数列的奇偶项3类问题
2023高考数学逆袭系列之微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题
＝－24－(3n－12)×2n＋1，
故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).设cn＝(3n－12)×2n＋1， 显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增. 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48，故Tn的最小值为T2＝T3＝－24.
///////
核心归纳
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可 转化为函数的最值问题.
索引
例 4 (2021·浙江卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－94，且 4Sn＋1＝3Sn－ 9(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 解 因为4Sn＋1＝3Sn－9， 所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得 4an＋1＝3an，即aan＋n 1＝34. 当 n＝1 时，4S2＝4－94＋a2＝－247－9， 解得 a2＝－2176，所以aa21＝43.
上篇 板块二 数列
微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题
题型聚焦 分类突破 高分训练 对接高考
1.数列中的最值、范围问题的常见类型有：(1)求数列和式的最值、范围；(2)满 足数列的特定条件的n的最值与范围；(3)求数列不等式中参数的取值范围.
2.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确奇偶项问题.
索引
训练 1 (2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； 证明 由2nSn＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列.
数列奇偶项练习题
数列奇偶项练习题数列奇偶项练习题数列是数学中的一个基础概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
在解决数列问题时，我们常常需要观察数列中的规律，找出其中的特点，从而推导出数列的通项公式。
在这个过程中，奇偶项往往是一个重要的考察点。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和掌握数列中奇偶项的特点。
题目一：一个数列的第一个项为1，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍加1。
求这个数列的第10项。
解析：根据题目中给出的规律，我们可以列出数列的前几项：1，3，7，15，31，63，127，255，511。
观察数列中的奇偶项，我们可以发现奇数项都是2的幂次减1，而偶数项都是2的幂次加1。
因此，第10项应该是2的9次幂减1，即512-1=511。
题目二：一个数列的第一个项为3，从第二项开始，每一项都是前一项的3倍减2。
求这个数列的前10项中奇数项的和。
解析：根据题目中给出的规律，我们可以列出数列的前几项：3，7，19，55，163，487，1459，4375，13123，39367。
观察数列中的奇偶项，我们可以发现奇数项都是3的幂次减1，而偶数项都是3的幂次加1。
因此，我们只需要计算数列中奇数项的和即可。
根据等差数列求和公式，我们可以得到数列的第n项为(3^n-1)/2。
因此，前10项中奇数项的和为(3^1-1)/2+(3^3-1)/2+(3^5-1)/2+...+(3^9-1)/2=3^1+3^3+3^5+...+3^9-5=9841。
题目三：一个数列的第一个项为2，从第二项开始，每一项都是前一项的平方减1。
如果数列的第n项是一个质数，求n的取值范围。
解析：根据题目中给出的规律，我们可以列出数列的前几项：2，3，8，63，3968，1572863，...。
观察数列中的奇偶项，我们可以发现奇数项都是2的幂次加1，而偶数项都是2的幂次减1。
因此，我们只需要考察数列中奇数项的取值。
通过计算，我们可以发现数列的第2项和第3项都是质数。
高中数学核心考点：数列 难点3 数列中的奇偶项问题 - 解析
微专题2：数列中的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征如：等差、等比数列或其他特征求解原数列．题型一：等差等比数列的奇偶项特性例1-1：已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.例1-2：已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.规律方法：若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则：①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .若等比数列{a n }中，公比为q .当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．1. 在等差数列{a n }中，前2m (m 为正整数)项的和为155，其中奇数项的和为70，且 a 2m －a 1＝27，则该数列的通项公式为_____________.【解析】 由题得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝md ＝85－70＝15，a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝27，解得d ＝3，m ＝5.又S 2m ＝S 10＝(a 1＋a 10)×102＝155，解得a 1＝2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3n －3＝3n －1.2. 