七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲 二次根式的性质和运算(含答案)
初中数学数学二次根式的专项培优练习题(含答案
一、选择题1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（ ）A ．6B ．6-C ．6或6-D ．无法确定2．下列计算正确的为（ ）． A ．2(5)5-=- B ．257+=C ．6432+=+D ．362=3．下列计算结果正确的是（ ） A ．2+5=7 B ．3223-= C ．2510⨯=D ．25105= 4．下列计算正确的是（ ） A ．2510⨯= B ．623÷= C ．12315+= D ．241-= 5．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣16．下列计算正确的是（ ） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =（a≥0，b≥0）7．1x -x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1B ．x >1C ．x ≤1D ．x <18．下列计算正确的是（ ） A ．333=1B 23=5C ．12=22D ．322=52+9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A 1a +1a -B 3和13C 2a b 2abD 31810．如果实数x ，y 23x y xy y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上二、填空题11．若m 20161-m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．化简并计算：()()()()()()()1111...112231920xx x x x x x x ++++=+++++++________．（结果中分母不含根式）13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．15．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．16．把1m m-根号外的因式移到根号内，得_____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0化简43252a c b=___________ 18．已知4a，化简：2(3)|2|a a +--=_____．19．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．三、解答题21．若x ，y 为实数，且y 14x -41x -12．求x y y x ++2－xy y x +-2的值． 2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =14，此时y =12．即可代入求解．【详解】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵x y y x ++2－x yy x +-2＝－| ∵x ＝14，y ＝12，∴ x y ＜y x．∴+当x ＝14，y ＝12时，原式＝．【点睛】（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-; (2)已知a 、b+b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b=0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.24．先化简再求值：4y x⎛-⎝，其中30x-=．【答案】(2x-【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x，y的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．25．计算：（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4 【答案】（1）-5;（2）9 【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--， 5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．27．（1）计算)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭（2）已知,,a b c 为实数且2c =2c ab-的值【答案】（1）13；（2）12-【分析】（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】 （1）)(2201113-⎛⎫--•- ⎪⎝⎭31=+⨯=4+9=13；（2）根据二次根式有意义的条件可得：∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-+≥⎪⎩， ∴3a =，1b =-，∴2c =∴(()2223112c ab -=-⨯-=-【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．28．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】=-a-(-b)=b-a=-6.故选B 2．D解析：D 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D 2=，正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．3．C解析：C 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可． 【详解】A 不能合并，故A 选项错误；B ．-=B 选项错误；C =D5==，故D 选项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．4．A解析：A 【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案． 【详解】 解：A.252510⨯=⨯=，计算正确；B. 62623÷=÷=，原式计算错误；C. 12323333+=+=，原式计算错误；D. 24220-=-=，原式计算错误； 故应选：A 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．5．C解析：C 【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围． 解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ，即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ．点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.6．D解析：D366=，故A 不正确； 根据二次根式的除法，可直接得到42222=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确； ·a b ab = （a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D7．A解析：A 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数x -1≥0，解不等式即可． 【详解】 解：根据题意，得x-1≥0，解得x≥1．故选A．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．8．C解析：C【解析】分析：根据二次根式的四则混合运算法则，二次根式的性质与化简逐项进行分析解答即可．详解：A．=，故本选项错误；B．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误；C．正确；D．不是同类二次根式，不能进行合并，故本选项错误．故选C．点睛：本题主要考查二次根式的化简，二次根式的四则运算法则，解题的关键是正确根据相关法则逐项进行分析解答．9．B解析：B【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;BCD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．D解析：D【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．【详解】=-∴x、y异号，且y>0，∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．∴那么点(),x y在第二象限或坐标轴上．故选：D．【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可.【详解】m，m∴m3-m2-2017m+2015=m2（m﹣1）﹣2017m+2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式===【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．13．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)=∴20163p q =-，p=2016-62016+9q,∴p=14x 3(其中x 为正整数)， 同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。
