19初等数论
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初等数论初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和特殊的数学关系。
它是数学发展的基础，对于数学中的许多其他分支，如代数、几何和数值分析都具有重要的影响。
初等数论可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们对整数之间的关系进行了研究，并推导出了许多重要的结论。
在初等数论中，最基础的概念是整数和素数。
整数是自然数、负自然数和零的总称，它们可以用来表示数量。
素数是只能被1和自身整除的正整数，它们没有其他的因子。
素数在初等数论中具有重要的地位，因为他们是其他整数的构成单元。
在初等数论中，我们可以探讨整数的因子分解。
因子分解是将一个整数表示为素数的乘积的过程。
例如，将数字20分解成素数的乘积可以得到2×2×5=20。
因子分解在数论中起着重要的作用，它有助于我们理解整数之间的数学关系。
初等数论中的另一个重要概念是最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是两个整数中能够同时被整除的最大的正整数。
最小公倍数是能够同时整除两个整数的最小的正整数。
最大公约数和最小公倍数可以帮助我们解决一些实际问题，比如找到最简分数、解线性方程等。
初等数论中还有一个重要的概念是同余。
同余是指两个整数除以一个正整数得到的余数相同。
例如，当两个整数被3除得到的余数相同时，我们可以说这两个整数互为3的同余数。
同余关系在数论中起着重要的作用，它可以帮助我们研究整数之间的性质和特殊的数学规律。
初等数论还涉及到数论函数的研究。
数论函数是定义在整数上的函数，它们可以帮助我们描述整数的性质和特征。
常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
这些函数在数论中有广泛的应用，可以帮助我们研究素数分布、整数方程的解等问题。
除了以上几个基本概念，初等数论还包括一些其他的内容，如二次剩余、费马小定理、威尔逊定理等。
这些概念和定理都有着重要的理论意义和实际应用。
初等数论在数学中具有广泛的应用。
它不仅是其他数学分支的基础，还有着许多实际应用。
例如，在计算机科学中，初等数论可以帮助我们设计和分析算法、构建密码系统等。
19初等数论
第19章 初等数论
19.1 素数 19.2 最大公约数与最小公倍数 19.3 同余 19.4 一次同余方程 19.5 欧拉定理和费马小定理 19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用
54-3
19.1 素数
整除、倍数和因子 带余除法 素数与合数 算术基本定理 筛法
54-4
整除、倍数和因子
证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法 ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2, rk1=qkrk, gcd(a,b)=rk.
把上式改写成 ri+2= riqi+1ri+1, i=k2,k3,…,0 从后向前逐个回代, 就可将 rk 表成 a 和 b 的线性组合.
54-22
54-20
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b). 做带余除法 a=qb+r, 0≤r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≤r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程,
54-6
素数与合数
定义19.1 素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数 合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
性质19.6如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质19.7设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
整除理论——小学数学教学中的初等数论问题
图5辗转相除法
而在大学的初等数论教材中，也提到了“最大公因数与辗转相除法”这一章节，其中求最大公因数的方法同样是辗转相除法．具体方法见下列例题：
(1)a=-1859，b=1573，求最大公因数
即求(-1859，1573)=(1859，1573)
(2)a=169，b=121，求最大公因数
经常使用的数的整除特征都有
①2|N?2|a_0
②5|N?5|a_0
③3|N?3|a_0+a_1+?a_n
④9|N?9|a_0+a_1+?a_n
⑤11|N?11|〖(a〗_0+a_2+?)-〖(a〗_1+a_3+?)