在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5等于( )A. 1B. －1C. ±1D. 3【解析】 在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0.因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1.题型二：奇偶分析求通项例2：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈求n a 的通项式∵1(1)2nn n n S a =--∴当2n ≥时，11111(1)2n n n n S a ----=--两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n S S a a -----=----+，即111(1)(1)2n n n n n n a a a --=---+ 当n 是偶数时，112n n n n a a a -=++，所以112n n a -=-，即n 是奇数时，112n n a +=-； 当n 是奇数时，1122n n n a a -=-+，1111222n n n n a a --=-+=，即当n 是偶数时，12nna =.1.,32,122,1n n a a a a ===+，求n a 的通项式2.,52,311+=+=+n a a a n n 求n a 的通项式题型三：奇偶分析求和例3：在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n . 解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，规律方法：对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.设数列{}n a 满足123411,1,4,4a a a a ====，数列{}n a 前n 项和是n S ，对任意的*n N ∈，()()242122cos x n n n n n n n a af x x a a a x e a a +++++=++--，若()00f '=，当n 是偶数时，n S 的表达式是___________．【解析】()()242122sin x n n n n n n n a af x a a a x e a a +++++'=-+--， 因为()00f '=，所以2420n n n n a a a a +++-=，即242n n n n a aa a +++=，所以数列{}n a 中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n 是偶数时，n S 的表达式是22111114424111433214nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅- ⎪⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=-+-⨯-． 3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.题型四：由奇偶项分类讨论求参数例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立， 所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】当1n时，134a 当2n时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++-，所以11(1)(1)12n n n n n na a a -=-+--+ 当n 为偶数时，1112n n a -=-； 当n 为奇数时，11212n n n a a -=--+，即1112122n n n a --=--+，1232n n a -=-. 所以113,211,2nn n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.当n 为偶数时，1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当n 为奇数时，11311,24n n a +⎛⎤=-∈--⎥⎝⎦又因为1()()0n n t a t a +--<恒成立，1n n a t a +<<，所以31144t.。
数列中的奇偶项问题
n n 1 2 2
2
n 1 n 3 2 2
3、相间两项之差为常数； 例 3：已知数列{an}中 a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3） ，Sn 为{an}前 n 项和，求 Sn
解：∵an-an-2=2 （n≥3） ∴a1,a3,a5,…,a2n-1 为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列
1 1 1 1 n2 1 n2 ②n 为奇数时： an 2( ) 2( ) 3 3
n 1 n 1 11 * 2(2( ) 2) 2 n n2 k2 k 1( k 1( k N )N ) 33 a { n 则有：nan { n 11 1 1 * ( ( ) 2 ) 2 n n2 k (2 kk N )N ) ( k 2 3
作业：数列{an}满足 an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为
方法五：当 为奇数时, ,
．
因 此 每 四 项 的 和 依 此 构 成 一 个 以 10 为 首 项 ,16 为 公 差 等 差 数 列 , 所 以
的前
项和为
1 n 2 * x C x ( ) 0 n N 练习：已知 an，an+1 为方程 的两根 ∈ ， n 3 a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn，求 an 及 S2n。
解：①当 n 为偶数时： S n a1 a2 a3 a4 … an 1 an
(a1 a2 ) (a3 a4 ) … (an 1 an )
②当 n 为奇数时： S n a1 (a2 a3 ) (a4 a5 ) … (an 1 an )
②n 为偶数时，n+1 为奇数： Cn an an 1
数字推理秒杀技巧---奇偶性
【答案】B
【秒杀】数列中各项均是偶数，因此B项正确的可能性最高。