二次根式及经典习题与答案
二次根式及经典习题与答案二次根式的知识点汇总二次根式的概念是指形如√a的式子，其中被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
需要注意的是，因为负数没有平方根，所以当a<0时，二次根式无意义。
为了使二次根式有意义，只需要满足被开方数大于或等于零，即a≥0.此外，二次根式的非负性也是一个重要的知识点，即√a表示a的算术平方根，且当a≥0时，√a是一个非负数。
二次根式的性质包括：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是，当被开方数是负数时，需要先将其化为绝对值形式，再根据绝对值的意义进行化简。
综上所述，二次根式的知识点包括概念、取值范围、非负性、性质等。
在解题时，需要注意化简时的符号变化和取值范围的限制。
4.当x满足什么条件时，(1-x)²是一个二次根式。
5.在实数范围内分解因式：x⁴-9=(x²+3)(x²-3)，x²-22x+2=(x-11-√119)(x-11+√119)。
6.若4x²=2x，则x的取值范围是x=0或1/2.7.已知(x-2)²=2-x，则x的取值范围是x=1-√2或1+√2.8.化简：x²-2x+1÷(x-1)，结果是x-1.9.当1≤x≤5时。
10.把a-√a的根号外的因式移到根号内，等于√a(a-1)。
11.使等式(x-1)²+x-5=。
成立的根号外的因式是x-1.12.若a-b+1和a+2b+4互为相反数，则(a-b)²=4.13.在式子x²,2,y+1(y=-2),-2x(x²+1),x+y中，二次根式有3个。
14.下列各式一定是二次根式的是a²+1.15.若2/a-7/a³=2/a²-a，则(2-a)²-(a-3)等于1-2a。
16.若A=√(a²+4)/2，则A=(a+2)/2.17.若a≤1，则(1-a)³化简后为1-a³。
八年级数学竞赛例题专题讲解9：二次根式的概念与性质 含答案
专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考0)a≥叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：1≥a、a2一样都是非负数．2．2＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．3()()a aaa a≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩揭示了与绝对值的内在一致性．4a b=（a≥0，b≥0）．5=（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．6．若a＞b＞0＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11402332x yπππ⎛⎫⎛⎫+++--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么x y-的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤x≤2___________．解题思路：a≥0的隐含制约．【例3】若a＞0，b＞0=+的值．（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．【例4】若实数x，y，m满足关系式：9199y y+-m的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知152a b c+--，求a＋b＋c的值．（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB，BC，AC学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC，（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．（3）若△ABC（m＞0，n＞0，且m≠n）试运用构图法求出这个三角形的面积．（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A 级1有意义．则x 的取值范围是_____________．（“希望杯”邀请赛试题）2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知a解：原式＝(11a a a a-=- 3．已知正数a ，b ，有下列命题：（1）若a ＝1，b ＝1≤1；（2）若a＝12，b ＝52≤32；（3）若a ＝2，b ＝3≤52；（4）若a ＝1，b ＝5≤3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7≤________．（黄冈市竞赛试题）4．已知实数a ，b ，c 满足211024a b c c --+=，则a （b ＋c ）的值为_______．图2 图15的最小值是（）．A．0 B．1C．1 D．不存在6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．A B．3和3C D（“希望杯”邀请赛试题）72的结果是（）．A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4（江苏省竞赛试题）8．设a是一个无理数，且a，b满足a b－a－b＋l＝0，则b是一个（）．A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数（武汉市竞赛试题）9=，其中ab≠0（山东省中考试颗）10．已知66a，b，求ab的值．（浙江省竞赛试题）11．设a，b，c为两两不等的有理数．（北京市竞赛试题）12．设x，y y=，求y的最大值．（上海市竞赛试题）B级1．已知x，y为实数，y＝13x-，则5x＋6y＝_________．2．已知实数a满足1999a a-=，则a－19992＝___________．3．正数m，n满足m＋－－＋4n＝3_______．（北京市竞赛试题）4．若a，b满足5b＝7，则s=3b的取值范围是________．（全国初中数学联赛试题）5．已知整数x，y＋50，那么整数对（x，y）的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（江苏省竞赛试题）6．已知1aa-＝1，那么代数式1aa+的值为（）A B C D．（重庆市中考试题）7=x，y，a是两两不同的实数．则代数式22223x xy yx xy y+--+的值为（）．A．3 B．13C．2 D．5382=）．A．3 B．4 C．5 D．69．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝＋14，求()()()a b c b c a c a b+++++的值．（北京市竞赛试题）10．已知ax3＝by3＝cz3，1x＋1y＋1z＝1=11．已知在等式ax bscx d+=+中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数．求：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数，（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．（“希望杯”邀请赛试题）12．设s⋅⋅⋅，求不超过s的最大整数[s]．13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？（3）根据（2（恩施自治州中考试题）。
