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绝对误差相对误差
绝对误差是测量值与真值之间的差值，而相对误差则是绝对误差与真值的比值。在测量过程中，除了考虑随机误差，还需关注系统误差。当随机误差服从高斯分布时，多次等精度测量的结果可以用近真值表示，其误差范围通过统计方法得出。置信区间和置信概率用于表达测量结果的可靠程度。除了绝对误差，还有绝对偏差，绝对偏差与近真值的比值。在报道测量结果时，必须包含近真值、绝对误差、相对误差、置信概率和测量次数等信息。此外，文档还介绍了如何用平均值的标准偏差、算术平均偏差等作为绝对误差来报道测量结果，并给出了相应的置信概率。这些方法和表达形式都基于随机误差服从高斯分布的假设。最后，文档提到了在实际测量中，应用格罗布斯准则剔除粗差，以提高测量结果的准确性。
测量误差分析及处PPT课件
12
• 安装误差
p3 (hg) (0.05m 1000kg/m 3 9.8m/s 2 )
490N/m 2 0.49kPa • 读数误差
p4 2kPa
13
• 总系统误差为： • 1）若按算术综合法
n
p pi (3 1.2 0.490 2)kPa 6.690kPa i 1
p
p p
6.690 300
2.23%
14
• 2）若按几何综合法
n
p pi i1
32 1.22 0.4902 22
3.831kPa
p
p p
3.831 300
1.27%
15
随机误差
• 随机误差可分正态分布与非正态分布两大 类。其中非正态分布又有均匀分布随机误 差与反正弦分布随机误差之分。但就大多 数测量而言，其随机误差都服从正态分布 规律，因而以下讨论只限于正态分布随机 误差。
• n 时，i 0，即由于正负误差的互相抵消，
一列等精度测量中各个误差的代数和趋于零。
17
• 高斯（C. F. Gauss）于1795年提出随机误差 分布规律的函数表达式，亦称为误差方程 或称或然率方程
2
y
1
e 2 2
2
• 标准误差（或称均方根误差） 2i
n
18
• | k | 0.6745(即| | 0.6745 ) 概率为50%
测量误差分析及处理
1
误差的来源与分类
• 人们的观察能力、测量仪器、测量方法、 环境条件等
• 测量值与真值之差称为误差 • 绝对误差=测量值-真值； • 相对误差= 绝对误差/真值（测量值） • 绝对误差和相对误差均可为正值或负值
2
1、系统误差 在测量过程中，出现某些规律性的以及影 响程度由确定的因素所引起的误差。
• 安装误差
p3 (hg) (0.05m 1000kg/m 3 9.8m/s 2 )
490N/m 2 0.49kPa • 读数误差
p4 2kPa
13
• 总系统误差为： • 1）若按算术综合法
n
p pi (3 1.2 0.490 2)kPa 6.690kPa i 1
p
p p
6.690 300
2.23%
14
• 2）若按几何综合法
n
p pi i1
32 1.22 0.4902 22
3.831kPa
p
p p
3.831 300
1.27%
15
随机误差
• 随机误差可分正态分布与非正态分布两大 类。其中非正态分布又有均匀分布随机误 差与反正弦分布随机误差之分。但就大多 数测量而言，其随机误差都服从正态分布 规律，因而以下讨论只限于正态分布随机 误差。
• n 时，i 0，即由于正负误差的互相抵消，
一列等精度测量中各个误差的代数和趋于零。
17
• 高斯（C. F. Gauss）于1795年提出随机误差 分布规律的函数表达式，亦称为误差方程 或称或然率方程
2
y
1
e 2 2
2
• 标准误差（或称均方根误差） 2i
n
18
• | k | 0.6745(即| | 0.6745 ) 概率为50%
测量误差分析及处理
1
误差的来源与分类
• 人们的观察能力、测量仪器、测量方法、 环境条件等
• 测量值与真值之差称为误差 • 绝对误差=测量值-真值； • 相对误差= 绝对误差/真值（测量值） • 绝对误差和相对误差均可为正值或负值
2
1、系统误差 在测量过程中，出现某些规律性的以及影 响程度由确定的因素所引起的误差。
绝对偏差相对误差
超微量分析
●按被测组分的含量分
常量组分分析：被测组分含量1～100（%）
微量组分分析：被测组分含量10-2～1（%）
痕量组分分析：被测组分含量＜10-2(%)
12
●按测定原理分
化学分析法：以化学反应为基础的分析方法。
包括滴定分析法和重量分析法。
仪器分析法：以被测物质的物理和物理化学
性质为基础的分析方法。包括光学分析法、电化学 分析法、色谱分析法等。
