《圆周角》专题
专题4 圆周角
专题4 圆周角1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OA ，OC ，若∠AOC ：∠ADC ＝2：3，则∠ABC 的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°【分析】设，∠，根据圆周角定理求出 ，根据圆内接四边形的性质得出 ，即可求出答案． 【解析】设，，∵圆心角∠AOC 和圆周角∠ABC 都对着，∴， ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC ＝180°， ∴3x +x ＝180， 解得：x ＝45， 即∠ABC ＝45°， 选C ．【小结】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能根据定理求出和 是解此题的关键．2．如图，是的直径，是的弦，的是（ ）2AOC x ∠=︒3ADC x =︒12ABC AOC x ∠=∠=︒180ADC ABC ∠+∠=︒2AOC x ∠=︒3ADC x ∠=︒ADC 12ABC AOC x ∠=∠=︒12ABC AOC ∠=∠180ADC ABC ∠+∠=︒AB O CD O 30,ACD AD ∠=︒=A ．B ．C ．D ．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB =90°，∠B =∠ACD =30°，再利用互余可计算出∠BAD 的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD 、AB 的长即可． 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∵∠B=∠ACD =30°，∴∠BAD =90°-∠B =90°-30°=60°，故选项A 、B 不符合题意， 在Rt △ADB 中，BD =3，AB =2AD =2C 符合题意，选项D 不符合题意，选C ．【小结】本题考查圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．如图，是的直径，点在上，若，则 的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据圆周角定理求解． 【解析】∵∠AOC =120° ， ∴∠BOC =60°，∴ ∠D =∠BOC =30°，故选B ．【小结】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周角定理是解题关键 ．4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠OFE 的度数是（ ）30B ∠=︒60BAD ∠=︒23BD =23AB =33AB O D O 120AOC ∠=︒D ∠20︒3040︒45︒12A ．30°B ．20°C ．40°D ．35°【分析】连接BF ，OE ．证明△OEF ≌△OEB （SSS ），推出∠OFE =∠OBE ，由OE =OB =OF ，推出∠OEF =∠OFE =∠OEB =∠OBE ，∠OFB =∠OBF ，由∠ABF =∠AOF =20°，推出∠OFB =∠OBF =20°，根据三角形内角和定理构建方程求出∠EFO 即可． 【解析】如图，连接BF ，OE ．在△OEF 和△OEB 中，，∴△OEF ≌△OEB （SSS ），∴∠OFE ＝∠OBE ，∵OE ＝OB ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE ＝∠OEB ＝∠OBE ，∠OFB ＝∠OBF ， ∵∠ABF ＝∠AOF ＝20°，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∵∠OFB +∠OBF +∠OFE +∠OBE +∠BEF ＝180°，∴4∠EFO +40°＝180°，∴∠OFE ＝35°， 选D ．【小结】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．已知，如图， AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°，给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE ＝BC ，其中正确的有( )个12EF EB OE OE OF OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩12AE BDA ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断； 【解析】连接AD ，AB 是直径 则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD =CD ，故②正确；∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知， ∠EBC =∠DAC = ∠BAC =22.5°，故①正确； ∵∠ABE =90°-∠EBC -∠BAD =45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC =22.5°，2EC ≠BE ，AE =BE ，∴ AE ≠2CE ，③不正确； ∴ AE =BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误 综上所述，正确的结论是：①②④，选C ．【小结】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等，利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解；6．如图，AB 为☉O 的直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ，点D 与圆心O 不重合，∠BAC =26°，则∠DCA 的度数为 ( )12A ．38°B ．40°C ．42°D ．44°【分析】连接BC ，由题意易得∠ACB =90°，则有∠B =90°-∠BAC =90°-26°=64°，根据翻折的性质，弧AC 所对的圆周角为∠B ，弧AC 所对的圆周角为∠ADC ，进而可得∠ADC +∠B =180°，∠ADC =180°-64°=116°，然后问题可求解． 【解析】连接BC ，如图所示：∵AB 是直径， ∴∠ACB =90°， 又∵∠BAC =26°，∴∠B =90°-∠BAC =90°-26°=64°，根据翻折的性质，弧AC 所对的圆周角为∠B ，弧AC 所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC +∠B =180°， ∴∠ADC =180°-64°=116°．在△ADC 中，∠BAC =26°，∠ADC =116°， ∴∠DCA =180°-116°-26°=38°，选A【小结】本题主要考查圆周角定理及折叠的性质，熟练掌握圆周角定理及折叠的性质是解题的关键．7．如图，点，，，为上的四个点，平分，交于点，，，则的长为（ ）A B C D O AC BAD ∠AC BD E 4CE =6CD =ACA ．7B ．8C ．9D ．10【分析】首先连接BC ，由AC 平分∠BAD ，易证得∠BDC =∠CAD ，继而证得△CDE ∽△CAD ，然后由相似三角形的对应边成比例求得AE 的长，进而求出AC 的长．【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠CAD ，∴，∴∠BDC =∠CAD ， ∵∠ACD =∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD ， ∴CD ：AC =CE ：CD ， ∴CD 2=AC •CE ， ∴62=4（4+AE ）， ∴AE =5， ∴AC =AE +CE =9， 选C ．【小结】此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，四边形ABCD 是☉O 的内接正方形，点P 是上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的大小是（ ）A ．22.5°B ．45°C ．30°D ．50°【分析】连接OB 、OC ，首先根据正方形的性质，得∠BOC =90°，再根据圆周角定理，得∠=BCCDBPC =45°．【解析】如图，连接OB 、OC ，则∠BOC =90°，根据圆周角定理，得：∠BPC =∠BOC =45°，选B ． 【小结】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．9．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于（ ）A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°【分析】由∠BAC =27°，∠BEC =64°，根据三角形外角的性质，即可求得∠C 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOD 的度数． 【解析】∵∠BEC 是△AEC 的外角， ∴∠BEC =∠C +∠BAC ， ∵∠BAC =27°，∠BEC =64°， ∴∠C =∠BEC -∠BAC =64°-27°=37°， ∴∠AOD =2∠C =2×37°=74°． 选B ．【小结】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．1210．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB //CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于（ ）A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°【分析】由AB //CD ，∠BAC ＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD 的度数．【解析】∵弦AB //CD ，∠BAC =32°，∴∠ACD ＝∠BAD ＝32°，∴ ∠AOD =2∠ACD ＝2×32°＝64°，选A【小结】此题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．11．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则（ ）A ．∠A =αB ．∠A =90°－αC ．