第五章作业详解
微型计算机原理作业第五章 习题与思考题
第五章习题与思考题典型例题解析例5-1 计算机输入/输出控制方式有哪几种?各有什么特点?答：CPU与外设进行数据传送，系统中对数据传送的控制方式一般分为四种：①程序控制方式，程序控制方式是指CPU与外设间的数据传送是在程序的控制下完成的一种数据传送方式，这种方式又分为无条件传送和条件传送二种。
在这种I/O方式中，程序设计简单，硬件软件较省，但费时，CPU效率较低，实时性差，主要用于中低速外设和实时性要求不高的场合。
②中断控制方式，中断控制方式是指利用中断技术控制CPU与外设进行数据传送的一种方式。
这种方式实时性好，不需要反复查询等待，减少了CPU等待时间，CPU与外设可并行工作，但这种方式需要进行现场保护及恢复等工作，仍花费CPU时间。
③DMA方式，DMA方式是指由专门硬件控制，不需CPU介入，直接由存储器与外设进行数据传送的方式。
这种方式不需CPU介入，减少了CPU的开销，能实现高速的数据块传送，提高了效率。
但这种方式增加了硬件开销，提高了系统的成本。
④IOP方式，IOP方式是指由输入/输出协处理器IOP控制数据传送的方式。
这种控制方式由于输入/输出协处理器具有单独的指令系统，因此能在数据传送时，同时进行数据处理，数据传送支持DMA方式，因此传送速度快而且不须CPU介入，CPU与IOP可并行工作，效率高。
这四种方式中，程序控制方式和中断方式属于软件控制方式，DMA方式和IOP方式属于硬件方式。
例5-2 试述I/O端口两种编址方法的特点与区别。
..答：I/O端口的编址方法有二种：即I/O端口单独编址方式和I/O端口与存储器单元统一编址方式。
I/O端口与内存单元地址统一编址方式是将I/O端口地址与内存地址统一安排在内存的地址空间中，即把内存的一部分地址分配给I/O端口，由I/O端口来占用这部分地址。
这种方式控制逻辑较简单，I/O端口数目不受限制，所有访问存储器的指令都可用于I/O端口，指令丰富，功能强。
稳态第五章 作业含答案
1、两台发电机容量均为100MW ，耗量特性分别为：211110.20.002G G F P P =++ （t/h ）222230.10.002G G F P P =++ （t/h ）两台发电机同时供一个负荷L P ，试求：1）当系统负荷L P =65MW 时，120G P MW =，245G P MW =分配负荷是不是最优方案？2）当L P =160MW 时，两发电机间的最优分配方案是多少？解：1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==22221111004.01.0004.02.0G G G G P dP dF P dP dF λλ（1分）， 当120G P MW =，245G P MW =代入上式令212128.045*004.01.028.020*004.02.0λλλλ=⇒⎭⎬⎫=+==+=，所以是最优分配。
2）当L P =160MW 时5.92,5.67160004.01.0*004.02.02121211==⇒⎭⎬⎫=++=+=G G G G G G P P P P P P λ2、三个火电厂并列运行，各发电厂的耗量特性F （t/h ）及功率约束条件如下：（10分）21114.00.300.00070G G F P P =++ 100MW 1G P≤≤200MW 1T 22223.50.320.00040G G F P P =++ 120MW 2G P≤≤250MW 23333.50.300.00045G G F P P =++ 150MW 3G P ≤≤300MW 当总负荷为700MW 和400MW 时，试分别确定发电厂间功率的经济分配（不计网损影响） 解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+==+==3333222211110009.03.0008.032.00014.03.0G G G G G G P dP dF P dP dF P dP dF λλλ 令321λλλ==⎩⎨⎧+=++=+32210009.03.00008.032.00008.032.00014.03.0G G G G P P P P MW P MW P MW P P P P G G G G G G 274,250,176700321321===⇒=++3、某系统的综合负荷单位调节功率为Hz MW /500，系统负荷增大1000MW 时，调频厂经二次调频增发的500MW ，系统频率变化为0.2Hz ，求系统的发电机的单位调节功率？ 答：4、 A 、B 两系统中，A 、B 两系统的容量分别是3000MW 、2000MW ，25*=G A K ,6.1*=LA K ,20*=G B K ,4.1*=LB K ,MW PLA 200=∆时，求 （1） 系统A 、B 的机组都参加一次调频后系统频率的变化值；（2） 若A 、B 两系统的机组都参加一次调频，且B 系统部分机组参加二次调频增发50MW 时，求统频率偏移以及联络线上流动的功率。
第五章 动态规划建模与求解作业题解答
2.（2）某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度10月至12月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为2000件，公司库存最多可存放该种商品10000件。
公司拥有的经营资金为80万元，据预测，10月至12月的进货及销售价格如表5.29所示。
若每个月在1号进货1次，且要求年底时商品的库存量达到3000件。
在以上条件下，问如何安排进货及销售计划，使公司获得最大利润？解：（0）阶段划分：按月份划分阶段，阶段变量 k =1,2,3。
（1）条件1：状态及状态变量用k x 表示k 阶段的库存量，12000x =件, 43000x =，最大库存量M ＝10000件。
0≤k 阶段的库存量≤M, 所以状态可能集：0k x M ≤≤ （2）条件2：决策及决策变量设k u ，k v 是k 阶段的进货量和销售量， 全部流动资金＝800000＋上一阶段的盈利 ＝800000元＋2,111,11()k k k k P v P u ----- 其中1,1k P -，2,1k P -是k －1阶段的进货价格和销售价格；1k u -，1k v -是k －1阶段的进货量和销售量（000,0u v ==）； 1,k P ，2,k P 是k 阶段的进货价格和销售价格（见数据表）。
则：12,1,01,800000()0min{,}k m m m m m k k kP v P u u M x P -=+-≤≤-∑， 0k k k v x u ≤≤+。
（3）条件3：状态转移方程1k k k k x x u v +=+-（k 阶段的库存量＋k 阶段的进货量－k 阶段的销售量）（4）阶段效应和目标函数 2,1,k k k k k r P v P u =- 31kk R r==∑（5）动态规划的基本方程2,1,11,44()max{()}()0k kk k k k k k k k u v f x P v P u f x f x ++=-+⎧⎪⎨=⎪⎩2.（4）某公司计划用100万元对其三个分厂进行投资，三个分厂的投资方式各不相同，其投资和收。
第五章第四节驼峰调车作业组织讲义
• 双推双溜： • 在具有两条推送线，两条溜放线，配备两 台以上的机车工作的编组站采用的一种作业 方案。
双推双溜驼峰作业方案图
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
（2）双推单溜 两条推送线，但是往下溜时，是一条溜放线。 优点：驼峰利用率提高，调车场纵向不分工。 适用条件：编组站衔接方向多，改编车流量复杂， 编组场集中，编组线路较少，车流接续紧张等特点。
• 双推单溜： 具有两条推送线，配备两台或 以上机车和改编作业量较大的编组站采用 的一种驼峰作业方案。
