高考真题精选3《函数的性质》
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质
高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一 由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向二 由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．真题汇总及解析1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ，因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以函数为奇函数，所以排除AB ， 当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，因为当012x π<<时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除D ，故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（ ）A ．2sin x x -B ．cos x x +C ．2sin x x -+D ．cos x x -【答案】C【解析】【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时，()1h x >，为减函数；当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.故选：C3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+， 所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+，排除D. 故选：C.4．已知R α∈，则函数()e x x f x α=的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】 令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】 当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=， 所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =， 所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=， 所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e xf x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-， 所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D.故选：C5．函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=-D ．21x y =--【答案】A【解析】【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】【分析】 由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，所以1a >，1b <-，故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位故选：B10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝f (|x ）B ．y ＝－|f (x )| ）C ．y ＝－f (－|x ）D ．y ＝f (－|x ）【答案】C【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).故选：C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.11．函数()cos f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ； 当(0,)2x π∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ． 故选：A ．12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选：A ．。
2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练及答案解析
1例2.已知函数f(x)2x 2x a ,x[1, )■2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求函数的定义域、值域A--------------------------------------- ------------------------------------------------------------例 1 ( 1)函数 f(x) —In C ，x 2 3x 2 . x 2 3x 4)的定义域为()xA.(, 4)[2,)；B. ( 4,0) (0,1) ； C. [, 4,0)(0,1]Q . [, 4,0)(0,1)(2)设 fxIg 2x，则 f x f 2的定义域为()2x2xA. 4,0 0,4；B.4, 1 1,4 ； C. 2,11,2 ；D.4, 22,4【答案】( 1)D ； (2) B【解析】(1)欲使函数f (x)有意义，必须并且只需x 2 3x 2 0 2x 3x 4-------------- --------------------- x [ 4,0) (0,1)，故应选择 Dx 2 3x 2 x 2 3x 4 0x 0【易错点】抽象函数的定义域【思维点拨】 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为 0;②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幕中，底 数不等于0；⑤负分数指数幕中，底数应大于 0;⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集 合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意 定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
求复合函数定义域，即已知函数f (x)的定义为［a,b ］，则函数f ［g(x)］的定义域是满足不等式 a g(x) b 的x 的取值范围；一般地，若函数f ［g(x)］的定义域是［a,b ］， 指的是x ［a,b ］，要求f (x)的定义域就是x ［a,b ］时g(x)的值域。
高三一轮复习 函数的性质(偏难题)含答案
函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。
高三复习数学23_函数的性质(有答案)
2.3 函数的性质一、解答题。
1. 函数的单调性（1）单调函数的定义（2）单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是________或________，则称函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，________叫做函数y=f(x)的单调区间．2. 函数的最值3. 奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有________，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )就叫做奇函数．奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于________对称．4. 奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性________．5. 周期性（1）周期函数：对于函数y =f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y =f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中________的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．6. 判断下列各函数的奇偶性 （1）f (x )=(x −1)√1+x 1−x（2）f (x )=lg (1−x 2)|x 2−2|−2（3）f (x )={x 2+x,(x <0)0,(x =0)−x 2+x,(x >0)7. 设函数f (x )=(x+1)2+sin xx 2+1在区间[−2020,2020]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =________．8. 已知a >0，函数f (x )=x +ax (x >0)，证明函数f (x )在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．