9Hale Waihona Puke 完成人 尚冀宁 温艳霞 赵艳敏 贺晓莹 温艳霞 温艳霞 鲁静 贺晓莹 温艳霞
二、分析化学方法的分类 分析化学的分类方法很多，可根 据分析任务、分析对象、操作方法、测 定原理和试样用量的不同来分类。
10
●按分析任务分 定性分析：鉴定物质的化学成分。 定量分析：测定各成分的相对含量。 结构分析：研究物质的分子结构和晶体结构
一般物质的分析过程是包括定性分析和定量分析两个部分， 这也是基础化学分析的基本内容。定性分析的任务是鉴定物质 是由哪些元素或离子组成的；定量分析的任务则是测定各组分 的相对含量。由于在生产中，大多数情况下物质的基本组成是 已知的，只需要对生产中的原材料、半成品、成品及辅助材料 进行定量分析，所以，本书的主要内容是讨论定量分析，包括 化学分析和仪器分析的内容。
分析多采用仪器分析方法。
14
三、分析化学的发展
第一次变革：20~30年代 溶液四大平衡理论的建立 分析化学 由 技术 → 科学 第二次变革：40~60年代 经典分析化学（化学分析） → 现代分析化学（仪器分析为主）
第三次变革：70年代末至今 提供组成、结构、含量、分布、形态等 全面信息, 成为当代最富活力的学科之一
绝对误差相对误差
因此报道测量的统计结果
必须包含的相关信息是
近真值 绝对误差 相对误差 置信概率 测量次数
指测量不计系统误差 并且测量数据的误差分布 符合统计规律
我们只要求掌握高斯分布
测量的统计结果具体表达形式为
or 采用不同的绝对偏差报道形式公认值 测量的统计结果表示的方法不一样
1. 用测量列平均值的标准偏差 作为 绝对误差报道测量结果的表达形式
近该真组值测量的(统98计.2)5结7c果m 为
标准偏差
平均值的 ＝0.029 cm
标或准省差去置信概＝率0.010 cm
相对误因差此
＝0.011％
98.257cm 0.010 cm 0.011％
§7 单次直接测量的误差估算
如单测次某定测些某另量物物一的理在些误量某实差的时验主测某中要定地取的决速于度 往往不精●可度仪能要器重求的复不误进高差行 对某物●理实量验测者一感次官就分够辨了能力 ●观察时的具体条件等 因此单次测量的误差主要用 仪器误差等来表达
都是6位有效数字
3. 有效数字的运算规则
总 则
若干个有效数字进行运算后 不因运算而增加结果的准确度 但又不损害测量的精密度
一般情况下有效数字中 保存一位欠准数字
3. 有效数字的运算规则 (1) 四舍五入法则 —四舍六入五配偶
舍去多余的欠准数字时 大于5 进 小于5 舍 等于5 使前位成偶数
记成
(2) 加减运算 结果以参与运算的有效数字
绝对误差相对误差
置信区间的表示
可以用 表达
平均值的标准偏差 平均值的算术平均偏差 或其它误差形式
不同的置信区间有不同的置信概率
误差 标准误差 算术平均误差
都称为 绝对误差
残差 标准偏差 算术平均偏差 平均值的标准差 平均值的算术平均偏差
绝对误差相对误差
表达
或其它误差形式
不同的置信区间有不同的置信概率
误差 标准误差 算术平均误差
都称为 绝对误差
残差 d 标准偏差 x 算术平均偏差 x 平均值的标准差 x 平均值的算术平均偏差 x
都称为 绝对偏差
由于真值不可知，因此应用中 常把偏差说成是误差
相对误差 是 绝对误差与真值的比值
2. 用测量列平均值的算术平均偏差 x 作为绝对误差报道测量结果的表达形式 x ( x x )单位 ( P 0.575) x x 0.7979 x E x x 100% n 1 ( x ) ( x 意义 真值落在 0.7979 到 2 x x) ( xi x ) 其中 n( n 1) i 1 的概率为57.5％ 注 从置信概率P＝0.575可知, 绝对误差 是用平均值的算术平均偏差表示的
除了以上四种表达测量结果的形式外 还有其它多种 比如 用极限误差表示置信区间 则 置信概率就应该写为 P＝0.997
不管用哪种形式报道测量的统计结果 都是设想随机误差分布服从高斯分布 因此 以上多种结果表达形式本质上是一致的
即 较普及的 报道方式 这样， 用平均值的标准偏差表示绝对误差
目前第1种报道方式比较普及 置信概率 P = 0.683 可以省去 置信区间
标准偏差 L
格罗布斯系数表 n Gn n Gn n Gn 3 4 5 6 7 8 9
1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11
10 11 12
13 14
15 16 25 30
2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44