二次根式知识点训练及答案
二次根式知识点训练及答案一、选择题1．1=-，那么x的取值范围是（）xA．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16【答案】A【解析】【分析】根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可.【详解】由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0，解得，x≥1，故选A.【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围.2．(的结果在（）之间．A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】B【解析】【分析】的范围，再求出答案即可．【详解】(==22∵45<∴223<<(的结果在2和3之间故选：B【点睛】本题考查了无理数大小的估算，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．考查了二次根式的混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的．3．a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．4．下列各式计算正确的是( )A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D【解析】解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误；B不是同类二次根式，不能合并，故错误；C．（2a2）3=8a6，故错误；D．正确．故选D．5．已知n n的最小值是（）A．3 B．5 C．15 D．45【答案】B【解析】【分析】由题意可知45n是一个完全平方数，从而可求得答案．【详解】=∵n∴n的最小值为5．故选：B．【点睛】此题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．6．把-( )A B．C．D【答案】A【解析】【分析】由二次根式-a 是负数，根据平方根的定义将a 移到根号内是2a ，再化简根号内的因式即可.【详解】 ∵10a-≥，且0a ≠， ∴a<0，∴-，∴-= 故选：A.【点睛】此题考查平方根的定义，二次根式的化简，正确理解二次根式的被开方数大于等于0得到a 的取值范围是解题的关键.7．=） A ．0x ≥B ．6x ≥C ．06x ≤≤D ．x 为一切实数 【答案】B【解析】=∴x ≥0,x-6≥0,∴x 6≥.故选B.8．-中，是最简二次根式的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】A【解析】，不是最简二次根式；22a b -=2|a|b ，不是最简二次根式；22x y +, 是最简二次根式.共有2个最简二次根式.故选A.点睛：最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．使式子12x x ++-有意义的x 的取值范围是( )A ．1x ≥-B ．12x -≤≤C ．2x ≤D ．12x -<<【答案】B【解析】【分析】【详解】解：要使二次根式有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数， 则1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤ 故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的性质．10．如图，数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-＜＜3，由于25-＜2．∴1＜45故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．11．下列运算正确的是（）A．B．C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6【答案】B【解析】【分析】各式计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝，符合题意；C、原式＝a2﹣6a+9，不符合题意；D、原式＝﹣8a6，不符合题意，故选：B．【点睛】考查了二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．362g在哪两个整数之间()A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8【答案】C【解析】【分析】g2 1.414==362182322≈，即可解答．【详解】362182322g2 1.414==≈，∴322 6.242≈，即介于6和7，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及2 1.414≈．13．有意义时，a 的取值范围是（ ） A ．a ≥2B ．a ＞2C ．a ≠2D ．a ≠－2【答案】B【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数a ﹣2≥0，解得：a ≥2，根据分式有意义的条件：a ﹣2≠0，解得：a ≠2，∴a ＞2．故选B ．14．计算÷的结果是（ ）A ．2BC ．23D ．34【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．【详解】解：÷ 1(24=⨯÷=16=⨯2=． 故选：A ．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，根据运算顺序准确求解是解题的关键．15．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≠C ．3x ≥D ．0x ≥【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方式大于等于0，列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】在实数范围内有意义，∴x-3≥0，解得x≥3．故选：C ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．16．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．17．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m2+m=0，∴m2+m=∴原式=故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．18．有意义的x的取值范围（）A．x＞2 B．x≥2C．x＞3 D．x≥2且x≠3【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．根据题意，得20{30xx-≥-≠解得，x≥2且x≠3．考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件19．估计2值应在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】A【解析】【分析】先根据二次根式乘法法则进行计算，得到一个二次根式后再利用夹逼法对二次根式进行估算即可得解．【详解】解：2=∵91216<<<<∴34<<∴估计2值应在3到4之间．故选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．20．n的最大值为（）A．12B．11C．8D．3【答案】C【解析】【分析】如果实数n取最大值，那么12－n22，从而得出结果．【详解】2时，n取最大值,则n＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解”的含义．。