∠ABD =α D ．∠【分析】由直线EC 是⊙O 的切线，根据切线的性质可得：AB ⊥EC ，继而求得α+∠ABD =90°，又由AB 是⊙O 的直径，根据圆周角定理，即可求得∠A +∠ABD =90°，继而可得∠A ＝α． 【解析】∵直线EC 切⊙O 于B 点， ∴∠ABC =90°，即α+∠ABD =90°，1902α︒=-ABD又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，∴∠A=α，选A.【小结】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝35°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．70°C．55°D．50°【分析】由圆周角定理可以求得∠CAB的度数，再由AB是⊙O的直径可得△ABC是直角三角形，再由直角三角形的性质即可得到∠ABC的度数．【解析】由圆周角定理可得：∠CAB＝∠BDC＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-35°=55°，选C．【小结】本题考查圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题关键．13．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，点D是的中点，则∠OADBC的大小为（）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【分析】连接OB ，根据圆周角定理求出∠AOB ，得到∠OAB 的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据圆周角定理求出∠BAD ，结合图形计算，得到答案． 【解析】连接OB ，由圆周角定理得，∠AOB =2∠C =130°， ∵OA =OB ， ∴∠OAB =×（180°-130°）=25°， ∵∠ABC =45°，∠C =65°， ∴∠BAC =180°-45°-65°=70°， ∵点D 是的中点， ∴∠BAD =∠CAD =35°， ∴∠OAD =∠BAD -∠OAB =10°， 选B ．【小结】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．14．如图，是的直径，点、是上的点，，连接，若，则的度数为（ ）12BC AB O C D O OD AC ⊥DC 30COB ∠=︒ACD ∠A ．30°B ．37.5°C ．45°D ．60°【分析】根据圆周角定理可知：∠BAC ＝∠BOC ，根据垂直定义和三角形内角和可知∠AOD ，继而根据圆周角定理可知∠ACD ． 【解析】∵∠COB ＝30°, ∴∠BAC ＝∠BOC ＝15°, ∵,∴∠AOD ＝180°－15°－90°＝75°, ∴∠ACD ＝∠AOD ＝37.5° 选B ．【小结】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于这条弧所对的圆周角的一半，还涉及到垂直定义和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．15．如图，已知为上一点，若，则的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°【分析】根据圆周角定理即可求出答案． 【解析】∵，1212OD AC ⊥12C AB 100AOB ∠=︒ACB∠100AOB ∠=︒∴优弧所对的圆心角为：， ∴由圆周角定理可知：∠ACB =×260°=130°，选D 【小结】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理，本题属于基础题型．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠BCD =36°，则∠ABD 等于（ ）A ．54°B ．56°C ．64°D ．66°【分析】根据圆周角定理得到∠ADB =90°，∠A =∠BCD =36°，然后利用互余计算∠ABD 的度数．【解析】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵∠A =∠BCD =36°，∴∠ABD =90°-∠A =90°-36°=54°． 选A ．【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．17．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，若∠C =63º，则∠DAB 等于（ ）AB 360100260︒-︒=︒12A ．27 ºB ．31.5 ºC ．37 ºD ．63 º【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得∠D =63º，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【解析】∵AD 是⊙O 的直径， ∴， ∵∠C =63º， ∴∠D =63º，∴， 选A ．【小结】本题考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解题的关键．18．如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，其中C 、D 在AB 下方，E 在AB 上方，则∠C +∠D 等于（ ）A ．60°B ．75°C ．80°D ．90°【分析】连接OE ，根据圆周角定理即可求出答案． 【解析】连接OE ，根据圆周角定理可知：90ABD ∠=︒90ABD ∠=︒9027DAB D ∠=︒-∠=︒∠C ＝∠AOE ，∠D ＝∠BOE ， 则∠C +∠D ＝（∠AOE +∠BOE ）＝90°，选D ．【小结】本题考查了圆周角的性质，解题关键是连接半径，构造圆心角，依据圆周角与圆心角的关系进行计算．19．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论： ①AD ⊥BD ；②BC 平分∠ABD ；③BD =2OF =CF ；④△AOF ≌△BED ，其中一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．③④【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可； 【解析】∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥BD ，故①正确， ∵OC ∥BD ，BD ⊥AD ， ∴OC ⊥AD ， ∴， ∴∠ABC ＝∠CBD ，∴BC 平分∠ABD ，故②正确， ∵AF ＝DF ，AO ＝OB ， ∴BD ＝2OF≠CF ，故③错误，△AOF 和△BED 中，没有对应边相等，故④错误，选A ．【小结】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所121212AC CD学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点，∠AOB =70º，∠OBC =50º，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50ºB ．25ºC ．35ºD ．70º 【分析】直接根据圆周角定理判断即可． 【解析】根据圆周角定理，，选C ． 【小结】本题主要考查圆周角定理，理解并熟练运用圆周角定理是解题关键．21．如图，内接于⊙O ，∠A ＝74°，则∠OBC 等于（ ）A ．17°B ．16°C ．15°D ．14°【分析】如图，连接 先求解 再利用 可得从而可得答案． 【解析】如图，连接11703522ACB AOB ∠=∠=⨯︒=︒ABC ,OC 2274148,BOC A ∠=∠=⨯︒=︒,OB OC =()1180,2OBC BOC ∠=︒-∠,OC 74,A BC BC ∠=︒=，选【小结】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．22．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC ＝26°，过点C 作⊙O 的切线交OA 的延长线于点D ，则∠D 的大小为（ ）A ．26°B ．52°C ．28°D ．38°【分析】连接OC ，由切线的性质得∠OCD ＝90°，再由圆周角定理得∠COD ＝52°，最后由三角形内角和定理即可求出答案． 【解析】连接OC ，如图所示：2274148,BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒,OB OC =()111803216.22OBC BOC ∴∠=︒-∠=⨯︒=︒.B∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，由圆周角定理可知：∠COD＝2∠CBA＝52°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣52°＝38°，选D．【小结】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．23．如图，AB是半圆的直径，CD为半圆的弦，且CD//AB，∠ACD=26°，则∠B等于（）A．26° B．36° C．64° D．74°【分析】利用平行线的性质，得∠ACD=∠CAB=26°，根据直径上的圆周角为直角，得∠ACB=90°，利用直角三角形的性质计算即可．【解析】∵CD//AB，∠ACD=26°，∴∠ACD=∠CAB=26°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=64°，故选C．【小结】本题考查了平行线的性质，圆周角的原理，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用是解题的关键．24．如图，是的直径，点，在上．若，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB =90°，利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ACD =∠ABD ，再由∠BCD =∠ACB -∠ACD 求出即可. 【解析】∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°，∵∠ACD =∠ABD =50°， ∴∠BCD =∠ACB -∠ACD =40°， 选D .