从平面到空间的类比推理
从平面到空间的类比推理
从平面到空间的类比推理波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力.类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性，当一个对象具有某一个性质，推出另一个对象也具有类似性质的一种推理方式.例1.(1)在平面，边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值√32a ；在空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和也为定值√63a . (2)在平面，设P 是∆ABC 内一点，∆ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的距离依次为l a 、l b 、l c ，则有la ℎA+lb ℎB+lc ℎC=1；在空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是ℎA 、ℎB 、ℎC 、ℎD ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、l c 、l d ，则有l a ℎA+l b ℎB+l c ℎC+l dℎD=1.在平面上的结论，可用面积等积变形得到；在空间里的结论，可类比地利用体积等积变 形而得到.例2.直角四面体：过某一顶点的三个平面角都是直角的四面体称为直角四面体.平面上的直角三角形与空间的直角四面体类似，它们之间很多结论，无论是从结构还是推证方法上来看，都有密不可分的内在联系. (1)在平面，如图1.4—1，AC 2=AD×AB ；BC 2=BD×AB.(射影定理).在空间，如图1.4—2，S ΔPBC 2=S ΔOBC ⋅S ΔABC ；S ΔPAC 2=S ΔOAC ⋅S ΔABC ;S ΔPAB 2=S ΔOAB ⋅S ΔABC .(2)在平面，AB 2=AC 2+BC 2(勾股定理)；在空间：S ΔABC 2=S ΔPBC 2+S ΔPAC 2+S ΔPAB 2.并由此可以得到，若三侧面PAB ，PAC ，PBC 与底面ABC 所成角分别为α，β，γ， 则 cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1. (3)在平面，设两直角边分别为a 、b ，h 为斜边上的高，则1ℎ2=1a 2+1b 2；在空间，设三棱锥P—ABC 三条侧棱的长分别为a 、b 、c ，底面ABC 上的高为h ， 则1ℎ2=1a2+1b2+1c2.说明：其中：S ΔPBC 2=(12PD ⋅BC)2=14PD 2BC 2=14AD ⋅OD ⋅BC 2=(12BC ⋅AD)(12BC ⋅OD)=S ΔOBC ⋅S ΔABC .其证明过程用到了射影定理.在(1)中将射影定理的两式相加可得(2)中的勾股定理；同样，在空间里，由(1)中空间形 式的三式相加可得(2)中对应的结论.再如，将圆的面积公式S=πR 2对变量R 求导，可得圆的周长公式C=2πR .类比可得：将球的体积公式V= 43πR 3对变量R 求导，可得球的面积公式S=4πR 2.以上猜测的结论都需要严格的证明.A PE BO D CCA DB 图1.4—2图1.4—1想一想①：1.如图1.4—3.椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出 “黄金双曲线”的离心率e 等于( ).A.5＋12. B.5－12. C.5－1. D.5＋1. 2.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图1.4—9甲，在平行四边形ABCD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图1.4—4乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21=( ).A.2(AB 2＋AD 2＋AA 21).B.3(AB 2＋AD 2＋AA 21).C.4(AB 2＋AD 2＋AA 21). D.4(AB 2＋AD 2). 3.类比等差数列，我们定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.现已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么(1)a 18 = ，这个数列的前n 项和S n = . 4.已知∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边分别是a ，b ，c ，则有a=bcosC+ccosB ；类比上述结论，写出满足下列条件的对应结论：四面体P —ABC 中，∆ABC ，∆PAB ，∆PBC ，∆PAC 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —A C —B 的大小分别为α，β，γ， 则S= .例3.在DEF ∆中有余弦定理：.cos 2222DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析:根据类比猜想得出S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.其中θ为侧面为ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角. 证明：作斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直截面DEF ，则∠DEF=θ为面ABB 1A 1与BCC 1B 1所成的二面角的平面角.在∆DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2−2DF ⋅EF cos ∠θ， 在上式的两边同乘以21AA ，得DE 2⋅AA 12=DF 2⋅AA 12+EF 2⋅AA 12−2DF ⋅AA 1⋅EF ⋅AA 1cos ∠θ，即 S AA 1C 1C 2=S ABB 1A 12+S BCC 1B 12−2S ABB 1A 1⋅S BCC 1B 1cos θ.例4.若点O 在ABC 内，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论是______________________. 解:如图1.4—5.过点A 、B 分别作直线OC 的垂线AE 、BE 点E ，F.