9. 求函数y =√x 2+x −6的单调区间．10. 函数f (x )=log 2(x +2016−ax )在[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．11. 已知函数f (x )对于任意x,y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)=−23． 求证：f (x )在R 上是减函数；求f (x )在[−3,3]上的最大值和最小值．12. 函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f(m +n)=f(m)+f(n)−1，并且x >0时，恒有f (x )>1．(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)=4，解不等式f (a 2+a −5)<2．13. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )=2x −x 2． 求证：f (x )是周期函数；当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；计算f (0)+f (1)+f (2)+⋯+f (2013)．14. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x +2)=−1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )=x ，则f (105.5)=________．15. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f(x +3)=−1f(x)，当1<x ≤3时，f (x )=cos πx 3，则f(2017)=________．16. 已知函数f (x )在R 上满足f(2−x)=f(2+x)，f (7−x )=f (7+x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)=f (3)=0． 试判断函数y =f (x )的奇偶性；试求方程f (x )=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．17. 已知f (x )是定义在[−1,1]上的奇函数，且f (1)=1，若a,b ∈[−1,1],a +b ≠0时，有f (a )+f (b )a+b >0成立．判断f (x )在[−1,1]上的单调性，并证明它；解不等式：f (x +12)<f (1x−1)；若f(x)≤m2−2am+1对所有的a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．18. 小结与反思___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________19. 函数f(x)在区间[−2,3]是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是（）A.[3,8]B.[−7,−2]C.[0,5]D.[−2,3]20. 下列函数中既是偶函数，又是区间[−1,0]上的减函数的是（）A.y=cos xB.y=−|x−1|C.y=ln2−x2+xD.y=e x+e−x21. 已知定义在R上的函数y=f(x)是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f(s2−2s)≥−f(2t−t2)，则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）A.[−2,10]B.[−2,16]C.[4,10]D.[4,16]22. 已知f(x)=3ax2+bx−5a+b是偶函数，且其定义域为[6a−1,a]，则a+b=（）A.17B.−1C.1D.723. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)等于（）A.−2B.2C.−98D.9824. （文）设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T=3，若f(1)≥1,f(2)=2a−3a+1，则a的取值范围是（）A.a<−1或a≥23B.a<−1 C.−1<a≤23D.a≤2325. （理）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)−2011，且当x>0时，有f(x)>2011，设M、N分别为f(x)在[−2012,2012]的最大值与最小值，则M+N的值为（）A.4022B.4024C.2011D.201226. 已知函数f (x )={x 2,x ≤1x +6x−6,x >1，则f (x )的最小值是________．27. 已知函数f (x )满足f (x +1)=1+f (x )1−f (x )，若f (0)=2004，f (2005)=________．28. （文）已知定义在R 上的函数y =f (x )，满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x +1)=1f (x )；②函数y =f (x +1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1,x 2∈[0,1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)． 则f (32),f (2)，f(3)从小到大排列是________．29. （理）设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )=(12)1−x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )=(12)x−3．其中所有正确命题的序号是________．30. 已知函数f (x )={x 2(x −1)(x ≥0)−x 2(x +1)(x <0)，判断它的奇偶性．31. 已知函数f (x )在定义域(0,+∞)上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1． 求f (9)，f (27)的值；解不等式：f (x )+f (x −8)<2．32. （文）如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v −c|×S 成正比，比例系数为110；（2）其他面的淋雨量之和，其值为12．记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d =100，面积S =32时．写出y的表达式；设0<v≤10，0<c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．33. （理）已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．参考答案与试题解析2.3 函数的性质一、解答题。
高中数学函数的性质高考真题训练(解析版)
函高中数学函数的性质高考真题一，函数的单调性1．（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，在(0,)+∞上为减函数，故选B ．2．（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】11()3()(3())()33x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．3．(2015湖南)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A 【解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,1)-，且12()lnln(1)11x f x x x +==---，易知211y x=--在(0,1)上为增函数，故()f x 在(0,1)上为增函数，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．4．(2015北京)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =+∞（0，）3y x =1y x =+21y x =-+2x y -=2x y -=【答案】B 【解析】四个函数的图象如下显然B 成立．5．(2013北京)下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】1y x =是奇函数，x y e -=是非奇非偶函数，而D 在单调递增．选C ． 6．(2013湖北)x 为实数，[]x 表示不超过的最大整数，则函数在上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【答案】D 【解析】由题意f (1．1)＝1．1－[1．1]＝0．1，f (－1．1)＝－1．－[－1．1]＝－1．1－(－2)＝0．9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a ，有f (a ＋x )＝a ＋x －[a ＋x ]＝x －[x ]＝f (x )，故f (x )在R 上为周期函数．