2020-2021南京一中实验学校高中必修二数学下期中试题附答案
G 的轨迹方程为______．
19．底面边长为 2 的正三棱柱 ABC A1B1C1 被不平行于底面的平面 MNP 所截，其中 AM 3， BN 4 ， PC 5 ，则多面体 ABC MNP 体积为________ 20．已知直线 l1 : y x 1 上有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2 , y2 ) , 且 x1, x2 为一元二次方程 x2 6x 1 0 的两个根, 则过点 A, B 且和直线 l2 : x 1相切的圆的方程为
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接根据直线平行公式得到答案.
【详解】
直线 ax y 2 0和直线 2x a 1 y 4 0 平行，则 aa 1 2，解得 a 2 或
a 1. 当 a 1时，两直线重合，排除. 故选： C .
解析：A
【解析】 【分析】 【详解】 根据题意作出图形： 设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 ABC，
延长 CO1 交球于点 D，则 SD⊥平面 ABC．∵CO1= 2 3 3 ， 32 3
∴ OO1
1 1 3
6， 3
∴高 SD=2OO1= 2 6 ，∵△ABC 是边长为 1 的正三角形，∴S△ABC= 3 ，
22．已知点 P1,0， Q4,0 ，一动点 M 满足 MQ 2 MP .
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）过点 A2,3 的直线 l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程.
23．如图， ABCD是边长为 3 的正方形， DE 平面 ABCD ， AF 平面 ABCD ， DE 3AF 3.
法错．误．的是( )
A． MN 与 CC1 垂直
B． MN 与 AC 垂直
C． MN 与 BD 平行
D． MN 与 A1B1 平行
11．已知平面 且 l ， M 是平面 内一点， m ， n 是异于 l 且不重合的两条
直线，则下列说法中错误的是（ ）.
A．若 m// 且 m// ，则 m//l
B．若 m 且 n ，则 m n
C．若 M m且 m//l ，则 m//
D．若 M m 且 m l ，则 m
12．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的体积为（ ）A来自64B． 64 3C．16
D． 16 3
二、填空题
13．已知平面 α 与正方体的 12 条棱所成角相等，设所成角为 θ，则 sin ______.
______________.
三、解答题 21．如图所示，四棱锥 S ABCD 中， SA 底面 ABCD ， ABC 900 ， SA 2，AB 3 ， BC 1， AD 2 3 ， ACD 600 ， E 为 CD 的中点.
（1）求证： BC / / 平面 SAE ； （2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值.
14．在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点， B5, 0 ，以
AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
________． 15．光线由点 P(2,3)射到直线 x+y+1=0 上，反射后过点 Q(1,1) ，则反射光线方程为 __________．
关系，即可求解. 【详解】
由直线 l : 2k 1 x k 1 y 1 0k R，可得 k 2x y x y 1 0，
又由
2x x y
y 1
0
0
，解得
x
y
1 2
，即直线恒过定点
P1,
2
，圆心
C
1,
2
，
当
CP
l
时弦长最短，此时
CP
2
AB 2
2
r 2 ，解得
AB min
6，
再由 l 经过圆心时弦长最长为直径 2r 10 ，
A． 81 2
B． 81 4
C． 65
D． 65 2
7．若直线 ax y 2 0和直线 2x a 1 y 4 0 平行，则 a 的值为（ ）
A． 1或 2
B． 1
C．2
D．不存在
8．已知圆 M： x2 +y2 +2 y 0 与直线 l： ax y 3a 5 0 ，则圆心 M 到直线 l 的最大距
【分析】
根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.
【详解】
根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥 P ABCD 完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，
故外接球半径
R
22
22
7 2
2
9，
2
4
故该球的表面积为 S 4 R2 81 . 4
2020-2021 南京一中实验学校高中必修二数学下期中试题附答案
一、选择题
1．已知三棱锥 A BCD 中， AB CD 5 ， AC BD 2， AD BC 3 ，若该
三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． 3 2
B． 24
C． 6
D． 6
2．已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为1的正三角形，
ax y 3a 5 0 过定点 N 3, 5 ，故圆心 M 到直线 l 的最大距离为 MN 5 .
故选： A .
【点睛】
本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点 N 3, 5 是解题的关键.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由直线 2k 1 x k 1 y 1 0 ，得出直线恒过定点 P1, 2 ，再结合直线与圆的位置
（1）证明：平面 ABF // 平面 DCE ； （2）在 DE 上是否存在一点 G ，使平面 FBG 将几何体 ABCDEF 分成上下两部分的体积 比为 3:11 ？若存在，求出点 G 的位置；若不存在，请说明理由.
