西藏拉萨中学20192020学年高三第六次月考数学(文)试题

绝密★启用前 西藏拉萨中学2019-2020学年高三第六次月考数学（文）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 2．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α> B ．cos 0α> C ．sin 20α> D ．cos20α> 3．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x < 5．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．6π D ．16π- 6．设0a >为常数，动点()(),0M x y y ≠分别与两定点()1,0F a -，()2,0F a 的连线的…………○…………装…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………○…………装…………○…………A ．2 B ．-2 C ．3 D 7．已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >> 8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙9．如图所示，点P 从点A 出发，按逆时针方向沿边长为a 的正三角形ABC 运动一周，O 为△ABC 的中心，设点P 走过的路程为x ，△OAP 的面积为()f x （当A 、O 、P 三点共线时，记面积为0），则函数()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()f x 的导函数()'f x ，对任意x ∈R ，都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()x f x e >的x 的范围是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知,a b 均为单位向量，若23a b -=，则a 与b 的夹角为________. 12．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．13．已知点(2,9)在函数()x f x a =（0a >且1a ≠）图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，2x （12x x ≠），有如下结论： （1）1212()()()f x x f x f x +=⋅； （2）1212()()()f x x f x f x ⋅=+； （3）1212()()0f x f x x x -<-； （4）1212()()()22x x f x f x f ++<． 上述结论中正确结论的序号是 ． 14．已知()y f x =为定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,0244()11,22x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦(,a b ∈R )有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题 15．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值. 16．某工厂的A ,B ,C 三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:……订…………○…线※※内※※答※※题※※……订…………○…(1)求这6件样品中来自A,B,C各车间产品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.17．如图所示，在四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD为矩形，PAD∆为等腰三角形，90APD︒∠=，平面PAD⊥平面ABCD，且1AB=，2AD=，E，F分别为PC，BD的中点.（1）证明：//EF平面PAD；（2）证明：平面PDC⊥平面PAD；（3）求四棱锥P ABCD-的体积.18．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，点在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,A B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.19．已知函数()32lnf x x ax x=+-.（1）当1a=-时，求函数()f x的单调区间；（2）若()0f x≥在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为112x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C的参数方程为cos2sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程； （2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 21．设函数()1132f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若不等式()12f x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭的解集非空，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．C【解析】【分析】 由tan sin cos ααα=及sin 22sin cos ααα=即可得解. 【详解】由tan 0sin cos ααα=>，可得sin 220sin cos ααα=>. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.3．C【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.4．D【解析】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5．B【解析】本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.到点O 的距离不大于1的点在以点O 为球心，1为半径的半球内；其体积为31421;233ππ⨯⨯=正方体体积为328;=则在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为2831.812ππ-=-故选B6．A【解析】【分析】根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x 和y 的关系式，对λ的范围进行分类讨论，当0λ>时，方程的轨迹为双曲线，根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．【详解】 依题意可知y y x a x aλ⋅=+-，整理得222y x a λλ-=-， 当0λ>时，方程的轨迹为双曲线，即22221x y a aλ-=， ∴22b a λ=，c ==，∴c e a ====， ∴2λ=.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题. 7．A【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知1231a =>，113311log ,0log 122b =<< 21log 03c =<，即a b c >>，选A 考点：指数函数，对数函数的性质8．A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．9．A【解析】【分析】【详解】当A B → 时,1()26f x AP a =⨯ ，为一次递增函数,去掉B ；当B M →(BC 中点) 时1()2P OA P OA f x OA d --=⨯=为一次递减函数，去掉C,D ；所以选A. 