≤－4.综上，a 1的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞).探究提高 1.第(1)问，已知数列为等差数列，故只需要写出数列的通项公式，根据关于n 的一次式恒成立，建立方程组，就能解决问题.2.第(2)问中，要能对n 分奇、偶数讨论，转化为等差数列来求和，这里要弄清等差数列的项数，这是易错点.3.第(3)问中，分奇、偶数分类讨论，值得注意的对任意n ∈N *恒成立，故求a 1的取值范围，将奇、偶数的情形取交集而不是并集.【训练1】 已知数列{a n }的通项a n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，3n ＋1，n 为偶数，求数列{a n }的前n 项和S n .解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈N *)，则S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝(21＋23＋…＋22k －1)＋[(3×2＋1)＋(3×4＋1)＋…＋(3×2k ＋1)]＝2－22k －1·221－22＋3×2(1＋2＋…＋k )＋k ＝13(22k ＋1－2)＋3k 2＋4k .∵n ＝2k ，∴k ＝n 2.∴S n ＝13(2n ＋1－2)＋3×n 24＋2n＝3n 24＋2n ＋13(2n ＋1－2).当n 为奇数时(此时n －1为偶数)，S n ＝S n －1＋a n ＝34(n －1)2＋2(n －1)＋13(2n －2)＋2n＝34n 2＋12n ＋2n ＋23－2312. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧34n 2＋2n ＋13（2n ＋1－2），n 为偶数.34n 2＋12n ＋2n ＋23－2312，n 为奇数. 热点二 数列中有关奇偶项的新定义问题【例2】 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.解析 由题意知，a n ＋a n ＋1＝5，且a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，则a 18＝3. 当n 为偶数时，S n ＝(2＋3)＋(2＋3)＋…＋(2＋3)＝n 2(2＋3)＝5n 2；当n 为奇数时，S n ＝(2＋3)＋(2＋3)＋…＋(2＋3)＋2＝n －12(2＋3)＋2＝5n －12.故此数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n 2，n 为偶数.答案 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n 2，n 为偶数 探究提高 解决此类信息题的关键是认真审题，准确地领会新的概念所具有的特点，并加以充分运用.【训练2】 (2019·南通调研)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k )数列”.(1)已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2)已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列.(1)解 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－(2n －1)＝3＞0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n .当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝(2n ＋1)－2n ＝1＞0，所以a n ＋1≥a n ，a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R (2)数列”.(2)证明 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n (d 2－d 1)≥b 1－b 2①，n (d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1②.若d 2－d 1＜0，则当n ＞b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1＞0，则当n ＞b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立； 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d .设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，法一 (定义法) 则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p )d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d ]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以数列{b n }是等差数列.法二 (通项公式法) λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d ]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d ]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd )＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3，所以数列{b n }是等差数列.热点三 数列中有关奇偶项的存在性与恒成立问题【例3】 (2019·盐城三模)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋r ，n ＝2k(k ∈N *，r ∈R )，其前n 项和为S n .(1)当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n ?(2)对任意实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列？若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由.(3)当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值. 解 (1)由题意，得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ，首先由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0.当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n －m ，n ＝2k(k ∈N *)， 所以a 1＝a 3＝…＝a 2k －1＝m ，a 2＝a 4＝…＝a 2k ＝2m ，故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n ，即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，题意成立.(2)依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ，则a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r )，因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r }是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r )2n＝(m ＋r )2n .为使{a 2n ＋1＋p }是等比数列，则p ＝r .同理，当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋2r }是等比数列，且a 2n ＋2r ＝(m ＋r )2n ，则当{a 2n ＋q }是等比数列时，q ＝2r .综上所述：①若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列；②若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列.(3)法一 当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2，当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k＝3(2k ＋1－k －2)， 所以S n a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2k ＋1－2. 