24．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：
①直线 l 在平面 内； ②直线 m 不在平面 内； ③直线 m 与平面 交于点 A ； ④直线 l 不经过点 A . （2）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 BB1 的中点， F 为棱 CC1 的三等分点， 画出由 D1, E, F 三点所确定的平面 与平面 ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
故选 C．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中 牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的 培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为线段 AB 的垂直平分线上的点 x, y 到点 A ， B 的距离相等，
所以，该长方体的体对角线长为 x2 y2 z2 6 ，则其外接球的半径为 R 6 ， 2
因此，此球的体积为
4 3
6 2
3
6 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外
接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
2．A
（1）求直线 AB 方程的一般式；
（2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．
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一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】
作出三棱锥 A BCD 的外接长方体 AEBF GDHC ，计算出该长方体的体对角线长，即
可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】
作出三棱锥 A BCD 的外接长方体 AEBF GDHC ，如下图所示：
设 DG x ， DH y ， DE z ， 则 AD2 x2 z2 3 ， DB2 y2 z2 4 ， DC 2 x2 y2 5 ，
上述三个等式相加得 AD2 BD2 CD2 2 x2 y2 z2 3 4 5 12 ，
3
4
V ∴ 三棱锥S ABC
1 3
32 6 43
2． 6
考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】 本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关 系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内 切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以 考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一 定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
A． 4x 2y 5
B． 4x 2y 5
C． x 2y 5
D． x 2y 5
5．已知圆
截直线
所得线段的长度是 ，则圆 与
圆
的位置关系是（ ）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
6．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD为正方形， PA 底面 ABCD， AB 2 ，
PA 7 ，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 2
25．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝ 6 ，M
是 CC1 的中点．
高一第二学期期中考试数学试题(有答案)
x y O π2π 1-1 P AB CVEDF高一第二学期期中考试 数学试题（附答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.已知集合{}|8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ▲ ） A.7 B.8 C.9 D.10 2.圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是（ ▲ ）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ▲ ） A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:814.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ▲ ） A.2 B.1 C.3 D.45.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ▲ ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1-6.已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ▲ ）(A) 441sin()555y x =+ (B) 31sin(2)25y x =+(C) 441sin()555y x =- (D) 41sin(2)55y x =+ 7.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭ ②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭其中，正确的命题是 （ ▲ ）A.①④B.②③C.①③D.②④8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ▲ ）A.4πB.54πC.πD.32π9.函数2()ln f x x x=-的零点所在的 主视图 大致区间是（ ▲ ）A.()1,2B.()2,3C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),e +∞ 10.右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’-AB-D 的大小是（ ▲ ）A. 300B.450C. 600D. 90011.直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是（ ▲） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.12.如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ▲ ） A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.半径和面积均为1的扇形的圆心角为_____▲______弧度 .14.若函数x y a )1(log -=在),0(+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ .A BD A ’B ’D ’15.已知函数()cos()4f x x π=-，先把()y f x =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后再把图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），从而 得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式 为 ▲16.如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当底面ABCD 满足条件 ▲ 时， 有11D B AC ⊥（写出你认为正确的一种条件即可。
2020-2021南京市高三数学下期中一模试卷(及答案)
∵正数a，b满足a+b≥2 ，∴ab≤ ．
又ab=a+b+3，∴a+b+3≤ ，即（a+b）2﹣4（a+b）﹣12≥0．
解得a+b≥6．
故答案为：[6，+∞）．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．
16．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据大边对大角定理知边长为 所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出 的取值范围．
【详解】
由题意知，边长为 所对的角不是最大角，则边长为 或 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到 ，
由于 ，解得 ，故选C．
A． B． C． D．
11．已知 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）
A． B． C． D．
12．如果等差数列 中， + + =12，那么 + +…+ =（）
A．14B．21C．28D．35
二、填空题
13．如图，在 中， 时，点 在边 上， ， ， 为垂足若 ，则 __________
【详解】
由题意，设 的三边长分别为 ，对应的三角分别为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ．
又根据余弦定理的推论得 ．
所以 ，解得 ，
高一下数学期中测试与答案(必修2).doc
高一下期数学期中测试题一、选择题（ 12×5 分＝ 60 分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