【小结】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．25．如图内接于⊙O ，于点H ，若AC ＝10，AH ＝8，⊙O 的半径为17，则AB ＝___________．【分析】作直径AD ，连接BD ，根据圆周角定理得到∠ABD ＝90°，∠D ＝∠C ，证明ABD ∽AHC ，根据相似三角形的性质解答即可． 【解析】连接AO 并延长，交⊙O 于点D ， 则AD ＝2AO ＝34， ∵AD 为直径， ∴∠ABD ＝90°， 又AH ⊥BC ，AB O C D O 50ABD ∠=︒BCD∠25︒3035︒40︒ABC AH BC⊥∴∠AHC ＝90°，∴∠AHC ＝∠ABD ， 由圆周角定理得，∠D ＝∠C ， ∴ABD ∽AHC ， ∴， 即， 解得，AB ＝，【小结】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 是OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ．若DEEM ＞MC ），则sin ∠EOM 的值为_____．【分析】根据圆周角定理及勾股定理求出CE ，根据相交弦定理可得求出EM ，继而证得△OEM 为等腰三角形，过E 作EF ⊥OM 于F ，垂足为F ，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得OF ，EF ，继而即可求解． 【解析】∵DC 为⊙O 的直径，AB ADAH AC=34810AB =1365∴∠CED ＝90°， ∵DC ＝8，DE∴EC7．设EM ＝x ，由于M 为OB 的中点， ∴BM ＝2，AM ＝6∴AM •MB ＝x •（7﹣x ），即6×2＝x （7﹣x），x 2﹣7x +12＝0， 解得；x 1＝3，x 2＝4， ∵EM ＞MC ∴EM ＝4 ∵OE ＝EM ＝4∴△OEM 为等腰三角形， 过E 作EF ⊥OM 于F ，垂足为F ， 则OF ＝OM ＝1 ∴EF∴sin ∠EOM ＝＝；【小结】本题考查圆周角定理、勾股定理及等腰三角形的判定及其性质，解题的关键是求出OF ，EF ．27．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠AOB =120°，则∠ACB =______度．12EF OE 4【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案． 【解析】∵∠AOB =120°， ∴∠ACB =120°×=60°， 【小结】此题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．28．如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过______秒后，为等腰三角形．【分析】作OD ⊥AC 于D ，利用勾股定理计算出AD =3，则AC =2AD =6，然后分类讨论：当CP =CA 或P A =PC 或AP =AC 时，求出时间即可． 【解析】作OD ⊥AC 于D ，如图， ∵OD ⊥AC ， ∴AD ＝CD ，在Rt △ADO 中，∵OA ＝5，OD ＝4， ∴AD， ∴AC ＝2AD ＝6，当CP ＝CA 时，作CE ⊥AB 于E ，连接BC ，12AB 10AB =O AC 4P B BA A 1CP APC ∆3=∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC，∴CE•AB＝AC•BC，∴CE＝，在Rt△ACE中，AE，∵AE＝PE，∴BP＝AB﹣2AE＝，∴运动时间为s；当P A＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时运动时间为5s；当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时运动时间为4s，综上所述，运动时间为s或4s或5s．【小结】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定，解题关键是根据等腰三角形底的不同，进行分类讨论，熟练运用勾股定理求出线段长.29．如图，是的直径，点是上半圆的中点，，点是下半圆上一点（不与点，重合），平分交于点，则的最大值为______．8=12126824105⨯=185=145145145AB O C1AC=PA B AD PAB∠PC D PD【分析】由同弧所得的圆周角相等得到，直径所得的圆周角是90°得到，继而证明，再根据角平分线的性质解得，结合三角形外角的性质可证，接着由线段的和差解得，由此可知当为直径时值最大，然后证明为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解题． 【解析】点是上半圆的中点，是的直径，平分要使最大，即使得最大， 当为直径时值最大APC ABC ∠=∠90ACB ∠=︒45APC ABC BAD DAP ∠=∠CAD ADC ∠=∠1PD CP CD CP =-=-CP PD ACB △C AC BC ∴=APCABC 1AC BC ∴==AB O 90ACB ∴∠=︒45CAB CBA ∴∠=∠=︒45APC ABC AD PAB ∠12BAD DAP BAP ∴∠=∠=∠45,45ADC APC DAP DAP CAD CAB BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠∠=∠+∠=︒+∠CAD ADC ∴∠=∠1AC AD ∴==1PD CP CD CP ∴=-=-PD CP CP在中，为等腰直角三角形【小结】本题考查同弧所得的圆周角相等、直径所得的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．30．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 是∠BAC 的角平分线，若∠BOC ＝120°，则∠CAD 的度数为______．【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC =∠BOC =60°，然后利用角平分线的定义确定∠CAD 的度数．【解析】∵∠BAC=∠BOC=×120°＝60°， 而AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠CAD=∠BAC ＝30°．【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．31．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC ＝120°，则∠AOC 的度数为_____．Rt ACB 45,CAB AC BC ∠=︒=ACB ∴AB ∴==CP ∴PD ∴112121212【分析】先依据内接四边形的性质求得∠B 的度数，然后再依据圆周角定理求得∠AOC 的度数即可．【解析】∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠B +∠ADC =180°， ∴∠B =180°120°=60°， ∴∠AOC =2∠B =120°． 故答案为：120°．【小结】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得∠B 的度数是解题的关键．32．如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ，若∠B ＝50°，则∠EDF ＝_____度．【分析】设△ABC 的内切圆圆心为O ，连接OE ，OF ，根据△ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ，可得OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，再根据四边形内角和可得∠EOF 的度数，再根据圆周角定理即可得结论．【解析】如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ，连接OE ，OF ，-∵△ABC 的内切圆与三边分别相切于点D 、E 、F ， ∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠OFB ＝90°， ∵∠B ＝50°，∴∠EOF ＝180°﹣50°＝130°，∴∠EDF ＝∠EOF ＝65°． 【小结】本题考查切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和，掌握切线的性质，圆周角与圆心角的关系，四边形内角和是解题关键．33．如图，、是的两条弦，连接、．若，则的度数为______度．【分析】利用同圆中，同弧上的圆周角相等求解即可． 【解析】∵，12AB CD O AD BC 60BAD ∠=︒BCD∠BAD ∠=BCD ∠60BAD ∠=︒∴，【小结】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．34．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，四边形OBCD 是平行四边形，则∠A 的大小为________．【分析】连接OC ，根据平行四边形的性质得到BC =OD ，得到△OBC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC =60°，根据圆周角定理解答即可. 【解析】连接OC ，∵四边形OBCD 是平行四边形 ∴BC =OD ， ∴BC =OB =OC ，∴△OBC 为等边三角形，∠BOC =60°， 由圆周角定理得，∠A =∠BOC =30°， 【小结】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键.35．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8，BC =16，点O 为斜边AB 的中点，以O 为圆心，5为半径的圆与BC 相交于E 、F 两点，连结OE 、OC ．60BCD ∠=︒12（1）求EF 的长； （2）求∠COE 的正弦值． 【分析】（1）过点O 作OG ⊥EF 于点G ，根据垂径定理得到EG =FG ，利用三角形中位线得到OG =4，然后根据勾股定理计算EG ，从而得到EF 的长；（2）利用CE =OE =5得到∠COE =∠OCE ，再利用勾股定理计算OC =，然后利用正弦的定义求出sin ∠OCE ，从而得到∠COE 的正弦值； 【解析】（1）过点O 作OG ⊥EF于点G ，∴EG =FG ，OG ∥AC ， 又O 为AB 的中点，∴G 为BC 的中点，即OG 为△ABC 的中位线， ∴OG =AC =4， 在Rt △OEG 中，由勾股定理得，EG =3，∴EF =2EG =6；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ，又O 为AB 的中点，12=∴CO =BO，又OG ⊥BC ，∴CG =BG =BC=8， ∴CE =CG -EG =8-3=5， ∴CE =EO ， ∴∠COE =∠OCE ， ∴sin ∠OCE =． ∴∠COE ． 