故选D ．7．(2012天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为A ．cos 2,y x x R =∈B ．2log ||,0y x x R x =∈≠且C ．,2x xe e y x R --=∈ D ．31y x =+ 【答案】B 【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B ．8．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(0,)+∞1y x=x y e -=21y x =-+lg y x =(0,)+∞x ()[]f x x x =-RA B 3y x =- C D 【答案】D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D ．9．（2019北京理13）设函数 (a 为常数)，若为奇函数，则a =______； 若是上的增函数，则a 的取值范围是 ________．【答案】 【解析】①根据题意，函数，若为奇函数，则，即 ，所以对恒成立．又，所以．②函数，导数．若是上的增函数，则的导数在上恒成立，即恒成立，而，所以a ≤0，即a 的取值范围为． 10. (2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【答案】sin y x =（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不唯一．11．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是①()2x f x -= ②()3x f x -= ③3()=f x x④2()2=+f x x 【答案】①④【解析】①()2()2x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3()x x e f x e x =⋅，令3()x g x e x =⋅，则322()3(2)x x x g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，1y x =+1y x=||y x x =()e x x f x e a -=+()f x ()f x R 0]-∞（，e e x x f x a -=+（）f x （）f x f x -=-（）（）=e e e e x x x x a a --+-+（）()()+1e e 0x x a -+=x ∈R e e 0x x -+>10,1a a +==-e e x x f x a -=+（）e e x x f x a -'=-（）()f x R ()f x e 0e x x f x a -'-≥=（）R 2e x a ≤2e >0x 0]-∞（，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则22()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．12．(2012安徽)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________．【答案】6-【解析】由22()22a x a x f x a x a x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩可知()f x 的单调递增区间为[,)2a -+∞，故362a a -=⇔=-． 考点14 函数的奇偶性1．（2020全国Ⅱ文10）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减 【答案】A 【解析】∵函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， ∴函数()f x 为奇函数．又∵函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x -==在0,上单调递减，在,0上单调递减，∴函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选A ．2．（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[][)1,13,-+∞ B ．[][]3,10,1-- C ．[][)1,01,-+∞ D ．[][]1,01,3-【答案】D【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-，故选D ．3．（2019全国Ⅱ理14）已知是奇函数，且当时，．若，则__________．【答案】【解析】解析：，得，．4．（2019全国Ⅱ文6）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=，则当x <0时，f (x )=A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 设，则，所以f (-x )=，因为设为奇函数，所以，即，故选D ．()f x 0x <()e ax f x =-(ln 2)8f =a =3a =-ln2(ln 2)e (ln 2)8a f f --=-=-=-28a -=3a =-e 1x -e 1x --e 1x -+e 1x ---e 1x --+e 1x --()e 1x f x --=-()e 1x f x -=-+5．（2017新课标Ⅱ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(2)f = ．【答案】12【解析】∵()f x 是奇函数，所以32(2)(2)[2(2)(2)]12f f =--=-⨯-+-=．6．(2015新课标Ⅰ)若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =【答案】1【解析】由题意22()ln()()ln()=++=-=-+-f x x x a x f x x a x x ，所以22++=+-a x x a x x ，解得1a ．7．（2014新课标1）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A ．()f x ()g x 是偶函数B ．()f x |()g x |是奇函数C ．|()f x |()g x 是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【答案】B 【解析】()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，故()f x ()g x 为奇函数，()f x |()g x |为奇函数，|()f x |()g x 为偶函数，|()f x ()g x |为偶函数，故选B ．8．（2014新课标2）偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=__．【答案】3【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =对称，所以()(4)f x f x =-，()(4)f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()(4)f x f x =+，则(1)(41)(3)3f f f -=-==．9．(2015福建)下列函数为奇函数的是A ．y =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】∵函数y [0,)+∞，不关于原点对称，所以函数y =为非奇非偶函数，排除A ；因为|sin |y x =为偶函数，所以排除B ；因为cos y x =为偶函数，所以排除C ；因为()x x y f x e e -==-，()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，所以()x x y f x e e -==-为奇函数．10．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y =．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 【答案】D 【解析】选项A 、C 为偶函数，选项B 中的函数是奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数．11．(2014山东)对于函数()f x ，若存在常数0a ≠，使得x 取定义域内的每一个值，都有()(2)f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A．()f x = B ．2()f x x = C ．()tan f x x = D ．()cos(1)f x x =+【答案】D 【解析】由()(2)f x f a x =-可知，准偶函数的图象关于y 轴对称，排除A ，C ，而B 的对称轴为y 轴，所以不符合题意；故选D ．12．(2014湖南)已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()f x f x -=321x x ++，＝A ．－3B ．