设D CF AB = ，∵BFD ∆∽AED ∆， ∴ DE·BF=AE·DF. ① 又由数量积的几何意义知， OC → ⋅OB → =OC → ⋅OF → ,OC → ⋅OA → =OC → ⋅OE → .② OC → ⋅(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).∆图1.4—3图1.4—4ABCO图1.4—5E FD=OC → ⋅OA → S ΔOBC +OC → ⋅OB → S ΔOAC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅OE → S ΔBOC +OC → ⋅OF → S ΔAOC +OC → ⋅OC →S ΔAOB =OC → ⋅(OE → S ΔBOC +OF → S ΔAOC +OC →S ΔAOB )=OC → ⋅(OC → S ΔAOD +OC → S ΔBOD +OE → S ΔBOC +OF →S ΔAOC )=12OC →⋅(OC → ⋅OD ⋅AE +OC → ⋅OD ⋅BF +OF → ⋅OC ⋅AE +OE → ⋅OC ⋅BF) =12OC → 2(OD ⋅AE +OD ⋅BF −OF ⋅AE −OE ⋅BF)=12OC →2((OD −OF)⋅AE +(OD −OE)⋅BF)=12OC →2(−AE ⋅DF +DE ⋅BF)=0.∴ OC → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →). 同理可得, OB → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ), OA → ⊥(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → ).由此可得在平面内一向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)同时与过同一点O 的三个不共线的向量都垂直，满足此条件的向量(S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →)必为0.故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =00.其证明思路为利用三棱锥的体积等积变形和空间向量数量积的几何意义来进行.例5.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”.请用类比法写出更多相似的命题解析:(1)(平面)在平行四边形中，对角线相交于一点且互相平分；(空间)在平行六面体中，对角线相交于一点且互相平分.(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和； (空间)在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和. (3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的二分之一； (空间)球体积等于球面积与半径之积的三分之一. (4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍； (空间)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.(5)(平面)到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线； (空间)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面.等等.例6.等腰四面体——三组对棱分别对应相等的四面体.在研究三角形时，等腰三角形是我们的主要研究对象之一.原因是它具有良好的对称性.在四面体中，有与之对应的等腰四面体. 根据定义不难证明：①长方体一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体；②等腰四面体的四个面是四个全等的三角形.③若四面体的四个面具有相同的周长，则其为等腰四面体. ④等腰四面体的四个顶点和对面重心的连线段的长相等. ⑤h=4r.(内切球半径为r ，高为h).想一想②：你能证明上述性质②、③、④、⑤吗？对于等腰四面体我们还有：四面体是等腰四面体的充要条件是：过每一个顶点的三个平面角之和为1800.必要性：设四面体ABCD 是等腰四面体，过顶点A 的三个平面角之和为DAB DAC BAC S ∠+∠+∠=.有等腰四面体的四个面是全等的三角形得 ∠BAD =∠BDA ，∠CAD =∠DBA ，⇒S =∠BDA +∠DBA +∠DAB =1800.充分性：设0180=∠+∠+∠=DAB DAC BAC S .将四面体从顶点A ，沿三条棱剪开，平摊在∆BCD 所在的平面上(图1.4—7). 由已知过顶点B ，C ，D 的平面角之和为1800. 则易知B ，C ，D 是∆AA ′A ′′三边上的中点. 当∆AA ′A ′′还原成四面体后易知其对棱必相等. 我们知道，在平面内，正三角形是特殊的等腰三角形.在空间,正四面体是特殊的等腰四面体.它们之间也有很多类似的结论：①正三角形有一个外接圆和内切圆，且它们是同心圆；正四面体有一个外接球和一个内切球，它们也是同心球.②正三角形重心、垂心、外心、内心凡四心重合，并称该点为正三角形的中心； 正四面体的重心、垂心、外心、内心也四心重合，此点也称为正四面体的中心.③边长为a 的正三角形的高为√32a ，中心把高分成2:1的两部分；棱长为a 的正四面体的高为√63a ，中心把高分成3:1的两部分. ④平面几何中有如下结论：如图1.4—8 (1)，设O 是等腰 Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两 腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图1.4—8(2)，设O 是正三 棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1， 过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ， R ，P ，则有1AQ ＋1AR ＋1AP＝3.⑤正三角形的三内角相等，均为600；正四面体的相邻两面所成二面角也相等，其余 弦值均为−13.等. 习题1.41.已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解为(1，2).