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六、驼峰作业方案
• （1）单推单溜 • 驼峰一条推送线，一条溜放线，一台调机作业。 优点：机车效能能充分发挥。 缺点：驼峰设备利用率不高。 适用条件：改编作业量不大的编组站采用。
铁路驼峰调车演示
• •
单推单溜： 只配备一台驼峰机车且改编工作量不大的编组站上采用的驼峰作业方案。
单推单溜驼峰作业方案图
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（3）溜放：机车继续推送车列，使被摘解的车组 脱钩溜向调车场内的指定线路。
（4）整理车场：在连续解体几个车列以后，机车 下峰连挂车组并尽可能向尾部推送，为驼峰继续溜放 创造条件。
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三、车辆通过驼峰的限制
（1）涂有禁止上驼峰标记的车辆，禁止通过驼峰（其 中涂打禁止过峰标记的罐车仅限压缩气体、液化气体专 用车）； （2）机械冷藏车如因迂回线故障等原因，必须通过驼 峰时，以不超过7km/h的速度推送过峰； （3）落下孔车（D17、D19g）、凹型车、换长1.7及 其以上的大型平车，使用缓冲停止器和支点在两车及其 以上跨装货物的车辆，使用三轴组合转向架（转27、转 28）的车辆；
第五章 作业分析
第五章 作业分析5.1 作业分析概述 5.1.1作业分析的基本概念作业分析是研究如何使工人的操作以及工人和机器的配合达到最经济和最有效的程度。
这种分析是研究一道工序、一个工作地的工人（一人或多人）使用机器或不使用机器的各个操作活动。
它与程序分析的区别是：程序分析是研究整个制造的运动过程，分析到工序为止；作业分析是研究一道工序的运动过程，分析到操作为止。
1．操作的定义和分类1）定义 指为实现一定目的而进行的独立完整的劳动活动，是加工工序或作业的再分解，同时操作也可以进一步分解为若干个动作。
2）分类 基本操作、辅助操作 2．作业分析的含义及目的 1）含义作业分析是指通过对以人为主的工序的详细研究，使作业者、作业对象、作业工具三者科学地组合、合理地布置和安排，达到工序结构合理，减轻劳动强度，减少作业的工时消耗、缩短整个作业的时间，以提高产品的质量和产量为目的而作的分析。
2）目的作业分析的总目的是提高工作效率，减轻操作疲劳，使操作者能高效、舒适的工作。
具体有以下几点：（1）使作业内结构合理，删除多余无效的操作，使操作最有效，总数最少； （2）使人和机器能很好的协调配合工作，充分发挥人和机器的效能； （3）改进操作方法和工作地布置，减轻操作者的疲劳。
3．作业分析的方法作业分析根据不同的调查目的，作业分析可分为人机作业分析、联合作业分析和双手作业分析三种。
（1）在使用机器的作业中用人机作业分析，研究人和机器在作业过程时间上的协调配合关系，尽量减少人和机器的空闲时间，使人和机器的效能得到充分发挥。
（2）在有多个操作者共同完成的作业中用联合作业分析，目的是为了发现空闲与等待的作业时间，使共同工作中的每一个作业人员的工作负荷趋于平衡，以获得更好的较低的人工成本。
减少周期（程）时间。
（3）在以手工作业为主的作业中用双手作业分析，研究双手的动作及其平衡，左、右手5.1作业分析概述 5.2人机作业分析 5.3联合作业分析 5.4双手作业分析本章学习要点 理解人机作业分析、双手作业分析、联合作业分析的定义及主要用途；掌握人机作业分析图、双手操作分析图、联合作业分析图的基本结构及分析改进重点。
作业第五章含答案作业
四种膳食调查方法对照表（先熟背“记帐法、回顾法”的调查步骤和调查表格表5-8、表5-10）表头：调查法名称、定义、调查时间、调查对象、调查步骤、表格名称、特点、优点、缺点、注意事项作业2：某人群进行3天全餐次的膳食调查，其中能量供给量为1900kcal的有8人，2700kcal的有3人，2000kcal的有6人，该人群的蛋白质平均摄入里为50g/人日。
1）计算该人群中三种不同能量需要的人群的折合标准人系统数；解：某一类人的折合系数=某一类人的能量供给量（千卡）÷2250（千卡）能量供给量为1900千卡人群的折合系数为：1900÷2250=0.84能量供给量为2000千卡人群的折合系数为：2000÷2250=0.89能量供给量为2700千卡人群的折合系数为：2700÷2250=1.22）计算该人群的混合系数；解：混合系数=∑（某类人的折合系数×某类人的人日数）÷总人日数=（0.84×8×3+1.2×3×3+0.89×6×3）÷（8×3+3×3+6×3）=46.98÷51=0.923）计算该人群折合标准人的蛋白质摄入量。
解：折合标准人的人均蛋白质=人均蛋白质摄入量÷混合系数=50÷0.92=54.3（克）(默认保留一位小数)有一群体人，按能量供给量的不同分成3类人，其中能量供给量为2000千卡A类有10人，能量供给量为2400千卡的B类有8人，能量供给量为2700千卡的C类有5人，均进行3天的膳食调查，其中A类每天早餐就餐人次都是7人，午餐8人，晚餐4人;B类每天早餐就餐人次都是6人，午餐5人，晚餐3人;C类每天早餐就餐人次都是3人，午餐2人，晚餐1人。
1）求各类人群的人日数、总人日数？（餐次比分别为30%、40%/30%）解：公式：人日数=早餐人次×早餐餐次比+中餐人次×中餐餐次比+晚餐人次×晚餐餐次比A类人日数：（7×30%+8×40%+4×30%）×3=19.5（人日）B类人日数：（6×30%+5×40%+3×30%）×3=14.1（人日）C类人日数：（3×30%+3×40%+1×30%）×3=6.0（人日）总人日数：19.5+14.1+6.0=39.6（人日）2）求各类人群的折合标准人系数？解：公式：某一类人的折合系数=某一类人的能量EER（千卡）÷2250（千卡）A类人的折合系数=2000千卡÷2250千卡=0.89B类人的折合系数=2400千卡÷2250千卡=1.07C类人的折合系数=2700千卡÷2250千卡=1.23）求该群体的混合系数？解：公式：混合系数=∑（某类人的折合系数×某类人的人日数）÷总人日数混合系数=（0.89×19.5+1.07×14.1+1.2×6）÷39.6=1.04）假设C类人群的人均蛋白质实际摄入量为70克，求C类人群的折合标准人的人均蛋白质摄入量。
高等数学课后习题及参考答案第五章
高等数学课后习题及参考答案（第五章）习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i nab a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i nab a x i i -+==ξ, 作和 nab i n a b a x f S ni i i ni n -⋅+-+=∆=∑∑==]1)[()(211ξ ∑=+-+-+-=n i i na b i n a b a a n a b 12222]1)()(2[ ]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)12)(1()()1)(()[(222+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }nab -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==ni i i ba x f dx x f S 10)(lim )(ξλ]16)12)(1()()1)(()[(lim 222+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(31]1)(31)()[(3322.2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)xdx ba ⎰(a <b ); (2)dx e x ⎰10.