－1C ．1D ．3【答案】C 【解析】用x -换x ，得32()()()()1f x g x x x ---=-+-+，化简得32()()1f x g x x x +=-++，令1x =，得(1)(1)1f g +=，故选C ．13．(2014重庆)下列函数为偶函数的是A ．()1f x x =-B ．3()f x x x =+C ．()22x x f x -=-D ．()22x x f x -=+【答案】D 【解析】函数()1f x x =-和2()f x x x =+既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中()22x x f x -=-，则()22(22)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x =22x x --为奇函数，排除选项C ；选项D 中()22x x f x -=+，则()22()x x f x f x --=+=，所以()22x x f x -=+为偶函数，选D ．14．(2013辽宁)已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f += (),()f xg x (1)(1)f g +则A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】11lg 2lg lg(2)lg1022+=⨯==，()()3)13()]1f x f x x x +-=++-+3)3)2x x =++ln 33)2x x ⎡⎤=+⎣⎦2ln (3)2x ⎡⎤=-+⎣⎦ln122=+=． 15．(2013广东)定义域为的四个函数，，，中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】是奇函数的为与，故选C ．16．(2013山东)已知函数为奇函数，且当时， ，则= A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 【解析】()()112f f ---=-．17．(2013湖南)已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】由已知两式相加得，()13g =．18．(2013重庆)已知函数，，则A ．B ．C ．D ．R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =()f x 0x >()21f x x x=+()1f -3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈2(lg(log 10))5f =(lg(lg 2))f =5-1-34【答案】C 【解析】因为21(lg(log 10))(lg())(lg(lg 2))5lg 2f f f ==-=，又因为()()8f x f x +-=，所以(lg(lg 2))(lg(lg 2))5(lg(lg 2))8f f f -+=+=，所以3，故选C ．19．(2011辽宁)若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则a = (A)21 (B)32 (C)43 (D)1 【答案】A 【解析】∵))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，∴(1)(1)0f f -+=，得12a =． 20．(2011安徽)设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A ．－3B ．－1C ．1D ．3【答案】A 【解析】因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x时，2()2f x x x =-，∴2(1)(1)2(1)(1)3f f =--=-⨯-+-=-，选A ．21．(2014湖南)若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________．【答案】32-【解析】函数3()ln(1)x f x e ax =++为偶函数，故()()f x f x -=，即33ln(1)ln(1)x x e ax e ax -+-=++，化简得32361ln 2ln x ax x x e ax e e e +==+，即32361xax x x e e e e+=+，整理得32331(1)x ax x x e e e ++=+，所以230ax x +=，即32a =-． 考点15 函数的周期性1．(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50(lg(lg 2))f =【答案】C 【解析】∵()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x ，∴(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期为4，∴(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，(3)(12)f f =+ =(12)(1)2f f -=-=-，∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++⋅⋅⋅+=⨯++=+=f f f f f f f f ，故选C ．2．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时， ；当 时，；当 时，，则f (6)= A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．3．(2011陕西)设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是【答案】B 【解】 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B ，D 符合；由得是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤则((15))f f 的值为 ．3()1f x x =-11x -≤≤()()f x f x -=-12x >11()()22f x f x +=-()()f x f x -=()y f x =()y f x =y (2)()f x f x +=()y f x =【解析】因为函数()f x满足(4)()f x f x+=(x∈R)，所以函数()f x的最小正周期是4．因为在区间(2,2]-上，cos,02,2()1||,20,2xxf xx xπ⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤，所以1((15))((1))()cos24f f f f fπ=-===．5．(2016江苏)设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，(),10,2,01,5x a xf xx x+-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩≤≤其中a∈R，若59()()22f f-=，则()5f a的值是．【答案】25-【解析】由题意得511()()222f f a-=-=-+，91211()()225210f f==-=，由59()()22f f-=可得11210a-+=，则35a=，则()()()325311155f a f f a==-=-+=-+=-．6．(2014四川)设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f=．【答案】1【解析】2311()()4()21222f f=-=-⨯-+=．7．(2012浙江)设函数()f x是定义在R上的周期为2的偶函数，当[0,1]x∈时，()1f x x=+，则3()2f=_______________．【答案】【解析】．考点16 函数性质的综合应用32331113()(2)()()1222222f f f f=-=-==+=1．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（） C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C 【解析】 是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以． 故选C ．2．(2014福建)已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是A ．()x f 是偶函数B ．()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,1【答案】D 【解析】2()1,()1f f πππ=+-=-，所以函数()x f 不是偶函数，排除A ；因为函数()x f 在(2,)ππ--上单调递减，排除B ；函数()x f 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 不是周期函数，选D3．