解关于x 的不等式cx 2−bx +a >0.有A CBD图1.4—6 图1.4—7B D AA ′′ A ′ C 图1.4—8(2)图1.4—8(1)如下解法：由ax 2−bx +c >0，⇒a −b(1x)+c(1x)2>0，令y=1x，则y ∈(12，1)，不等式cx 2−bx +a >0的解为(12，1).类比上述解法，已知关于x 的不等式k x+a +x+bx+c <0的解为 (-2，-1)∪(2，3)，则关于x 的不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为 .2.设P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上的任意一点，F 1、F 2是其两焦点，若∠P F 1F 2=α，∠P F 2 F 1=β(α>β)， 则e =sin(α+β)sin α+sin β.若换成双曲线x 2a 2−y 2b 2=1呢？3.已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，则k PM ·k PN =−b 2a 2.试问，对双曲线x 2a2−y 2b 2=1也有类似的特性吗，若有，写出对应的结论并加以证明.4.对于函数y=x 2(x>0)上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，直线段AB 必在曲线段AB 的上方.设点C 分AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的比为λ(λ>0)，则由点C 在C ′点的上方可得不等式：a 2+λb 21+λ>(a+λb 1+λ)2.请分析函数y=lnx(x>0)的图像，类比上述不等式可以得到的不等式是 ．5.对于求和12+22+32+…+n 2有人采用如下方式：∵ (k+1)3-k 3=3k 2+3k+1，令k=1，2，…n ，代入得到n 个等式，累加后得(n+1)3-1=3(12+22+32+…+n 2)+3(1+2+3+…+n)+n ，从而可得 12+22+32+…+n 2=n(n+1)(2n+1)6.类似地，你能得到13+23+33+…+n 3=(n(n+1)2)2吗？ 6.类比本节例7，已知f(x)=cos xcos(300−x)，求f(10)+f(20)+ … + f(590)的值.7.换一种方式证明，若点O 在 ABC 内，且点O 对三个顶点A 、B 、C 的视角∠AOB=∠AOC=∠AOC ，则有结论S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=00.命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内的结论_____________________________.【参考答案】 想一想①：1. A.2. C.3.由等和数列的定义，易知a 2n-1=2，a 2n =3，故a 18=3. S n ={52n n 为偶数52n −12 n 为偶数.4.S=S 1cos α+ S 2cos β+ S 3cos γ. 想一想②： ②易证.略. ③设各组对棱的长分别为.由题设有a+b+c=a+b ′+c ′=b +a ′+c ′=c +b ′+a ′，⇒b +c =b ′+c ′，b +c ′=c +b ′，⇒c −c ′=c ′−c ，⇒c =c ′.进一步可推得：a=a ′，b =b ′.于是该四面体是等腰四面体.④由②知，四个面是全等的三角形，又由三棱锥的体积公式及此三棱锥的体积是不变的，易得结论.⑤提示，以内切球的球心为顶点，四个面为底面，将此四面体分解为四个小四面体，由三棱锥的体积等积变形，也易得结论成立.∆ a bc习题1.41.关于x 的不等式kx+a+x+b x+c<0的解为(−2,−1)∪(2,3)，用−1x替换x ，不等式可化为，k(−1x)+a +(−1x )+b (−1x)+c =kxax−1+bx−1cx−1<0，因为−1x∈(−2,−1)∪(2,3)，所以12<x <1或−12<x <−13，即不等式kx ax−1+bx−1cx−1<0的解为(−12，−13)∪(12，1).2.e =ca =2c2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=sin(α+β)sin α+sin β.对于双曲线则有e =sin(α+β)sin α−sin β. 3.对于双曲线有k PM ·k PN =b 2a 2.证明：设点M 、P 的坐标为(n m ,)、(y x ,)，则N(n m --,). 因为点M(n m ,)在已知双曲线上，所以n 2=b 2a2m 2−b 2，同理y 2=b 2a 2x 2−b 2. 则k PM ⋅k PN =y−n x−m⋅y+n x+m=y 2−n 2x 2−m 2=b 2a 2⋅x 2−m 2x 2−m 2=b 2a 2.椭圆可类似地证明.4.如图D1.4—1，由定比分点公式及平行线分线段定理可得y=x 2(x>0)的不等式a 2+λb 21+λ>(a+λb1+λ)2， 类似地，对于函数y=lnx(x>0)有，ln a+λln b1+λ<lna+λb 1+λ.5.提示，利用(k+1)4-k 4=4k 3+6k 2+4k+1求之.6.提示：考察f(x)+f(600-x).59√32.7.解:∵S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC → =12( OOBOOOCO OA → snn ∠BOC+OOAOOOCO OB →snn ∠AOC+OOAOOOBO OC → snn ∠AOB)=12OOAO0BO0COsnn ∠AOC(OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC→|OC ← |),由于OA → |OA → |，OB→|OB → |,OC→|OC ← |，分别是与OA → ,OB → ,OC → 共线的单位向量， ∠AOB=∠AOC=∠AOC=1200，∴ OA → |OA → |+OB → |OB → |+OC → |OC ← |=0.0故S ΔOBC OA → +S ΔOAC ⋅OB → +S ΔOAB ⋅OC →=0.类比可得 V O—BCD ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ACD ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABD ∙OC⃗⃗⃗⃗⃗ +V O—ABC ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.图D1.4—1。