17 18 19 20 22 n=10，Gn=2.18
绝对偏差相对误差
25
3、公差：
公差是生产部门对分析结果允许误差的一种表示方法， 又称为允许误差。如果分析结果超出允许的公差范围称为
“超差”，则该项分析应该重做。
公差的表示形式可以是绝对误差、绝对偏差、相对误差、相 对偏差等。 公差范围的确定一般是根据生产需要和实际情况制定的， 对于每一分析项目，公差范围由主管部门制定。例如钢铁中
7
具体要求：
1、认真对待每一堂课，做好预习、听讲、看书 等学习环节； 2、独立完成作业；
3、认真做好实验，掌握分析化学基础实验技能。
8
分析化学授课学时数分配表(总学时80学时）
课 堂 教 学 教学章节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 教学内容 概 论 滴定分析概述 酸碱滴定法 配位滴定法 氧化还原滴定法 重量分析和沉淀滴定法 光学分析法 电化学分析法 色谱法 物质的定量分析过程 计 学 时 6 4 10 6 6 4 10 2 4 4 56
误差的大小可以估计或测量，并可以设法校正或减免
27
产生的原因：
（1）仪器误差： 仪器误差来源于仪器不准确，或未经校准 （2）试剂误差:试剂误差来源于试剂不纯，或水中含有杂质
（3）方法误差：
由于分析方法本身不完善造成的误差。如在重量分析中沉淀的 溶解损失，这是由于方法本身采用了溶解度较大的沉淀造成的。 在滴定分析中，反应不完全、化学计量点与终点不符合等都会造 成分析结果系统地偏高或偏低。
分析多采用仪器分析方法。
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三、分析化学的发展
第一次变革：20~30年代 溶液四大平衡理论的建立 分析化学 由 技术 → 科学 第二次变革：40~60年代 经典分析化学（化学分析） → 现代分析化学（仪器分析为主）
第三次变革：70年代末至今 提供组成、结构、含量、分布、形态等 全面信息, 成为当代最富活力的学科之一
3、公差：
公差是生产部门对分析结果允许误差的一种表示方法， 又称为允许误差。如果分析结果超出允许的公差范围称为
“超差”，则该项分析应该重做。
公差的表示形式可以是绝对误差、绝对偏差、相对误差、相 对偏差等。 公差范围的确定一般是根据生产需要和实际情况制定的， 对于每一分析项目，公差范围由主管部门制定。例如钢铁中
7
具体要求：
1、认真对待每一堂课，做好预习、听讲、看书 等学习环节； 2、独立完成作业；
3、认真做好实验，掌握分析化学基础实验技能。
8
分析化学授课学时数分配表(总学时80学时）
课 堂 教 学 教学章节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 教学内容 概 论 滴定分析概述 酸碱滴定法 配位滴定法 氧化还原滴定法 重量分析和沉淀滴定法 光学分析法 电化学分析法 色谱法 物质的定量分析过程 计 学 时 6 4 10 6 6 4 10 2 4 4 56
误差的大小可以估计或测量，并可以设法校正或减免
27
产生的原因：
（1）仪器误差： 仪器误差来源于仪器不准确，或未经校准 （2）试剂误差:试剂误差来源于试剂不纯，或水中含有杂质
（3）方法误差：
由于分析方法本身不完善造成的误差。如在重量分析中沉淀的 溶解损失，这是由于方法本身采用了溶解度较大的沉淀造成的。 在滴定分析中，反应不完全、化学计量点与终点不符合等都会造 成分析结果系统地偏高或偏低。
分析多采用仪器分析方法。
14
三、分析化学的发展
第一次变革：20~30年代 溶液四大平衡理论的建立 分析化学 由 技术 → 科学 第二次变革：40~60年代 经典分析化学（化学分析） → 现代分析化学（仪器分析为主）
第三次变革：70年代末至今 提供组成、结构、含量、分布、形态等 全面信息, 成为当代最富活力的学科之一
第一章(绝对误差,相对误差,有效数字)
6.8推导下列三种矩形求积公式：
解：（1）将 在x=a处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
（2）将 在x=b处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
(3)将 在 处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
第七章常微分方程数值解习题及解答
7.1用欧拉法解初值问题 ，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数.