（2017新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤ 的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x --≤≤即为()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log )(log 4)4f f =33log 4log 31>=2303202221--<<<=23323022log 4--<<<()f x (0,)+∞233231(2)(2)(log )4f f f -->>(1)(2)(1)f f x f --≤≤，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ．4．(2016全国II) 已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】由()()2f x f x -=-得()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，对称， 而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 5（2915新课标2，文12）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[来源：Z*xx*k ．Com]【答案】A【解析】由可知是偶函数，且在是增函数，所以 ．故选A ． 6．（2014卷2，理15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x 的取值范围是__________．【答案】（-1，3）．【解析】∵()f x 是偶函数，∴(1)0(1)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴12x -<，解之：13x -<<21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<7．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，所以0.822log 5.13<<，故b a c <<，选C ．8．(2014辽宁)已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434 D ．3113[,][,]4334-- 【答案】A 【解析】当102x ≤≤时，令1()cos 2f x x π=≤，解得1132x ≤≤，当12x >时，令1()212f x x =-≤，解得1324x <≤，故1334x ≤≤．∵()f x 为偶函数，∴1()2f x ≤的解集为3113[,][,]4334--⋃，故1(1)2f x -≤的解集为1247[,][,]4334⋃ 9．(2016天津)已知f (x )是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增．若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______．【答案】13(,)22【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减，又，，可得，． 10．（2017江苏）已知函数31()2x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()f x ()0-∞，()0+∞，()(12a f f ->(f f =12a -<112a -<∴1322a <<2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1[1,]2-【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．31()2e ()e xx f x x f x x -=-++-=-()fx 22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+()f x R 21)02()(f f a a +-≤2())2(1a a f f ≤-221a a ≤-2120a a +-≤112a -≤≤a 1[1,]2-。
函数的基本性质高考历年真题
函数的基本性质 真题一、选择题（本题共15道小题，每小题5分，共75分） 1.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x =C.ln y x =D.y x = 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2x D f x -= 3.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =4.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=5.下列函数为偶函数的是（ ）A.()1f x x =-B.()2f x x x =+ C.()22xxf x -=- D.()22xxf x -=+6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x-. 则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为（ ）A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}- 7.下列函数为奇函数的是（ ）A ．x x 22+B ． 1cos 2+xC ． x x sin 3D ．xx 212- 8.已知a 、b 、c R ，函数f(x)=ax 2+bx+c .若f(0)=f(4)>f(1)，则（ ）A 、a>0,4a+b=0B 、a<0,4a+b=0C 、a>0,2a+b=0D 、a<0,2a+b=09.(8) 设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ） (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a << (C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<10.(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]11.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg y x = 12.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） (A)2 (B)1 (C)0 (D)-213.函数()f x =的定义域为（ ） (A)(-3，0] (B) (-3，1](C) (,3)(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--14.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞15.函数1()ln(1)f x x =++ ）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-试卷答案1.B 对于选项A ，在R 上是减函数；选项C 的定义域为(0,)+∞；选项D ，在(,0)-∞上是减函数，故选B. 【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. 2.A3.BB y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+4.B 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数图像的翻折变换，难度较小.选项A为奇函数，C 、D 在),0(+∞均为减函数，故选B.5.D 利用奇偶性的判断法则：()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
专题03 基本函数及其性质-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
2
=
f
−
5 2
+
2
=
f
−
1 2
f
−
1 2
=
f
−
3 2
+1
=
−
f
3 2
+ 1
=
−
f
5 2
−
f
5 2
=
−
f
1 2
+
2
=
−
f
−
1 2
+
2
=
−
f
3 2
所以
f
9 2
=
−
f
3 2
=
5 2
．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 f ( x) 的周期T = 4 ．
列命题中为真命题的是（ ）
A． p q
B． p q
C． p q
D． ( p q)
【答案】A
【分析】由于 −1 sin x 1 ，所以命题 p 为真命题； 由于 x 0 ，所以 e|x| 1 ，所以命题 q 为真命题；
所以 p q 为真命题， p q 、 p q 、 ( p q) 为假命题. 故选：A．
4．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． f ( x) = −x
B．
f
(x)
=
2 3
x
C． f ( x) = x2
D． f ( x) = 3 x
【答案】D
【分析】对于 A， f ( x) = −x 为 R 上的减函数，不合题意，舍.