【标准】原数列：2=1^3+1，10=2^3+2，30=3^3+3，68=4^3+4，130=5^3+5，（222）=6^3+6。
（3）奇偶交错型
经典例题：（2009•山东）3，10，29，66，127，（）
数字推理秒杀技巧（二）---单调性
单调性是指根据数列中各项的幅度变化来猜测答案的一种方法，通常有两种方式：（1）差幅判别法；（2）倍幅判别法。
（1）差幅判别法
所谓差幅判别法是指根据数列前后项之间的差值猜测答案的一种方法，通常如果一个数列前后两项的差值组成一个递增（或递减）的数列，那么正确选项也会符合这个规律。
【标准】原数列具有如下关系：157-65×2=27，65-27×2=11，27-11×2=5，11-5×2=1。
单调性通常会结合奇偶性使用，这样可以更大地提高我们猜题的准确率！
（1）全奇型
经典例题：7，13，25，49，( )
A．80 B．90 C．92 D．97
【答案】D
【秒杀】数列中各项均是奇数，因此D项正确的可能性最高。
【标准】原数列：2×7-1=13，2×13-1=25，2×25-1=49，2×49-1=97。
（2）全偶型
经典例题：（2003•山东）2，10，30，68，130，（）
经典例题：（2009•江西）0，3，9，21，（），93
A．40 B．45 C．36 D．38
【答案】B
【秒杀】数列除第一项外，其他各项都是奇数，因此猜B的可能性最高。
【标准】原数列：2×0+3=3，2×3+3=9，2×9+3=21，2×21+3=45，2×45+3=93。
数列的奇偶项问题教学
数列的奇偶项问题教学同学们，今天咱们来唠唠数列里一个特别有趣的事儿——奇偶项问题。
这就好比数列这个大家族里，突然分成了两个小帮派，一个是奇数项组成的帮派，一个是偶数项组成的帮派。
一、为啥要研究奇偶项呢？你们想啊，数列有时候就像一个调皮的小怪兽，它的规律不是那么一目了然的。
有时候整个数列看起来乱乱的，但是当我们把它的奇数项和偶数项单独拎出来看的时候，哇塞，就像给这个小怪兽打了一针镇定剂，规律一下子就清晰了。
比如说，有些数列的奇数项可能是一个等差数列，而偶数项可能是一个等比数列呢。
这就像是这个数列在玩一种特别的游戏，奇数项和偶数项有各自的玩法。
二、怎么识别奇偶项问题呢？这就像是侦探找线索一样。
当你看到数列的通项公式或者递推公式里，有那种和项数的奇偶性有关的东西，那你就得小心喽，这很可能就是奇偶项问题在向你招手呢。
比如说，递推公式里有类似“当n为奇数时，an + 1 = f(an)”，“当n为偶数时，an + 1 = g(an)”这样的描述，或者通项公式里有根据n是奇数还是偶数而有不同表达式的情况，这就像是数列在给你发送信号：“我这里有奇偶项的秘密哦！”三、具体例子来一波1. 通项公式的奇偶项咱们来看个例子哈，an = {n, n为奇数；2n, n为偶数}。
这个数列就很直白地告诉我们它的奇偶项规律了。
奇数项就是n，那就是1、3、5、7……这样的数；偶数项呢，就是2n，那就是2×2 = 4，2×4 = 8，2×6 = 12……这样的数。
你看，奇数项和偶数项就像两条不同轨道上的小火车，各自按照自己的速度和方向行驶。
2. 递推公式的奇偶项再看这个递推公式：当n为奇数时，an + 1 = an + 2；当n为偶数时，an + 1 = 2an。
咱们从第一项a1 = 1开始。
因为1是奇数，所以a2 = a1 + 2 = 1+ 2 = 3。
现在2是偶数了，那么a3 = 2a2 = 2×3 = 6。
数列中的奇偶项问题
1 1 1 3 3 2 1 1 3
n
n 6 n(n 1) 9n 1 3n 2 6n 1 2 3
（3）显然当 n N * 时， S 2 n 单调递减，
又 当 n 1 时 ， S2
2
1 3 1 (1 ( ) k ) 1 (1 ( ) k ) 3 1 3 n 1 n 2 2 2[( ) k ( ) k ] 4 2[( ) 2 ( ) 2 ] 4 . 1 3 2 2 2 2 1 1 2 2
……6 分
②当 n 2k 1 时， Sn S2 k a2 k 2[( ) k ( ) k ] 4 ( ) k 1
a1 1, a 2 2 ，设 bn a 2 n 1 a 2 n ．
（1）若数列 bn 是公比为 3 的等比数列，求 S 2 n ；
（2）若 S 2 n 3( 2 n 1) ，数列 a n a n 1 也为等比数列，求数列的 a n 通项公式．
解：（1） b1 a1 a2 1 2 3 ， S2 n (a1 a2 ) (a3 a4 ) ...... (a2 n 1 a2 n )
7 8 0 ， 当 n 2 时 ， S 4 0 ， 所 以 当 n≥ 2 时 ， S 2 n 0 3 9
5
S 2 n 1 S 2 n a2 n
3 1 5 3n 2 6n ， 2 3 2
n
同理，当且仅当 n 1 时， S 2 n 1 0 ．
数列中的奇偶项问题
题型一、等差或等比奇偶项问题
(2)． 等比数列 an 的首项为 1 ，项数为偶数，且奇数项和为 85 ，偶数项和为 170 ，则数列的 项数为____ 8 ___
高中数学数列中的奇偶项问题(经典题型归纳)
数列中的奇偶项问题题型一、等差等比奇偶项问题(1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为________(2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______(3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为_________；项数为_____________题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1n n a a f n +⋅=）1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为___________________2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________4．已知数列{}n a 中，11a =，11()2n n n a a +⋅=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S .5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足()*143n n a a n n N ++=-∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（2）当12a =时，求数列{}n a 的前n 项和n S ；6．