根据初等数论中所提到的可除性基本定理，就可以证明经常使用的数的整除性特征成立，虽然所使用的证明方法和过程在小学的数学学习阶段难以使用，但是如果教师本身能够掌握住其中所渗透的数论原理，根据知识的难易程度以及学生对知识的接受能力进行有针对性地进行渗透，便可以帮助学生更好地进行吸收知识．
②若所取的五个正整数中同类的个数有两个，必然有一类可取一个，把各类各取一个：
3n_1+3n_2+1+3n_3+2=3（n_1+n_2+n_3）+3
例2写出一个正整数能被11整除的必要条件并证明．
解一个正整数能被11整除的充要条件：
该正整数a=a_n1000^n+a_(n-1)1000^(n-1)?+a_11000+a_0(0?a_i?1000)，11能整除
截止到目前，已有众多的学者对数论的发展现状以及发展前景进行了深刻的研究，更有学者强调了数论在大学阶段小学教育专业开设课程的必要性．同时，也有部分学者对初等数论在离散数学和高中数学知识竞赛中的应用进行了分析，但是从整体方面来看，对数论在中小学数学知识学习中的研究相对而言较少．所以，本文主要研究初等数论在义务教育阶段学生学习数学知识过程中的应用．
初等数论简介
初等数论初等数论是研究整数最基本性质的一个数学分支，它也是数学中最古老的分支之一，至今仍有许多没有解决的问题。
初等数论是数学中“理论与实践”相结合最完美的基础课程。
近代数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是对整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域内得到广泛的应用。
在日常生活中，也常会遇到一些数论问题。
具体内容1．整数的可除性：了解整除的概念，掌握带余数除法及其运用；理解最大公因数的基本概念及其性质，掌握用辗转相除法求整数的最大公因数。
掌握整除的性质及其运用，会求整数的最小公倍数。
掌握两个整数的最小公倍数与最小公因数的关系。
了解质数基本概念与性质，理解算术基本定理及其证明，会运用算术基本定理解决问题。
了解函数[x]，{x}的基本性质，运用这两个函数解决n!的标准分解式。
2．不定方程：掌握二元及多元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握一次不定方程的求解。
勾股数公式的推导及其运用，了解费尔马问题及无穷递降法。
3．同余：理解同余的概念及其基本性质，掌握检查因数的一些方法和弃九法。
了解剩余类及完全剩余系的性质，并会加以运用。
了解简化剩余系及其性质，会推导欧拉函数，知道它的简单运用。
应用简化剩余系的性质证明Euler定理和Fermat定理，运用欧拉定理研究循环小数；欧拉定理与费马定理的综合运用。
了解同余在信息安全与密码中的运用。
4．同余式：了解同余式的基本概念，掌握一次同余式的求解；理解孙子定理，会解模互素的一次同余式组的求解。
了解一般一次同余式组的解法，掌握高次同余式的解数及解法。
理解质数模的同余式解数的有关定理，并予初步运用。
5.连分数：掌握连分数的基本性质、把实数表成连分数和循环连分数，了解连分数在天文中的运用。
初等数论是数论的一个分支。
它以算术方法为主要的研究方法，而区别于数论的其他分支。
公元前6世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯就已研究过整数的可除性问题，例如，当时已经知道正整数中有奇数、偶数、素数、复合数等各种类型的数。
《初等数论》教学大纲
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论基本思想方法总结
初等数论基本思想方法总结初等数论是研究整数性质及其关系的数学分支，它包括了数的整除性质、最大公因数、素数分解等基本概念和理论。
初等数论的基本思想方法总结如下：1. 数的分类：在初等数论中，数的分类是非常重要的一步。
我们把整数分为偶数和奇数、正整数和负整数、完全平方数和非完全平方数等等。
这样的分类有助于我们更好地理解和描述数的性质。
2. 递归思想：初等数论中经常使用递归思想。
例如，整数的定义是基于自然数的递归定义。
在证明一些性质的时候，我们也可以使用数的递归性质来进行推导。
递归思想在解决问题时，常常能够将复杂的问题简化为简单的子问题。
3. 数的整除性质：整除是初等数论最基本的概念之一。
在初等数论中，我们要研究一个数能否被另一个数整除、两个数的最大公因数等问题。
对于整除性质的研究，我们常常使用带余除法、最大公因数等概念和定理。
