类比法

类比法

（一）什么叫类比法

类比法是一种从个别到个别（或从特殊到特殊）的推理方法．它是在甲、乙两个（或两类）事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性．

在数学中，类比法推理的基本公式是：

因为，对象A有属性a、b、c，对象B有属性a′、b′（a′，b′分别与a、b相同或类似），所以，对象B也可能有属性 c ′（c ′与c相同或类似）．

由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移（推广）到对乙类事物的认识，扩大了认识领域，所以，类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式．

（二）类比法在立体几何中的应用

类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用：

1．学习新知识

学习立体几何教材，最基本的方法之一是与平面几何类比．

学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而达到温故而知新．

首先要选好类比对象．例如，选三角形与三棱锥．这是因为，在平面上，用直线围成的封闭图形中，三角形所用的直线条数最少；在空间中，用平面围成的封闭图形中，四面体所用的平面个数最少，所以，三棱锥与三角形可以类比．

例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式．

【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行：

（1）类比发现三棱锥的体积公式

如图1-17，因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，三角形的面积公式A=

（2）类比发现三棱锥体积公式的证法

证明三角形的面积公式是用割补法，即把三角形补成一个平行四边形，易得三角形的面积是平行四边形的面积之半．类似地，证明三棱锥的体积公式，应先把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等积的三棱锥（参看高中课本《立体几何》）．

2．发现新定理和编制新命题

科学家开普勒（Kepler ）说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．”

在立体几何中，类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具．

例2 把直三面角（即三个面角都是直角）与直角三角形类比，对直角三角形的勾股定理，你能发现直三面角有什么新定理？

【解】如图1-18，在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中，Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ，Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ，因此，与

直角三角形的

证明直角三角形勾股定理的方法是：

过C作CD⊥AB于D，则

a2=c·BD，b2=C·（c-BD）．

从而 a2+b2=c（BD+c-BD），

即 a2+b2=c2．

类似地，直三面角的勾股定理证明如下：

过P作PH垂直平面ABC于H，连结AH，并延长交BC于D，连结PD、BH、HC．

从而在Rt△APD中，PD2=AD·DH

以上三式相加，即得

3．发现解题思路与方法

类比法是解立体几何题的一种基本思考方法．遇到难题，当缺乏可靠的解题思路时，我们可以先构造一个类似的平面几何题，从这个平面几何题的解答过程中，得到启发，从而悟出原题的解法．

例3 求证：若四面体ABCD的相对棱AC、BD所成的角为α，则

【分析】本题对应的平面几何题是：

在四边形ABCD中，若对角线AC、BD的夹角为α则

它的证明如下：

如图1-19，设∠BOA=θ，则

AB2=OA2+OB2-2OA·OBcosθ，

AD2=OA2+OD2+2OA·ODcosθ，

∴ AB2-AD2

=（OB2-OD2）-2OA·BDcosθ①

同理，CD2-CB2=（OD2-OB2）-2OC·BDcosθ②

由①、②，得

2AC·BDcosθ=（AD2+BC2）-（AB2+CD2）．

与这种证法类比，余弦定理对应的是异面直线上两点间的距离公式，因此，不难得出四面体的这个命题的证法．

【证明】如图1-20，设异面直线l

1、l

2

的公垂线为EF，P∈l

1

，

如图1-21，设MN是AC、BD的公垂线，M∈AC，N∈BD，MN=h，异面有向线段MA、NB所成的角为θ，则

AB2=h2+MA2+NB2-2MA·NBcosθ

AD2=h2+MA2+NB2+2MA·NDcosθ

∴AB2-AD2=NB2-ND2-2MA·BDcosθ．

同理，CD2-CB2=ND2-NB2-2MC·BDcosθ．

由以上两式，得

∵四面体相对棱AC、BD所成的角α满足

cosα=|cosθ|，

（三）应用类比法的注意事项

1．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑．否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，那就会犯机械类比的错误．

例如，把梯形的中位线与棱台的中截面类比（如图1-22），由中位

2．类比法同归纳法一样，都是似真推理，它得出的结论不一定正确，必须再用演绎法去论证．