【小结】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和解直角三角形；36．如图，已知是的直径，，是上的点，，交于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO =90°，再利用垂径定理证明即可． （2）根据S 阴=S 扇形OAD -S △ADO 计算即可． 【解析】 证明：（1）是的直径，， ，12OG OC ==AB O C D O //OC BD AD E BC AE DE =8AB =30CBD ∠=︒AB O 90ADB ∴∠=︒//OC BD，即，；（2）连接，，，， ，， ，，在直角三角形AOE 中，AO =4，∠BAD =30°， ∴OE =2，，∴【小结】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．37．如图1，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．90AEO ADB∴∠=∠=︒OC AD ⊥AE DE ∴=CD OD //OC BD 30OCB CBD ∴∠=∠=︒OC OB =30OCBOBC60AOC OCB OBC ∴∠=∠+∠=︒260COD CBD ∠=∠=︒120AOD ∴∠=︒AE =AD =21204116236023ADOOAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯=-阴扇形ABC ACB 90∠=︒D AB CD O BC E AE CD G O F DF BAC EFD ∠=∠（1）求证：与相切；（2）如图2，若， ①若，求线段的长； ②求的值． 【分析】（1）由余角的定义得到，由三角形外角性质得到，结合已知条件可证得，再由同弧所对的圆周角相对可得，由此证明即可解题；（2）①连接，由直径所得的圆周角是90°可证，继而证明，由相似三角形对应边成比例解得，据此解题即可； ②过点作，继而证明，根据相似三角形的性质可得，整理得，再证明，得到，在中，根据勾股定理解得，继而得到，由已知条件设，，整理得到，根据公式法解关于字母m 的一元二次方程，得到，最后根据等角的正切值相等解题即可． 【解析】 （1）AB O AF:FG 3:2=6AF =CG tan CAE ∠1290∠+∠=︒3+4EFD ∠=∠∠2=4∠∠1=FDC ∠∠490FDC ∠+∠=︒CF 90FCD CDF ∠+∠=︒FGC CGA FG CGCG GA=F FN CD ⊥FCNDFN FN CNDN FN =2FN DN CN =⋅FGC CGA 2252CG FG =Rt FNG 222FN FG GN =-DN CN ⋅=22FG GN -2,3GN x ND x ==CG m =22231005m xm x --=10,12,6CG x CN x FN DN CN x ===⋅=,EFD ECD BAC EFD ∠=∠∠=∠BAC ECD ∴∠=∠90ACB ∠=︒与相切；（2）①连接为直径②过点作，90CEA CAE ∴∠+∠=︒90ECD ACD BAC ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒CD AB ∴⊥AB ∴O :3:2,6AF FG AF ==4FG ∴=10AG ∴=CF CD 90CFD ∴∠=︒90FCD CDF ∴∠+∠=︒90,CEA CAE CEA CDF ∠+∠=︒∠=∠CAE FCD ∴∠=∠FGC FGC ∠=∠FGCCGA ∴FG GCCG AG∴=241040CG FG GA ∴=⋅=⨯=GC ∴=F FN CD ⊥与相切，设，在中，AB O AB CD ∴⊥//FN AB ∴32AF DN FG GN ∴==2,3(0)GN x ND x x ==>90CNF FND ∠=∠=︒+=90FCN CFN CFN NFD ∠∠=∠+∠︒FCN NFD ∴∠=∠FCNDFN ∴FN CNDN FN∴=2FN DN CN ∴=⋅CAE FCD ∠=∠FGC FGC ∠=∠FGCCGA ∴FG GCCG AG∴=:3:2AF FG =2252CG FG ∴=Rt FNG 222FN FG GN =-DN CN ∴⋅=22FG GN -即 设即（舍去）． 【小结】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．38．有一些代数问题，我们也可以通过几何的方法进行求解，例如下面的问题：2223()45x CG GN CG x ∴⋅+=-2223(2)45x CG x CG x ⋅+=-CG m =22223645xm x m x ∴+=-22231005m xm x --=22,3,105a b x c x ==-=-222224(3)4(10)255b ac xx x ∴∆=-=--⨯⨯-=1351045x xm x+∴===23554225b x x m xa --===-10,12,6CG x CN x FN DN CN x ∴===⋅=61tan 122FN x FCN CN x ∠===CAE FCN ∠=∠2ta 1ta n n FCN CAE ∴∠==∠已知：a b0，求证：经过思考，小宇给出了几何方法的证明，如图：①在直线1上依次取AB＝a，BC＝b；②以AC为直径作半圆，圆心为O；③过点B作直线l的垂线，与半圆交于点D；④连接OD．请回答：（1）连接AD，CD，由作图的过程判断，∠ADC＝90°，其依据是_____；（2）OD为半圆的半径，故OD＝AC＝；又在（1）的基础上由∠ABD＝90°，进而可证△ABD∽△DBC，得＝，于是BD＝_____（用a，b的代数式表示）；（3）由BD⊥AC，可知BD OD，其依据是_____，由此即证明了这个不等式．【分析】（1）根据直径所对圆周角是直角解答即可；（2）证明△即可；（3）根据直线外一点到直线的距离中，垂线段最短解答即可．【解析】（1）由图可知，∠ADC是直径所对的圆周角，所以，应该为直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；（2）∵∠，即∠，又∵∠∴∠>>2a b+>122a b+ABBDBDBC<ABD DBC∆∽90ADC︒=90ADB BDC︒+∠=90DBC︒=90DCB BDC︒+∠=∴∠ ∵∠ ∴△ ∴，即 ∴．（3）因为直线外一点到直线的距离中，垂线段最短， 所以，，即证． 故答案为：直线外一点到直线的距离中，垂线段最短．【小结】此题主要考查了直径所对的圆周角是直角，以及相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想．39．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接AC ，BC ，D 是AB 上的一点，过点D 作AB 的垂线，与线段BC 交于点E ，点F 在线段DE 的延长线上，且满足FC ＝FE ． （1）求直线CF 与⊙O 的公共点个数；（2）当点E 恰为BC 中点时，若⊙O 的半径为5，tanA ＝，求线段CF 的长．【分析】（1）连接 证明 再证明可得 从而可得结论；（2）如图，过作于 证明 再求解ADB DCB =∠90ABD DBC ︒=∠=ABD DBC ∆∽AB BDBD BC=2BD AB BC =⋅BD =BD OD <1()2a b <+43,OC ,,FC FE OC OB ==,,FCE FEC OCB OBC ∠=∠∠=∠90,DEB DBE FEC DBE ∠+∠=︒=∠+∠90,FCE OCB ∠+∠=︒F FQ BC ⊥,Q 90,ACB ∠=︒,A DEB ∠=∠证明 利用 求解 从而可得答案．【解析】 （1）连接为半径， 是的切线， 与有一个公共点．（2）如图，过作于为的直径，8,6,BC AC ==4,BE CE ==1612,,55DB DE ==2,CQ EQ ==4tan tan ,3FEQ DEB ∠=∠=8,3QF=10,3EF ==,OC ,,FC FE OC OB ==,,FCE FEC OCB OBC ∴∠=∠∠=∠,,FD AB FEC DEB ⊥∠=∠90,DEB DBE FEC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠90,FCE OCB ∴∠+∠=︒,OC CF ∴⊥OC CF ∴O CF ∴O F FQ BC ⊥,Q AB O的半径为 设 则为的中点，由 设 则而90,ACB ∴∠=︒90,B A ∴∠+∠=︒,FD AB ⊥90,B DEB ∴∠+∠=︒,A DEB ∴∠=∠O 5,4tan tan ,3A DEB ==∠410,,3BC AB AC ∴==4,BC n =3,AC n =510,AB n ∴===2,n ∴=8,6,BC AC ∴==E BC 4,BE CE ∴==4tan =,3DB DEB DE ∠=4,DB m =3,DE m=5=4,BE m ∴==41612,,,555m DB DE ∴===,,FE FC FQ CE =⊥2,CQ EQ ∴==4tan tan ,3FEQ DEB ∠=∠=43QF QE ∴=，8,3QF ∴=【小结】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，圆的切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．40．在△ABC 中，AB <AC ，点D 在AC 边上，AD =AB ，点E 在BC 边上，连接ED ，满足∠DEC =∠BAC ，连接AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ． （1）如图1，已知∠BAC =90°，∠C =30°，且AFDC 的长；（2）如图2，已知∠B+∠C =∠BAC ，求证：BE +ED ； （3）如图3，在（1）问的条件下，△ABC 内有点P ，连接AP 、BP ，满足∠APB =120°，过点P 作PM ⊥AC 交于点M ，过点P 作PN ⊥BC 交于点N ，连接MN ，直接写出MN 的最小值．