令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k 2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）＜0， 所以S n a n≥32，λ≤32； 当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4，所以S n a n ＝4－3k 2k －1，同理可得S n a n≥1，λ≤1， 综上所述，实数λ的最大值为1.法二 因为a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋1，n ＝2k(k ∈N *)， 故数列{a n }中各项都是正数，故S n a n≥1， 而当n ＝1时，S n a n＝1，故实数λ的最大值为1. 探究提高 1.一般地，对于数列问题，我们经常通过枚举数列中的前几项找规律，然后根据发现的规律来解题.第(2)小题本质上就是“由递推关系求通项公式”；第(3)小题，用的是：分离参数，分类讨论，用作差比较考察数列的单调性.2.第(2)问中，要注意等比数列的首项不能为0.3.若一个数列{a n }满足a n ＋1＝Aa n ＋B ，可以凑成一个等比数列，设等比数列的通项为a n ＋C ，则a n ＋1＋C ＝A (a n ＋C )，比较两式得C ＝B A －1(A ≠1). 【训练3】 (2019·苏州期末)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n ＞0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1.令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16.所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列.(2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列， 所以a 2n －32＝－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ， 即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3， 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9.所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减.计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n ＞0的所有正整数n 的值为1和2.【新题感悟】 (2019·盐城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝λ，满足a 2n －1，a 2n －1＋1，a 2n －1＋2，…，a 2n 是等差数列(其中n ≥2，n ∈N )，且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为－d .(1)当λ＝1，d ＝1时，求a 8的值；(2)当d ≠0时，求证：数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是等比数列；(3)当λ≠1时，记满足a m ＝a 2的所有m 构成的一个单调递增数列为{b n }，试求数列{b n }的通项公式.(1)解 由λ＝1，d ＝1，所以a 2＝1，又a 2，a 3，a 4为等差数列且公差为－1，所以a 4＝a 2－2＝－1，又a 4，a 5，…a 8为等差数列且公差为1， 所以a 8＝a 4＋4＝3.(2)证明 当n ＝2k ＋1时，a 22k ，a 22k ＋1，a 22k ＋2，…，a 22k ＋1是等差数列且公差为d ，所以a 22k ＋1＝a 22k ＋22k d ， 同理可得a 22k ＝a 22k －1－22k －1d ，两式相加， 得a 22k ＋1－a 22k －1＝22k －1d ；当n ＝2k 时，同理可得a 22k ＋2－a 22k ＝－22k d ， 所以|a 2n ＋2－a 2n |＝2n d .又因为d ≠0，所以|a 2n ＋2－a 2n ||a 2n ＋1－a 2n －1|＝2n2n －1＝2(n ≥2)，所以数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是以2为公比的等比数列. (3)解 因为a 2＝λ，所以a 4＝a 2－2d ＝λ－2d ， 由(2)知a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ，所以a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ＝a 22k －3＋22k －3d ＋22k －1d ， 依次下推，得a 22k ＋1＝a 21＋21d ＋23d ＋…＋22k －3d ＋22k －1d ， 所以a 22k ＋1＝λ＋23(22k －1)d ，当22k ＋1≤n ≤22k ＋2时，a n ＝a 22k ＋1－(n －22k ＋1)d ＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ＋33－n －23d ， 由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋33－23， 所以b 2k ＋1＝22k ＋33－23，所以b n ＝2n ＋23－23(n 为奇数)；由(2)知a 22k ＋2＝a 22k －22k d ＝a 22k －2－22k －2d －22k d ， 依次下推，得a 22k ＋2＝a 22－22d －24d －…－22k －2d －22k d ， 所以a 22k ＋2＝λ－2d －4（22k －1）3d ，当22k ＋2≤n ≤22k ＋3时，a n ＝a 22k ＋2＋(n －22k ＋2)d ＝λ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －22k ＋43－23d ， 由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋43＋23，所以b 2k ＋2＝22k ＋43＋23. 所以b n ＝2n ＋23＋23(n 为偶数).综上所述，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋23＋23（n 为偶数），2n ＋23－23（n 为奇数）.1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n－4n )≤3，求实数p 的取值范围.解 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 当n 为奇数时，f (n )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 单调递减，则当n ＝1时，f (n )max ＝1；当n 为偶数时，f (n )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 单调递增，则当n ＝2时，f (n )min ＝12； 所以对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3， 即对任意n ∈N *，1S n －4n ≤p ≤3S n －4n，所以2≤p ≤3. 故p 的取值范围为[2，3].2.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝an （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋ (－1)n b n ，求T n .解 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝an （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1). 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.3.(2019·徐州三模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 数列{b n }的公比为q ，则⎩⎨⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.即⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1).4.(2019·连云港模拟)设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12a 2n＋12a n .正项等比数列{b n }满足b 2＝a 2，b 4＝a 6. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n ＝2k －1，b n ，n ＝2k ，其中k ∈N *.数列{c n }的前n 项和为T n ，求所有正整数m 的值，使得T 2mT 2m －1恰好为数列{c n }中的项. 