D.2、下列命题中错误的是： （ ）A. 如果 α⊥β，那么 α 内一定存在直线平行于平面 β；B. 如果 α⊥β，那么 α 内所有直线都垂直于平面 β；C. 如果平面 α 不垂直平面 β，那么 α 内一定不存在直线垂直于平面D. 如果 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝ l, 那么 l ⊥γ .β；D ’C ’’’’’A ’B ’3、右图的正方体 ABCD-A B C D中,异面直线 ’所成的角是（ ）AA 与BCA. 30B.45C. 60D. 90D’’’’C4、右图的正方体 ABCD- A B C D中，’）AB二面角 D -AB-D 的大小是（A. 30B.45C. 60D. 905、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b= 5;C.a= 2,b=5;D.a= 2 ,b=5.6、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是（ ）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点 P(4,-1) 且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为 a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是： （ ）A.a; B.a; C. 2 a ; D. 3 a .329、已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm, 高为 4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗） ，那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm;B.4cm ;C.4cm;D.8cm。
高三数学第二学期期中试卷及答案
2021年高三数学第二学期期中试卷及答案(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 , ,则(A) (B) (C) (D)(2)已知为虚数单位,复数的值是(A) (B) (C) (D)(3)若满足约束条件则函数的最大值是(A) (B) (C) (D)(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题是甲落地站稳, 是乙落地站稳,则命题至少有一位队员落地没有站稳可表示为(A) (B) (C) (D)(5)执行如右图所示的程序框图，则输出的值是 ( )(A)10(B)17(C)26(D)28(6)函数的图象大致为(A) (B) (C) (D)(7)已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是(A) (B) (C) (D)(8)如图，梯形中， , , , ,将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：②三棱锥的体积为 ;③ 平面 ;④平面平面 .其中正确命题的序号是(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.(9)抛物线的准线方程是 .(10)在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分.(11)在中，分别是角的对边.已知 , , ，则 .(12)一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为表面积为 .(13)已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是 .(14)将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题满分13分)已知函数 .(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：一般良好优秀一般良好优秀例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是人.由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . (Ⅰ)求，的值;(Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.(17)(本题满分14分)在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知 , .(Ⅰ)求证：平面 ;(Ⅱ)求证：∥平面 ;(Ⅲ)设点在内(含边界),且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.(18)(本小题满分13分)设函数，，，记 .(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)当时，若函数没有零点，求的取值范围.(19)(本小题满分14分)已知椭圆经过点，一个焦点为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.(20)(本小题满分13分)已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且 . (Ⅰ)若 ,比较与的大小关系;(Ⅱ)若 .(ⅰ)判断是否为数列中的某一项，并请说明理由; (ⅱ)若是数列中的某一项，写出正整数的集合(不必说明理由).北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(文史类)2021.3一、选择题题号12345678答案CCDDBACB二、填空题题号91011121314答案16二;三、解答题15. 解：(Ⅰ)因为所以， .由 , ，得，所以的单调递增区间是， . 8分(Ⅱ)因为所以 .所以，当，即时，取得最小值 ;当即时，取得最大值 . 13分16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人. 设事件：从位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则 .解得 .所以 . 5分(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有位，分别记为.其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. 从中任意抽取位，可表示为 ,, , ，共种可能.设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.事件包括 , , , ，共种可能.所以 .所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 13分17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面 .又底面 ,所以 .因为为菱形，所以 .而，所以平面 . 4分(Ⅱ)连接 ,交于点，连接 .依题意，∥ ,且， ,所以为矩形.所以∥ .又 , , ,所以 = ，所以为平行四边形，则∥ .又平面，平面 ,所以∥平面 . 9分(Ⅲ)在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点. 分析如下：连接，则 .由于∥ ,故欲使，只需 ,从而需 .又在中， ,又为中点，所以 .故点一定在线段上.当时，取最小值.在直角三角形中， , , ,所以 . 14分18.解：(I) ，则函数在处的切线的斜率为 .又，所以函数在处的切线方程为 ,即 4分①当时，，在区间上单调递增;②当时，令，解得 ;令，解得 .综上所述，当时，函数的增区间是 ;当时，函数的增区间是，减区间是 . 9分(Ⅲ)依题意，函数没有零点，即无解.由(Ⅱ)知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得 .所以实数的取值范围为 . 13分19. 解：(Ⅰ)由题意得解得， .所以椭圆的方程是 . 4分(Ⅱ)由得 .设，则有，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为 .于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以 .又 .于是， .因为，所以 .所以的取值范围为 . 14分20. 解：记的，公差为，公比为，由，得当时，显然 ;当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即 .综上所述， . 5分(Ⅱ)(ⅰ)因为，所以得所以或 .因为，所以， . 令，即，，，所以是中的一项.(ⅱ)假设，则，，当或，( )时， .正整数的集合是 . 13分。
2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷
2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷一、单项选择题1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，3)，若a∥b，则m等于()A.3B.－3C.4答案：B解析：由题意得1×3－m×(－1)＝0，∴m＝－3.2.已知i为虚数单位，z＝(1+i)/(1-i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－2答案：D解析：z＝(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+i)×(1+i)/(1+1)＝(1+2i+i²)/2＝(2i-1)/2＝-1/2+i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则BE·EA等于()A.－2B.－1C.1D.2答案：B解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，BE＝(－2,1)，EA＝(0，－1)，BE·EA＝－1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数(1+i)/(1-i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题意可得(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+2i+i²)/(1+1)＝(2i)/(2)＝i，故其共轭复数为－i，对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设AB＝a，AD＝b，则BF等于()A.－a＋b/4B.a－b/4XXXD.a＋b/3答案：B解析：如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF＝AF－AB＝AE－AB＝(1/2)AD－AB＝(1/2)(b－a)－a＝(b－3a)/4.6.在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|BC|的最小值是()A.2B.4C.√3D.12答案：C解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝－(1/2)|AB||AC|，故|AB||AC|＝4，|BC|＝|AC－AB|≥|AB|－|AC|＝√3，当且仅当∠ABC＝60°时取等，故|BC|的最小值是√3.9.在三角形ABC中，如果sin2A+sin2B<sin2C，那么三角形ABC不可能是哪种形状？A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案：C解析：根据正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中a、b、c为三角形的三边，R为三角形外接圆的半径。