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10．C【解析】【分析】令()()x f x g x e=，求得()0g x '>，则函数()g x 为单调递增函数，把不等式()x f x e >，转化为()1g x >，即可求解.【详解】由题意，对任意x R ∈，都有()()f x f x '>成立，即()()0f x f x '->，令()()x f x g x e =，则()()()()()20x x x xf x e f x e f x f xg x e e ''--'==>， 所以函数()g x 为单调递增函数，又因为不等式()xf x e >，即()1g x >， 因为(ln 2)2f =，所以(ln 2)1g =，所以不等式的解集为ln 2x >，故选C.本题主要考查了导数点运算，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据选项及已知条件合理构造新函数，利用导数判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 11．3π【解析】 【分析】由已知模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角． 【详解】 由题意22222(2)441443a ba b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅+=，12a b ⋅=，∴1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=，1cos ,2a b <>=，,3a b π<>=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模的关系，考查求向量夹角，掌握数量积的定义是解题基础． 12．2,13- 【解析】 【分析】根据题意列出关于1a 、d 的方程组，即可解出这两个量的值. 【详解】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 13．（1），（4） 【解析】 【分析】试题分析：点(2,9)在函数()x f x a =（0a >且1a ≠）图象上，即29,3,()3xa a f x =∴==∵对于函数()3x f x =定义域中的任意的1212x x x x ≠，（）， 有12121212333x x x x f x x f x f x ++==⋅=（）（）（），∴结论（1）正确；又121212*********x x x xf x x f x f x f x x f x f x =+=+∴≠+（），（）（），（）（）（），∴结论（2）错误；又()3xf x =是定义域R 上的增函数，∴对任意的12x x ，，不妨设12x x <，则12f x f x （）＜（），121200x x f x f x ∴--＜，（）（）＜，1212()()0f x f x x x -∴>-，∴结论（3）错误，结论；又121212122()()33()3,222x x x x x x f x f x f ++++==12211212121222121222()()133123322()332x x x x x x x x x x f x f x x x x x f --+++⎛⎫⎛⎫ ⎪∴=+=+≠ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，1221122212()()23321()2x x x x f x f x x x f --+∴+>∴>+∴结论（4）正确；综上，正确的结论是（1），（4）； 14．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】根据函数的奇偶性作出函数()f x 的图象，利用换元法判断函数()t f x =的根的个数，利用数形结合即可得出结论．作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递增，在(20)-，和(2)，+∞上递减， 当2x =±时，函数取得极大值54； 当0x =时，取得极小值0，关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦(,a b ∈R )有且仅有6个不同的实数根，设()t f x =，则当0t <，方程()t f x =有0个根， 当0t =，方程()t f x =有1个根， 当01t <≤或54t =，方程()t f x =有2个根， 当514t <<，方程()t f x =有4个根， 当54t >，方程()t f x =有0个根． 则20t at b ++=必有两个根1t 、2t ， 则有两种情况符合题意：①154t =，且2t ∈514⎛⎫⎪⎝⎭，， 此时12a t t -=+，则5924a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，； ②(]101t ∈，，2514t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，此时同理可得914a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，， 综上可得a 的范围是599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数与方程，考查函数的表示法以及一次函数和二次函数，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 15．（1）证明见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2a c b +=，再利用正弦定理及诱导公式，即可证明； （2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以22b ac =，再利用余弦定理，结合基本不等式，进而得出结论. 【详解】（1）a ，b ，c 成等差数列，∴2a c b +=， 由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=， ∵()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， ∴()sin sin 2sin A C A C +=+；（2）∵a ，b ，c 成等比数列，∴22b ac =，由余弦定理得22222221cos 2222a cb ac ac a c B ac ac ac +-+-+===-，∵222a c ac +≥（当且仅当a c =时等号成立），∴2212a c ac+≥（当且仅当a c =时等号成立）， ∴2211112222a c ac +-≥-=（当且仅当a c =时等号成立）即1cos 2B ≥，所以cos B 的最小值为12. 【点睛】本题重点考查正弦定理、余弦定理及诱导公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 16．(1)1,2,3;(2)415. 【解析】 【分析】（1）先求得分层抽样的抽样比，由此求得这6件样品中来自A ,B ,C 各车间产品的数量. （2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是615015010050=++,所以A 车间产品被选取的件数为150150⨯=, B 车间产品被选取的件数为1150350⨯=, C 车间产品被选取的件数为1100250⨯=.(2)设6件自A ､B ､C 三个车间的样品分别为:A ;1B ,2B ,3B ;1C ,2C . 则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为:()1,A B ,()2,A B ,()3,A B ,()1,A C ,()2,A C ,()12,B B ,()13,B B ,()11,B C ,()12,B C ,()23,B B ,()21,B C ,()22,B C ,()31,B C ,()32,B C ,()12,C C ,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D :“抽取的这2件产品来自相同车间”, 则事件D 包含的基本事件有:()12,B B ,()13,B B ,()23,B B ,()12,C C ,共4个所以()415P D =. 