(完整版)《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试〔一〕判断题：〔每题1分，共5分〕1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………〔〕【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．〔 〕【提示】231-＝4323-+＝－〔3＋2〕．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…〔〕【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1〔x ≥1〕．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…〔 〕【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．〔 〕29x +是最简二次根式．【答案】×．〔二〕填空题：〔每题2分，共20分〕6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法那么和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】〔a －12-a 〕〔________〕＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝〔 〕2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2〔x －1〕＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab 〔ab ＞0〕，∴ ab －c 2d 2＝〔cd ab +〕〔cd ab -〕．12．比拟大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比拟28，48的大小，再比拟281，481的大小，最后比拟－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·〔_________〕[－7－52．] 〔7－52〕·〔－7－52〕＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法那么和平方差公式． 14．假设1+x ＋3-y ＝0，那么(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数局部和小数局部，那么2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，那么其整数局部x ＝？小数局部y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数局部和小数局部时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数局部和小数局部就不难确定了． 〔三〕选择题：〔每题3分，共15分〕16．233x x +＝－x 3+x ，那么………………〔 〕〔A 〕x ≤0 〔B 〕x ≤－3 〔C 〕x ≥－3 〔D 〕－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】此题考查积的算术平方根性质成立的条件，〔A 〕、〔C 〕不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．假设x ＜y ＜0，那么222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………〔 〕〔A 〕2x 〔B 〕2y 〔C 〕－2x 〔D 〕－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】此题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．假设0＜x ＜1，那么4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………〔〕〔A 〕x 2 〔B 〕－x 2〔C 〕－2x 〔D 〕2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】此题考查完全平方公式和二次根式的性质．〔A 〕不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………〔 〕〔A 〕a - 〔B 〕－a 〔C 〕－a - 〔D 〕a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………〔 〕〔A 〕2)(b a + 〔 B 〕－2)(b a -〔C 〕2)(b a -+-〔D 〕2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】此题考查逆向运用公式2)(a ＝a 〔a ≥0〕和完全平方公式．注意〔A 〕、〔B 〕不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．〔四〕在实数范围内因式分解：〔每题3分，共6分〕21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】〔3x ＋5y 〕〔3x －5y 〕． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．〔五〕计算题：〔每题6分，共24分〕23．〔235+-〕〔235--〕； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．〔a 2m n －m ab mn ＋m n n m 〕÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝〔a 2m n－mab mn ＋mn n m 〕·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．〔a ＋ba abb +-〕÷〔b ab a +＋a ab b -－ab b a +〕〔a ≠b 〕． 【提示】此题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】此题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． 〔六〕求值：〔每题7分，共14分〕27．x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将条件化简，再将分式化简最后将条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】此题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y 〞、“x －y 〞、“xy 〞．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +〔22a x +－x 〕，x 2－x22a x +＝－x 〔22a x +－x 〕．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】此题如果将前两个“分式〞分拆成两个“分式〞之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：〔每题8分，共16分〕29．计算〔25＋1〕〔211+＋321+＋431+＋…＋100991+〕．【提示】先将每个局部分母有理化后，再计算． 【解】原式＝〔25＋1〕〔1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--〕＝〔25＋1〕[〔12-〕＋〔23-〕＋〔34-〕＋…＋〔99100-〕] ＝〔25＋1〕〔1100-〕 ＝9〔25＋1〕．【点评】此题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．假设x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解此题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
数学二次根式(讲义及答案)及答案
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
【详解】
（1）由a2+b2=6，ab=1，得a2+b2-2ab=4，
（a-b）2=4，
a-b=±2．
（2） ，
，
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.