2020-2021学年江苏省南京市高二(下)期中数学复习卷1(含解析)
2020-2021学年江苏省南京市高二(下)期中数学复习卷1一、单空题（本大题共13小题，共65.0分）1.设集合M={x|x2−x−2≤0}，N={y|y=x2,−1≤x≤2}，则M∩N=______ ．2.一组数据的平均数是3，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数是______ ．3.某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为．4.成都市交警部门随机测量了顺河高架桥南下口某一时间段经过的2000辆汽车的时速，时速频率分布直方图如图所示，则该时段时速超过70km/ℎ的汽车数量为______ ．5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．6. 甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是 ． 7. 已知A 、B 、C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A 排在C 后一天值班的概率为______．8. 若4a =5b =m ，且1a +2b =2，则m = ______ ．9. 根据如图所示的程序框图，若输出的值为4，则输入的值为______________．10. 执行如图的程序框图，如果输入x 的值为0，那么输出的y 是______．11. 已知函数f(x)=sin 2x −(23)|x|+12，给出下列结论：①f(x)是偶函数；②f(x)的最小值为−12；③f(x)的最大值为32；④当x >2015时，f(x)>12恒成立．其中正确结论的序号是______ .(写出所有正确结论的序号)12. 函数f(x)=x 3−3x 在区间[−1,3]上的最小值为______ ．13. 若函数f(x)={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则实数a 的取值范围为______． 二、解答题（本大题共7小题，共95.0分）14. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)，记椭圆的左顶点为A ． (1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ，C 两点，试求△ABC 面积的最大值．15. 某养猪厂计划将重量为25kg 到50kg 的10000头猪向外出售，现从中随机抽取了100头猪进行称重，已知这些猪的重量的频率分布表及不完整的频率分布直方图(如图)．(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这10000头猪中重量在[35,45)的头数；(2)在抽出的100头猪中按重量再采用分层抽样法从中抽取20头，求重量低于35kg的猪的头数．16.某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人．(1)求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率；(2)记X表示抽取3人中男生的人数，求X的分布列和数学期望．17.已知命题P：函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R；命题Q：不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．18.寒假即将到来，某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费，消耗费用等等).受市场调控，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(2)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？19.已知点A(2,1)为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．(Ⅰ)求椭圆G的焦点坐标；(Ⅱ)若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=−1(其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率).证明：B，C，O三点共线．20. 已知函数f(x)=ax 2+(a −2)lnx +1(a ∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线平行于直线y =4x +3，求a 的值．(2)a =1时，函数y =f(x)图象上的所有点都落在区域{x >0y ≥tx −x 2内，求实数t 的取值范围． (3)a <−1时，证明：∀x 1，x 2∈(0,+∞)，|f(x 1)−f(x 2)|≥2√6|x 1−x 2|.【答案与解析】1.答案：[0,2]解析：解：由x2−x−2≤0得，−1≤x≤2，则集合M=[−1,2]，因为y=x2，−1≤x≤2，所以0≤y≤4，则N=[0,4]，所以M∩N=[0,2]，故答案为[0,2]．先求出x2−x−2≤0的解集M，由二次函数的性质求出集合N，再由交集的运算求出M∩N．本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式、一元二次函数的性质，属于基础题．2.答案：6解析：解：∵将一组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数也变为原来的2倍，又∵原数据的平均数是3，故所得到的一组数据的平均数是6，故答案为：6将一组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的平均数也变为原来的2倍，进而得到答案．本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，平均数随之改变，方差不变．3.答案：9解析：本题考查考查分层抽样、扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用分层抽样、扇形统计图的性质直接求解．解：某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为：26×150×60%=9．110+150故答案为：9．4.答案：200解析：解：由频率分步直方图可知，时速在(70,80]的频率为0.010×10=0.1，所以时速在(70,80]的汽车大约有2000×0.1=200．故答案为200．先求出时速超过70km/ℎ的汽车的频率，在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，得到这个范围中的个体数．本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1．5.答案：．解析：试题分析：当时，第一次执行循环体：，；第二次执行循环体：，；第三次执行循环体：，；第四次执行循环体：，，此时输出．考点：程序框图与算法．6.答案：解析：试题分析：记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．考点：本题考查了随机事件的概率点评：求解此类问题时要注意区分几种基本概率模型，注意语言表达的科学性和符合表述的规范性，在解决本部分问题时，要注意分类讨论、等价转化等思想方法的运用7.答案：13解析：解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A33=6种，其中A排在C后一天值班的情况有C22A22= 2种，所以A排在C后一天值班的概率P=26=13，故答案是13．利用排列组合数公式易求三人值班有A33种，A排在C后一天值班的情况有C22A22种，相比即可．本题考查排列组合的应用，解决古典概型的概率计算问题，比较基础．8.答案：10解析：解：4a=5b=m，可得a=log4m，b=log5m，1 a +2b=2，可得：log m4+2log m5=2，解得m=10．故答案为：10．利用指数与对数的关系表示出a，b，然后化简求解即可．本题考查指数与对数的运算法则的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：或1解析：试题分析：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数的函数值，分段讨论满足y=4的x值，最后综合讨论结果可得答案．考点：(1)流程图；(2)分段函数．10.答案：−1解析：解：模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y={x,x≥12x−1,x<1的值，故当x=0时，不满足条件x≥1，执行y=2x−1，输出的y的值为−1．故答案为：−1．模拟执行程序框图可得程序框图的功能是求分段函数y ={x,x ≥12x −1,x <1的值，根据题意代入已知即可求解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框图得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．11.答案：①②解析：解：①函数的定义域为为R ，则f(−x)=sin 2x −(23)|−x|+12=sin 2x −(23)|x|+12=f(x)，则函数f(x)是偶函数；故①正确，②当x =kπ，k ∈Z 时，sinx =0，即sin 2x 的最小值为0，∵(23)|x|∈(0,1]， ∴−(23)|x|∈[−1,0)，当且仅当x =0时，取最小值，∴当x =0时，函数f(x)的最小值为0−1+12=−12；故②正确，③∵−(23)|x|∈[−1,0)，∴−(23)|x|无最大值，则f(x)的为最大值，故③错误；④取特殊值当x =1000π时，x >2015，sin 21000π=0，且(23)1000π>0∴f(1000π)=12−(23)1000π<12，因此结论④错．故答案为：①②分别根据函数的奇偶性和单调性进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断，涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，利用不等式的放缩求新函数的范围．综合性强 12.