祖暅原理的教学设计
祖暅原理的教学设计一、祖暅原理及其对教学过程的启发1.从平面图形到空间图形的类比推理师：（多媒体演示）观察并思考问题：等底等高的图形面积有什么关系？学生讨论后小结：等底等高的图形面积相等。
师：我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两个图形，截得的两条线段始终相等。
那这个条件是否是两个图形面积相等的充要条件呢？学生探究，教师指导：点构成线，线构成面，用平行于底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这些相等线段组成的面积也相等。
类比猜想：把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立么？2.祖暅原理的引入情境导入：取一摞作业本置于桌面，用手轻推使之发生形变。
师：推动以后这摞作业本的体积改变了么？推动前后还有什么共同点？生：体积、高度、本数都没有改变。
师：回忆平面图形等积定理，讨论并归纳立体几何体等积定理。
学生归纳，教师指导，引入祖暅原理。
师：祖暅原理只能判断两个几何体体积是否相等，如果求几何体的体积，还必须转化为常见几何体。
3.从特殊到一般，从已知到未知师：我们学过特殊棱柱———长方体的体积公式，同学们回忆一下。
生：设长方体的长、宽、高分别为、、，那它的的体积为。
4.利用祖暅原理，结合下图，推导棱柱体积公式图1学生小组合作：做一个与棱柱等底等高的长方体，用一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，截面总是相等，则这个长方体与棱柱体积相等。
棱柱体积公式为：。
教师补充：利用祖暅原理求棱柱体积时，需要构造与之等底等高的几何体，且需要满足两个条件：一是已知其体积公式，二是用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面总是相等。
二、祖暅原理的教学建议中国传统数学在数学史上是一颗璀璨的明珠，但是随着历史变迁，传统数学的发展逐步失去活力，最终汇入西方数学体系中。
在20世纪的今天，随着新课改的逐步深入，数学文化进入到教师和教材编者的视野中。
祖暅原理作为立体几何中不可或缺的一部分，将其整合进教学过程中，更有利于加深学生对本章内容的内化。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。
5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。
平面到空间类比结论的探究
平面到空间类比结论的探究西乡二中 王仕林类比思想是数学中的一种重要解题思想,而平面几何问题的某些结论,通过类比思想,可以进一步探究空间问题的一些结论.掌握了从平面到空间问题的类比规律,可以深入地掌握平面几何与空间立体几何之间的内在联系.下面通过例子来说明这个问题.一、从平面到空间的类比结论：结论1：ABC ∆的面积公式1(2ABC S BC h h ∆=⋅是BC 边上的高） 推广：三棱锥S ABC -的体积公式1(3S ABC ABC V S h h -∆=⋅是三棱锥的 高）观察并分析： （1）平面内的三角形类比到空间变为三棱锥。
（2）平面内三角形的面积类比到空间为三棱锥的体积。
（3）平面内三角形的底边（线段）类比到空间变为 （图1）三棱锥的底面（平面）。
结论2：如图2，D 、E 是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且DE//BC ，12,h h 分别是 ADE ∆、 ABC ∆上的高。
则（1）12DE h BC h = （2）2122ADE ABC S h S h ∆∆= 推广：如图3，D 、E 、F 分别是三棱锥S-ABC 的边SA 、SB 、SC 上的三点，12,h h 分别是三棱锥S DEF - （图2） 与S ABC -的高，且平面DEF//平面ABC 。
则（1）2122DEF ABC S h S h ∆∆=， （2）3132S DEF S ABC V h V h --= 。
观察并分析：（1）平面内的两个三角形类比到空间为两个三棱锥。
（2）平面内的线段之比类比到空间为面积之比。
（3）平面内的面积之比类比到空间为体积之比。
（4）平面内的线段之比为高之比；空间内面积之比为两高之比。
（图3）（5）平面内的面积之比为平方之比，类比到空间变为：它的体积之比等于它的高的立方之比。
结论3：如图4，OM 、ON 为两条射线，D 、A 、E 、B 分别为OM 、ON 上的任意两点，则ODE OAB S OD OE S OA OB∆∆=⋅ 推论3：如图5，OP 、OQ 、OR 分别为三条射线，1A 、2A 、1B 、2B 、 （图4）1C 、2C 分别为OP 、OQ 、OR 上任意两点，则111222111222O A B C O A B C V OA OB OC V OA OB OC --=⋅⋅ 观察并分析：（1） 平面内两条射线类比到空间为三条射线。
从平面走向空间——类比思想在立体几何中的应用案例及思考
点 到两 腰 的距离 和 为定 值．
学 生 ： 腰 三 角 形 两 条边 相 等 ． 正 等 而
如 图１ 已知在 ＡＡ Ｃ（ 定 的 ） ， ， Ｂ 给 中
ＡＢ ＡＣＤ － ，是Ｂ 边上 任 意一 点 ．ＥＪＡ 于 Ｃ Ｄ ＿ Ｃ
教师 ： 好 ！刚才 我们 证 明 的是 一 个 很
它们都称为“ 单形 ”三 角 形 是 二 维 单 形 ， ，
三 棱锥 是 三 维单 形．
教 师 ：为 什 么平 面 中 的等 腰 三 角 形
＠ 案例片断
例 １ 证 明 等 腰 三 棱 锥 ， 合 理性 又 在 其
哪里？
图１
明是将问题转化成平面几何问题 ， 没有借 助于类比， 过程略 ）
教师 ： 么第 二个 问 题呢 ？ 那
有 边 界 元 素 （ 些边 界 元 素 全 相 等 ） 这 的距
离 和 为定 值． 教 师 ：我们 把 这 两 个 对 象 的 共性 理 解 得 非 常清楚 的时候 ， 比的结论 的可靠 类
闭 图形．三 棱锥 是 由４ 平 面 围成 的封 闭 个
合 ， 中包 括 了 “ 体 几 何 中 的 推 理 与 证 其 立
明” 题．下 面是 笔 者在 这 个 专 题 的第 一 专 节 课 一 类 比思 想 在 立 体 几 何 中 应 用 的 案例 片 断 以及教 后 的思 考．