对于
B，
f
(x)
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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（学生版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．210．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(312．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D 13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( ) A ．(,1)-∞B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2B ．1C ．1-D ．2-15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -=B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)2+ D ．(-∞ 19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[1-，1]C ．[0，4]D ．[1，3]20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x +21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(mi i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ．23．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（教师版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】1()3()333x x x x f x -=-=-，()33()x x f x f x -∴-=-=-，即函数()f x 为奇函数，又由函数3x y =为增函数，1()3x y =为减函数，故函数1()3()3x x f x =-为增函数，2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈【答案】B【解析】对于A ，令()cos2y f x x ==，则()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==，为偶函数，而()cos2f x x =在[0，]2π上单调递减，在[2π，]π上单调递增，故()cos2f x x =在(1，]2π上单调递减，在[2π，2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令2()log ||y f x x ==，x R ∈且0x ≠，同理可证()f x 为偶函数，当(1,2)x ∈时，22()log ||log y f x x x ===，为增函数，故B 满足题意；对于C ，令(),2x xe e yf x x R --==∈，()()f x f x -=-，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；故选：B ．3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】奇函数()f x 在R 上是增函数，221(log )(log 5)5a f f ∴=-=，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，又0.822122log 4.1log 5<<<<，0.822(2)(log 4.1)(log 5)f f f ∴<<，即c b a <<．4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】()f x 为偶函数；()()f x f x ∴-=；||||2121x m x m ---∴-=-；||||x m x m ∴--=-；22()()x m x m --=-；0mx ∴=；0m ∴=；||()21x f x ∴=-；()f x ∴在[0，)+∞上单调递增，并且0.52(|log 3|)(log 3)a f f ==，2(log 5)b f =，(0)c f =； 220log 3log 5<<；c a b ∴<<．故选：C ．5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则212(log )(log )2f a f a f +（1）为：2(log )f a f （1），因为函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，所以2|log |1a ，解得122a ， 则a 的取值范围是1[2，2]，故选：A ．6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<【答案】A【解析】(4)()f x f x -=-，(8)(4)()f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则(11)f f =（3）(34)(1)f f f =--=--=（1），(80)(0)f f =，(25)(1)f f -=-， ()f x 是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，()f x ∴在区间[2-，2]上是增函数，(1)(0)f f f ∴-<<（1），即(25)(80)(11)f f f -<<，故选：A ． 7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】C【解析】1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x --> 21x x ∴>时，21()()f x f x >()f x ∴在(-∞，0]为增函数()f x 为偶函数()f x ∴在(0,)+∞为减函数，而110n n n +>>-， (1)()(1)f n f n f n ∴+<<-，(1)()(1)f n f n f n ∴+<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)【答案】D【解析】由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，即x 与()f x 异号，而f （1）0=，则(1)f f -=-（1）0=，又()f x 在(0,)+∞上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上也为增函数， 当01x <<时，()f x f <（1）0=，得()0f x x<，满足； 当1x >时，()f x f >（1）0=，得()0f x x>，不满足，舍去； 当10x -<<时，()(1)0f x f >-=，得()0f x x<，满足； 当1x <-时，()(1)0f x f <-=，得()0f x x>，不满足，舍去； 所以x 的取值范围是10x -<<或01x <<．故选：D ．9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1．f ∴（6）f =（1）， 当11x -时，()()f x f x -=-，f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-，(1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=，f ∴（6）2=． 10．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D 【解析】()[]f x x x =-，(1)(1)[1]1[]1[]()f x x x x x x x f x ∴+=+-+=+--=-=，()[]f x x x ∴=-在R 上为周期是1的函数．