【详解】
将代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：
【分析】
利用完全平方公式化简 ，得到 ；化简分式，最后将 代入化简后的分式，计算即可.
【详解】
将 代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简 ，熟练掌握相关知识点是解题关键.
【分析】
（1） ；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式 ；
(3) ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
27．计算（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
初一数学二次根式试题答案及解析
初一数学二次根式试题答案及解析1.一个数的算术平方根是，则这个数是_____ _____．【答案】2．【解析】∵一个数的算术平方根是，∴这个数为（）2=2．故答案是2．【考点】算术平方根．2. 49的算术平方根是．【答案】7【解析】根据算术平方根的意义可求.【考点】算术平方根3.下列运算中, 正确的个数是（ )①②= -2③④⑤A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B．【解析】①，故本选项错误；②，没有意义，故本选项错误；③，故本选项错误；④，故本选项错误；⑤，故本选项正确．正确的个数是1个．故选B．【考点】1.立方根2.算术平方根．4.的值等于（）A．4B．－4C．±4D．【答案】A【解析】就是求16的算术平方根，即是4，负数没有平方根和算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0，正数有两个平方根，其中正的一个平方根是算术平方根。
本题涉及了实数的算术平方根，该题较为简单，主要考查学生对实数平方根和算术平方根的求取，另外的常考题还有求某正数算数平方根的平方根，注意不要混淆。
5.若式子x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x=1B．x≥1C．x＞1D．x＜1【答案】B【解析】考查了二次根式的意义和性质．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式有意义：被开方数是非负数．解：由题意，得解得，x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．6.下列各数中，3.14159，，0.131131113……，－π，，，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】根据无理数是无限不循环小数，可知0.131131113…，-π是无理数，故选B．考点:无理数.7.下列说法中正确的是（）A．立方根是它本身的数只有1和0B．算术平方根是它本身的数只有1和0C．平方根是它本身的数只有1和0D．绝对值是它本身的数只有1和0【答案】B.【解析】A．立方根是它本身的数除去1和0外，还有-1，故该选项错误；B．算术平方根是它本身的数只有1和0，故该选项正确；C．平方根是它本身的数只有1和0，故该选项错误；D．绝对值是它本身的数只有正数和0，故该选项错误.故选B.【考点】1.立方根；2.平方根；3.算术平方根；4.绝对值.8.下列实数中是无理数的是( )A．B．C．D．【答案】D.【解析】A.是有理数，不符合题意；B.是有理数，不符合题意；C.是有理数，不符合题意；D.是无理数.故选D.【考点】无理数．9.下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】A选项正确，B、C、D选项错误.故选A.【考点】二次根式的化简.10.下列各数中，是无理数的是（）A．﹣2B．0C．D．【解析】无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．解：A、﹣2是有理数，不是无理数，故本选项错误；B、0是有理数，不是无理数，故本选项错误；C、是无理数，故本选项正确；D、是有理数，不是无理数，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了对无理数的应用，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．11.下列命题中正确的是（）A．两个无理数的和一定是无理数B．正数的平方根一定是正数C．开立方等于它本身的实数只有1D．负数的立方根是负数【答案】D【解析】根据立方根以及平方根的定义和无理数的加减运算分别判断得出即可．解：A、当两个无理数互为相反数时，和为0，故此选项错误；B、正数的平方根有两个，故此选项错误；C、开立方等于它本身的实数有1，﹣1，0，故此选项错误；D、负数的立方根是负数，此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关的法则是解题关键．12.已知a2=1，|a|=﹣a，求的值．【答案】2【解析】根据已知求出a的值，代入求出即可．解：∵a2=1，∴a=±1，∵|a|=﹣a，∴a=﹣1，∴===2．点评：本题考查了算术平方根和二次根式的化简求值的应用，主要考查学生的计算能力．13. a－1与3－2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是A．4B．－C．2D．－2【答案】C【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；互为相反数的两个数的和为0.解：由题意得，解得，故选C.【考点】平方根，相反数的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成.14.的平方根是__________。