答案：−2解析：解：f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，x ∈[−1,3]，令f′(x)>0，可得1<x <3，令f′(x)<0，可得−1<x <1，所以f(x)在区间[−1,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)=−2．故答案为：−2．利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．本题主要考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题．13.答案：a ≤e解析：解：当x >1时，f(x)=e x −a >e −a ；当x ≤1时，由f(x)=−x 3+3x 2，得f′(x)=−3x 2+6x =−3x(x −2)，∴当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)单调递增，则当x ≤1时函数f(x)的最小值为f(0)=0．要使函数f(x)={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则e −a ≥0，即a ≤e ． ∴实数a 的取值范围为a ≤e ．故答案为：a ≤e ．求出x >1时f(x)的范围，在利用导数求得x ≤1时函数的最小值，结合题意即可求得实数a 的取值范围．本题考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．14.答案：解：(1)∵椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)， ∴c a =√22，12a 2+14b 2=1，∴a =1，b =c =√22， 所以椭圆C 的方程为x 2+2y 2=1；(2)设B(m,n)，C(−m,n)，则S △ABC =12×2|m|×|n|=|m|⋅|n|，又1=m 2+2n 2≥2√2|m|⋅|n|，所以|m|⋅|n|≤√24，当且仅当|m|=√2|n|时取等号…8分 从而S △ABC ≤√24，即△ABC 面积的最大值为√24．解析：(1)根据椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，且过点P(√22,12)，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C 的方程；(2)设B(m,n)，C(−m,n)，则S △ABC =12×2|m|×|n|=|m|⋅|n|，利用基本不等式可求△ABC 面积的最大值本题考查椭圆的性质与方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.答案：解：(1)根据各个频数之和为100，得，①处的频数为100−5−35−30−10=20；根据各个频率之和等于1，得，②处的频率为1−0.050−0.200−0.300−0.100=0.35；.2分补全频率分布直方图，如图所示：故10000头猪中重量在[35,45)的频率为0.30+0.35=0.65，头数为0.65×10000=6500(头)；.7分(2)由(1)可知各重量段头数的比例为5：20：35：30：10=1：4：7：6：2，所以重量在35kg下的头数为20×1+4=5(头)..12分．1+4+7+6+2解析：(1)根据各个频数和以及频率和，求出①处的频数与②处的频率，再补全频率分布直方图；从而求出猪的重量在[35,45)的频率与频数；(2)求出各重量段头数的比例，由此计算重量在35kg下的头数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了画图与用图的能力，是基础题目．16.答案：解：(1)现采用分层抽样方法从两组中抽取3人，则从数学兴趣小组中抽取2人，从物理兴趣小组抽取1人，设事件A表示“抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组”，P(A)=C 101C 61C 81C 162C 81=12． (2)由题意，知X =0，1，2，3，P(X =0)=C 62C 31C 162C 81=364， P(X =1)=C 61C 101C 31C 162C 81+C 62C 51C 162C 81=1764， P(X =2)=C 61C 101C 51C 162C 81+C 102C 31C 162C 81=2964， P(X =3)=C 102C 51C 162C 81=1564， ∴X 的分布列为：E(X)=0×364+1×1764+2×2964+3×1564=158．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．(1)利用古典概型概率公式能求出抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率．(2)由题意，知X =0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)． 17.答案：解：当P 真：f(x)=lg(x 2+2x +a)的定义域为R ，有△=4−4a <0，解得a >1；当命题Q 真：不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对任意实数x 恒成立．当a =2时成立，当a ≠2时，可得{a −2<0△=4(a −2)2+16(a −2)<0，解得−2<a ≤2． 若P ∨Q 是真命题，则0<a <1或−2<a ≤2．因此实数a 的取值范围是−2<a ≤2．∵P ∨Q 是真命题，且P ∧Q 为假命题，∴P 真Q 假，或P 假Q 真．{a >1a ≤−2或a >2，{a ≤1−2<a ≤2即a >2或−2<a ≤1．解析：当P 真：f(x)=lg(x 2+2x +a)的定义域为R ，有△=4−4a <0，解得a命题Q ：不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对任意实数x 恒成立．当a =2时成立，当a ≠2时，可得{a −2<0△=4(a −2)2+16(a −2)<0，解得a 范围．由于P ∨Q 是真命题，求出上述并集即可．本题考查了指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于中档题．18.答案：解：(1)设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)，则每天有游客住宿的房间个数为50−x 10，0≤x ≤160．由题意得W 与x 的函数关系式为：W =(50−x 10)(180+x −20)=−110x 2+34x +8000． (2)W =−110x 2+34x +8000=−110(x −170)2+10890，∵0≤x ≤160，∴当x =160时，W 取得最大值为10880，订住的房间为50−16010=34，∴一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．解析：(1)设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)，则每天有游客住宿的房间个数为50−x 10，0≤x ≤160.由此能求出W 与x 的函数关系式．(2)W =−110x 2+34x +8000=−110(x −170)2+10890，由此能求出一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元．本题考查函数关系式的求法，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)∵点A(2,1)为椭圆G ：x 2+2y 2=m 上的一点，∴m =4+2=6，∴椭圆的标准方程为x 26+y 23=1，∴c =√6−3=√3，∴椭圆G 的焦点坐标为(−√3,0)和(√3,0)．(Ⅱ)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由{y =k 1(x −2)+1x 2+2y 2=6，消去y ，化简，得： (2k 12+1)x 2−4k 1(2k 1−1)x +2(2k 1−1)2−6=0，∴x 1=(2k 1−1)2−32k 22+1，同理得x 2=(2k 2−1)2−32k 22+1，∵2k 1k 2=−1，∴x 2=2k 12(2k 2−1)2−6k 124k 12k 22+2k 12=2(−1−k 1)2−6k 121+2k 12=2+4k 1−4k 121+2k 12=3−(2k 1−1)21+2k 12=−x 1，∴2k 1k 2=2×y 1−1x 1−2×y 2−1x 2−2=2×(y 1−1)(y 2−1)4−x 12=(y 1−1)(y 2−1)y 12−1=y 2−1y 1+1=−1， ∴y 1=−y 2，∴B 、C 、O 三点共线．解析：(Ⅰ)由点A(2,1)为椭圆G ：x 2+2y 2=m 上的一点，求出m ，由此能求出椭圆G 的焦点坐标．(Ⅱ)由{y =k 1(x −2)+1x 2+2y 2=6，得(2k 12+1)x 2−4k 1(2k 1−1)x +2(2k 1−1)2−6=0，由此利用韦达定理能推导出y 1=−y 2，从而能证明B 、C 、O 三点共线．本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20.答案：解：函数的定义域为x ∈(0,+∞)，(1)f′(x)=2ax +a−2x ，由题意f′(1)=4，所以2a +(a −2)=4，解之得：a =2；………………………………………………………………(4分)(2)a =1时，f(x)=x 2−lnx +1，即当x >0时恒有x 2−lnx +1≥tx −x 2，又x ∈(0,+∞)，整理得：t ≤2x −lnx x +1x ， 令g(x)=2x −lnx x +1x ，则g′(x)=2x 2+lnx−2x 2，令ℎ(x)=2x 2+lnx −2，由ℎ′(x)=4x +1x >0恒成立，即ℎ(x)=2x 2+lnx −2在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=0，则g′(1)=0，所以x ∈(0,1)时ℎ(x)<0，x ∈(1,+∞)时ℎ(x)>0，所以x ∈(0,1)时，g′(x)<0，此时y =g(x)单调递减，x ∈(1,+∞)时g′(x)>0，此时y =g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=3，所以t ≤3；……………………………………………(8分)(3)(i)当x1=x2时不等式显然成立；(ii)当x1≠x2时，不妨设x1>x2，由f′(x)=2ax2+a−2x且a<−1，所以f′(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，所以要证明：|f(x1)−f(x2)|≥2√6|x1−x2|成立，即证明：f(x2)−f(x1)≥2√6x1−2√6x2，整理得：f(x1)+2√6x1≤f(x2)+2√6x2，只需证明F(x)=f(x)+2√6x=ax2+2√6x+(a−2)lnx+1是(0,+∞)上的减函数，F′(x)=2ax2+2√6x+a−2x，故对函数y=2ax2+2√6x+a−2有：△=24−8(a2−2a)=−8[(a−1)2−4]，a<−1时，△<0恒成立，所以x∈(0,+∞)时恒有ℎ′(x)<0，即y=F(x)是(0,+∞)上的减函数，故所证成立．…………………………………(12分)解析：(1)求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；(2)代入a的值，问题转化为t≤2x−lnxx +1x，令g(x)=2x−lnxx+1x，根据函数的单调性求出t的范围即可；(3)问题转化为证明F(x)=f(x)+2√6x=ax2+2√6x+(a−2)lnx+1是(0,+∞)上的减函数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020级2020-2021学年第二学期高一数学期中试题(有答案)