（2015江苏无锡高三上学期期末，19）在数列{}n a ，{}n b 中，已知10a =,21a =,11b =,212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.题型三、含有()1n-类型1．已知()1123456..........1n n S n -=-+-+-+-，则173350S S S ++=_____________2．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则的前60项和为________3．数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211nn n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()112nn n nS a =--，*n N ∈，则123100..........S S S S +++=____5．已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；题型四、含有{}2n a 、{}21n a-类型1．(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ．2．（镇江市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．3．【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知数列{}n a 满足*1221212221,2,2,3,()n n n n a a a a a a n N +-+===+=∈.数列{}n a 前n 项和为n S .(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；4．（苏州市2018届高三第一学期期中质检，20）已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，{}221n n a pa ++成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．题型五、已知条件明确奇偶项问题1．（无锡市2018届高三第一学期期中质检，19）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N . （1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由.2．已知数列{}n a 中，11a =，()()1133n n n n n a n a a n ++=-⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，设232n n b a -=（1）证明数列{}n b 是等比数列（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n3．(2015江苏省连云港、徐州、宿迁三模19)．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，*n N ∈n ∈N *．正项等比数列{}n b 满足：22b a =，46b a =，（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()*,21,2n n na n k cb n k k N =-⎧⎪=⎨=∈⎪⎩，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求所有正整数m 的值，使得221nn T T -恰好为数列{}n c 中的项．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列的奇偶项问题
问题一：
有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同，称为数列的奇偶项问题.
解题过程中，通常要采用奇偶分析法，即对脚标的奇偶分类讨论.
看2014年全国高考卷的一道数列题.
分析：题中给出的是通项与前n项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多，基本的办法就是利用二者的关系，把前n项和消去，得到相邻两项或相邻多项的关系.
从（1）问的结论中，我们能判断数列为等差吗？
显然不能，因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数，而上式中两项的脚标相差2.
当然，我们可以这样来看：第一项，第三项，第五项，...，即奇数项可看作等差数列；第二项，第四项，第六项，...即偶数项可看作等差数列.
但是，我们不能认为整个数列为等差数列.
第（2）为探索题.对于探索题的解法，通常我们先假设存在，用特殊项，比如利用前3项成等差，求出参数的值（这个过程利用的是条件的必要性）；然后再验证该参数的值的确使得该数列为等差数列（这个过程是证明条件的充分性）.
这种先用特殊法求值，再一般验证的办法，有利于减少探索时间，这在高考时间紧迫的情况下尤其显得重要.
当然，解到这一步不算完，还要验证.若入=4时数列不是等差数列，则不存在符合题意的入. 如何进行一般化的验证呢？
证明数列为等差的途径有以下几个.
其中，1是定义法，4是中项法，我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法，中项法证
明等差数列中分别谈到过.
2和3是定义法的拓展和延伸，2称为通项判断法，3称为前n项和判断法.
2和3分别试图从通项和前n项和的形式上描述等差数列，当然方法2和3本质上依然是定义法.
结合第（1）问提供的结论，我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式，为此需要采用奇偶分析法.
同样的方法研究偶数项的通项公式.
我们看到，不管n为奇数还是偶数，通项公式的形式是相同的.
在采用奇偶分析法研究数列的通项时，我们采用了累加法.这个方法简单易用，属于“无脑解法”，不容易犯错.