培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总
专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若x y n +=（其中x , y , n 都是正整数），则,,x y n 都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】 当120022x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简 （1）1()a b b a b ba b a b ab b a b+-÷-+-+ （黄冈市中考试题）（2）1014152110141521+--+++（五城市联赛试题）（3）64332(63)(32)++++（北京市竞赛试题）（4）3151026332185231--+-+++（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】 比6(65)+大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,x y =+=-想一想：设1983,x =-求432326218237515x x x x x x x --++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：A B ±的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足22(1)(1)1x x y y ++++=，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.有些竞赛培优的Word 初中的一套 小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念 可以 加我 q 468453607 威 信 t442546597【例5】 （1）代数式224(12)9x x ++-+的最小值. （2）求代数式22841413x x x x -++-+的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，22a b +的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设2222(4)5(2)3y x x =-++-+，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】 设2121(12)m a a a a a =+-+--≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A 级1.化简：200820081004200820087315()3735++（“希望杯”邀请赛试题）2.若352,325x y x y +=--=-，则xy ＝_____(北京市竞赛试题)3.计算：19971999(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)2001(20011997)(20011999)++------（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x ＜y 及1088x y =+的不同整数对（x ，y ）是_______（上海市竞赛试题）5.如果式子22(1)(2)x x -+-化简结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A. x ≤1 B . x ≥2 C . 1≤x ≤2 D . x ＞06、计算14651465+--的值为（ ）A ．1B . 5C . 25D . 5（全国初中数学联赛试题）7．a ，b ，c 为有理数，且等式23526a b c ++=+成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999 B. 2000 C. 2001 D . 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数； 丙：若α，β是不相等的无理数，则αβ+是无理数；其中正确命题的个数是（ ）A .0个B .1个C .2个D .3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- （2）26325+-（3）1157467776642+++++（4）524103615-+-- （天津市竞赛试题）（5）35361015+--+ （“希望杯”邀请赛试题）10、设3352x -=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值. （“希望杯”邀请赛试题）11、已知22791375137x x x x x +++-+=，求x 的值.12、设11,11n n n n x x n n n n+-++==+++-（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3311,,12________________2323x y x xy y ==++=+-则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知4247,______31x x x -==++2x 那么. （重庆市竞赛试题） 4.333421,a =++那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题） 5. a ，b 为有理数，且满足等式361423a b +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知21,226,62a b c =-=-=-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7. 