体 ．在 空 间 中三 个 平 面不 能 围成 封 闭体 ．
又为Ａ｛ｃＧＰ Ｄ 棱锥 是 最 简单 的 多面 体． 因ｓ ４曰 ． Ｅ △ ・，Ｉ ＋ ｆ ） ． ２
Ｄ Ｇ为 定 值
要 形式 ．我 校 高 二 年 级 根 据 学 生 的 实 际
情 况 ．教学 时对 这 一 章 的 内容 进 行 了 整
从“平面”到“空间”谈谈类比推理的一种重要形式
我们说类 比推理 的结论 的可靠程度取决于两类 对象的相似属性 以及它们之 间的相关程度， 如果
＋ Ｂ Ｏ ＣＯ＝言 ＩＢ ・＋言 ｌＣ ・ Ｃ＋ Ａ ・ Ｉ１ ・ ｌ Ａ ７ Ｂ
１ １ ‘ ）
７ ・ ・＝言７故内 半 １ Ｉ ｌ１ ｚ ＋砉 Ａ ７ １ 切圆 径为７ ． ， １ ＝
推广到空间内的命题为： 在正四面体Ａ Ｄ ＢＣ 中， 若 是底面 △ Ｄ的中心， Ｄ是正 四面体
形内切圆半径求法的思想方法类 比到空间中， 于
是我们把三棱锥 内切球球心与四个顶 点分别连 起来， 把三棱锥 尸一Ａ ＢＣ分割成 四个小三棱锥， 如图３ 用等体积的办法： ，
Ｐ Ｂ ｒ Ａ Ｃ ＝ Ｖ Ｐ Ｂ＋Ｖ — Ｂ — ｏ— Ａ ｏ Ｐ Ｃ＋Ｖ — Ａ ｏ ＰＣ
Ｐ—Ａ Ｃ内切球的半径为７ ｝． Ｂ １ ＝＝
二、 看准结构， 类比关联量 有 的类 比问题中， 没有 明确指出类 比项是什 么， 这就要求我们从本质上来认识平面图形中的 问题， 以此推 广到 空间 内应该有什么样 的问题．
图５
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２０ 年第 ５ ０８ 期
把 间具有某些类似 （ 或一致） 推测其中一类事 性， 思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联， 物具有与另一类事物类似（ 或相同） 的性质的推 平面 内的思想方法 ‘ ” 搬 到空间内．
理． 而 高 中阶段 所 涉及到 的推理 过程 以从‘ ‘ 平
Ａ
＝
－
ｂ．
性质 ３ Ｐ是抛物线Ｙ ０＝ ２
则Ｎ（ ｔ， ２ｔ） 于是有 ２ ２－ ｐ２． ｐ
【 熊光汉、 １ １ 熊寅． 二次曲线的垂轴弦． 中学
数学． ０ ２ ４ ２０ ． ．
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盘点平面到空间的类比推理问题
角形 中的边 与 高 的 关 系 式 类 比 空 间 中两 两 垂 直 的棱 的 三棱 锥 中边 与高 的关 系 即可．
题 型 ３ 特殊 点 、 线、 面 关 系 类 比
为 斜边 上 的高 ， 则 一 ＋ ， 由此 类 比： 三 棱 锥
， ￡ “ Ｕ
ＡＢ Ｃ 中的 ３ 条侧棱 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两 两 垂 直 ， 且 长 度 分
例 ３ 设 Ｐ 是 Ａ ＡＢＣ 内 别 为 ｈ 、 ｈ Ｂ 、 ｈ ㈡ Ｐ 到 ３边
ｃ
的距离 依 次 为 ｌ 。 、 ｚ 、 ｌ ， 则
平 面 图形 与 空 间 图形 之 间 在 概 念 与性 质 上 有 些
类 似 的知识 与方 法 ， 许 多平 面几 何 中 的命 题 可 以推 广 成 立体 几何 中 的相 应 命 题 ， 它们往往将数学 知识、 方
则 ＋ 一 ３ ， 由 平 面 图 形 类 比到 空 间 图 形 ， 如 图
如图 １ ， 因为 Ｓ Ａ、 Ｓ Ｂ、 Ｓ Ｃ两两垂直 ， 且 长 度 分别 为 口 、 ｂ 、 ｆ ， 所以 Ｓ Ａ Ｌ面 Ｓ Ｂ Ｃ， 作 Ｓ Ｄ上
ｏ，
Ｂ ｃ ， 则ｓ Ａ Ｊ ＿ Ｓ Ｄ 且Ｓ Ｄ－ － 雨 ｂ ｃ ， 作Ｓ Ｏ ￣ Ａ Ｄ于
｝
法 和原 理 融 于一 体 ， 突 出对 数 学 思想 方 法 的 考 查 ， 体 现数学 的思维价 值 ． 以下 举例 说 明．
题型 １ 边 角关 系的 类 比
一 Ｊ －
去 ＾ Ａ ＋ 。 急 Ｂ ＋ 。 去 （ 一
类 比到 空 间 ， 设 Ｐ 是 四 面
③， 各个 面都 是 全 等 的正 三 角 形 ， 所 以各 面都 是 面 积 相等的三角形 ， 同一 顶 点 上 的 任 ２条 棱 的夹 角 都 相
从平面到空间的类比思维
从平面到空间的类比思维作者：李云飞来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第01期类比是数学发现的重要源泉.随着数学课程改革的深入,对学生数学类比能力的考查已悄然升温.本文将对由平面到空间中的有关类比作一些初浅的探究.一、射影定理的类比例1 如图1,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,则AB2=BD•BC,类似有命题:三棱锥A-BCD 中(如图2),AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,且在△BCD内,则S△ABC2=S△BCO•S△BCD.上述命题是()A.真命题B.增加AB⊥AC的条件才是真命题C.假命题D.增加三棱锥A-BCD是正三棱锥的条件才是真命题分析:由已知的垂直关系,不难找出以下类比关系:AB类比于△ABC,BD类比于△BOC,BC类比于△BCD,长度类比面积可得到:S△ABC2=S△BCO•S△BCD.证明:如图乙,连接DO并延长交BC于E,∵AD⊥面ABC,AO⊥面BCD∴BC⊥面AED,又在△AED中,AO⊥DE,AD⊥AE,则AE2=EO•ED,∴(12BC•EA)2=(12BC•EO)•(12BC•ED)得S△ABC2=S△BCO•S△BCD.选A.二、勾股定理的类比例2 在平面几何里,有勾股定理:设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则有AB2+AC2=BC2;拓展到空间,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则 .(2003年全国高考15题)分析:由于A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,把这些直角面类比于三角形的直角边,底面类比于三角形的斜边,故可以得到猜想:S△ABC2+S ACD2+S△ADB2=S△BCD 2.证明:∵三个侧面两两互相垂直,∴三条侧棱也两两互相垂直.如图2,利用例1中射影定理类比结论得S△ABC2=S△BCO•S△BCD,S△ACD2=S△COD•S△BCD,S△ABD2=S△BOD•S△BCD,相加即得结论S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD 2.