第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵分解
矩阵分析第三章3.1-2综述
x1 x2 xn T A x1 x2 xn ( , )
x11 x22 xnn
Hermite矩阵 : 规定记号:
AH
T
A,
称AH为A的复共轭转置。
复共轭转置有运算性质 : (1)AH ( A)T ; (2)( A B)H AH BH ; (3)(kA)H k AH ; (4)( AB)H BH AH ; (5)( AH )H A; (6)若A可逆，则( AH )1 ( A1 )H .
&3.1 欧氏空间、酉空间
一、概念
定义3.1.1 设V是实数域R上的n维线性空间,
如果对V中任意两个向量、 ,有唯一确定 的实数与之对应,这实数记为(, ),并且满足 下列四个条件,则这实数(, )称为与的
内积:
(1) (, ) ( , ) (2) (k, ) k(, ) (3) ( , ) (, ) ( , ) (4) (, ) 0,当且仅当 0时(, ) 0 其中 , , 是V中任意向量,k R;称定义有这
例3.1.5设n2维空间Rnn中对向量(n阶矩阵)A, B 规定内积为
( A, B) tr( AT B), A, B Rnn , 则Rnn是欧氏空间。
定义3.1.2 : 设V是复数域C上的n维线性空间,
如果对V中 任意两个向量、 ,有唯一确定的
复数与之对应,这复数记为(, )且满足下列四个 条件,则这复数(, )称为与的内积 :
第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
在线性空间中，向量之间的基本运算只有 加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映， 局限了线性空间的应用。现在我们借助内积把 度量概念引入到线性空间中。
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对Hermit矩阵分解的定义和背景的介绍。
下面是一个可能的概述内容的例子：在数学和计算科学的领域中，矩阵分解是一种重要的技术，用于将复杂的大矩阵表示转化为更简洁、可处理的形式。
其中一种矩阵分解方法是Hermit矩阵分解，它是对Hermit矩阵进行分解的一种特殊方法。
Hermit矩阵是一种具有特殊属性的正方矩阵，其元素复共轭对称。
在Hermit矩阵分解的过程中，通过将一个Hermit矩阵表示为两个特定形式的矩阵的乘积，可以使得矩阵运算更加有效，并且可以提取出矩阵的结构信息。
本文旨在介绍MATLAB在Hermit矩阵分解中的应用，并讨论Hermit 矩阵分解的算法和实现。
首先，我们将详细介绍Hermit矩阵分解的概念和相关背景知识。
接着，我们将探讨MATLAB在Hermit矩阵分解中的具体应用，包括如何使用MATLAB进行矩阵分解和分析。
最后，我们将总结Hermit矩阵分解的优势和局限性，并展望未来相关研究的发展方向。
通过本文的阐述，读者将能够了解Hermit矩阵分解及其在科学和工程问题中的应用价值，同时也能够熟悉MATLAB在这一方面的操作和实现。
无论是对于研究人员还是对于对矩阵分解感兴趣的读者来说，本文都将为他们提供有用的信息和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为以下几个部分进行讨论和叙述。
第一部分为引言部分，对整篇文章进行概述，并介绍文章的结构和目的。
在这一部分中，我们将简要介绍Hermit矩阵分解的概念以及MATLAB 在该领域的应用。
第二部分为正文部分，主要讨论Hermit矩阵分解的概念、MATLAB 在该领域的具体应用以及Hermit矩阵分解的算法与实现。
我们将详细介绍Hermit矩阵分解的相关概念，包括其定义、特性等，并探讨MATLAB 在该领域中的重要作用和应用。
此外，我们还将介绍一些常用的Hermit 矩阵分解算法，包括其原理、步骤和实现方式。
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
正定Hermitian矩阵的分解法的概述及应用
正定Hermitian 矩阵的分解法的概述及应用［摘要］对正定Hermitian 矩阵的定义、性质以及Cholesky 分解法做简单的概括、分析。
利用正定Hermitian 阵的Cholesky 分解法来解决一些题目，由此，我们可以看出一些矩阵可以分解成一些具有特殊特定性质的矩阵。
［关键词］矩阵分解、正定Hermitian 矩阵、Cholesky 分解法 1.定义关于矩阵的分解，一般的理论有①矩阵的三角分解（Crout 分解、TLDL 分解、Doolittle [5]分解等等），②矩阵的正交三角分解（方阵的QR 分解，长方阵的QR 分解），③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异分解。
现在我要给出一种特殊的三角分解：正定Hermitian 矩阵的分解及应用。
为此，先引入 定义[1]1，设n nA C⨯∈，若HAA =，则称A 是Hermitian 矩阵；若H A A =-，则称A 是反Hermitian 矩阵。
定义2.对于Hermitian 矩阵的二次齐式，(),,H n f x X AX X C =∈下列命题是等价： (1)()f x 是正定的；(2)对于任何n 阶可逆矩阵P 都有HP AP 为正定矩阵； (3)A 的n 个特征值全大于零；(4)存在n 阶可逆矩阵P ，使得HP AP E =； (5)存在n 阶可逆矩阵Q ，使得HA=Q Q(6)存在正线上三角矩阵R ，使得HA R R =，且分解是唯一的。
2. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解 (或平方根分解或对称三角分解)2.1. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解的可行性 1.以下两个命题等价： 命题[1]1，设n nA C⨯∈是正定Hermitian 矩阵一，则A 可分解为1/21/2()()H H A LDLDLL == 其中1/2L LD= ，L 是单位下三角矩阵，1/2D diag = ， (1,2,,k k n = 是A 的k 阶顺序主子式。
矩阵论——内积空间基本概念