【分析】（1）由 求解 而解方程可求可得 由从而可得答案； 10,3EF ∴==10.3CF ∴=12,30,AF AF BC C =⊥∠=︒6,AC CF ==tan tan 30ABC AC∠==︒，,AB ,AD DC AC AD =-（2）先求解 延长至 使 可得再证明 证明 可得 再求解 可得 由等腰三角形的性质可得 从而得答案；（3） 如图，取的中点 连接 证明在以为圆心，为直径的圆上，可得 证明为等边三角形，可得最短，即最短，作的外接圆连接 过作于 则求解 证明 求解 当为于的交点时，最短，此时： 从而可得答案． 【解析】 （1）而=120,BAC DEC ∠=∠︒FB ,M ,BM DE =,BE DE BE BM ME +=+=,ABM ADE ∠=∠,ABM ADE ≌,AM AE =,MAB EAD ∠=∠30,M AEM ∠=∠=︒,MF=2,ME MF ==PC ,T ,,TM TN ,,,P N C M T CP 260,MTN ACB ∠=∠=︒MTN MN CP ABP △,O ,,,OA OB OC O OQ AB ⊥,Q 2,AQ BQ ==()118012030,2OAB OBA ∠=∠=︒-︒=︒BO =90,OBC ∠=︒OC ==P OC OCP 333CP CO PO =-=-=2,30,AFAF BC C =⊥∠=︒26,AC AF CF ∴====90BAC ∠=︒，tan tan30ABC AC∠==︒，,3=4,3AB ∴==,AB AD =4,AD ∴=（2）延长至 使4.DC ∴=1,2ABC C BAC ∠+∠=∠1180,2BAC BAC ∴︒-∠=∠120,60,BAC ABC C ∴∠=︒∠+∠=︒,BAC DEC ∠=∠120,DEC ∴∠=︒FB ,M ,BM DE=∴,BE DE BE BM ME +=+=()180********,ABM ABC C C ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠120,ADE DEC C C ∠=∠+∠=︒+∠,ABM ADE ∴∠=∠,AB AD =(),ABM ADE SAS ∴≌,AM AE ∴=,MAB EAD ∠=∠120MAB BAE BAE EAD BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，()118012030,2M AEM ∴∠=∠=︒-︒=︒tan tan 30,AF M MF ∴∠=︒=,MF ∴=,,AF BC AM AE ⊥=（3）由（1）得：如图，取的中点 连接在以为圆心，为直径的圆上，为等边三角形，当最短，即最短，作的外接圆 连接 过作于 则经检验：2,ME MF∴==.BE DE ∴+=4,AC AB ==90,30,BAC ACB ∠=︒∠=︒28,60,BC AB ABC ∴==∠=︒PC ,T ,,TM TN ,,PM AC PN BC ⊥⊥TM TP TC TN ∴===,,,P N C M ∴T CP 260,MTN ACB ∴∠=∠=︒MTN ∴,MT NT MN ∴==∴MN CP ABP △,O ,,,OA OB OC O OQ AB ⊥,Q 2,AQ BQ ==120,APB ∠=︒3602120,AOB APB ∴∠=︒-∠=︒,OA OB =()118012030,2OAB OBA ∴∠=∠=︒-︒=︒2cos cos30,BQ OBA BO BO∴∠=︒==BO ∴=BO =90,OBC OBQ ABC ∠=∠+∠=︒OC ∴===当为于的交点时，最短，此时： 的最小值为： 【小结】本题考查的是三角形全等的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，圆的基本性质，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．P OC OCP CP CO PO =-==MN∴12CP =。
专题24.4 圆周角定理【十大题型】(人教版)(原卷版)
专题24.4 圆周角定理【十大题型】【人教版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 (2)【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 (3)【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 (4)【题型4 翻折中的圆周角的运用】 (5)【题型5 利用圆周角求最值】 (6)【题型6 圆周角中的证明】 (7)【题型7 圆周角中的多结论问题】 (9)【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 (10)【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 (11)【题型10 利用圆周角求取值范围】 (12)∠AB是O的直径是AB所对的圆周角90︒∠AB所对的圆周角=︒90是O的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（）A．12°B．22°C．24°D．44°【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（）A．100°B．70°C．55°D．65°【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（）A．2√5B．2√7C．2√153D．2√213【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CÊ=CD̂，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，AB̂=BĈ，直径CD⊥AB于点N，P是AĈ上一点，则∠BPD的度数是．【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（）A．4B．5C．√3D．2√3【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（）A．32°B．27°C．24°D．18°【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O的直径AB为8，D为AĈ上的一点，DE⊥AC于点E，若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE的长是（）A．85B．√13−2C．√3D．32【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．【题型4 翻折中的圆周角的运用】̂沿BC翻折交AB于【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BĈ沿AB翻折交BC于点E．若BÊ=DÊ，则∠BCD的度数是（）点D，再将BDA．22.5°B．30°C．45°D．60°【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．70°【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（）A．4√5B．2√5或4√5C．2√5D．2√5或4√3【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．̂的【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（）A．1B．√2C．√3D．2，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为．【题型6 圆周角中的证明】̂上运动，连接【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧ACEC，BE，交AC于点F．（1）求∠E的度数；（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M 向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，MC，MN．小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，AC ̂=CD ̂=DB ̂，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝30°；②∠DOB ＝2∠CED ；③DM ⊥CE ；④CM +DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB ＝CD ，下列结论：①∠AOC ＝∠BOD ；②∠BOD ＝2∠BAD ；③AC ＝BD ；④∠CAB ＝∠BDC ；⑤∠CAO +∠CDO ＝180°．其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D ．要使得⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC ＞60°；②45°＜∠ABC ＜60°；③BD ＞12AB ；④12AB ＜DE ＜√22AB ． 【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是．（填序号）【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y 轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（）A．（0，7）B．（0，2√10）C．（0，6）D．（0，3√5）【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC ＝°．【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是．【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE ＝30°，则EP的长为．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（）A．100°B．110°C．115°D．130°【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A＝．【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是°．【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，点P不与O，D重合，连接P A．设∠P AB＝β，则β的取值范围是．̂上，∠ACB＝30°，【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在ACAC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的̂围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，BC值范围是．【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB的取值范围为．。