解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则nab x i -=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i nab a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是 ∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+=∆=ni n ni i i n ba nab i n a b a x xdx 11)(lim lim ξ )(21]2)1()()([lim )(22222a b n n n a b a b a a b n -=+-+--=∞→. (2)取分点为ni x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n x i 1=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点nix i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是) (1lim 1lim 21110n n n i i n xe e e nn e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑⎰1)1(]1[lim1])(1[1lim 11111-=--=--⋅=∞→∞→e e n e e e e e nn n n n n n .3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1)1210=⎰xdx ; (2)41102π=-⎰dx x ;(3)⎰-=ππ0sin xdx ;(4)⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .解 (1)⎰102xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.(2)⎰-1021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:41411212ππ=⋅⋅=-⎰dx x .(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即⎰-=ππ0sin xdx .(4)⎰-22cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2,2[ππ-一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos πxdx , 即⎰⎰=-2022cos 2cos πππxdx xdx .4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .解 建立坐标系如图. 用分点i nHx i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为nHx i =∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为22118.42)1(lim8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n Hi n H L x L x P n n i n n i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(; (2)a b dx dx ba b a -==⋅⎰⎰1.证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→ba ni i i ni i i ba dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1010ξξλλ.(2)a b a b x x dx ni i ni i ba -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 101010λλλ.6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+412)1(dx x ; (2)⎰+ππ4542)sin 1(dx x ;(3)⎰331arctan xdx x ;(4)⎰-022dx e xx.解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(2412-⋅≤+≤-⋅⎰dx x , 即 51)1(6412≤+≤⎰dx x . (2)因为当ππ454≤≤x 时, 1≤1+sin 2x ≤2, 所以 )445(2)sin 1()445(14542ππππππ-⋅≤+≤-⋅⎰dx x ,即 ππππ2)sin 1(4542≤+≤⎰dx x .(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上的最大值M 与最小值m .21a r c t a n )(xx x x f ++='. 因为当331≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,31[上单调增加. 于是3631arctan31)31(π===f m , 33arctan 3)3(π===f M .因此)313(3arctan )313(36331-≤≤-⎰ππxdx x ,即32arctan 9331ππ≤≤⎰xdx x . (4)先求函数xx e x f -=2)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .)12()(2-='-x e x f xx, 驻点为21=x .比较f (0)=1, f (2)=e 2, 41)21(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是)02()02(22012-⋅≤≤-⎰--e dx e e xx,即 41022222---≤≤-⎰e dx dx e e xx .7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明: (1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0;(2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ; (3)若在[a ,b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=ba ba dx x g dx x f )()(, 则在[ab ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)⎰102dx x 还是⎰103dx x ？(2)⎰212dx x 还是⎰213dx x ？ (3)⎰21ln xdx 还是⎰212)(ln dx x ？ (4)⎰10xdx 还是⎰+10)1ln(dx x ？ (5)⎰10dx e x 还是⎰+10)1(dx x ？解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以⎰⎰≥103102dx x dx x . 又当0<x <1时, x 2>x 3, 所以⎰⎰>103102dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以⎰⎰≤213212dx x dx x . 又因为当1<x ≤2时, x 2<x 3, 所以⎰⎰<213212dx x dx x .