解 (1)因为a n ＞0，当n ＝1时，a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1. 又S n ＝12a 2n ＋12a n ，故当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1， 两式相减并整理得12(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0. 又因为a n ＞0，所以a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n . 设{b n }的公比为q (q ＞0).由b 2＝a 2，b 4＝a 6，得q 2＝b 4b 2＝a 6a 2＝3，所以q ＝ 3.所以b n ＝b 2·q n －2＝2·(3)n －2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k (k ∈N *)，所以T 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1，T 2m －1＝T 2m －b 2m ＝3m ＋m 2－1－2×3m －1＝3m －1＋m 2－1， 所以T 2mT 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3，故若T 2m T 2m －1为{c n }中的项，则只能为c 1，c 2，c 3.①若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 1＝1，则3m －1＝0，所以m 无解. ②若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 2＝2，则3m －1＋1－m 2＝0， 显然m ＝1不合题意，m ＝2符合题意.当m ≥3时，令f (m )＝3m －1＋1－m 2，则f ′(m )＝3m －1ln 3－2m ， 设g (m )＝3m －1ln 3－2m ，则g ′(m )＝3m －1(ln 3)2－2＞0，即f ′(m )＝3m －1ln 3－2m 为增函数，故f ′(m )≥f ′(3)＞0，即f (m )为增函数，故f (m )＞f (3)＝1＞0. 故当m ≥3时方程3m －1＋1－m 2＝0无解， 即m ＝2是方程3m －1＋1－m 2＝0的唯一解.③若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 3＝3，则m 2＝1，即m ＝1(舍负). 综上所述，m ＝1或m ＝2.5.(2019·徐州期末)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n ＝2k －1，3a n ，n ＝2k (k ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值；(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，求出所有的正整数对(m ，n )；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，数列{a n }的奇数项构成以a 1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项构成以a 2＝2为首项，公比为3的等比数列. 所以对任意正整数k ，a 2k －1＝2k －1，a 2k ＝2×3k －1.所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，k ∈N *.(2)①当n 为奇数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 得2×2×3n ＋12－1＝n ＋n ＋2，所以2×3n －12＝n ＋1，令f (x )＝2×3x －12－x －1(x ≥1)，由f ′(x )＝23×(3)x ×ln 3－1≥23×3×ln 3－1 ＝ln 3－1＞0，可知f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 所以f (x )≥f (1)＝0，所以当且仅当n ＝1时，满足2×3n －12＝n ＋1，即2a 2＝a 1＋a 3.②当n 为偶数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 得2(n ＋1)＝2×3n2－1＋2×3n ＋22－1，即n ＋1＝3n2－1＋3n 2，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立. 综上，满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值只有1. (3)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－3n ）1－3＝3n＋n 2－1，n ∈N *.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.假设存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1， 则3n ＋n 2－1＝m (3n －1＋n 2－1)， 所以3n －1(3－m )＝(m －1)(n 2－1)，(*) 从而3－m ≥0，所以m ≤3， 又m ∈N *，所以m ＝1，2，3.当m ＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立；当m ＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n 2－1)＝0，n ＝1，所以S 2＝3S 1； 当m ＝2时，(*)式可化为3n －1＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，则存在k 1，k 2∈N ，k 1＜k 2，使得n －1＝3k 1，n ＋1＝3k 2且k 1＋k 2＝n －1， 从而3k 2－3k 1＝3k 1(3k 2－k 1－1)＝2，所以3k 1＝1，3k 2－k 1－1＝2， 所以k 1＝0，k 2－k 1＝1，于是n ＝2，S 4＝2S 3.综上可知，符合条件的正整数对(m ，n )只有两对：(2，2)，(3，1).6.(2019·泰州期中)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值；(3)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1na n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)， 故当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1.又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n （n ＋1）.当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1n （n ＋1）.因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2、公比为2的等比数列，故b n ＝2n . (2)由(1)知b n ＝2n ，则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n .假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立，即2－12n ＜m －84恒成立.由m －84≥2，解得m ≥16.所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立，此时，m 的最小值为16. (3)当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋13a 3＋…＋1na n ＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝[2＋4＋…＋(n ＋1)]＋(22＋24＋…＋2n －1) ＝2＋n ＋12·n ＋12＋4（1－4n －12）1－4＝n 2＋4n ＋34＋43(2n －1－1)；当n 为偶数时，T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋13a 3＋…＋1（n －1）a n －1＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝(2＋4＋…＋n )＋(22＋24＋…＋2n ) ＝2＋n 2·n 2＋4（1－4n2）1－4＝n 2＋2n 4＋43(2n －1).因此T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋4n ＋34＋43（2n －1－1），n 为奇数，n 2＋2n 4＋43（2n －1），n 为偶数.。