4. 素数和合数：素数和合数是初等数论中重要的概念。
我们称大于1且只能被1和它本身整除的数为素数，否则我们称之为合数。
素数的性质在初等数论中有着重要的地位，素数分解定理将任意一个正整数表示为若干个素数的乘积，具有重要的理论和应用价值。
5. 辗转相除法：辗转相除法是初等数论中常用的算法之一。
它用于求两个数的最大公因数，通过不断地进行除法运算，将两个整数的最大公因数转化为较小整数的最大公因数，直到其中一个数为0为止。
6. 数的因子分解：在初等数论中，我们常常需要将一个数分解为几个素数和幂的乘积。
这种分解是数的因子分解，可以通过素数分解定理和辗转相除法来实现。
7. 同余：同余是初等数论中重要的概念和方法之一。
两个整数除以一个正整数所得的余数（都是非负整数）相等，我们就说这两个数对于这个正整数是同余的。
同余关系可以用来刻画整数的性质和关系，也可以用来解决一些问题。
8. 数的循环节性：在初等数论中，很多整数序列会出现循环节。
例如，10进制小数中的循环节、数的幂的个位数循环节等等。
这样的循环节性质可以通过数的除法和模运算来进行研究和验证。
NOIP初赛复习19数论算法基础
线性同余方程组
求解过程如下： ①一开始方程的解表示为 x,系数 1,常数为 0,代入方程 1 得：5x+6y=2,解得 x=-2+6*k ②解完方程 1,方程组的解为 6x-2,系数为 6,常数为-2,把 6x-2 代入方程 2 中的 x 得： 2*(6x-2)+8y=4 即 12x+8y=8 解得 x=2+2k,把 x=2+2k 代入原来的解 6x-2 中得 6(2k+2)-2=12k+10,解 12k+10 满足方程 1 和方程 2 ③把 12x+10 代入方程 3 中的 x 得： 4(12x+10)+9y=1 即 48x+9y=-39,解得 x=65+3k, 代入 12x+10 得 36k+790,也可以写成 36k+790 mod 36=36k+34 ④因此,符合方程组的一般解为 36k+34,最小的正整数解为 34 程序如下：
欧拉函数的计算可以在分解质因子过程中完成。程序如下：
素数—素数的判定 问题：判定一个数 n 是否是素数。 分析：如果 n 是合数，则一定可以把分解 a*b 的形式，其中 a<=b,a!=1,b!=n,如 18=2*9,18=3*6。则有：a*a<=a*b=n 判断依据：如果 2 到 理。 程序如下： => a<=
方法 4：二进制法，程序如下：
最小公倍数 问题：计算 n 个整数 a1,a2,...,an 的最小公倍数 分析：两个数 a1,a2 的最小公倍数 lcm(a1,a2)=a1*a2/gcd(a1,a2) lcm(a1,a2,a3)=lcm(lcm(a1,a2),a3)，以此类推，可以先求 a1,a2 的最小公倍数 b1， 再求 b1 与 a3 的最小公倍数 b2,再求 b2 与 a4 的最小公倍数 b3...，程序如下：
高中数学：“初等数论”
高中数学：“初等数论”一、知识点概述初等数论是研究自然数的性质及其相互关系的一门数学学科，其研究对象是自然数和它们的运算。
初等数论主要研究质数、公因数和最大公因数、同余、数的分解、勒让德符号、二次剩余等数论基础知识。
二、重点概念解释1. 质数：大于1的自然数，除1和它本身外，不能被其它自然数整除的数字称为质数。
2. 素数：素数是指只有1和它本身两个约数的数。
3. 最大公因数：指两个或两个以上整数共有约数中，最大的一个。
4. 同余：对于任意整数a、b、n（n≠0），若n|(a-b)，则称a与b在模n条件下同余，记作a≡b(mod n)。
5. 勒让德符号：勒让德符号（Legendre Symbol）是一种特殊的符号，用来判断一个整数是否是二次剩余，即其是否满足某些特殊性质。
三、典型例题分析例题1：求最大公因数gcd(100, 80)。
答案：首先列出100=2^2×5^2，80=2^4×5，公共因子为2^2×5，即gcd(100,80)=20。
例题2：判断71^25与81在模10下是否同余。
答案：将71=7×10+1，用费马小定理得7^4≡1(mod 10)，于是71^25≡(7×10+1)^25≡7^25≡7(mod 10)。
又81≡1(mod 10)，因此不同余。
例题3：判断21与31在模5下是否有逆元。
答案：首先求21与31分别除以5的余数为1和1，因为1和5互素，所以1有逆元，然后判断31在模5下是否有逆元：31除以5余1，31与5不互素，因此31在模5下没有逆元。
例题4：求解同余方程3x≡4(mod 5)。
答案：gcd(3,5)=1，因此同余方程有解。
