从平面到空间的类比推理

专题一：从平面到空间的类比推理

类比是数学命题推广的基本方法之一，法国数学家拉普拉斯曾经说过：“即使在数学

里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．”类比推理就是在两类不同事物之间进行对比，

找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模

式．从逻辑上说，类比推理就是将命题的外延扩大．

类比推理一般具有如下三个特点：

(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认

识为基础，类比出新的结果；

(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；

(3)类比的结果是猜测性的，因此，类比推理得出的结论不一定正确，有待证明，但它却

有探索、发现的功能，有助于我们揭示自然界的奥秘．

类比推理的一般步骤是：

(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而抽象、概括出一个猜想；

(3)检验猜想．

近几年来，在全国各地的模拟试题和高考试题中，陆续出现了从平面到空间的类比推

理题，这些题目立意新颖，内涵深刻，大多以填空题的形式出现，不需要严格的证明，只

需要猜想出正确的结论即可，旨在考查学生观察-分析-比较-联想-类比- ,mm 猜0想的探索能力和创新意识，归纳起来，主要有以下几种类型：

一、平面几何定理类比到立体几何定理

平面是空间的一部分，因此，平面中的不少结论都可以类比拓展到空间中去．数学家

波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的

类比问题．”

类比方法：“直线”类比为“_____”，“角”类比为“________”，“角的两边”类比为

“_________________”等．

例1：对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补．”在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________________．”其真假性是_________．

我们所熟悉的从平面几何定理到立体几何定理还有不少类比的实例，例如：

(1)平几：平行于同一直线的两直线平行；

立几：平行于同一平面的两平面平行．

(2)平几：垂直于同一直线的两直线平行；

立几：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行．

(3)平几：如果一条直线垂直于两平行直线中的一条直线，那么它也和另一条直线垂直；

立几：如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直；

如果一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直．(4)平几：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；

立几：如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别平行，那么这两个二面角相等或互补．

二、平面几何图形类比到空间几何体

点、线、面是构成空间几何体的基本元素，构成几何体离不开平面图形，有不少几何体的底面或侧面是一些相类似的平面几何图形，因此，平面中某些特殊几何图形的性质也可以类比推广到相对应的特殊空间几何体中去．

(一)平面中的三角形类比到空间中的________

1．直角三角形类比到___________

类比方法1：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“_________________________”．例2(2003广东卷) 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2 +AC2= BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则____________________________________________________.

变式：在△ABC 中，A B ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 为垂足，则AB 2=BD ·BC(射影定理)．类似地，三棱锥A-BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，则S △ABC ，S △BCO ，S △BCD 三者之间满足关系式_______________________________． 类比方法2：“直角三角形的直角边长、斜边上的高”类比为“_____________________”．

例3(2008深圳调研理) 在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则2

22111b a h +=，由此类比：三棱锥S —ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则有结论_________________________．

变式：Rt △ABC 的两直角边分别为a 、b ，则其内切圆半径122)1111(-+++=b

a b a r r ；由此类比：三棱锥S-ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则其内切球半径R=___________________________。

2．正三角形类比到________________

类比方法1：“正三角形的高”类比为“________________”．

例4 平面几何中，有结论：“正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，且定值等于该正三角形边长的_______倍”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：________________________________________________________．

例5(2008韶关调研理) 已知正三角形内切圆的半径是高的1／3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________．

类比方法2：“正三角形的中心”类比为“________________”．

例6 在平面内，自一点O 至多能引3条射线OA 、OB 、OC ，使它们两两成等角，且两两所成的角为1200．类比到空间，自一点0至多能引_____条射线，使它们两两成等角，且两两所成的角为_________．

3．一般三角形类比到_______________

类比方法1：“三角形的面积”类比为“___________________”．

例7(2008梅州一模文) 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆半径为r(用S △ABC 表示△ABC 的面积)，则S △ABC =r(a+b+c)／2；类比这一结论有：若三棱锥A —BCD 的内切球

半径为R ，则三棱锥体积加V A-BCD =________________．

例8(2004广东卷)教材P78练习3

例9 若点D 在△ABC 内，则有结论0=?+?+????OC S OB S OA S OAB OAC OBC ，把命题类比推广到空间，若点O 在四面体ABCD 内，则有结论：___________________________。

类比方法2：“三角形的高”类比为“_________________________”．

例10(2008汕头一模理) 设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ，P 到三边的距离依次为c b a l l l ,,,则有C

c B b A a h l h l h l ++=_________；类比到空间，设P 是三棱锥A-BCD 内一点，四顶点到对面的距离分别为h A ，h B ，h C ，h D ，P 到这四个面的距离依次为

d c b a l l l l ,,, ，则有___________________________________.

(二)平面中的特殊四边形类比到空间中的特殊____________

1．平行四边形类比到____________

类比方法：“平行四边形的边、对角线”分别类比为“_________________”．

例11 平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空问，可得到结论：________________________________。

2．矩形类比到__________

类比方法1：“矩形的边、对角线”类比为“___________________”．

例12 若P 是矩形ABCD 内任意一点，则有结论PA 2+PC 2 =PB 2 +PD 2成立，类比到空间，若P 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内任意一点，则有结论______________________ 成立．

例13 矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为βα,，则1cos cos 22=+βα，把它类比推广到长方体中，试写出一个相应的真命题：______________________________________.