第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。
§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。
则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。
特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。
注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。
例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。
例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。
例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。
例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。
例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。
定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。
定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。
《矩阵分析》课程教案
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
第三章内积空间、正规矩阵5-7节
1/ 3
1
把3单位化得p3 2 / 3，
2 / 3
令P ( p1，p2，p3 )，取(1，2，3 ) (1， 2， 3 )P
1
即
2
3
2
5 2
5
1 1
1 5
2
345 2
355 3
则1，2，3为标准正交基，
3
1 3
1
2 3
2
2 3
3
2
且T在1，2，3下的矩阵为
2 7
上页 下页 返回
则AT A.
任取， V且，在基1， 2，， n下的坐标为上X页，Y 下 页 返 回
(2)设T L(V )，则T为对称变换 T在V的标准正交基下的矩阵
为对称矩阵
“”设T在标准正交基1， 2，， n下的矩阵A为对称矩阵 则AT A. 任取， V且，在基1， 2，， n下的坐标为X，Y 则T，T在基1， 2，， n下的坐标为AX，AY
1/ 3
1
把3单位化得P3 2 / 3，
2 / 3
令P (P1，P2，P3 )，取(1，2，3 ) (1， 2， 3 )P
上页 下页 返回
2 / 5
2 / 3 5
把 1， 2单位化得p1
1/ 0
5
，p2
4 / 3 5 / 3
5 5
1/ 2
对3 7，解(7E A)x 0得基础解系3 1 ，
令(1，2，，n ) (1， 2，， n )P， 则1，2，，n为V的标准正交基
且T在该基下的矩阵为B P 1 AP
例2、设1， 2， 3为V的标准正交基，T L(V )且
TT
1 2
1 2 2 2 3 21 2 2 4 3
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换种说法，就是矩阵 的逆等于它的复共轭 转置。由此可见，对 于这类矩阵，求逆矩 阵是十分方便的。
(1), A A
1
T
(2), det A 1
(4), if B U
nn
,
(3), AT E nn
(4), if B E nn , then AB, BA E nn
then AB, BA U nn
AH A AAH E 酉矩阵
A A AA E 正交矩阵
T T
a11 a12 a1n a a a 21 22 2n A an1 an 2 ann
定理3.1，矩阵A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n个行或（列）向量都是标准正交向量。
g12 g1n g 22 g 2 n g n 2 g nn
( , ) X T GY
(GT ) G
度量矩阵
定义1.3:
复共轭转置矩阵
A A
H
T
复共轭转置矩阵性质
(1) AH AT
(2)( A B) H AH B H
i , i 1,2,, n
因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。
正交基，标准正交基
从线性空间的任何一组基出发，可以采用Gram-Schmidt 正交化方法构造出一个标准正交基。
目的:引入标准正交基的好处是使得度量矩阵 变为单位矩阵，在很多计算问题中可用以简化 运算。
例题：3.2.1~ 3.2.2
1, (i , j )＝ij = 0,
i j i j
零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必 是零向量
定理2.1: 不含零向量的正交向量组是线性无关的
(1,2 , ,n ) 设： k11 +k22 ++knn＝0
( j , k11 +k22 ++knn )＝ ki ( j , i ) ＝0
s s
综合起来说，酉空间的性质均适用于欧氏空间，而欧氏 空间的性质并不完全适用于酉空间。
设V是一酉空间，它的基是 1, 2 ,, n
x1 x2 n (1 , 2 , , n ) x i 1 i i xn X
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
s s
定义1.2: 设V是复数域C上的n维线性空间， 定义如下法 则，称为内积。
, V
如果有，
( , ) C
单位向量
向量的单位化
例3.1.1 ~例3.1.7
第2节 标准正交基、Schmidt 正交化方法
定义2.1:
设V是酉（欧氏）空间，对 , V 若,
( , )＝0
那么称向量 , 正交，记为
正交向量组： 向量组 i 内的向量两两正交。
在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内 积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这 它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。
