蚁群算法的数学模型

蚁群算法的数学模型
蚂蚁),2,1(k m k ⋅⋅⋅=在运动过程中，运动转移的方向由各条路径上的信息量浓度决定。

为方便记录可用),,2,1(t m k abu k ⋅⋅⋅=来记录第 k 只蚂蚁当前已走过的所有节点，这里可以称存放节点的表为禁忌表；这个存放节点的集合会随着蚂蚁的运动动态的调整。

在算法的搜索过程中，蚂蚁会智能地选择下一步所要走的路径。

设 m 表示蚂蚁总数量，用)1,,1,0,(d -⋅⋅⋅=n j i ij 表示节点 i 和节点 j 之间的距离，)(ij t τ表示在 t 时刻ij 连线上的信息素浓度。

在初始时刻，m 只蚂蚁会被随机地放置，各路径上的初始信息素浓度是相同的。

在 t 时刻，蚂蚁 k 从节点i 转移到节点 j 的状态转移概率为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∈=∑∈other p allowed t t t t k ij k allowed k ij ij ij ij k ij ,0j ,)
()()()(p k βαβαητητ ()1-2 其中，{}k k tabu c allowed -=表示蚂蚁 k 下一步可以选择的所有节
点，C 为全部节点集合；α为信息启发式因子，在算法中代表轨迹相对重要程度，反映路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的影响程度，该值越大，蚂蚁间的协作性就越强；β可称为期望启发式因子，在算法中代表能见度的相对重要性。

ij η是启发函数，在算法中表示由节点i 转移到节点 j 的期望程度，通常可取ij ij d /1=η。

在算法运行时每只蚂蚁将根据(2-1)式进行搜索前进。

在蚂蚁运动过程中，为了避免在路上残留过多的信息素而使启发
信息被淹没，在每只蚂蚁遍历完成后，要对残留信息进行更新处理。

由此，在t+n 时刻,路径(i,j)上信息调整如下
()())()(1t t n t ij ij ij ττρτ∆+⨯-=+ (2-2)
)()(1t t m
k k ij ij ∑=∆=∆ττ (2-3)
在式中，常数 ()1,0
∈ρ表示信息素挥发因子,表示路径上信息量的损耗程度,ρ的大小关系到算法的全局搜索能力和收敛速度，则可用
ρ-1代表信息素残留因子,)(t k ij τ∆表示一次寻找结束后路径(i,j)的信
息素增量。

在初始时刻()00=∆ij τ,)(t k ij τ∆表示第 k 只蚂蚁在本次遍历结束后路径(i,j)的信息素。

由于信息素更新策略有所不同，学者Dorigo M 研究发现了三种不同的基本蚁群算法模型，分别记为“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型、“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型及“蚁密系统”(Ant-Density)模型，三种模型求解 )(t k ij τ∆方式存在不同。

“蚁周系统”(Ant-Cycle)模型
⎪⎩⎪⎨⎧=∆other L Q k k ij ,0,τ第k 只蚂蚁走过ij (2-4)
“蚁量系统”(Ant-Quantity)模型
⎪⎩⎪⎨⎧=∆other d Q ij k ij ,0,τ第k 只蚂蚁在t 和t+1之间走过ij (2-5)
“蚁密系统”(Ant-Density)模型
⎩⎨⎧=∆other Q k
ij
,0,τ第k 只蚂蚁在t 和t+1之间走过ij (2-6) 从上边各公式可以看出三种模型的主要区别是：“蚁量系统”和“蚁密系统”中，信息素是在蚂蚁完成一步后更新的，即采用的是局部信息；而在“蚁周系统”中路径中信息素是在蚂蚁完成一个循环后更新的，即应用的是整体信息。

在一系列标准测试问题上运行的实验表明，“蚁周系统”算法的性能优于其他两种算法。

因此，对蚂蚁系统的研究正朝着更好地了解“蚁周系统”特征的方向发展。