(3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以⎰⎰≥21221)(ln ln dx x xdx . 又因为当1<x ≤2时, 0<ln x <1, ln x >(ln x )2, 所以⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以⎰⎰+≥1010)1ln(dx x xdx . 又因为当0<x ≤1时, x >ln(1+x ), 所以⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx .(5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以⎰⎰+≥1010)1(dx x dx e x .又因为当0<x ≤1时, e x >1+x , 所以⎰⎰+>1010)1(dx x dx e x .习题5-21. 试求函数⎰=xtdt y 0sin 当x =0及4π=x 时的导数.解 x tdt dx dy x sin sin 0=='⎰, 当x =0时, y '=sin0=0;当4π=x 时, 224sin =='πy .2. 求由参数表示式⎰=tudu x 0sin , ⎰=tudu y 0cos 所给定的函数y 对x的导数.解 x '(t )=sin t , y '(t )=cos t ,t t x t y dx dy cos )()(=''=. 3. 求由⎰⎰=+xy ttdt dt e 00cos 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy. 解 方程两对x 求导得 0cos =+'x y e y , 于是ye x dx dy cos -=. 4. 当x 为何值时, 函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？解 2)(x xe x I -=', 令I '(x )=0, 得x =0.因为当x <0时, I '(x )<0; 当x >0时, I '(x )>0, 所以x =0是函数I (x )的极小值点. 5. 计算下列各导数:(1)⎰+2021x dt t dx d ; (2)⎰+32411x x dt tdx d ; (3)⎰x x dtt dxd cos sin 2)cos(π.解 (1)dxdu dt t du d u x dt t dx d u x ⋅+=+⎰⎰02202112令 421221x x x u +=⋅+=.(2)⎰⎰⎰+++=+323204044111111x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d )()(11)()(11343242'⋅++'⋅+-=x x x x 12281312xx x x +++-=. (3)⎰⎰⎰+-=x x x x dt t dx d dt t dx d dt t dx d cos 02sin 02cos sin 2)cos()cos()cos(πππ))(cos cos cos())(sin sin cos(22'+'-=x x x x ππ )cos cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x πππ-⋅-⋅-= )sin cos(sin )sin cos(cos 22x x x x ππ⋅+⋅-= )sin cos()cos (sin 2x x x π-=.6. 计算下列各定积分: (1)⎰+-adx x x 02)13(;解a a a x x x dx x x a a+-=+-=+-⎰230230221|)21()13(.(2)⎰+2142)1(dx xx ;解852)11(31)22(31|)3131()1(333321332142=---=-=+---⎰x x dx x x . (3)⎰+94)1(dx x x ;解942394194|)2132()()1(x x dx x x dx x x +=+=+⎰⎰6145)421432()921932(223223=+-+=.(4)⎰+33121x dx ; 解 66331arctan 3arctan arctan 13313312πππ=-=-==+⎰x x dx . (5)⎰--212121x dx ; 解3)6(6)21arcsin(21arcsin arcsin 1212121212πππ=--=--==---⎰x x dx .(6)⎰+ax a dx 3022;解aa a ax a x a dx a a30arctan 13arctan 1arctan 1303022π=-==+⎰.(7)⎰-1024x dx ;解60arcsin 21arcsin 2arcsin 41012π=-==-⎰x x dx .(8)dx x x x ⎰-+++012241133; 解 01301221224|)arctan ()113(1133---+=++=+++⎰⎰x x dx x x dx x x x 41)1arctan()1(3π+=----=.(9)⎰---+211e xdx ; 解1ln 1ln ||1|ln 12121-=-=+=+------⎰e x xdx e e .(10)⎰402tan πθθd ;解4144tan )(tan )1(sec tan 4040242πππθθθθθθπππ-=-=-=-=⎰⎰d d .(11)dx x ⎰π20|sin |; 解⎰⎰⎰-=ππππ2020sin sin |sin |xdx xdx dx xπππ20cos cos x x +-==-cos π +cos0+cos2π-cos π=4. (12)⎰2)(dx x f , 其中⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1 2111)(2x x x x x f . 解38|)61(|)21(21)1()(213102212102=++=++=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f . 7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin .证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk kk k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx . 8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin . 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 求下列极限: (1)xdt t xx ⎰→020cos lim ; (2)⎰⎰→xt xt x dttedt e 0220022)(lim.解 (1)11cos lim cos lim20020==→→⎰x xdt t x xx . (2)22222200022)(2lim)(limx xt x t x xt xt x xedt e dt e dttedt e '⋅=⎰⎰⎰⎰→→222220202lim2limx xt x x x xt x xedte xeedt e ⎰⎰→→=⋅=2212lim 22lim 2020222=+=+=→→x e x e e x x x x x . 10. