6三角形的内角和
小学数学《三角形内角和》教学设计(6篇)
小学数学《三角形内角和》教学设计（6篇）《三角形的内角和》教学反思篇一新课程将探究式学习作为学生学习的主要方式之一，着重点放在让学生在主动参与的过程进行学习，在探究问题的活动中获取知识并主动建构新的认知结构，了解获取知识的途径和技巧。
这节课我设计了以“观察—猜想—验证—应用”为主线，让学生在自主学习中“不知不觉”学习到新的知识。
在学生猜测三角形内角和是多少度的基础上，引导学生通过探究活动来验证自己的观点是否正确，激发求知的渴望和学习的热情，最后达成共识。
这节课我创设了学生喜欢的情境：“三个三角形的争吵”入手，让学生自己动手探索三角形的内角和。
让学生“量一量”“剪—拼”贴近了学生的生活，降低了学习难度，注重学生们的动手实践，亲生去体验去感悟。
在操作反馈的过程中我提出了两个问题：第一，你选用什么三角形，采用什么方法来验证；第二，经过操作得到什么结论。
学生分小组对大小不一的三角形进行验证，经历量、剪、拼一系列操作活动，从而得出“三角形内角和是180°”这一结论。
本节课不足之处：1学生在还没学习三角形的特性和三角形三边的关系及三角形的内角和的基础上进行学习三角形内角和。
就无法复习三角形的有关知识。
2、在解决三角形内角和是什么这个问题，说的不够透彻，课后我改成这样，先让两个学生说，说完让一个学生指出来，指完并让他用黑色水笔画出来。
为验证三角形内是180度做铺垫。
3、学生在介绍剪拼的方法时，可以让介绍的学生先上台演示是如何把内角拼在一起，这样学生在动手操作的时候就可以节省时间。
而且由于内角和这个概念没有讲清楚，学生在这一环节花了一定的时间。
4、在学生汇报方法时，还应该用尺子比一下拼后的三个角是在一条直线上，更直观的说明三个角形成一个平角，三角形的内角和是180°。
5、练习设计是有分层次，但是学生说的较少，我比较急地去分析，留给学生的时间不足这是我今后要特别注意的一个方面。
本节课我引导学生用测量或剪拼的方法探究三角形的内角和。
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版四年级数学下册第五单元第6课时三角形的内角和+ 教学课件
四、课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
三角形的内角和是180°。
五、课后作业
课本： 第69页第1～3题
WAN XIANG SI WEI
有两个直角的图 形不是三角形。
有两个钝角的图形 不是三角形。
二、例题讲解
一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一 样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内 角和是360度吗？
三角形的内角和的度数和它的大 小形状无关。
二、例题讲解
知识的升华
你能根据自己的知识求出四边形的 内角和吗？
两个三角形： 180°×2＝360 °
二、例题讲解
方法拓展
法国著名数学家帕斯卡，在12岁时就已经发现了这 种用直角三角形的内角和来证明其他三角形内角和 是180 °的方法。
二、例题讲解
探讨：1、 一个三角形最多有几个直角，最多
有几个钝角？
2、 把两个一样的直角三角形拼成一 个大的三角形，这个三角形的内角和是 多少度？
二、例题讲解
一个三角形中最多只有一个直 角或钝角！
5 三角形
第6课时 三角形的内角和
人教版·四年级下册
一、新课导入
三角形有3个内角。
你还记得三角形 有几个内角吗？
一、新课导入
三角形的内角和是三 个内角度数相加的和。
你知道三角形
的内角和指的 是什么吗？
二、例题讲解
第一种：量一量
∠1=84° ∠2=58°
1
三角形的内角和是180度。
∠3=38°
你知道怎么得 出三角形的内
三、新知应用
一个三角形，有两个角是锐角，则第三个（ D ）。 A.一定是锐角 B.一定是钝角 C.一定是直角 D.可能是锐角或钝角或直角。
三角形的内角重难点题型(学生版)
三角形的内角-重难点题型【北师大版】【题型1 三角形的内角和定理】【例1】（2021春•玄武区校级月考）在△ABC中，（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝度．（2）若∠A=12∠B=13∠C，则∠B＝度．【变式1-1】（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是．【变式1-2】（2021春•靖江市月考）如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝．【变式1-3】（2020秋•洪山区期中）如图所示的折线图形中，α+β＝．【题型2 三角形的内角和定理的应用（含三角板）】【例2】（2020春•江都区期末）将一副三角板如图放置，则图中的∠1＝°．【变式2-1】（2020秋•光明区期末）将两块分别含有30°和45°角的直角三角板按如图所示叠放，若∠1＝∠2，则∠3＝°．【变式2-2】（2020秋•涪城区校级期末）一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM 平分∠BDC，则∠BMD的度数为（）A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°【变式2-3】（2020春•盐都区期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC 上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【题型3 三角形的内角和定理的应用（含高线、角平分线）】【例3】（2020秋•呼和浩特期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝45°，∠C＝73°，则∠DAE的度数是（）A．14°B．24°C．19°D．9°【变式3-1】（2021春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF ⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（）A．21°B．22°C．25°D．