将方程两边乘以3的逆元2（即2×3≡1(mod 5)）得到6x≡8(mod 5)，即x≡3(mod 5)。
因此，同余方程的解为x≡3(mod 5)。
例题5：对于勒让德符号(a/p)，当p为素数，a为整数时，有以下性质：i. (a/p)=0当且仅当a≡0(modp)。
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例5 求210与715的最大公因子 解 715=3×210+85, 210=2×85+40, 85=2×40+5, 40=8×5. 得 gcd(715, 210)=5.
54-21
关于最大公因子的一个定理
定理19.7 设a 和 b 不全为0, 则存在整数 x 和 y 使得 gcd(a,b) = xa+yb. 证 记a=r0, b =r1, 做辗转相除法
a. 根据性质19.2, p也是a 的因子, 结论也
成立.
54-13
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解
157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11.
检查结果如下: 2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
54-17
最大公约数与最小公倍数(续)
定理19.5 (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≢r<M. 由a | m, a | M, 及r=mqM, 可推出a | r. 同理, 有b | r. 即, r是a 和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M | m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结 论成立. 否则m>D, 注意到d |a, D|a, 由(1), 得m |a. 同理, m |b. 即, m是a和b的公因子, 与D是a和b的最大公约数矛盾.
(n)
n/ln n
1.159
1.132
1.104
1.085
1.071
54-11
素数的分布(续)Biblioteka 补充定理 当n≣67时,3 n 1 ln n ln n 2 ( n) 2
定理19.3 (素数定理)
n
lim
( n)
n / ln n
1
54-12
素数测试
定理19.4 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的真因子.
max( max( max( p1 r1 , s1 ) p2 r2 , s2 ) pk rk , sk ) lcm(a,b)=
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数. 解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23）
结论：161是合数.
54-14
埃拉托斯特尼(Eratosthene)筛法
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
性质19.3 设 m≠0, 则 a |b 当且仅当 ma | mb.
性质19.4 若a | b且b | a, 则a=±b. 性质19.5 若a | b且b≠0, 则|a|≢|b|.
54-6
素数与合数
定义19.1
素数(质数):大于1且只能被1和自身整除的正整数
合数: 大于1且不是素数 例如, 2,3,5,7,11是素数, 4,6,8,9是合数.
54-10
素数的分布(续)
(n): 小于等于n的素数个数. 例如 (0)=(1)=0, (2)=1, (3)=(4)=2, (5)=3.
n
103
168 145
104
1229 1086
105
9592 8686
106
78498 72382
107
664579 620421
(n)
n/ln n
解 21560=23×5×72×11 由推论, 21560的正因子的个数为4×2×3×2=48. 例2 10!的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的0? 解 2, 3, 4=22, 5, 6=2×3, 7, 8=23, 9=32, 10=2×5. 得 10!=28×34×52×7, 故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.