已知1x a a=-，则24x x +的值是（ ） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则1[]1667-等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把1(1)a -⋅-中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ）A .1a - B .1a - C. 1a -- D .1a --（武汉市调考题）10、化简：（1）199819992000200114⨯⨯⨯+ （“希望杯”邀请赛试题）（2）111211232231009999100++++⋅++ （新加坡中学生竞赛试题）（3）8215106532+--+- （山东省竞赛试题）（4）2(6232515)--+ （太原市竞赛试题）11、设01,x << 求证22511(1)12x x ≤+++-<+.（“五羊杯”竞赛试题）12、求22841413x x x x -+--+的最大值.13、已知a , b , c 为正整数，且33a bb c++为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题01 二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5． (3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582 ．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y x y+- (2)原式＝32625325++-+-＝()()22325325+-+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999.5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
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第八讲二次根式的性质和运算趣题引路】甲、乙两人同时解根式方程7，抄题时，甲错抄成7，结果解得其根为127，结果解得其根为13.已知两人除错抄外，解题过程都是正确的.a、b、d均为整数，试求a、b的值.解答如下：将x=127=7，两边平方得49a b++=可知为非负整数，也为非负整数；将x=13代入7类似可得49a d-+=，得到及.因此12-a和13+a均为完全平方数且-13≤a≤12，故a=12或a=-4或a=-13，因此b=37或b=-3或b=-8.将错就错，倒求a，b！要求你对二次根式的性质和运算相当熟练，下面我们将深入学习这一内容.知识拓展】1.二次根式的性质和运算法则（1）2(0)a a=≥（2(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩（30,0,0)0)na b a ba≥≥≥>=≥2.二次根式的化简（1）主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是两种基本转换技能.（2）复合二次根式的化简通常有三种途径①平方法②配方法③待定系数法3.二次根式的大小比较主要途径有：平方法；求商法；有理化法；几何作图法等.一、二次根式的化简求值技巧二次根式的求值问题可归结为几种模式： 1.化成1x a x+=模式 例1（2001 年河北省竞赛题）已知：2=，那么的值等于 .解析：利用两边平方法将已知式变成12x x +=，同时变换待求式，使之出现1x x +部分，整体代入求值.解2=两边平方并整理得12x x+=.则： 原式11==.2.化成20ax bx c ++=模式例2 （2001年天津竞赛题）计算.2001200019991)1)1)2001--+= .解析：前三项可提取公因数20011)，为方便，可换元求值： 解 设x 1，则x -1 2220x x --=20012000199919992222001(22)20012001x x x x x x =--+=--+=原式3.例3（2002解析：设法把2写成某个数的平方，采取添项拆项法：221112(411)222⎡⎤+=+=+=⎣⎦+====解 原式 点评本题另解：设A ，两边平方，得2=6A，故A4.因式分解法例4（2002解析：直接分母有理化有困难，设法将分母分解因式.==解 原式5.分母有理化：这是根式运算的常见方法，而寻找有理化因式和巧妙运用乘法公式又是分母有理化的关键.例5+10099+99解析不难知原式中的第k 项是：===-故本题可用裂项求和的方法求解.(99910=-+-+++=解 原式6.利用二次根式的非负性解题例6 若mm 的值. 解析 由x -199+y ≥0，199-x -y ≥0知 x +y -199=0 ∴ x +y =199.0,= ① ∴352=023=0x y m x y m +--⎧⎨+-⎩③ ②③×2-②得x+y=m -2 ∴m =x +y +2=201.二、二次根式的大小比较 1.作商法：若ab<1，则a <b （a >0，b >0） 例7 （2002年希望杯初二）已知a b c ===，其中m >0，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a>b>c B . c>a>b C. a>c>b D .b>c>a解析33(1,2(a a b b =>∴> ∵()()()1332233<++++=m m m m c b ）（，∴b a <，()()1322333>++=mmc a ，∴c a > ∴a>c>b ，选C.2.平方法：若a >b >0，则a 2>b 2；反之亦成立（a>0，b >0）.