30°【变式3-2】（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-3】（2020秋•夏津县期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°【题型4 三角形的内角和定理的应用（含平行线）】【例4】（2020秋•兴化市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝°．【变式4-1】（2021春•姑苏区期中）如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF 的大小为．【变式4-2】（2021春•周村区月考）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°【变式4-3】（2021春•东城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝（含α的代数式表示）．【题型5 三角形的内角和定理的应用（含折叠）】【例5】（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是度．【变式5-1】（2020春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，联结DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度数是度．【变式5-2】（2020秋•灵山县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（）A．140°B．120°C．70°D．80°【变式5-3】（2020秋•芜湖期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【题型6 三角形的内角和定理的应用（新定义）】【例6】（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30°，那么这个“特征角”α的度数为．【变式6-1】（2020春•成都期末）三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB ⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为．【变式6-3】（2020秋•南海区校级期末）阅读理解：如果三角形满足一个角α是另一个角β的3倍时，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．其中α称为“智慧角”．解答问题：（1）一个角为60°的直角三角形（填“是”或“不是”）“智慧三角形”，若是，“智慧角”是．（2）已知一个“智慧三角形”的“智慧角”为108°，求这个“智慧三角形”各个角的度数．【题型7 直角三角形的性质】【例7】（2021春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC 交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（）A．36°B．46°C．54°D．64°【变式7-1】（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°【变式7-2】（2020秋•德城区校级月考）如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF．【变式7-3】（2020春•沭阳县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【题型8 直角三角形的判定】【例8】（2020春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【变式8-1】（2020秋•盐湖区期中）如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（）个．A．5B．6C．7D．8【变式8-2】（2020秋•九龙坡区校级月考）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形．【变式8-3】（2020秋•潮安区期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形．。
《三角形内角和》数学教案(优秀6篇)
《三角形内角和》数学教案（优秀6篇）4、演示任意一个三角形的内角和都是180度。
出示一些三角形，让学生指出内角和。
师：你有什么发现？（无论是什么样的三角形他的内角和都是180度，与三角形的形状大小没有关系。
）（板书三角形的内角和是180度。
）师：那我们再看看刚刚汇报的结果。
为什么之前测量的时候并没有得到这样得到结果呢？（测量的不够精确，存在误差）师：如果测量仪器再精密一些，测量的更准确一些都可以得到三角形内角和是180度。
现在确定这个结论了吗？（25分钟）师：除了这节课大家想到的方法，还有很多方法也能证明三角形的内角和是180°到初中我们还有更严密的方法证明三角形的内角和是180°。
早在300多年前就有一位法国有名的科学家帕斯卡，他在12岁时就验证了任何三角形的内角和都是180°师：你们能用今天的发现做一些练习吗？五、测评反馈1、判断。
（1）直角三角形的两个锐角的和是90°。
（2）一个等腰三角形的底角可能是钝角。
（3）三角形的内角和都是180°，与三角形的大小无关。
4、剪一剪。
把一个三角形纸板沿直线剪一刀，剩下的纸板的内角和是多少度？六、课后作业69页第1题、第3题。
七、板书设计《三角形内角和》教学设计篇四【教材分析】《三角形内角和》是北师大版《数学》四年级下册的内容。
是在学生学习了三角形的概念及特征之后进行的，它是掌握多边形内角和及其他实际问题的基础，因此，掌握“三角形的内角和是180度”这一规律具有重要意义。
教材首先出示了两个三角形比内角和这一情境，让学生通过测量、折叠、拼凑等方法，发现三角形的内角和是180度。
教材还安排了“试一试”，“练一练”的内容。
已知三角形两个内角的度数，求出第三个角的度数。
【学生分析】经过近四年的课改实验，孩子们已经有了一定的自主探究，合作交流的能力。
他们喜欢在实践中感悟，在实践中发表自己的见解，对数学产生了浓厚的兴趣。
《三角形的内角和》教案
《三角形的内角和》名师教案一、学习目标（一）学习内容《义务教育教科书数学》（人教版）四年级上册第67页例6及做一做。
例6教学三角形的内角和。