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式,并讨论ϕ(x )在(0, 2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ;当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x xxϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(l i m )(l i m 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时,00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时,21cos 21|cos 21sin 21)()(000+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ;当x >π时,πππϕ000|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.12. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0,⎰-=x a dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ.于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F x a -+--='⎰ ))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ )]()([1ξf x f ax --=.由 f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内)]()([1)(≤--='ξf x f a x x F .习题5-31. 计算下列定积分:(1)⎰+πππ2)3sin(dx x ;解 0212132cos 34cos)3cos()3sin(22=-=+-=+-=+⎰ππππππππx dx x . (2)⎰-+123)511(x dx;解51251110116101)511(2151)511(22122123=⋅+⋅-=+-⋅=+-----⎰x x dx. (3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;解⎰⎰-=20323sin cos cos sin ππϕϕϕϕϕd s d410cos 412cos 41cos 4144204=+-=-=πϕπ.(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(5)⎰262cos ππudu ;解22262622sin 4121)2cos 1(21cos ππππππππu u du u udu +=+=⎰⎰836)3sin (sin 41)62(21-=-+-=πππππ.(6)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-02022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(2ππ=+=t t .(7)dy y ⎰--22228;解⎰⎰⎰---⋅=-=-44222222cos 2cos 22sin 24228ππxdx x xy dy y dy y 令)2(2)2sin 21(22)2cos 1(224444+=+=+=--⎰πππππy x dx x .(8)⎰-121221dx xx ;解41)cot ()1sin 1(cos sin cos sin 122212122πππππππ-=--=-=⋅=-⎰⎰⎰t t dt t tdt t t t x dx x x 令.(9)⎰-adx x a x 0222; 解⎰⎰⎰=⋅⋅=-2024202202222sin4cos cos sin sin ππtdt a tdt a t a t a t a x dx x a xa令164sin 328)4cos 1(84204204204ππππa t a t a dt t a =-=-=⎰. (10)⎰+31221xxdx ;解⎰⎰⋅⋅=+34223122secsec tan 1tan 1ππtdt t t tx xxdx 令3322sin 1sin cos 34342-=-==⎰ππππt dt tt. (11)⎰--1145xxdx ;解61)315(81)5(81454513133211=--=-=--⎰⎰-u u du u u x x xdx 令. (12)⎰+411xdx ;解)32ln 1(2|)1|ln (2)111(2211121212141+=+-=+-=⋅+=+⎰⎰⎰u u du u udu u u x x dx 令.(13)⎰--14311x dx ;解2ln 21|)1|ln (2)111(2)2(1111121010021143-=-+=-+=-⋅-=---⎰⎰⎰u u du u du u u ux x dx 令.(14)⎰-axa xdx 20223;解)13(3)3(3121320202222222022-=--=---=-⎰⎰a x a x a d x a xa xdx a a a.(15)dt te t ⎰-1022;解2110102221021)2(222-----=-=--=⎰⎰e etd e dt tet t t .(16)⎰+21ln 1e x x dx; 解)13(2ln 12ln ln 11ln 1222111-=+=+=+⎰⎰e e e xx d xxx dx .(17)⎰-++02222x x dx;解 2)1arctan(1arctan )1arctan()1(112202022022π=--=+=++=++---⎰⎰x dx x x x dx .(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;解32)sin 32(sin sin )sin 21(2cos cos 2322222=-=-=---⎰⎰ππππππx x x d x xdx x . (19)⎰--23cos cos ππdx x x ;解⎰⎰---=-23cos 1cos cos cos ππππdx x x dx x x34cos 32cos 32sin cos )sin (cos 2023023202=-=+-=--⎰⎰ππππx xxdx x dx x x (20)⎰+π02cos 1dx x .解22cos 2sin 22cos 1000=-==+⎰⎰πππxxdx dx x .2. 利用函数的奇偶性计算下列积分: (1)⎰-ππxdx x sin 4;解 因为x 4sin x 在区间[-π, π]上是奇函数, 所以0sin 4=⎰-ππxdx x . (2)⎰-224cos 4ππθθd ;解⎰⎰⎰+==-202204224)22cos 1(8cos 42cos 4ππππθθθθθd x d d ⎰⎰++=++=20202)4cos 212cos 223(2)2cos 2cos 21(2ππθθd x x d x x23)4sin 412sin 23(20πθπ=++=x x . (3)⎰--2121221)(arcsin dx xx ;解⎰⎰⎰=-=--21221022212122)(arcsin )(arcsin 21)(arcsin 21)(arcsin x d x dx xx dx xx324)(arcsin 3232103π==x .(4)⎰-++55242312sin dx x x xx . 解 因为函数12sin 2423++x x x x 是奇函数, 所以012sin 552423=++⎰-dx x x x x .3. 证明:⎰⎰-=aa adx x dx x 022)(2)(ϕϕ, 其中ϕ(u )为连续函数.证明 因为被积函数ϕ(x 2)是x 的偶函数, 且积分区间[-a , a ]关于原点对称, 所以有⎰⎰-=aa adx x dx x022)(2)(ϕϕ.4. 设f (x )在[-b , b ]上连续, 证明⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(. 