2020～2021学年第二学期2020级高一期中考试数学试卷注意事项：本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）⒈数列12，－14，18，－116，…的一个通项公式是a n＝（）A．(－1)n 12n B．(－1)n1n2C.()112nn--D. ()112nn--⒉在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝20，则a8的值为（）A．15 B．4 C．10 D．2⒊已知等比数列{a n}中，a3＝1，a5＝9，则a2⋅a6等于（）A．9 B．±9 C．27 D．±27⒋在数列{a n}中，若a1＝－1，a n＋1＝a n＋2(n≥1)，则a13＝（）A．34 B．35 C．23 D．78⒌在等差数列{a n}中，a10＝10，S10＝10，则a1与d分别为（）A．a1＝8，d＝2 B．a1＝－8，d＝2C．a1＝－8，d＝－2 D．a1＝8，d＝－2⒍在数列{a n}中，S n＝2n2－n，则a7＋a8＋a9＋a10＝（）A. 121B.122C. 123D. 124⒎在等比数列{a n}中，若a4⋅a7＋a5⋅a6＝4，则该数列的前10项的积等于（）A. 16B. 32C. 64D. 128⒏已知5个实数1，m，x，n，3构成等比数列，则实数x的值是（）A．2 B．C．－2或2 D.或－⒐正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（）A．1∶2 B．2∶1 C.2∶1 D．1∶2⒑已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为）A．B．C. D⒒如果球的半径是5，那么与球心距离为3的截面圆的面积为（）A. 9πB. 12π C．16π D．24π⒓已知正四棱锥S—ABCD的底面边长为6，侧棱长为5的，则它的表面积为（）A. 84B. 48C. 36D. 132⒔若一个圆柱的底面半径为4，轴截面的对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（）A．48π B．24π C．48 D．24⒕半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．22R3B.43πR3C.893R3D.39R3⒖钟表的时针经过5个小时，则时针转过的圆心角的弧度数为（）A．53πB．53π-C．56πD．56π-⒗已知角α满足sinα＜0且cosα＞0，则角α所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限⒘若α是△ABC的一个内角，且sinα＝45，则tanα的值为（）A.43B．±43C．±34D．－43⒙已知sinαcosα＝18，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα＝（）A．12-B．12C．D．⒚已知cos(π＋α)＝－513，则π2sinα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A．－513B．513C．－1213D．1213⒛已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，b n＝cos(π2na⋅)，则数列{b n}是（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．不能确定第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21. 已知a 和b 是方程x 2－4x －5＝0的两根，则a 、b 的等差中项是____________． 22. 圆锥底面半径为3cm ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥的侧面积为_________． 23. 已知tan x ＝815，且x 是第三象限角，则sin x ＝____________． 24. 若α＝120º，则角α终边与单位圆的交点P 的坐标为 . 25. 若1，a 1，a 2，a 3，9成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则312a ab - ＝ .三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出必要的解答过程.）26.（本小题7分）某园林管理处计划把420株树苗恰好栽种成10排，若第一排栽种60株，且从第2排起，每排栽种的数量与前一排的差是一个常数，求第7排应该栽种多少株树苗？27.（本小题8分，每小题4分）(1) 已知tan x ＝3，求cos 2α－sin 2α的值；(2) 已知sin (π－α)＝－45，求cos (20212π＋α)的值.28. （本小题8分）一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积（单位：cm ）.29.（本题8分）已知圆锥SO 的底面半径为OC ＝10，在其中有一个半径OB ＝5、高为O 1O ＝12的内接圆柱，求该圆锥的表面积和体积.30.（本小题9分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝36，a 5＋a 7＋a 9＝18.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设2n an b =，求数列{b n }的前n 项和T n .第29题图SDCO 1OBA第28题图4444主视图 俯视图左视图数学试题参考答案及评分标准卷一（选择题，共60分）卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21. 2 22. 18π 23. －817 24. （－12） 25. －2三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.解：由题意可知：每排栽种树苗的株数可以构成等差数列{a n }，其中a 1＝60. 1分 设公差为d ，则S 10＝10 a 1＋)10(1012-×d ＝10×60＋45d ＝420. ………………… 3分 解得，d ＝－4. ………………………… 4分 a 7＝a 1＋(7－1)d ＝60＋6×(－4)＝36. ………………………… 6分 答：第7排应该栽种36株树苗. ……………………………… 7分27.解：(1) cos 2α－sin 2α＝22cos sin 1αα-＝2222cos sin sin cos αααα-+ …………………… 1分 ＝222222cos sin cos sin cos cos αααααα-+＝221tan tan 1αα-+ ……………… 3分＝221331-+＝－45. ………………… 4分 (2) sin (π－α)＝sin α＝－45， …………………… 5分cos (20212π＋α)＝cos (1010π＋12π＋α) ……………………… 6分＝cos (12π＋α)＝－sin α＝45 …………………………… 8分28.解：由三视图可知，几何体的下部分是一个底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱，上部分是一个半径为2cm 的半球..................................... 2分 圆柱（不包含上底面）的表面积为：S 底＋S 侧＝π×22＋2π×2×4＝20π（cm 2）......... 3分 半球（不包含底面圆）的表面积为：2π×22＝8π（cm 2） ........................... 4分 所以几何体的表面积为28πcm 2. (5)分圆柱的体积为：π×22×4＝16π（cm 3） ……………………… 6分半球的体积为：12×43π×23＝16π3（cm 3） ……………………… 7分 所以几何体的体积为64π3cm 3. ……………………… 8分 29.(1)解：根据图形的轴截面可知：1BC O O OC SO =，即1051210SO=- 所以，SO ＝12105⨯＝24. …………………… 2分 在Rt ⊿SOC 中，圆锥的母线长l ＝SC 26 …………… 4分 所以，圆锥的表面积S 表＝π×OC 2＋12×2π×OC ×SC ＝π×102＋12×2π×10×26＝360π. ……………………… 6分 圆锥的体积V ＝13×π×OC 2×SO ＝13×π×102×24＝800π. ……………………… 8分 30.解：(1) 因为S 9＝9a 5＝36，所以，a 5＝4. …………………… 1分 因为a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝18. 所以，a 7＝6. …………………… 2分 因为a 5＝a 1＋4d ＝4，a 7＝a 1＋6d ＝6，所以，a 1＝0，d ＝1. …………………… 4分所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0＋(n －1)×1＝n －1. …………………… 5分 (2) 由题意得，b n ＝2n a＝12n - …………………… 6分因为(1)111122222n nn n n n b b +-+--===，所以数列{b n }是等比数列. …………………… 8分所以，T n ＝1(1)1n b q q --＝112(12)12n ---＝2 1.n - ………………… 9分。
2020-2021南京市高中必修二数学下期中第一次模拟试卷(附答案)
7．B
解析：B
【解析】
该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 4，倒四棱锥顶点为正方体
中心，底面为正方体上底面，因此体积是 43 1 2 42 160 ，选 B.