教材先让学生通过“量、算”不同类型的三角形的内角度数，初步感受到它们的内角和大约是180°，然后又构建了“剪、拼、看”的活动用实验的方法验证三角形的内角和是180°。
三角形的内角和是三角形的一个重要性质，它有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系，也是进一步学习的基础。
（二）核心能力通过交流“量、算”的结果，培养实事求是、严谨的实验态度，感受误差的存在，在此基础上，通过“剪、拼”的操作活动，用实验的方法推理归纳出三角形的内角和，提高探究推理能力。
（三）学习目标1. 通过“量、算、剪、拼”等操作活动，推理得出三角形的内角和是180°。
2. 充分经历探究的过程，感受误差的存在，培养实事求是、严谨的实验态度。
3. 能灵活运用三角形的内角和解决生活中的简单问题。
（四）学习重点探究并掌握三角形的内角和是180度。
（五）学习难点用实验的方法验证（六）配套资源实施资源：《三角形的内角和》名师教学课件、不同种类的三角形纸片、课时作业。
二、教学设计（一）课前设计1.预习任务：在练习纸上分别画出一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
量一量每个三角形中三个角的度数，并标记出来。
（二）课堂设计1.创设情景，引出问题（1）猜谜语：（课件）形状似座山,稳定性能坚。
三竿首尾连,学问不简单。
（打一图形名称）三角形（板书）（2）猜三角形（课件）老师这有3个三角形，每个三角形的一部分被长方形给遮住了，你知道这是什么三角形吗？提问第3个图形时问：被遮住的两个角是什么角？会是两个直角吗？为什么？（引导学生开始对“三角形的内角和是多少”进行思索。
）（3）引出课题。
师：看来三角形的三个角之间一定藏着秘密，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和”。
（板书课题）【设计意图】通过猜谜语、猜角引入本节课所探究问题：“三角形内角和是多少度”，让孩子们带着问题走入课堂，激发探究的欲望。
三角形内角和定理的证明
第五节三角形内角和定理的证明第六课时●课题§6.5 三角形内角和定理的证明●教学目标（一）教学知识点三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.●教学重点三角形内角和定理的证明.●教学难点三角形内角和定理的证明方法.●教学方法实验、讨论法.●教具准备三角形纸片数张.投影片三张第一张：问题（记作投影片§6.5 A）第二张：实验（记作投影片§6.5 B）第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A）工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角.图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？Ⅱ.讲授新课［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？图6－37［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？［生齐声］180°［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B）实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.（1）（2）（3）（4）图6－38实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验.图6－39这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.这时，∠A与∠ACE能重合吗？［生齐声］能重合.［师］为什么能重合呢？［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥B A.［师］很好，这样我们就可以证明了：三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题.这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？图6－40［生甲］已知，如图6－40，△AB C.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）即：∠A+∠B+∠C=180°.［生乙］老师，我的证明过程是这样的：证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？（出示投影片§6.5 C）图6－41在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？你有没有其他的证法.［生甲］小明的想法可行.因为：∵PQ∥BC（已作）∴∠P AB=∠B（两直线平行，内错角相等）∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠P AB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）图6－42［生乙］也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）.［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.图6－43即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.Ⅲ.课堂练习（一）课本P196随堂练习1、2.图6－441.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论.答案：90°60°如图6－44，在△ABC中，∠C=90°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠B=90°.图6－45如图6－45，△ABC是等边三角形，则：∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°图6－462.如图6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°.