三、余弦定理的类比例3 在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2 cos∠DEF.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.(2004年上海春招20题)分析:根据类比猜想得出S AA1C1C2=S ABB1A12+S BCC1B12-2S ABB1A1•S BCC1B1cosθ.如图3,作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF,则∠DEF为面ABB1A1与面BCC1B1所成角,在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2 cos∠DEF,同乘以AA12得:DE2•AA12=DF2•AA12+EF2•AA12-2DF•AA1•EF•AA1•cosθ即:S△AA1C1C2=S ABB1A12+S BCC1B12-2S ABB1A1•S BCC1B1cosθ.四、角平分线定理的类比:例4 如图4,△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所得的比AEEB=ACCB;把这个结果类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图5),平面DCE平分二面角A-CD-B,且与AB相交于点E,则可得到的类似的结论有 .分析:AC、BC分别类比于△ACD和△BCD,AE和EB分别类比于△AEC和△BEC得到,长度类比面积得S△ABC S BEC=S△ACD S△BCD(或S△AED S△BED=S△ACD S△BCD).证明:考虑两种情形:如图5,若△ACD和△BCD的底边CD上的高相交于G,则EG平分∠AGB,AGBG=AEBE,即S△AEC S BEC=S△ACD S△BCD显然成立.如图6,若△ACD和△BCD的底边CD上的高分别为AM和BN,平移BN至PM,连接BP、AP,则四边形BNMP为平行四边形,∴CD∥面ABP,设面DCE∩面ABP=EF,故CD∥EF.从而有EF∥PB.在△APM中,MF为∠AMF的平分线,于是AMMP=AFFP=AEBE,∴S△ABC S BEC=S△ACD S△BCD五、内切半径求法的类比例5 若三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=2SC;拓展到空间,棱锥的体积为V,表面积为S,若内切球与每个面都相切,则这棱锥的内切球的半径 .分析:从两个方面类比①从形式上类比:二维类比到三维,即“2”类比到“3”,面积S类比到体积V,周长C类比到表面积S得r=3VS.②从方法上类比:平面中等面积法求内切圆半径,空间中等体积法求内切球的半径.六、所成角余弦的类比线段AB在直线AC上的射影为AH,若直线AB与直线AC所成的角为θ,则cosθ=AHAB;设某平面图形的面积为S,它在某个平面上的射影的面积为S0,则这两个平面所成的锐角平面角为θ,则cosθ=S0S.分析:问题很简单,后者为空间二面角的平面角的求角公式.。
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专题一：从平面到空间的类比推理类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．”类比推理就是在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大．类比推理一般具有如下三个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明，但它却有探索、发现的功能，有助于我们揭示自然界的奥秘．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象、概括出一个猜想；(3)检验猜想．近几年来，在全国各地的模拟试题和高考试题中，陆续出现了从平面到空间的类比推理题，这些题目立意新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只需要猜想出正确的结论即可，旨在考查学生观察-分析-比较-联想-类比- ,mm 猜0想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几种类型：一、平面几何定理类比到立体几何定理平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去．数学家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”类比方法：“直线”类比为“_____”，“角”类比为“________”，“角的两边”类比为“_________________”等．例1：对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________．”其真假性是_________．我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：(1)平几：平行于同一直线的两直线平行；立几：平行于同一平面的两平面平行．(2)平几：垂直于同一直线的两直线平行；立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行．(3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直；立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．(4)平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补．二、平面几何图形类比到空间几何体点、线、面是构成空间几何体的基本元素，构成几何体离不开平面图形，有不少几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空间几何体中去．(一)平面中的三角形类比到空间中的________1．直角三角形类比到___________类比方法1：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“_________________________”．