54-18
最大公约数与最小公倍数(续)
利用整数的素因子分解, 求最大公约数和最小公倍数. 设
r r r s s s a p11 p22 pkk , b p11 p22 pkk , 其中p1,p2,…,pk是不同的素数, r1,r2,…,rk,s1,s2,…,sk是非负
整数. 则 min( r , s ) min( r , s ) min( r , s ) gcd(a,b)= p1 1 1 p2 2 2 pk k k ,
定理19.8 整数a和b互素的充分必要条件是存在整数x和y使得
xa+yb=1
证 必要性可由定理11.7得到. 充分性. 设xa+yb=1, x和y是整数. 又设d>0是a和b的公因子, 有
d |xa+yb, 即 d |1. 从而 d=1, 得证a和b互素.
r r p1r1 p22 pkk , 其中p1,p2,…,pk是不相同的素数, 推论 设a=
r1,r2,…,rk是正整数, 则正整数d为a的因子的充分必要条件 是d= p11 p22 pkk, 其中0≤si≤ri, i=1,2,…,k.
54-8
s s s
例题
例1 21560有多少个正因子?
ri=qi+1ri+1+ri+2, i=0, 1,…,k2,
rk1=qkrk,
gcd(a,b)=rk.
把上式改写成 ri+2= riqi+1ri+1, i=k2,k3,…,0
从后向前逐个回代, 就可将 rk 表成 a 和 b 的线性组合.
54-22
实例
例5(续) gcd(715, 210)=5
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
性质19.6如果d>1, p是素数且d | p, 则d=p. 性质19.7设p是素数且p | ab, 则必有p | a 或者 p | b. 设p是素数且p | a1a2…ak, 则必存在1≢i≢k, 使得p| ai. 性质19.8 a>1是合数当且仅当a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a . 性质19.9合数必有素数因子. 注意:当d不是素数时,d | ab不一定能推出d | a或d | b.
因子, 即d |b且d |r. 注意到, a=qb+r, 故有d |a. 从而, d |a且d |b, 即d也是a与b的公因子.
54-20
辗转相除法—欧几里得(Euclid)算法
设整数a, b, 且b≠0, 求gcd(a,b).
做带余除法 a=qb+r, 0≢r<|b|. 若r=0, 则gcd(a,b)=b; 若r>0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0≢r< r. 若r=0, 则gcd(a,b)=gcd(b,r)= r; 否则重复上述过程, 直至余数等于0为止.
证 由性质19.8, a=bc, 其中1<b<a, 1<c<a. 显然, b和c中 必有一个小于等于 a . 否则, bc>( a )2=a, 矛盾. 推论 如果a是合数, 则a必有小于等于 a 的素因子. 证 由定理19.4, a有小于等于 a 的真因子b. 如果b是素数, 则结论成立. 如果b是合数, 由性质19.9和性质19.5, b有 素因子p<b≤
54-7
算术基本定理
r r r 定理19.1(算术基本定理) 设a>1, 则 a= p11 p22 pkk , 其中 p1,p2,…,pk是不相同的素数, r1,r2,…,rk是正整数, 并且在不 计顺序的情况下, 该表示是惟一的. 该表达式称作整数a的 素因子分解. 例如 30=2×3×5, 117=32×13, 1024=210
今后只考虑正整数的正因子.
平凡因子 : 1和自身
真因子 : 除1和自身之外的因子 例如, 2, 3 是 6 的真因子
54-5
整除的性质
带余除法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b 例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0 b|a 当且仅当 a mod b =0 性质19.1 若a |b且a |c, 则 x, y, 有a | xb+yc. 性质19.2 若a |b且b |c, 则a |c.
54-9
素数的分布
定理19.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
梅森数(Marin Mersenne): 2p1, 其中p为素数 当n是合数时, 2n1一定是合数, 2ab1=(2a1)(2a(b1)+2a(b2)+…+2a+1). 梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=23×89是合数. 到2002年找到的最大梅森素数是2134669171, 有4百万位.