证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=70°（已知）∴∠AED=70°（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）∵∠A=60°（已知）∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）（二）读一读P197.（三）看课本P195~196，然后小结.Ⅳ.课时小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业（一）课本P198习题6.6 1、2（二）1.预习内容P199~2002.预习提纲（1）三角形内角和定理的推论是什么？（2）三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图6－47（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图6－47（2））“凑”到三角形外一点呢？（如图6－47（3）），你还能想出其他证法吗？（1）（2）（3）图6－47［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.证明略.●板书设计§6.5 三角形内角和定理的证明一、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°图6－48已知，如图6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）二、议一议三、课堂练习四、课时小结五、课后作业巧添平行线－6.5 三角形内角和定理的证明证三角形内角和定理贵州省剑河二中杨通刚课本给出了三角形内角和定理的一种证明方法，其证明思路是作∠ECA=∠A，然后利用平行线的判定与性质证明∠ECD=∠B.这样就将三个内角转移成平角∠BCD使定理获证.其实，巧添平行线转移角度也能很快地得到证明.图6－49证法一：如图6－49，延长BC至D，过C点作CE∥A B.∵CE∥AB，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠2+∠1=180°（平角定义）∴∠A+∠B+∠ACB=180°.图6－50证法二：如图6－50，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.∵∠1+∠BAC+∠2=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=180°.图6－51证法三：如图6－51，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.∵DE∥AB，∴∠1=∠B，∠2=∠4，∵DF∥AC，∴∠3=∠C，∠A=∠4，∴∠2=∠A，又∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°.图6－52证法四：过点A作AD∥BC（如图6－52）∵AD∥BC∴∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°.图6－53证法五：如图6－53，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠EBC+∠BCF=180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°.参考练习－6.5 三角形内角和定理的证明图6－541.已知，△ABC中，AD是高，E是AC边上一点，BE与AD交于点F（如图6－54），∠ABC=45°,∠BAC=75°,∠AFB=120°.求证：BE ⊥AC .证明：∵AD 是高（已知） ∴∠ADB =90°（垂直的定义）∵∠ABC +∠ADB +∠BAD =180°（三角形内角和定理） ∠ABC =45°（已知）∴∠BAD =45°（等式的性质） ∵∠BAC =75°（已知）∴∠DAC =30°（等式的性质）∵∠AFB +∠AFE =180°（1平角=180°） ∠AFB =120°（已知）∴∠AFE =60°（等式性质）∵∠AFE +∠AEF +∠DAC =180°（三角形内角和定理） ∴∠AEF =90°（等式性质） ∴AC ⊥AE （垂直的定义）2.如图6－55，△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD 是高，求证：∠BCD =21∠A.图6－55证明：∵∠A +∠B +∠ACB =180°（三角形内角和定理） ∠B =∠ACB （已知）∴∠B =2180A ∠-︒=90°－21∠A∵CD 是△ABC 的高（已知） ∴∠BDC =90°∵∠BDC +∠B +∠DCB =180°（三角形内角和定理） ∴∠BCD =180°－∠BDC －∠B=180°－90°－（90°－21∠A ）=21∠A （等式的性质）§6.5 三角形内角和定理的证明班级：_______ 姓名：_______一、填空请你填一填（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______.（2）在△ABC中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______.（3）在△ABC中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______.（4）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______.（5）在图6—5—1和6—5—2中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______（6）已知，如图6—5—3，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC的度数为_______.图6—5—1 图6—5—2 图6—5—3二、选择题认真选一选（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（）A.65°B.115°C.80°D.50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线（）A.相互重合B.互相平行C.相互垂直D.