当然，因为奇数项成等差，偶数项也成等差，你也可以利用等差数列的通项公式直接写出奇数项和偶数项的通项公式，前提是项数不要搞错.
下面，思考一个一般化的问题.
看下面的简图.
把等差数列的各项放在数轴上，那么等差数列可理解为任意相邻两项的距离为定值（假设入>0）.可是，由题我们只能确定间隔一项的两项距离为定值，如何做到符合等差数列的要求呢？
其实也容易，如果我们使得第1项和第2项的距离为入/2，自然地，第2项和第3项的距离就为入/2，第3项和第4项的距离也为入/2，依次往下，多米诺骨牌效应......
文章的最后，留这样一道思考题.
问题二
数列的奇偶项问题2
2012年高考全国新课标理科卷第16题考到了这样一道数列题.
题目非常简洁，解起来却不容易.当年得分率比较低.好多童鞋感慨：怎么第1项也不告诉我啊？在数列的奇偶项问题中，我们谈到过，遇到(-1)^n的形式，要采用奇偶分析法.
若n为奇数，得到下面的结论.
若n为偶数，有下面的结论.
请注意，（1）式和（2）式都无法使用累加法，因为迭代时脚标的奇偶发生变化.所以，通过（1）（2）是无法求出通项公式的.
如何处理呢？
注意到，（1）（2）中有相同的项a(2k)，我们把两式相减.
上式表明：数列中相邻奇数项的和为定值2.
这样的话，我们就能够求出奇数项的和.
解决复杂问题就是这样，既然我们求解通项公式很困难，能求什么就先求什么，能做到什么程度就先做到什么程度，急不得.
如何求偶数项的和呢？
偶数项的通项也未知，但是已知偶数项与奇数项的关系，我们可以利用这个关系间接求出偶数项的和.
奇数项和偶数项的和都已知，相加即得到结果.
下面我们换一个思考问题的角度.
既然我们放弃求解通项，采用分奇偶项求和的方法，那么（2）式反映了什么？
思考1分钟.
你看出来了吗？
（2）式表明：从第2项开始（因为k是正整数），相邻两项的和构成等差数列（奇数项脚标比偶数项脚标大）.
按照这个思路，我们有了下面的解法.
不幸的是，这个求和的项与所求的不一样，少了第1项，多了第61项.
它们二者之间有没有关系呢？
带着这个疑问，我们有必要回头再研究研究通项.
依然采用迭代的方法.
这个式子表达什么含义呢？
奇数项是以4为周期的，即奇数项每隔四项是相等的.
所以，前60项和依然等于1830.
本篇强调数列问题的基本方法：
1.遇符号数列，采用奇偶分析法；
2.不管有没有用，迭代试一试，加减试一试；
3.数列求和无定法，尤其要关注那些非常规求和的方法.
问题三
数列的奇偶项问题3
最近，真是数列开会啊，可见这个部分难题多.
第1问分析：我们平时习惯于证明肯定的结论，否定形式的命题见的比较少.
大家觉得肯定类型的结论和否定类型的结论，哪一类容易证明呢？
往往否定的更难证明，因为“不是”意味着多种可能性.
聪明的解决办法，就是采用反证法.即假设命题成立，然后推出矛盾，以这种“曲线证明”的方法说明原命题是不成立的.
同时请注意，命题中有全称量词“任意”，在反设结论时，应该把全称量词改为特称量词.
第（2）问分析：
证明复杂数列为等差或者等比的方法，主要为定义法，这一方法在证明复杂数列为等差或等比数列的方法中谈到过.
第（3）问分析：考察两个方面的问题，一是等比数列的求和，二是恒成立问题.
先写通项、求和.
题目要求Sn>-12恒成立，属于含参数的恒成立问题.为减少干扰，我们尽可能采用分离参数的方法.
我们又一次遇到了数列的奇偶项问题，和数列的奇偶项问题2，数列的奇偶项问题一样，采用奇偶分析法.
根据恒成立的原理，求出入的范围.
本题复习到的方法：
1.用反证法证明否定形式的命题；
2.用定义法证明复杂数列为等差或等比数列；
3.奇偶分析法处理奇偶项问题.。