证明 令x =-t , 则dx =-dt , 当x =-b 时t =b , 当x =b 时t =-b , 于是⎰⎰⎰----=--=b b bb bbdt t f dt t f dx x f )()1)(()(,而 ⎰⎰---=-bb bb dx x f dt t f )()(, 所以⎰⎰---=bb bb dx x f dx x f )()(.5. 设f (x )在[a , b ]上连续., 证明⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(. 证明 令x =a +b -t , 则dx =d t , 当x =a 时t =b , 当x =b 时t =a , 于是 ⎰⎰⎰-+=--+=b a ba ab dt t b a f dt t b a f dx x f )()1)(()(, 而 ⎰⎰-+=-+ba badx x b a f dt t b a f )()(,所以⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(.6. 证明:⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dxx dx. 证明 令t x 1=, 则dt tdx 21-=, 当x =x 时x t 1=, 当x =1时t =1, 于是⎰⎰⎰+=-⋅+=+11111211)1(111xxdt t dt t tx dx , 而⎰⎰+=+x x dx x dt t 1121121111, 所以 ⎰⎰+=+1112211x xdx x dx.7. 证明:⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x xm n n m.证明 令1-x =t , 则⎰⎰⎰⎰-=-=--=-10100110)1()1()1()1(dx x x dt t t dt t t dx x x m n n m n m n m , 即⎰⎰-=-1010)1()1(dx x x dx x x m n n m . 8. 证明: ⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.证明 ⎰⎰⎰+=ππππ020sin sin sin xdx xdx xdx nn n,而⎰⎰⎰⎰==---=2020202sin sin ))((sin sinπππππππxdx tdt dt t t x xdx n n nn 令,所以⎰⎰=ππ020sin 2sinxdx xdx n n.9. 设f (x )是以l 为周期的连续函数, 证明⎰+1)(a a dx x f 的值与a 无关.证明 已知f (x +l )=f (x ). ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=+++ala ll la ll a a adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 00001)()()()()()()(,而 ⎰⎰⎰⎰=+=++=+a a ala ldx x f dx l x f dt l t f l t x dx x f 000)()()()(令,所以 ⎰⎰=+la adx x f dx x f 01)()(.因此⎰+1)(a adx x f 的值与a 无关.10. 若f (t )是连续函数且为奇函数, 证明⎰xdt t f 0)(是偶函数; 若f (t )是连续函数且为偶函数, 证明⎰xdt t f 0)(是奇函数. 证明 设⎰=xdt t f x F 0)()(.若f (t )是连续函数且为奇函数, 则f (-t )=-f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x xx ===---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是偶函数.若f (t )是连续函数且为偶函数, 则f (-t )=f (t ), 从而)()()()1)(()()(0000x F dx x f dx u f du u f u t dt t f x F x x x x -=-=-=---==-⎰⎰⎰⎰-令,即⎰=xdt t f x F 0)()(是奇函数.11. 计算下列定积分: (1)⎰-10dx xe x ; 解11011010101021--------=--=+-=-=⎰⎰⎰e e e dx e xe xde dx xe xx x x x .(2)⎰e xdx x 1ln ; 解)1(414121121ln 21ln 21ln 21220212121+=-=⋅-==⎰⎰⎰e x e dx x x x x xdx xdx x ee e e e.(3)⎰ωπω20sin tdt t (ω为常数); 解⎰⎰⎰+-=-=ωπωπωπωπωωωωωωω20202020cos 1cos 1cos 1sin tdt tt t td tdt t 220222sin 12ωπωωωπωπ-=+-=t.(4)⎰32sin ππdx xx;解343432sin ln 4313cot cot cot sin ππππππππππππxxdx xx x xd dx x x++⋅-=+-=-=⎰⎰⎰23ln 21)9341(+-=π.(5)⎰41ln dx x x; 解 ⎰⎰⎰⋅-==4141414112ln 2ln 2ln dx xx x x x xd dx xx )12ln 2(442ln 8122ln 84141-=-=-=⎰x dx x.(6)⎰10arctan xdx x ;解x d x x x x xdx xdx x ⎰⎰⎰+⋅-==1022102102101121arctan 21arctan 21arctan214)41(218)arctan (218)111(21810102-=--=--=+--=⎰πππππx x x d x. (7)⎰02cos πxdx e x ; 解⎰⎰⎰-==022020202sin 2sin sin cos ππππxdx e xe x d e xdx e x x x x⎰⎰⎰-+=-+=+=202202202202cos 42cos 4cos 2cos 2πππππππxdx e e xdx e xe e x d e e x x xx所以)2(51cos 202-=⎰ππe xdx e x ,于是(8)⎰212log xdx x ; 解⎰⎰⎰⋅-==212212221222122ln 121log 21log 21log dx x x x x xdx xdx x2ln 432212ln 212212-=⋅-=x . (9)⎰π02)sin (dx x x ; 解⎰⎰⎰-=-=ππππ02302022sin 4161)2cos 1(21)sin (x d x x dx x x dx x x πππππππ03000332cos 41622sin 412sin 416⎰⎰-=⋅+-=xxd xdx x xx 462sin 81462cos 412cos 416303003ππππππππ-=+-=+-=⎰x xdx x x .(10)⎰edx x 1)sin(ln ; 解法一 ⎰⎰⋅=101sin ln )sin(ln dt e t t x dx x te令.因为⎰⎰⎰-==⋅10101010cos sin sin sin tdt e te tde dt e t t tt t⎰⎰--⋅=-⋅=101010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t⎰-+⋅-⋅=10sin 11cos 1sin tdt e e e t , 所以 )11cos 1sin (21sin 10+⋅-⋅=⎰e e tdt e t .