圆周角定理 专题练习
圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。
答案：B.60°。
2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。
答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。
答案：A.130°。
4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。
答案：A.116°。
5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。
答案：A.156°。
6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。
答案：D.20°。
7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。
答案：XXX°。
8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。
答案：D.40°。
9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。
答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。
11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。
答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。
答案：XXX°。
13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。
答案：B.70°。
专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略(解析版)
专题11圆周角压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一圆周角的概念辨析】 (1)【考点二圆周角定理】 (2)【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】 (5)【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】 (7)【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】 (10)【考点六已知圆内接四边形求角度】 (12)【考点七求四边形外接圆的直径】 (15)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一圆周角的概念辨析】例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角的定义判断即可．【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．故选C．【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．【变式训练】∠是圆周角的是（）1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，BACA．B．C．D．【答案】B【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．∠是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．【详解】解：根据圆周角定义：可得BAC故选B．【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．【考点二圆周角定理】【答案】52︒【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：26ABC ∠=︒ ，252AOC ABC ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．【变式训练】【答案】20【分析】连接OD ，由圆周角定理可得25ODC OCD ∠=∠=︒，再由【详解】解：连接OD ，如图，，【答案】1【分析】连接OB 角三角形中30︒角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接∵60ACB ∠=︒，∴2AOB ACB ∠=∠∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，∠【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】【变式训练】【答案】40︒/40度【分析】连接CD，根据圆周角定理的推论得出【详解】解：连接CD的直径，∵AD为O【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．2．（2023春·江西上饶的延长线与CB的延长线交于点【答案】43︒/43度【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠=∠=︒，再根据等边对等角得出BAC BAD23.5∵47BOC ∠=︒，∴123.52BAC BOC ∠=∠=︒，∵ BCBD =，∴23.5BAC BAD ∠=∠=︒，【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】【答案】61︒/61度【分析】如图，连接BC【详解】解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴9061ABC CAB ∠=︒-∠=︒，∴61D ABC ∠=∠=︒，故答案为：61︒．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 【答案】(1)60︒(2)23(1)求证：点D为弧AC的中点；AC=，求(2)若4DF=，16【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得∴()22=64OA OD DF+-，∴()22=644OA OA +-，∴10OA =，∴O 的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】【答案】132-/213-+【分析】由90APB ∠= ，可知勾股定理求OC 的长，根据P C '【详解】解：∵90APB ∠= ，∴P 在以AB 为直径的O 上运动，如图，∴当O P C 、、三点共线时，∵222313OC =+=，∴132P C '=-，【变式训练】【答案】733-/3-+【分析】根据BE CD ⊥交O 于点F ，连接OE F 重合时，AE 取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵BE CD ⊥∴当且仅当,,O A E 三点共线时，∵90ABC ∠=︒，AB ∴3OF BO ==，AO ∴AE 的最小值为：【答案】2102-/2210-+【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以取最小值，根据勾股定理进行计算即可．=-=∴CG最小值为：CG CH r故答案为：2102-．【考点六已知圆内接四边形求角度】【答案】70【分析】根据圆周角定理得到【详解】解：∵140AOC ∠=∴7201B AOC ∠∠=︒=，ABCD O 【变式训练】【答案】140︒【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出补求出，BCD ∠的度数．【详解】解∶12A ∠=∠【答案】34︒【分析】利用等腰三角形的性质可得然后根据圆内接四边形对角互补求出求出DAB ∠的度数．【详解】解：AC CD = 28CAD CDA ∴∠=∠=︒，180ACD CAD ∴∠=︒-∠-∠【考点七求四边形外接圆的直径】A．3【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠性质得出OD=OA=AD=∵四边形ABCD是⊙O∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，【变式训练】A．2πA ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为 BD的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出∠ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A∵:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°∵60E ∠=o∴△CBE 为等边三角形∴∠BCE ＝∠A=60°，∵点C 为 BD的中点，∴∠CDB ＝∠DBC=30°∴∠ABD =90°，∠ADB =30°∴AD 为直径∵AB =2∴AD =2AB =4∴O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，APB ∠是圆周角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．【详解】解：A 、B 顶点没在圆上，C 虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D 符合圆周角的概念，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知AB 为O 的直径，点P 、点C 在圆上，且位于AB 异侧．若40POA ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒【答案】C 【分析】根据邻补角得出140POB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵40POA ∠=︒，∴140POB ∠=︒，∵ PBPB =，∴2701P C OB ∠∠==︒，A．160︒【答案】A【分析】根据圆内接四边形的性质证得∠【详解】解：∵DCE∠=∠A DCEA．