类比方法2：“矩形的外接圆”类比为“_______________”．

例14 设矩形ABCD 的外接圆半径为r ，P 是矩形ABCD 的外接圆上任意一点，则PA 2 +PB 2 +PC 2 +PD 2 为定值__________ ；类比到空间，设长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球

半径为R ，P 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球上任意一点，则PA 2 +PB 2 +PC 2 + PA 12 +PB 12 +PC 12 +PD 12 为定值__________

(三)平面中的特殊平面图形类比到空间中的特殊旋转体

1．圆类比到球

圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合；用任意一个平面去截球，截面都是圆，这些都决定了圆与球有很深厚的渊源．

类比方法1：“圆的面积”类比为“球的体积”．

例15(2006湖北卷) 半径为r 的圆的面积S(r)=2

r π，周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，+∞)上的变量，则(2r π)’ =2πr ①，① 式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，+∞)上的变量，请你写出类似于① 的式子：______________________ ② ，② 式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________ ．

类比方法2：“圆的内接矩形”类比为“_______________”．

例16 通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，正方形的面积最大，最大值为2 ．”猜想关于球的相应命题为：__________________________________________．

2．梯形类比到______

类比方法1：“平行于梯形上、下底的线段”类比为“_________________________”，“梯形的上、下底边长”类比为“_________________________”．

例17 已知梯形ABCD 中，AB=a ，CD=b(a>b)，E 、F 是腰AD 、BC 上两点，且EF//AB//CD ，若线段EF 将梯形的面积二等分，则2

2

2b a EF +=． 类比上述结论，若圆台的两底半径为R ，r(R >r)，作平行于底的截面，若截面将圆台的侧面积二等分，则截面半径为______；若截面将圆台的体积二等分，则截面半径为_________________.

类比方法2：“梯形的上、下底边长”类比为“______________________________”，“平行于梯形上、下底的线段长”类比为“_____________________________________”．

例18 已知梯形ABCD 中，AB=a ，CD =b(a>b)，E 、F 是腰AD 、BC 上两点，且EF ∥AB ∥CD ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m ：n ，则可推算出EF=n

m nb ma ++．类比上述结论，若圆台的上、下底面积为S 1 、S 2：(S 1

三、平面向量类比到空间向量

由于空间向量是平面向量在空间的推广，空间向量基本定理也是平面向量基本定理的推广，因此，两者之间必然存在着广泛而深刻的联系，它们在加、减、数乘、数量积方面具有相同的运算律，而它们的坐标运算则非常相似．

类比方法1：“平面向量的二维坐标运算”类比为“空间向量的三维坐标运算”．

例19 设向量a =(x 1，y 1 )，b =(x 2，y 2：)，则由平面向量数量积公式可得|a ·b |≤|a |·| b |，即有不等式：(x 1 x 2+y l y 2)2 ≤( x 1+y 1)2 ( x 2+y 2)2．将平面向量类比推广到空间向量，可以得到一个类似的不等式：__________________________________________________．

类比方法2：“共线向量”类比为“________”，“不共线向量”类比为“__________”． 例20 若点O 在直线AB 外，则点P 在直线AB 上的充要条件是y x +=且 x+y=1．类比到空间，若点O 在平面ABC 外，则点P 在平面ABC 内的充要条件是__________

例21 类比正确命题“若A 、B 、C 三点不共线，D 是线段AB 的中点，则)(2

1CB CA CD +=”，给出空间中的一个恰当正确命题：__________________________. 四、平面解析几何类比到空间解析几何

空间解析几何是平面解析几何在空间的推广，其坐标表示由二维(x ，y)延拓到三维(x ，y ，z)，因此，两者之间也必然存在着非同寻常的关系．例如：平面解析几何中直线方程的一般式Ax +By+C=0与空间解析几何中平面方程的一般式Ax +By+Cz +D=0是一脉相承的；圆心为(a ，b)、半径为r 的圆的标准方程( x-a)2 +(y-b)2=r 2 与球心为(a ，b ，c)、半径为 R 的球的标准方程( x-a)2 +(y-b)2 +(z-c)2 =R 2也“本是同根生”．

类比方法：“平面解析几何中的直线”类比为“_____________________”．

例22 类比平面内一点P(x 0，y o )到直线A x+By+C=0(A 2 +B 2≠0)的距离公式，猜想空

间中一点P( x 0，y o ，z 0)到平面Ax +By+Cz +D=0(A 2+B 2+C 2≠0)的距离公式为d=___________

课后训练：

一、从低次类比到高次

1、(2006年上海文高考题)已知函数x

a x y +=有如下性质：如果常数a>0，那以该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，+∞)上是增函数．

(I)如果函数x

x y b

2+= (x>0)的值域为[6，+∞)，求b 的值； (Ⅱ)研究函数2

2

x c x y += (常数c>0)在定义域内的单调性，并说明理由； (Ⅲ)对函数x a x y +=或22x c x y +=(常数a ，c>O)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)

二、圆锥曲线与圆的类比

2、在圆x 2 +y 2 =r 2中，AB 为直径，P 为圆上一点，若PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 都存在，则k PA k PB =-1．在圆锥曲线中也有类似结论吗?