例8设a b c ==，则a ，b ，c 间的大小关系是 . 解析 因为1003+997=2000，1001+999=2000，2×1000=2000，所以可采用平方法. 2100399720002000a =+=+=+解2100199920002000b =+=+=+2410002000c =⨯=+∴a2<b2< c2，而a>0，b>0，c>0，∴a<b<c.3.分子有理化例9 已知a=b=7，c=.则a，b，c的大小关系是 .解析若采用平方法很难分清它们的大小关系，此题的特征在于2-222221=-=-=，这就启发我们采用分子有理化的方法，然后比较分母的大小.解：1997a=b=，c==>∴a>b>c.点评：对于形如222-=(((2(-，就可采用分子有理化的方法来比较.好题妙解】佳题新题品味例1 设a、b、c为有理数，且等式a+成立，则2a+999b+1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能确定解析先将复合二次根式化简，再利用实数的性质求解.+解526∴+，∴a=0，b=1，c=1，a∴2a+999b+1001c=0+999+1001=2000.故选B.例2 正数m、n满43+=的值.m n解析.解原方程变形为：43+-=m n2301)0 --==3 +1-（舍去）.3+时，原式3851320022005401--===-+例3解析31，30，29，28是四个连续正整数，而四个连续正整数的积与1之和是一个完全平方数.解设t=30，原式====21t t=--=302-30-1=869.例4 细心观察图8-1，认真分析各式，然后解答问题12222312=21314SSS+=+=+=图8-11A2A1∙∙∙（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+ S32+…+ S102的值.解析本题考察归纳、类比能力.注意第n个式子与式子中数字的关系，不变的数有1和分母里的2，变的是根号下的数.解（1）通过类比，可推知211n+=+这时1nS=（2）123101,2,3,,OA OA OAOA===∴=（3）222212310S S S S ++++222210()()()22155(123)4041==+++++++=+中考真题欣赏例1 （2002年广西壮族自治区桂林）观察下列分母有理化的计算：==，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：++1)= .解析 分母有理化，正负项相消可得. 解原式20021)=+1)200212001==-=点评：观察、分析，归纳方法：拆项相消.例2（武汉市2003年中考题）若b <0的结果是（ ） A .- B . C .- D .解析 由被开方数非负-ab 2≥0及b <0得a ≥0.b ===-.选C .例3（杭州市2003年中考题）解方程组512x y =+=⎪⎩解析 思考方向：将无理方程化为有理方程，两边平方太复杂，考虑换元. 解 u v ==，则解原方程组等价于解方程组 22513u v u v +=⎧⎨+=⎩解得1123u v =⎧⎨=⎩或2232u v =⎧⎨=⎩由23==，解得11210x y =⎧⎨=⎩； 由32= ，解得2275x y =⎧⎨=⎩经检验它们都是原方程组的解.例1（2003年全国初中联赛题）A . 5-B . 1C . 5D . 1 解析 复合二次根式的化简，将被开方数写成a 2的形式解 原式1)(31==+-= 选D .例2（2003年山东竞赛题）已知-1<a <0，化简：得 .解析 由-1<a <0知，1a a<得原式112()a a a a a==-+--=-例3（2003年希望杯初二）已知对于正整数n=，若某个正整数k23(1)k ++=+，则k = . 解析 拆项化简：2(1)()()32231k k ，即2131R ，解得k ＝8． 点评：从一般到特殊，吃透给定的等式是关键．例4（2001年希望杯初二）设a 、b 、c 均为不小于31|11|b c 的最小值是 ．解析 先弄清每一项的最小值． 解：∵a ≥3，∴a －2≥11． 又b ≥3，∴b ＋1≥42． ∵c ≥3，∴c －1≥22．∴|1＝1c －1≥1．1|11|b c ≥1＋21＝21|11|b c的最小值是2．例5（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003200320032003xy x y xy的正整数对的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析将题中等式移项分解因式得，2003)(2003)0x y xy．又x、y是正整数，20030x y．∴02003=-xy，故xy＝2003，因式分解是转化问题的重要∴x＝1，y＝2003；或x＝2003，y＝1，故选B．点评因式分解是转化问题的重要手段．过关检测】A级1．如果23322y x x，则2x＋y＝．2．设2121,2121x y，则22x xy y＝．3.2001y的整数解（）A.不存在 B.仅有1组C.恰有2组D.至少有4组4.423423.5.3)(1)()(2)()(3)(2)2x y z y z x z x y x y z 的正实数解.B 级1. 325.2.（第十一届“希望杯”数学邀请赛）当1≤x ≤22121x x x x .3.222211711x x x x = .4.计算73（）= .5.1a = .6.设，求代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值.7.已知a、b是实数，且22a b b，问a、b之间有怎样的关系？请推导.)(1)18.设a、b、c、d为正实数，a<b，c<d，bc>ad，有一个三角形的三边长分别为222222c bd b a d c，求此三角形的面积.,,()()。