因此)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e. 解法二⎰⎰⎰-⋅=⋅⋅-⋅=e e eedx x e dx x x x x x dx x 1111)cos(ln 1sin 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln ⎰⋅⋅-⋅-⋅=e edx x x x x x e 111)sin(ln )cos(ln 1sin ⎰-+⋅-⋅=edx x e e 0)sin(ln 11cos 1sin , 故)11cos 1sin (21)sin(ln 1+⋅-⋅=⎰e e dx x e . (11)dx x e e⎰1|ln |; 解⎰⎰⎰⎰⎰-++-=+-=eee eee e e dx dx xx x x dx x dx x dx x 1111111111ln ln ln ln |ln |)11(2)1()11(1ee e e e -=---++-=.(12)⎰-102)1(dx xm (m 为自然数); 解⎰⎰+=-2011022cos sin )1(πtdt t x dx xm m 令.根据递推公式⎰⎰--=20220cos 1cos ππxdx n n xdx n n ,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=-⎰为偶数为奇数m m m m m m m m m m m m m m dx x m325476 34121 2214365 34121)1(1022π. (13)⎰=π0sin xdx x J m m (m 为自然数). 解 因为⎰⎰⎰⎰-=----=ππππππππ0000sin sin )1)((sin )(sin tdt t tdt dt t t t x xdx x mm m m 令,所以 ⎰⎰⎰⎰=⋅===20200sin sin 22sin 2sin πππππππxdx xdx xdx xdx x J m m mmm (用第8题结果).根据递推公式⎰⎰--=20220sin 1sin ππxdx n n xdx n n , ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=为奇数为偶数m m m m m m m m m m m m m m J m 325476 45231 2214365 452312ππ.习题5-71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1)⎰+∞14xdx; 解 因为3131)31(lim 3131314=+-=-=-+∞→+∞-+∞⎰x x x dx x , 所以反常积分⎰+∞14x dx收敛, 且3114=⎰∞+x dx . (2)⎰+∞1xdx ;解 因为+∞=-==+∞→+∞∞+⎰22lim 211x xxdx x , 所以反常积分⎰+∞1xdx 发散.(3)dx e ax ⎰+∞-0(a >0); 解 因为aa e a e adx e ax x ax ax 11)1(lim 100=+-=-=-+∞→+∞-+∞-⎰, 所以反常积分dx e ax ⎰+∞-0收敛, 且adx e ax 10=⎰+∞-.(4)⎰+∞-0ch tdt e pt (p >1); 解 因为1]1111[21][21ch 2)1()1(0)1()1(0-=+--=+=+∞+--∞++--∞+-⎰⎰p p e pe p dt e e tdt e tp t p t p tp pt ,所以反常积分⎰+∞-0ch tdt e pt 收敛, 且1ch 20-=⎰∞+-p p tdt e pt .(5)⎰+∞-0sin tdt e pt ω(p >0, ω>0); 解⎰⎰+∞-+∞--=0cos 1sin t d e tdt e pt pt ωωω⎰⎰+∞-+∞-+∞--=-⋅+-=020sin 1)(cos 1cos 1t d e pdt pe t te pt pt pt ωωωωωωω⎰+∞-+∞--⋅+-=0202)(sin sin 1dt pe t pte p ptpt ωωωωω⎰+∞--=022sin 1tdt e p pt ωωω,所以 22sin w p tdt e pt +=⎰+∞-ωω.(6)⎰+∞∞-++222x x dx;解 πππ=--=+=++=++⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-)2(2)1arctan()1(12222x x dxx x dx .(7)dx xx ⎰-121;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.11)1(lim 112110212=+--=--=--→⎰x x dx x x x . (8)⎰-22)1(x dx;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点. 因为⎰⎰⎰-+-=-212102202)1()1()1(x dxx dx x dx , 而 +∞=--=-=--→⎰111lim 11)1(110102xx x dx x ,所以反常积分⎰-202)1(x dx发散. (9)⎰-211x xdx ;解 这是无界函数的反常积分, x =1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1-+-=-+-=-⎰⎰x x dx x x x xdx322]12)1(32[lim 3831=-+--=+→x x x . (10)⎰-ex x dx 12)(ln 1.解 这是无界函数的反常积分, x =e 是被积函数的瑕点.2)arcsin(ln lim )arcsin(ln ln )(ln 11)(ln 111212π===-=--→⎰⎰x x x d x x x dx ex e ee.2. 当k 为何值时, 反常积分⎰+∞)(ln kx x dx收敛? 当k 为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解 当k <1时, +∞=-==+∞+-+∞+∞⎰⎰2122)(ln 11ln )(ln 1)(ln k k k x k x d x x x dx ;当k =1时, +∞===+∞+∞+∞⎰⎰222)ln(ln ln ln 1)(ln x x d x x x dxk ; 当k >1时,k k kkk x kx d x x x dx -+∞+-+∞+∞-=-==⎰⎰12122)2(ln 11)(ln 11ln )(ln 1)(ln . 因此当k >1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx 收敛; 当k ≤1时, 反常积分⎰+∞0)(ln k x x dx发散. 当k >1时, 令k kk x x dx k f -∞+-==⎰10)2(ln 11)(ln )(, 则 )2ln ln 11()1(2ln ln )2(ln 2ln ln )2(ln 11)2(ln )1(1)(21112+---=----='---k k k k k f k kk. 令f '(k )=0得唯一驻点2ln ln 11-=k . 因为当2ln ln 111-<<k 时f '(k )<0, 当2ln ln 11->k 时f '(k )>0, 所以2ln ln 11-=k 为极小值点,同时也是最小值点, 即当2ln ln 11-=k 时, 这反常积分取得最小值 3. 利用递推公式计算反常积分⎰+∞-=0dx e x I x n n . 解 因为101000-+∞--+∞-+∞-+∞-=+-=-==⎰⎰⎰n x n x n x n x n n nI dx e x n e x de x dx e x I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1. 