例2(2003广东卷) 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2 +AC2= BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则____________________________________________________.变式：在△ABC 中，A B ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 为垂足，则AB 2=BD ·BC(射影定理)．类似地，三棱锥A-BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，则S △ABC ，S △BCO ，S △BCD 三者之间满足关系式_______________________________． 类比方法2：“直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“_____________________”．例3(2008深圳调研理) 在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111b a h +=，由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则有结论_________________________．变式：Rt △ABC 的两直角边分别为a 、b ，则其内切圆半径122)1111(-+++=ba b a r r ；由此类比：三棱锥S-ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则其内切球半径R=___________________________。
2．正三角形类比到________________类比方法1：“正三角形的高”类比为“________________”．例4 平面几何中，有结论：“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，且定值等于该正三角形边长的_______倍”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：________________________________________________________．例5(2008韶关调研理) 已知正三角形内切圆的半径是高的1／3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________．类比方法2：“正三角形的中心”类比为“________________”．例6 在平面内，自一点O 至多能引3条射线OA 、OB 、OC ，使它们两两成等角，且两两所成的角为1200．类比到空间，自一点0至多能引_____条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为_________．3．一般三角形类比到_______________类比方法1：“三角形的面积”类比为“___________________”．例7(2008梅州一模文) 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆半径为r(用S △ABC 表示△ABC 的面积)，则S △ABC =r(a+b+c)／2；类比这一结论有：若三棱锥A —BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积加V A-BCD =________________．例8(2004广东卷)教材P78练习3例9 若点D 在△ABC 内，则有结论0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OAC OBC ，把命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：___________________________。
类比方法2：“三角形的高”类比为“_________________________”．例10(2008汕头一模理) 设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ，P 到三边的距离依次为c b a l l l ,,,则有Cc B b A a h l h l h l ++=_________；类比到空间，设P 是三棱锥A-BCD 内一点，四顶点到对面的距离分别为h A ，h B ，h C ，h D ，P 到这四个面的距离依次为d c b a l l l l ,,, ，则有___________________________________.(二)平面中的特殊四边形类比到空间中的特殊____________1．平行四边形类比到____________类比方法：“平行四边形的边、对角线”分别类比为“_________________”．例11 平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空问，可得到结论：________________________________。
2．矩形类比到__________类比方法1：“矩形的边、对角线”类比为“___________________”．例12 若P 是矩形ABCD 内任意一点，则有结论PA 2+PC 2 =PB 2 +PD 2成立，类比到空间，若P 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内任意一点，则有结论______________________ 成立．例13 矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为βα,，则1cos cos 22=+βα，把它类比推广到长方体中，试写出一个相应的真命题：______________________________________.类比方法2：“矩形的外接圆”类比为“_______________”．例14 设矩形ABCD 的外接圆半径为r ，P 是矩形ABCD 的外接圆上任意一点，则PA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 为定值__________ ；类比到空间，设长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球半径为R ，P 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球上任意一点，则PA 2 +PB 2 +PC 2 + PA 12 +PB 12 +PC 12 +PD 12 为定值__________(三)平面中的特殊平面图形类比到空间中的特殊旋转体1．