4.2用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组
要求
解：建立高斯—塞德尔迭代格式：
取初始迭代向量 ，迭代结果为：
故方程组的近似解为
4.4线性方程组 的系数矩阵为
A＝
试求能使雅可比迭代法收敛的 的取值范围。
解当 时，雅可比迭代矩阵
B＝
得 ，故 ，由 ，得 ，即 时， ，雅可比迭代法收敛。
4.6设线性方程组
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 的取值范围。
2.0004 －0.0020090009000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1
绝对误差限：
m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字
=2，相对误差限
（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2,m=-2
m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算.
解：（1）令 ，取 ，则
迭代格式为
注：若令 ，取 ，则
，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令 ，取 ，则
迭代格式
2.10 设 。
（1）写出解 的Newton迭代格式。
解：（1）将 在x=a处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
（2）将 在x=b处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
(3)将 在 处Taylor展开得
两边在a,b上积分，得：
∴
第七章常微分方程数值解习题及解答
7.1用欧拉法解初值问题 ，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数.
4.2用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组
要求
解：建立高斯—塞德尔迭代格式：
取初始迭代向量 ，迭代结果为：
故方程组的近似解为
4.4线性方程组 的系数矩阵为
A＝
试求能使雅可比迭代法收敛的 的取值范围。
解当 时，雅可比迭代矩阵
B＝
得 ，故 ，由 ，得 ，即 时， ，雅可比迭代法收敛。
4.6设线性方程组
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 的取值范围。
2.0004 －0.0020090009000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1
绝对误差限：
m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字
=2，相对误差限
（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2,m=-2
m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算.
解：（1）令 ，取 ，则
迭代格式为
注：若令 ，取 ，则
，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令 ，取 ，则
迭代格式
2.10 设 。
（1）写出解 的Newton迭代格式。
绝对误差相对误差
f f f N A B C A B C
一误差的传递公式
记录 误差传递公式的两个推论
1. 和与差的绝对偏差等于 各直接测量量的绝对偏差之和 即：如果 N A B C 则 N A B C 2. 积与商的相对偏差等于 各直接测量量的相对偏差之和 即：如果 N A B / C N A B C E A E B EC 则 EN
Байду номын сангаас表达
或其它误差形式
不同的置信区间有不同的置信概率
误差 标准误差 算术平均误差
都称为 绝对误差
残差 d 标准偏差 x 算术平均偏差 x 平均值的标准差 x 平均值的算术平均偏差 x
都称为 绝对偏差
由于真值不可知，因此应用中 常把偏差说成是误差
相对误差 是 绝对误差与真值的比值
举例
不计系统误差，对一物理量实现多次等精 度测量，应用格罗布斯准则剔除粗差，并 报道测量的(统计)结果 测量长度L的原始数据如表0-2
结果表式举例
1 近真值 L Li =…= 98.328cm 10 i 1
10
1 n 2 ( Li L ) =…= 0.227 cm 10 1 i 1 为了应用格罗布斯准则剔除粗差 需计算 L Gn L 和 L Gn L
标准偏差 L
格罗布斯系数表 n Gn n Gn n Gn 3 4 5 6 7 8 9
1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11
10 11 12
13 14
15 16 25 30
2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44
17 18 19 20 22 n=10，Gn=2.18
一误差的传递公式
记录 误差传递公式的两个推论
1. 和与差的绝对偏差等于 各直接测量量的绝对偏差之和 即：如果 N A B C 则 N A B C 2. 积与商的相对偏差等于 各直接测量量的相对偏差之和 即：如果 N A B / C N A B C E A E B EC 则 EN
Байду номын сангаас表达
或其它误差形式
不同的置信区间有不同的置信概率
误差 标准误差 算术平均误差
都称为 绝对误差
残差 d 标准偏差 x 算术平均偏差 x 平均值的标准差 x 平均值的算术平均偏差 x
都称为 绝对偏差
由于真值不可知，因此应用中 常把偏差说成是误差
相对误差 是 绝对误差与真值的比值
举例
不计系统误差，对一物理量实现多次等精 度测量，应用格罗布斯准则剔除粗差，并 报道测量的(统计)结果 测量长度L的原始数据如表0-2
结果表式举例
1 近真值 L Li =…= 98.328cm 10 i 1
10
1 n 2 ( Li L ) =…= 0.227 cm 10 1 i 1 为了应用格罗布斯准则剔除粗差 需计算 L Gn L 和 L Gn L
标准偏差 L
格罗布斯系数表 n Gn n Gn n Gn 3 4 5 6 7 8 9
1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11
10 11 12
13 14
15 16 25 30
2.18 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44
17 18 19 20 22 n=10，Gn=2.18