酉空间的性质
(1) ( , k ) k ( , )
(2) ( , ) ( , ) ( , )
(3) ( i 1 ki i , ) i 1 ki ( i , )
s s
(4) ( , i 1 ki i ) i 1 ki ( , i )
推论：设 A 是一个
n 阶幂等矩阵，则有
tr ( A) Rank ( A)
投影换
将一个空间中的向量唯一的表示为其两个互补 子空间中的向量之和，这时称其中属于某个子 空间的子向量为原向量沿其补子空间到本子空 间的投影。
定义4.2：设 S , T 是 V 的子空间， V S T ， 如果对应的操作是线 则对任意的 V 都有 性映射，就称之为投 x y, x S , y T影映射，如果对应的
标准化的过程
标准正交向量组： 若正交向量组中的向量都是单位向量 的话，则说向量组是标准正交向量。
如果一组向量不仅正交，而且自己与自己的内积为1，那么称这样 的向量组为标准正交向量组。
正交向量组的性质：
向量组 i 是正交向量组
(i , j )＝0, (i j)
向量组 i 是标准正交向量组
欧氏空间中的转置对应于酉 空间中的复共轭转置，所以， 欧氏空间中的很多定理可以 通过把转置替换为复共轭转 置的方式迁移到酉空间中去。
(7)( A) H AT if A Rmn
(3)(kA) H kAH
(4)( AB) H BH AH
(5) ( A)
H
(8)det( AH ) ?
n
( j , i )＝0(i j时) k j ( j , j )＝0
i 1
k j＝0, 即k j＝0, (j 1, 2,, n)
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 否
线性无关组的正交化：
(1,2 , ,r )线性无关
(1) : 1＝1
( 2 , 1 ) (2) : 2＝ 2 1 ( 1 , 1 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) (3) : 3＝3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r , 1 ) ( r , 2 ) ( r , r 1 ) (r ) : r＝ r 1 2 r 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( r 1 , r 1 )
(1) ( , ) ( , )
(2) (k , ) k ( , ), k C (3) ( , ) ( , ) ( , )
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。 复数域与实数域条件稍有区别，即引入了共轭运算。
定义3.2:酉变换、正交变换 设V是n维酉空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的酉变换。 设V是n维欧氏空间， 是V的线性变换，如果
, V ( ), ( ) , ，
则称 是V的正交变换。
(2) (k , ) k ( , ), k R
(4) ( , ) 0, 当且仅当 0时( , )＝0
那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。
欧氏空间的性质
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , )
H
A
det( A)
(6)( A1 )H ( AH )1, if A 0
设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是：
1, 2 ,, n
,, n 1, 2
度量矩阵
A B
度量矩阵
, 2 ,, n ) (1, 2 ,, n ) P (1
沿 T 至 S 的投影 称 y 是 沿 S 至 T 的投影 n n S ,T : V S S ,T : V C y S ,T ( ) x S ,T ( ) x
那么称 x 是
投影映射 投影变换
操作是线性变换，就 称之为投影变换。
T
x
S
有降维的投影对应于投影映射，没有降维的投影对应 于投影变换。
非负性 齐次性 三角不等式
柯西许瓦兹三角不等式
欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将 度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性 质。
向量的夹角、距离、单位向量
cos( , )
( , )
向量的夹角
d ( , )
向量的距离
1
1
(3) 将V的标准正交基变为标准正交基 (4) 酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示 是酉矩阵（正交矩阵）
例题3.3.1~3.3.3
第4节幂等矩阵
简单说来就是平方等于 本身的矩阵。
幂等矩阵
定义：设 A C nn，如果 A 满足
A2 A
则称 A 是一个幂等矩阵。
这类矩阵有个特殊的性质，就是其特征值非零即1。 并且与它相关的很多矩阵也具有特殊性质，比如它 的转置，复共轭转置也都是幂等矩阵等。
B PT AP or BT PH AT P
定义1.5:
设V是酉（欧氏）空间，定义 V 长度为
( , ),
V
( , ),
长度的性质
V
(1) 0, 0 0 (2) k k , k C (3) (4) ( , )
Er 例: A O M nn r ( n r ) C , M C O
是一个分块幂等矩阵。
定理4.2： 幂等矩阵的一些性质：设
T H T
A 是幂等矩阵，那么:
H
（1）A , A , I A, I A , I A 都是幂等矩阵；
（2）A( I A) ( I A) A 0 （3） N ( A)
R( I A)
（4） Ax x 的充分必要条件是 x R( A)
（ 5） C n R( A) N ( A)
定理4.1：设 A 是一个秩为 r 的 n 阶矩阵，那么 A 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在 P Cnnn 使得， E O
P AP O
1
r
O
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
第1节 欧氏空间、酉空间