圆类比到球圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合；用任意一个平面去截球，截面都是圆，这些都决定了圆与球有很深厚的渊源．类比方法1：“圆的面积”类比为“球的体积”．例15(2006湖北卷) 半径为r 的圆的面积S(r)=2r π，周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，+∞)上的变量，则(2r π)’ =2πr ①，① 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于① 的式子：______________________ ② ，② 式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________ ．类比方法2：“圆的内接矩形”类比为“_______________”．例16 通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，正方形的面积最大，最大值为2 ．”猜想关于球的相应命题为：__________________________________________．2．梯形类比到______类比方法1：“平行于梯形上、下底的线段”类比为“_________________________”，“梯形的上、下底边长”类比为“_________________________”．例17 已知梯形ABCD 中，AB=a ，CD=b(a>b)，E 、F 是腰AD 、BC 上两点，且EF//AB//CD ，若线段EF 将梯形的面积二等分，则222b a EF +=． 类比上述结论，若圆台的两底半径为R ，r(R >r)，作平行于底的截面，若截面将圆台的侧面积二等分，则截面半径为______；若截面将圆台的体积二等分，则截面半径为_________________.类比方法2：“梯形的上、下底边长”类比为“______________________________”，“平行于梯形上、下底的线段长”类比为“_____________________________________”．例18 已知梯形ABCD 中，AB=a ，CD =b(a>b)，E 、F 是腰AD 、BC 上两点，且EF ∥AB ∥CD ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m ：n ，则可推算出EF=nm nb ma ++．类比上述结论，若圆台的上、下底面积为S 1 、S 2：(S 1 <S 2)，一个平行于底面的截面到圆台上、下底面的距离之比为m ：n ，若此截面的面积为S 0，则S 0与S 1、S 2的关系式为_________.三、平面向量类比到空间向量由于空间向量是平面向量在空间的推广，空间向量基本定理也是平面向量基本定理的推广，因此，两者之间必然存在着广泛而深刻的联系，它们在加、减、数乘、数量积方面具有相同的运算律，而它们的坐标运算则非常相似．类比方法1：“平面向量的二维坐标运算”类比为“空间向量的三维坐标运算”．例19 设向量a =(x 1，y 1 )，b =(x 2，y 2：)，则由平面向量数量积公式可得|a ·b |≤|a |·| b |，即有不等式：(x 1 x 2+y l y 2)2 ≤( x 1+y 1)2 ( x 2+y 2)2．将平面向量类比推广到空间向量，可以得到一个类似的不等式：__________________________________________________．类比方法2：“共线向量”类比为“________”，“不共线向量”类比为“__________”． 例20 若点O 在直线AB 外，则点P 在直线AB 上的充要条件是y x +=且 x+y=1．类比到空间，若点O 在平面ABC 外，则点P 在平面ABC 内的充要条件是__________例21 类比正确命题“若A 、B 、C 三点不共线，D 是线段AB 的中点，则)(21CB CA CD +=”，给出空间中的一个恰当正确命题：__________________________. 四、平面解析几何类比到空间解析几何空间解析几何是平面解析几何在空间的推广，其坐标表示由二维(x ，y)延拓到三维(x ，y ，z)，因此，两者之间也必然存在着非同寻常的关系．例如：平面解析几何中直线方程的一般式Ax +By+C=0与空间解析几何中平面方程的一般式Ax +By+Cz +D=0是一脉相承的；圆心为(a ，b)、半径为r 的圆的标准方程( x-a)2 +(y-b)2=r 2 与球心为(a ，b ，c)、半径为 R 的球的标准方程( x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R 2也“本是同根生”．类比方法：“平面解析几何中的直线”类比为“_____________________”．例22 类比平面内一点P(x 0，y o )到直线A x+By+C=0(A 2 +B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P( x 0，y o ，z 0)到平面Ax +By+Cz +D=0(A 2+B 2+C 2≠0)的距离公式为d=___________课后训练：一、从低次类比到高次1、(2006年上海文高考题)已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a>0，那以该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，+∞)上是增函数．(I)如果函数xx y b2+= (x>0)的值域为[6，+∞)，求b 的值； (Ⅱ)研究函数22x c x y += (常数c>0)在定义域内的单调性，并说明理由； (Ⅲ)对函数x a x y +=或22x c x y +=(常数a ，c>O)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)二、圆锥曲线与圆的类比2、在圆x 2 +y 2 =r 2中，AB 为直径，P 为圆上一点，若PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 都存在，则k PA k PB =-1．在圆锥曲线中也有类似结论吗?从工程项目成本核算的“三同步”原则谈产值统计的具体方法。