43【答案】B【分析】如图：连接【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．5．（2023秋·山西吕梁示的位置放置，其中锐角顶点A．2B．【答案】B【分析】连接OD，根据圆周角定理得出二、填空题【答案】90︒/90度【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BC∴2BOC A ∠=∠=∵30C ∠=︒，∴根据圆周角定理可知∵OB OA =，∴AOB 是等边三角形，【答案】26【分析】连接AC 理求出AD ，继而求出结果．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·湖北十堰一点，EC 交O 于点【答案】20︒【分析】连接AD ,则ADB ∠【详解】如图所示：连接AD ,∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒,【答案】1266+【分析】连接AD ，交OE 周角定理得出90ADB ∠=O B 、两点是线段AC 的三等分点，OB CB ∴=，点D 恰为线段CE 中点，BD ∴为OCE △的中位线，三、解答题11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在ABC 中，AB AC =．O 是ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：AE BC=；(2)若AE23=，求 【答案】(1)见解析∵AB ，CD 为O 的直径，∴90AEB ABD ∠=∠=∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∴DOB EOB ∠=∠∵AE 垂直于直径CD【答案】（1）110︒，35︒；（2）43【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC ∠；②根据 AD DC =得到AD DC =（2）连接OA ，根据弦AB 垂直平分半径【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023·江苏泰州知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，AOB ∠+∠①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考AC=45，8∠=︒C∴ 是等腰直角三角形，且ACM∠=∠=AOB C290∴ 是等腰直角三角形，AOB∴==AB OA252在直角三角形ABM∴=+=BC CM BM（2）证明：延长AP，∠=∠APB C2∴∠=∠，2APB N，APB N PBN∠=∠+∠∴∠=∠，N PBN∴=，PN PB，PA PB=∴==，PA PB PN∴为该圆的圆心．P（3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∠=︒，APB90∴∠=︒，45C∴△是等腰直角三角形，BCE∴=，BE BC=，，PA PFBP AF⊥∴=，BA BF是直径，AF∴∠=︒，90ABF∴∠=∠=︒，EBC ABF90∴∠=∠，EBA CBF△△，∴≌(SAS)EBA CBF【答案】（1）120，332；（2）2AM AB AC =+，理由见解析；【分析】（1）由AB 是O 的直径，得到90BAD ∠=︒，求出接四边形对角互补求出BDC ∠，根据直角三角形30度角的性质求出点（2）如图，连接DB DC 、，过点D 作DN AC ⊥，垂足为N ．由角平分线性质定理得到22故答案为：120，332；（2）如图，连接DB 、∵AD 平分BAC ∠．∴BAD CAD ∠=∠，∴DM DN AM ==，∵BAD CAD ∠=∠．由（2）可知2AM ∴2155AM x =-+∵AC 平分BAD ∠。
圆周角专题训练
与点 ０重合 ． ｉ角板 ＡＢ 将 Ｃ沿 Ｏ Ｅ方 向平
Ｔｈｅｈ ｒｚ ｎｏ ｆ ｓｂ ｏ ｄｅ ｄｃ ｅ ｙｂｙｔｅ ｅ ｌｒ ｅ ｎｔ ｆｔ ｅ ｒ． ｏ ｉｏ ｆｌ ｅｉ ｒ ａ ｎｅ ｈｉｆ ｈ ｎａ ｇ ｍｅ ｈ ａ ｔ ｉ ｌ ｏ ｈｅ
４ 如 图 ，在 ＧＯ 中 ， ．
Ａ． ０≤ ≤ ６ ３ ０ Ｃ． ０≤ ≤ １ Ｏ ３ ２
） 度．
点 Ｄ， 接 Ｄ 则 ／ＤＣ ＝ 连 Ｃ， ＿ Ｂ
Ｂ． ０≤ ≤ ９ ３ ０ Ｄ． ０≤ ≤ １ ０ ６ ２
３如图， Ｂ ． △Ａ Ｃ内接 于 ｏ０， Ｐ是Ａ 上任 意 点 Ｃ
Ｃ
一
点 （ 与 点 ４， 不 Ｃ重 合 ） Ａ Ｃ ５ 。 则 ， Ｂ ＝５ ， ／Ｐ Ｃ的取 值范 围是 ＿ Ｏ
Ｉ ２－如 图 ， 知 点 已
Ｅ 是 ｏ（ 上 的 点 ， ， ） Ｃ分 别 是
劣 弧 Ｄ 的 三 等 分 点 ． Ｂ Ｃ－ ６ 则 Ｏ － 。， ４ ／Ａ Ｄ的度数 为 ＿ Ｅ ３如图， ． ＡＢ是 ｏＤ 的 直 径 ， Ｃ Ｂ－ ０ ， Ｏ － 。 则 ７
Ａ＝ ．
1
．
I
面
c D
OF
：
g
＆嘴
熏
（ ｌ题 ） 第
（ ２题 ） 第
２ 如 ， ． 已知 Ｅ Ｆ是 ｏ 的直 径 ， 把 ４ 为 ６ 。 ０
的 直 角 ： 角 板 ＡＢ 的 一 条 直 角 边 Ｂ ＝ 三 Ｃ Ｃ放 在
直 线
上， 斜边 ，口与 ｏ（交 于点 Ｊ 点 ４ ） ｐ ．
（ ３题 ） 第 （ ４题 ） 第
） ．
Ｂ． ０ ６。 Ｄ． ０。 ３
Ｂ ＝（ ＡＣ
《圆周角的定义及定理》
02 圆周角定理
圆周角定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：圆周角定理是几何学中的基本定理之一，它表述了圆周角与其所夹弧 所对的中心角之间的关系。具体来说，对于同圆或等圆中的任意一个圆周角，其 所夹的弧所对的中心角等于这个圆周角。
圆周角定理的证明
总结词：逻辑严密
详细描述：圆周角定理的证明过程涉及到了角的相等性质和圆的性质。首先，通过角的相等性质，将 圆周角所夹的弧所对的中心角平分，得到两个相等的角。然后，利用圆的性质，证明这两个相等的角 与圆周角相等。
多少倍？
题目2
如果一个圆周角等于45度， 它所对的弦等于半径的多少倍
？
题目3
在圆中，如果一个圆周角等于 90度，它所对的弦与半径的
比值是多少？
综合练习题
总结词
考察圆周角定理与其他知识的综合运用
题目1
在圆中，如果一个圆周角等于60度，它所 对的弦与半径的比值为多少？同时求出这 个弦所对的弧的度数。
题目2
在圆或圆弧上选择一个点，作为 角的顶点。
通过该点和圆心画出射线，作为 角的边。
圆周角的分类
根据圆心与角的边的位置关系， 可以将圆周角分为三种类型： 优弧圆周角、劣弧圆周角和直 角圆周角。
根据角的度数，可以将圆周角 分为锐角、直角、钝角和优角 等类型。
根据角的数量，可以将圆周角 分为单角和复角等类型。
03 圆周角定理的推论
推论一：直径所对的圆周角是直角
总结词
直径所对的圆周角是直角，这是 圆周角定理的一个直接推论。
详细描述
根据圆周角的定义，我们知道直 径将圆分成两个相等的部分，因 此直径所对的圆周角必然是直角 。
推论二
总结词
在同一个圆或相等的圆中，如果两个 圆周角的大小相等，那么这两个圆周 角所对的弧也相等。
中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案
圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 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专题 圆周角压轴题五种模型全攻略(学生版)
专题06圆周角压轴题五种模型全攻略考点一圆周角概念辨析考点二同弧或等弧所对的圆周角相等考点三直径所对的圆周角是直角，考点四90°的圆周角所对的弦是直径考点五圆内接四边形对角互补考点一圆周角概念辨析例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（）A ．B．C．D ．【变式训练】1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心2．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC 内接于圆，弦BD 交AC 于点P ，连接AD ．下列角中，AB 所对圆周角的是（）A ．∠APB B ．∠ABDC ．∠ACBD ．∠BAC3．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？典型例题考点二同弧或等弧所对的圆周角相等例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【变式训练】1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，,OA OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若80AOB ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．30°B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝36°，∠ACD ＝44°，则∠ADB 的度数为（）A ．55°B ．64°C ．65°D ．70°3．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，且AC 的长是BC 长的2倍，ACB ∠的平分线CD 交O 于点D ，则CBD ∠的度数为（）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°考点三直径所对的圆周角是直角例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB 、CD 分别是⊙O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且∠CDE ＝62°，则下列结论错误的是（）A ．CB ⊥BD B ．∠CBA ＝31°C ．AC AED ．BD ＝DE【变式训练】1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AB 另一侧半圆的中点，若CD =BC =4，则⊙O 的半径长为（）AB ．CD ．2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，边长BCP 为弧AD 上一点且AP =1，则PC =________________．3．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E ，连接OC AD BD 、、．若,20AD ED B =∠=︒，则BOC ∠的大小为_________度．