3
3
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观
图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为 0 和在两坐标轴上的截距不为 0 时，求出对应
a 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，当 2 a 0 ，即 a 2 时，直线 ax y 2 a 0化为 2x y 0 ，
此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意；
时，过点 M，N，F 的圆的方程是__________.
17．如图，在 ABC 中， AB BC ， SA 平面 ABC ， DE 垂直平分 SC ，且分别交 AC ， SC 于点 D ， E ，又 SA AB ， SB BC ，则二面角 E BD C 的大小为
_______________.
一、选择题 1．A 解析：A
【解析】 【分析】
设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，可得 a2 12h 2h2 ，得出四棱锥的体积关
于 h 的函数V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.
【详解】
正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为 3， 设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，设正四棱锥的底面 ABCD 的中心为O1 .
（2）圆 C 过点 3,1 且与 l1 相切于点 P，求圆 C 的方程.
2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷含详解
高一数学
一、选择题（共 12 小题）
1.等差数列{an}中， a3 3 ， a2 a10 18 ，则数列{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知 △ABC 中， a 2 ， b 3 ， B 60 ，那么角 A 等于（ ）
A．135
c
，则
a
c
D．若
a
/
/b
，
b
/
/c
，则
a
/
/c
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d ，且满足 a1 0 ， S11 S18 ，则对 Sn 描述
正确的有（ ）
A. S14 是唯一最小值
B. S15 是最小值
C. S29 0
D. S15 是唯一最大值
6.为了测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 40m 的楼顶处测得塔底 A 的俯角为
第 3页（共 7页）
21.设各项为正数的数列 an的前 n 和为 Sn ,且 Sn 满足: Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, n N .等
比数列 bn满足：
log 2
bn
1 2
an
0
.
(Ⅰ)求数列 an, bn的通项公式;
(Ⅱ)设 cn an bn ，求数列 cn的前 n 项的和 Tn ；
A．
PA
1
BA
2
BC
C．
PA
3 1
BA
3 2
BC
33
B．
PA
2
BA
1
BC
D．
PA
3 2
2020年江苏省南京高二(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={-2，-1}，B={-1，2，3}，则A∩B=______．2.函数f（x）=lg（-x2+2x+3）的定义域为______．3.若复数为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是______．4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．5.如图是一个算法流程图，则输出S的值是______．6.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为______．7.已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为______．8.已知函数f（x）=|2x-2|（x∈（-1，2）），则函数y=f（x-1）的值域为______．9.已知函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为______．10.若曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，则实数a的值为______．11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A=7tan B，=3，则c=______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数．若f（-1）=-2，则满足f（2x-3）≤2的x的取值范围是______ ．13.已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x-的所有解的和为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B=2a cos A．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．16.已知函数f（x）=ax2+x-a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．17.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．（1）求证：OE∥平面BCC1B1；（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．18.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．19.设函数（x∈R，k∈Z）．（1）若f k（x）是偶函数，求k的值；（2）设不等式f0（x）+mf1（x）≤4的解集为A，若A∩[1，2]≠∅，求实数m的取值范围；（3）设函数g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2，若g（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数λ的取值范围．20.记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2-1与g（x）=ln x存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=-x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．答案和解析1.【答案】{-1}【解析】解：∵集合A={-2，-1}，B={-1，2，3}，∴A∩B={-1}．故答案为：{-1}．利用交集的定义求解．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2.【答案】（-1，3）【解析】解：要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解得，-1＜x＜3．则定义域为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．要使函数有意义，则需-x2+2x+3＞0，解出即可得到定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】1【解析】解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1．利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题．4.【答案】32【解析】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．5.【答案】35【解析】解：k=1，k＞5不成立，S=0+12=1，k=1+2=3，k=3，k＞5不成立，S=1+32=10，k=3+2=5，k=5，k＞5不成立，S=10+52=35，k=5+2=7，k=7，k＞5成立，输出S=35，故答案为：35根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.【答案】【解析】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+y，则y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值为3，∴2x+y的最大值为23=8．故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义，先求出z的最大值，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用z的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．8.【答案】[0，2）【解析】【分析】本题考查了函数的值域的求法，考查了函数图象的平移，是基础题．由指数函数的单调性求出函数f（x）=|2x-2|（x∈（-1，2））的值域，再由函数图象的平移得答案．【解答】解：∵x∈（-1，2），∴，，则f（x）=|2x-2|∈[0，2），y=f（x-1）的图象是把函数f（x）左右平移得到的，函数值域不发生变化，∴函数y=f（x-1）的值域为[0，2）．故答案为[0，2）．9.【答案】y=sin（x+）【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求φ的取值，即可得到函数的解析式．【解答】解：∵函数图象的一个最高点为（2，），∴A=，x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），∴=6-2=4，即函数的周期T=16，∵T==16，∴ω=，此时函数y=f（x）=sin（x+φ），∵f（2）=sin（×2+）=，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，∴这个函数的解析式为y=sin（x+）．故答案为：y=sin（x+）.10.