无法确定相互关系图6—5—4（3）如图6—5—4，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E等于（）A.35°B.45°C.55°D.75°三、数学眼光看世界图6—5—5（1）一块大型模板如图6—5—5，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°的角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检查模板是否合格？（2）小芳和小白在一起温习三角形内角和定理，小芳灵机一动，想考考小白对知识掌握的程度，她给小白出了一道这样的题目：图6—5—6如图6—5—6，证明五边形的内角和等于540°.即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°.参考答案一、（1）60°（2）57.5°(3)60°(4)30°60°90°(5)∠1+∠2=∠B+∠C(6)18°二、(1)B (2)C (3)B三、（1）测量∠B+∠C是否等于150°，∠C+∠D是否等于160°，若是则合格，否则不合格.（2）分析：连结对角线将五边形分割成三个三角形.如连结BD、BE，则五边形ABCDE 被分割成三个三角形：△BCD、△BDE、△ABE，这三个三角形的所有内角和等于180°×3=540°,即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°。
数学-七年级-第10讲-三角形的内角和学生版
学科教育辅导讲义现有两根小棒，一根长3厘米，一根长6厘米，再配一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有两根长度分别为5cm和8cm的小棒如果要摆成一个三角形，第三条边选用小棒的长度范围应是什么？【知识梳理】1. 三角形的主要性质：（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
3．已知ABC △的三边长a ，b ，c ，化简c -a -b -c -b a +的结果是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．题型二：三角形的内外角的计算例4：如图，∠1、∠2是∠ABC 的外角，已知∠1＋∠2=260°，求∠A 的度数．例5：已知：∆ABC 中，BAC BCA a ∠=∠=，D 点在BC 的延长线上，B D ∠=∠，CAD b ∠=，求a b 、间的关系。
试一试：1. 如图，将一块含有30°角的三角板∠ABC 绕着点A 顺时针旋转90°后得到∠AB’C’，则∠CC’B’的度数为_____度 ．2. 如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的大小2a 2b -22a b +22b c -12CB AbaC DABACBC’ B’2．在，则此三角形是，中，已知︒=∠︒=∠∆5535C B ABC 三角形。
1．下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ）（A ）5cm 、7cm 、10cm ； （B ）5cm 、7cm 、13cm ； （C ）7cm 、10cm 、13cm ； （D ）5cm 、10cm 、13cm ．2．不等边三角形的最长边为9，最短边为4，则第三边长为整数的值有 个．3．已知三角形两边长分别为4和9，则此三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．5<L <13 B ．4<L <9 C ．18<L <26 D ．14<L <224．在∠ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么BC 边的取值范围是____，周长的取值范围是____．5．等腰三角形的三边长分别为：9,32,1++x x ，则=x __________。
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《数学思维与能力训练》辅导讲义
辅导时间姓名
三角形的内角和
【知识要点】
1、三角形的内角和等于180°，由这个所有三角形都具有的性质，可以得到三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
这个性质可以把一些分散的角集中到一个三角形中来，另外，我们可以从三角形的内角和得到多项式的内角和与外角和。
2、在计算一些角的和时，我们通常的做法是把这些角集中到一个三角形或多项式中来，从而利用三角形的内角和或多项式的内角和来解决问题。
【夯实基础】
［例题1］如图，四边形ABCD为任意的四边形，求它的内角和。
D C
A
B
［例题2］已知一个四边形的第二个内角是第一个内角的3倍，第三个内角是第二个内角的一半，第四个内角比第三个内角大10°，求它的第一个内角。
［例题3］如图，ΔABC 的边BA 的延长线与外角∠ACE 的平分线交于D ，
求证：∠BAC >∠B
［例题4］如图，平面上有六个点A 、B 、C 、D 、E 、F 构成一个封闭折线图形，
求 ∠A+∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数。
〖小试牛刀〗 1、计算十边形的内角和及外角和
D
A B
C E
P R Q F
E
A
B C D
2、已知四边形的一个内角是56°，第二个内角是它的2倍，第三个内角比第二个内角小10°，求第四个内角的度数。
3、如图，∠A = 80°，∠B 的平分线和∠C 的外角平分线相交于D ，求∠D 的度数。
4、如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的大小
5、如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的大小
B A D
C E
D B A C
B
A E F D C
【拓展探究】
1、如图，在七星形ABCDEFG 中，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G 的度数
2、在一个五边形中，它的第一个内角比第二个内角小20°，第二个内角比第三个内角小20°，……，第四个内角比第五个内角小20°，求它的第三个内角。
3、如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数。
E D C B A G F I G
H
D C B A
F E。