所以这2件商品来自相同车间的概率为415. 【点睛】本小题主要考查分层抽样各层抽样数量的计算，考查古典概型概率计算，属于基础题. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF 与平面PAD 内一直线平行，连接AC ，根据中位线可知//EF AP ，EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，即可证明结论； （2）根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面PDC ，即可证明结论； （3）取AD 的中点为O ，连接PO ，从而得到PO ⊥平面ABCD ，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）如图所示，连接AC .∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴F 也是AC 的中点.又E 是PC 的中点，//EF AP ，∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴//EF 平面PAD ；（2）证明：∵面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ； （3）取AD 的中点为O ，连接PO ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等腰直角三角形， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ABCD -的高， ∵2AD =，∴1PO =，又1AB =， ∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =⋅⋅=. 【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明，考查椎体体积的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，考查空间想象能力，属于常考题.18．（1）22184x y += （2）12OM k k ⋅=-【解析】试题分析：（Ⅰ）由2242,1,2a a b=+= 求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k ==-12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有2242,1,2a a b=+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=. （Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-= 故12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==- 即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.19．（1）()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（2）[)1,-+∞. 【解析】 【分析】（1）先对函数()f x 求导，然后说明每个区间导数的符号，进而求出函数的单调区间；（2）构造函数()()22ln xx x g x x a f x+-==，由()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，得()0g x ≥在()0,∞+上恒成立，对()g x 求导，研究其单调性，求出()g x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =-时，()()32ln 0f x x x x x =-->，()2323132x x xf x x x '=--=--()()21332x x x x-++=，∵23320x x ++>恒成立，∴当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()y f x =单调递增；当()0,1x ∈时，()0f x '<，()y f x =单调递减.故()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1； （2）令()()22ln xx x g x x a f x+-==， ∵()32ln 0f x x ax x =+-≥在()0,∞+上恒成立，∴当()0,x ∈+∞时，()22ln 0xg x x a x=+-≥恒成立， ()()2ln ln 22x x x x g x x x ''⋅-⋅'=-⨯32ln 12x x x +-=⨯， 令()3ln 1h x x x =+-，则()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x <，()0g x '<，即()y g x =单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，即()y g x =单调递增， ∴()()min 110g x g a ==+≥，1a ≥-，故实数a 的取值范围为[)1,-+∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立求参问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.20．（1cos sin 0θρθ-=（2）167AB =【解析】 【分析】 【详解】（1）直线l0y --=， 代入互化公式cos {sin x y ρθρθ==可得直线lcos sin 0θρθ-=（2）椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得22)12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-， 所以12167AB t t =-=． 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长 21．（1）()1,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）34,,27⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，然后解不等式即可； （2）作出()f x 的图象，结合图象可得出a 的取值范围. 【详解】（1）()35,12211113,1322235,322x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 所以原不等式等价于352221x x ⎧-+>⎪⎨⎪≤⎩或1122213x x ⎧+>⎪⎨⎪<≤⎩或352223x x ⎧->⎪⎨⎪>⎩，解得不等式的解集为()1,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； （2）()f x 图象如图所示，其中()1,1A ，()3,2B，直线12y a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭绕点1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭旋转，由图可得不等式()12f x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭的解集非空时， 临界直线为CB 和过C 与3522y x =-+，平行的直线， 两临界直线的斜率分别为43,72-，所以a 的取值范围为34,,27⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及应用，数形结合是解决问题的关键，考查计算能力，属于高考常考题型.。