【答案】【解析】解：由y=3x4-ax3-6x2，得y′=12x3-3ax2-12x，∴y′|x=1=-3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=3x4-ax3-6x2与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴-3a•e=-1，解得：a=．故答案为：．分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于-1，由此求得a的值．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线过该点的切线的斜率，是中档题．11.【答案】4【解析】解：∵tan A=7tan B，∴=7•．∴sin A cos B=7sin B cos A，∴a•=7•b•，整理得8a2-8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4利用tan A=7tan B求得sin A cos B与cos A sin B的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．12.【答案】（-∞，2]【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-∞，0]上为单调增函数，则在f（x）在[0，+∞）上也是增函数，故函数f（x）R上也是增函数；又由f（-1）=-2，则f（1）=-f（-1）=2，则f（2x-3）≤2⇒2x-3≤1，解可得x≤2，即不等式的解集为（-∞，2]；故答案为：（-∞，2]．根据题意，由奇函数的性质分析可得函数f（x）在R上是增函数，且f（1）=-f（-1）=2，进而f（2x-3）≤2可以转化为2x-3≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将f（2x-3）≤2转化为关于x的不等式．13.【答案】a≤-2【解析】解：f（x）=x2-2ax+a2-1=x2-2ax+（a-1）（a+1）=[x-（a-1）][x-（a+1）]由f（x）＜0即[x-（a-1）][x-（a+1）]＜0解得a-1＜x＜a+1，那么不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x-a）2-1当x=a时，f（x）取得最小值-1即函数的值域为[-1，+∞）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤-1所以a≤-2．故答案为：a≤-2．由f（x）＜0解得a-1＜x＜a+1，不等式f（f（x））＜0⇒a-1＜f（x）＜a+1，原不等式的解集为空集，得到a-1＜f（x）＜a+1解集为空集，那么（a-1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围．本题考查了由一元二次不等式的解集求参数的范围，属于中档题．14.【答案】10000【解析】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x-1）2+2（x-1）+1=x2，令f（x）=x-，得：x2-x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x-1）2+1，令f（x）=x-，得：x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x-2）2+2，令f（x）=x-，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x-n）2+n，令f（x）=x-，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[99，100]时，f（x）=（x-99）2+99，令f（x）=x-，得：x199+x200=199，∴1+3+5+…+199=10000，故答案为：10000．根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题．15.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cosA，即sin（B+C）=2sin A cosA，则sin A=2sin A cosA，在三角形中，sin A≠0，∴cos A=，即A=；（2）若•=，则AB•AC cosA=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•AC sinA==．【解析】（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A的大小；（2）若•=，根据向量的数量积，求出AB•AC的大小即可，求△ABC的面积本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键．16.【答案】解：（1）∵函数f（x）有最大值，所以a≥0，不满足题意；∴，∴8a2+17a+2=0，∴a=-2或a=-．（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0a=0时，解集为（1，+∞）a＞0时，解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．【解析】（1）函数f（x）有最大值，则，解之，即可求实数a的值；（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．17.【答案】证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF，…6分又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，所以OE∥面BCC1B1．…8分（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，所以BC1⊥面B1DC，…12分而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．…14分【解析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE ，从而可证面B1DC⊥面B1DE．本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．18.【答案】解：（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以y=4f（x）=，当0＜x≤4时+8≥4，显然符合题意．当x＞4时≥4，解得4＜x≤16，综上0＜x≤16．所以自来水达到有效净化一共可持续16天．（2）由y=m•f（x）=，得在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m；在区间（4，7]上单调递减，即，综上，为使4≤y≤10恒成立，只要且3m≤10即可，即．所以应该投放的药剂质量m的最小值为．【解析】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．（1）由题意，写出y=4f（x）=，再对每一段考虑大于等于4，解出x的范围，求并集即可；（2）由y=m•f（x）=，确定各段的单调性，求出值域，再求并集，为使4≤y≤10恒成立，则4≤y min，且10≥y max即可．19.【答案】解：（1）若f k（x）是偶函数，则f k（-x）=f k（x），即2-x+（k-1）•2x=2x+（k-1）•2-x，即2-x-2x=（k-1）•2-x-（k-1）•2x=（k-1）（2-x-2x），则k-1=1，即k=2；（2）f0（x）=2x-2-x，f1（x）=2x，则不等式f0（x）+mf1（x）≤4等价为2x-2-x+m2x≤4，∵A∩[1，2]≠∅，∴不等式在[1，2]内有解，即m2x≤4-2x+2-x，则m≤=4•2-x+（2-x）2-1，设t=2-x，∵1≤x≤2，∴≤t≤，设4•2-x+（2-x）2-1=t2+4t-1，则y=t2+4t-1=（t+2）2-5，∵≤t≤，∴当t=时，函数取得最大值y=+2-1=，要使不等式在[1，2]内有解，则m≤，即实数m的取值范围是；（3）f0（x）=2x-2-x，f2（x）=2x+2-x，则f2（2x）=22x+2-2x=（2x-2-x）2+2，则g（x）=λf0（x）-f2（2x）-2=λ（2x-2-x）-（2x-2-x）2-4，设t=2x-2-x，当x≥1时，函数t=2x-2-x，为增函数，则t≥2-=，若g（x）在x∈[1，+∞）有零点，即g（x）=λ（2x-2-x）-（2x-2-x）2-4=λt-t2-4=0，在t≥上有解，即λt=t2+4，即λ=t+，∵t+≥2=4，当且仅当t=，即t=2时取等号，∴λ≥4，即λ的取值范围是[4，+∞）．【解析】本题主要考查函数与方程的综合应用，求出函数的解析式，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．（1）根据函数是偶函数，建立方程进行求解即可．（2）根据A∩[1，2]≠∅，等价为不等式在[1，2]内有解，利用参数分离法进行转化求解即可．（3）求出g（x）的解析式，根据函数存在零点转化为方程有根，利用参数分离法进行求解即可．20.【答案】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x-2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=-=g（）=-ln a2，得a=；（3）f′（x）=-2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=-＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得-x02+a==-，得a=x02-，令h（x）=x2--a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=-x3+3x2+ax-a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=-a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上不间断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【解析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．。