故选：D ．11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(3【答案】B【解析】当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)11(0)y x y m -+==相交，而与第三个半椭圆222(8)11y x m -+==(0)y 无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)11y x m -+==(0)y 得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m ，同样由3x y =与第三个椭圆222(8)11y x m -+==(0)y 由△0<可计算得m <，综上可知m ∈故选：B ．12．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D 【答案】D 【解析】()f x 的最小正周期是π55()(2)()333f f f ππππ∴=-=-函数()f x 是偶函数5()()sin 333f f πππ∴===．故选：D ． 13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( ) A ．(,1)-∞ B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】令232(1)(2)0t x x x x =-+=-->，求得1x <或2x >，故函数的定义域为{|1x x <或2x >}，()f x lnt =，本题即求函数t 在定义域内的增区间． 结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2,)+∞，故选：D ．14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】可令245t x x =++，由12()log f x t =在(0,)+∞递减，可得245t x x =++在(,)a +∞是增函数，且0t >在(,)a +∞恒成立，可得2a -且2450a a ++，解得2a -，则a 的最小值是2-．故选：D ．15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称， 故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称，故122mi i mx m ==⨯=∑，故选：B ．16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】当()2x f x -=时，函数()()2x x ee f x =在R 上单调递增，函数()f x 具有M 性质，17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞【答案】C 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减． |1|20a ->，(f f =，1|1|222a -∴<．1|1|2a ∴-<，解得1322a <<．故选：C ． 18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)2+D ．(-∞ 【答案】A【解析】取12a =-时，1()||2f x x x x =-+，()()f x a f x +<，11()||1||22x x x x ∴--+>， （1）0x <时，解得304x -<<；（2）102x 时，解得102x ；（3）12x >时，解得1524x <<， 综上知，12a =-时，3(4A =-，5)4，符合题意，排除B 、D ；取1a =时，()||f x x x x =+， ()()f x a f x +<，(1)|1|1||x x x x ∴+++<，（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上，1a =，A =∅，不合题意，排除C ，故选：A ．19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( )A ．[2-，2]B ．[1-，1]C ．[0，4]D ．[1，3] 【答案】D【解析】函数()f x 为奇函数．若f （1）1=-，则(1)1f -=，又函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，1(2)1f x --， f ∴（1）(2)(1)f x f --，121x ∴--，解得：[1x ∈，3]， 故选：D ．20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x + 【答案】C【解析】根据题意，函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称， 则有()(1)f x ln x -=-，则()(1)f x ln x =--；故选：C ．21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(m i i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=， 可得()f x 关于点(0,1)对称，函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点(0,1)对称， 即有1(x ，1)y 为交点，即有1(x -，12)y -也为交点，2(x ，2)y 为交点，即有2(x -，22)y -也为交点，⋯则有11221()()()()mi i m m i x y x y x y x y =+=++++⋯++∑111122221[()(2)()(2)()(2)]2m m m m x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-m =． 二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ． 【答案】1(2，3)2【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在区间[0，)+∞上单调递减，则|1|(2)(a f f ->，等价为|1|(2)a f f ->，即|1|2a -<1|1|2a -<，即1322a <<，故答案为：1(2，3)223．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．【答案】(1,3)- 【解析】偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，∴不等式(1)0f x ->等价为(1)f x f ->（2），即(|1|)f x f ->（2），|1|2x ∴-<， 解得13x -<<，故答案为：(1,3)-24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．【答案】0 【解析】定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8， 当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，(25)(831)f f f ∴=⨯+=（1）(1)110f =-=-+=． 故答案为：0．25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ． 【答案】10-【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩，311()()1222f f a ∴=-=-，14()23b f +=；又13()()22f f =，14123b a +∴-=① 又(1)f f -=（1），20a b ∴+=，②由①②解得2a =，4b =-；310a b ∴+=-．故答案为：10-．。