考点四90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图，O 的弦AB 垂直于AC ，6cm,4cm AB AC ==，则O 的半径等于（）ABC D ．4【变式训练】1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，12AD =，P 为矩形内一点，90APB ∠=︒，连接PD ，则PD 的最小值为（）A ．8B ．C ．10D2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =5，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为__________.考点五圆内接四边形对角互补例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若130BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．100°【变式训练】1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在AmC 上，则ADC ∠的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 为边CD 上任意一点（不与点C ，点D 重合），连接BE ，若∠A =60°，则∠BED 的度数可以是（）．A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°一、选择题1．（2022·山东威海·九年级期末）如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若ACB ∠＝36°，则∠OAB ＝（）A ．18°B ．54°C ．36°D ．72°2．（2022·山西·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AD 是O 的直径，若20B ∠=︒，则CAD ∠的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°3．（2022·浙江丽水·三模）如图，A ，B ，C ，D 四个点均在O 上，AO DC ∥，BO AD ∥，若70AOB ∠=︒，则B Ð的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒课后训练4．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，,AB CD 是O 的两条直径，E 是劣弧BC 的中点，连接BC ，DE ．若22ABC ∠=︒，则CDE ∠的度数为（）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．44︒5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD 是O 的直径，弦AC 交BD 于点G ．连接OC ，若126COD ∠=︒，AB AD =，则AGB ∠的度数为（）A ．98°B ．103°C ．108°D ．113°二、填空题6．（2022·湖南邵阳·三模）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则∠C 的度数为___________．7．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是______．8．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，90BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交O 于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，若O ，则DE 的长为_______．9．（2022·陕西咸阳·九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，6BC =，120C ∠=︒，点E 是射线CD 上一点，连接BE ，点P 在BE 上，连接AP ，若BAP CBE ∠=∠，则ABP △面积的最大值为__________．10．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，点O、E 分别是AB、CD的中点，OH⊥BC于点H，点P是边BC上的一点，连接OP，将△OHP沿着OP所在直线翻折，点H的对应点为H′，当H′E取最小值时边CD的长为_____．三、解答题∠=∠．11．（2022·广东·中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，ADB CDB(1)试判断ABC的形状，并给出证明；(2)若AB=，1AD=，求CD的长度．12．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，D 是弧AC 的中点，延长BC 到点E ，使CE AB =，连接BD ，ED ．(1)求证：BD ED =；(2)若60ABC ∠=︒，5AD =，⊙O 的直径长为．13．（2021·江苏·扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB =AC ，BD 交AC 于点E ，延长AD ，BC 交于点F ，且CF =AC ．(1)求证∶CD =AD ；(2)若ADAB =，求FD 的长．14．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试）如图，AB 、CD 为O 的弦，AB 与CD 相交于点E ，AD BC =．(1)如图1，求证：BE DE =；(2)如图2，点F 在BC 上，连接DF 、AD ，若DF 为直径，AB CD ⊥，求证：45ADF ∠=；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF 、BF ，BF CF >，若8DE =，BCF △的面积为6，求AD 的长．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图，ABC 内接于圆O ，高AD 、CE 相交于点H ，延长AH 交圆O 于点G ．(1)如图1，求证：DG DH =；(2)如图2，连接CO ，求证：BCO HCA ∠=∠；(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO 交圆O 于点N ，连接GN 、DE ，若2NG DE ==，1CD =，求DH 的长．。
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《圆周角》专题
班级姓名
一、基础知识填空
1．_________在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．
2．在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_________圆心角的_________．
3．在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．
4．_________所对的圆周角是直角．90°的圆周角______是直径．
5．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．
5题图
6．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠F AE=______，∠DAB=______，∠EF A=______．
6题图
7．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______．
7题图
二、选择题
8．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是上一点，则∠ACB等于( )．
A．80°B．100°C．130°D．140°
9．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°
10．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．
10题图
A．64°B．48°C．32°D．76°
11．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37°B．74°C．54°D．64°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69°B．42°C．48°D．38°
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC 于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．
A．70°B．90°C．110°D．120°
14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．
15．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB 长．
16．已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．
求证：FE=EH．
17．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．
18．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．
19．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M ．
求证：∠AMD =∠FMC ．
20．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．求证：AB 2=AD·AE ；
21．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC.BD 交于点E ．（1）求证：△
ABE ∽△DBC ；（2）AD 2=DE·DB ；⑶已知BC=2
5，CD=25，求弦AB 的长．
思考题：如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，
垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．。