又因为 1000001=-=+-=-==+∞-+∞-+∞-+∞-+∞-⎰⎰⎰xx xx x e dx e xe xde dx xe I ,所以 I n = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅I 1=n !.总习题五1. 填空:(1)函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的______条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积______的条件;解 函数f (x )在[a , b ]上(常义)有界是f (x )在[a , b ]上可积的___必要___条件, 而f (x )在[a , b ]上连续是f (x )在[a , b ]上可积___充分___的条件;(2)对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的______条件;解 对[a , +∞)上非负、连续的函数f (x ), 它的变上限积分⎰xa dx x f )(在[a , +∞)上有界是反常积分⎰+∞a dx x f )(收敛的___充分___条件;(3)绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定______; 解 绝对收敛的反常积分⎰+∞a dx x f )(一定___收敛___;(4)函数f (x )在[a , b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰ba dx x f )(______存在. 解 函数f (x )在[a ,b ]上有定义且|f (x )|在[a , b ]上可积, 此时积分⎰b a dx x f )(___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1)∑=∞→+n i n nin 111lim ;解 )122(32)1(32111lim 103101-=+=+=+⎰∑=∞→x dx x n i n n i n . (2)121lim+∞→+⋅⋅⋅++p pp p n nn (p >0);解 11111])( )2()1[(lim 21lim 101101+=+==⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++∞→+∞→⎰p x p dx x n n n n n n n p p p p p n p p p p n . (3)nn nn !lnlim ∞→; 解 ]ln 1)ln 2ln 1(ln 1[lim !lnlim n n nn n n n n nn ⋅-+⋅⋅⋅++=∞→∞→nn n n n n 1)]ln (ln )ln 2(ln )ln 1[(ln lim ⋅-+⋅⋅⋅+-+-=∞→⎰=⋅+⋅⋅⋅++=∞→10ln 1)ln 2ln 1(ln lim xdx n n n n n n1)ln ()ln (10101010-=-=-=⎰xx x dx x x .(4)⎰-→xaa x dt t f a x x )(lim, 其中f (x )连续; 解法一 )()(lim )(lima af xf dt t f ax x axa ax ==-→→⎰ξξ (用的是积分中值定理). 解法二 )(1)()(lim )(lim )(lim a af x xf dt t f a x dt t f x dt t f a x x xaa x xa a x x a a x =+=-=-⎰⎰⎰→→→ (用的是洛必达法则). (5)1)(arctan lim 22+⎰+∞→x dtt xx .解4)(arctan 1lim 1)(arctan lim 1)(arctan lim 22222202π=+=+=+∞→+∞→+∞→⎰x x x x x x x dtt x x xx . 3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1)⎰⎰----=-=+-=+111111222)1arctan ()1(1)1(1πx xx d x dx ;解 计算不正确, 因为x 1在[-1, 1]上不连续. (2)因为⎰⎰--++-=++111122111t t dt tx x x dx , 所以⎰-=++11201x x dx .解 计算不正确, 因为t1在[-1, 1]上不连续.(3)01lim 122=+=+⎰⎰-∞→+∞∞-A A A dx x xdx x x . 解 不正确, 因为⎰⎰⎰⎰-+∞→+∞→+∞∞--∞→+≠+++=+A A A b b a a dx xxdx x x dx x x dx x x 2020221lim 1lim 1lim 1. 4. 设p >0, 证明⎰<+<+10111p x dx p p. 证明 p pp p p p px x x x x x x ->+-=+-+=+>11111111. 因为⎰⎰⎰<+<-1010101)1(dx x dxdx x pp,而 110=⎰dx , pp p x x dx x p p+=+-=-+⎰1)1()1(10110, 所以⎰<+<+10111pxdx p p. 5. 设f (x )、g (x )在区间[a , b ]上均连续, 证明: (1)⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222;证明 因为[f (x )-λg (x )]2≥0, 所以λ2g 2(x )-2λ f (x )g (x )+f 2(x )≥0, 从而 0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba ba ba dx x f dx x g x f dx x g λλ.上式的左端可视为关于λ的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即0)()(4])()([4222≤⋅-⎰⎰⎰ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f ,亦即 ⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222. (2)()()()212212212)()()]()([⎰⎰⎰+≤+b ab a b a dx x g dx x f dx x g x f , 证明⎰⎰⎰⎰++=+ba ba ba ba dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f )()(2)()()]()([222。
概率论第五章习题解答(全)
10 ) 1 0.90 n 12
即
(
10 ) 0.95 ，查表得 (1.64) 0.95 n 12
n 443 。
令
10 1.64 ，解得 n 12
即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。 4、 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互独立， 且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为 X i ， i 1, 2, ,5000 ，由独立同分布的中心极限定理知
100
i
， 则 X b(100, 0.9) 。 由德莫弗――拉普拉斯定理知，
X 100 0.9 近 100 0.9 0.1
2 10000 i 1
X
i
索赔总金额不超过 2700000 美元的概率
P{ X 2700000} 1` P{ X 270000}
10000
1 P{
X
i 1
i
280 10000
800 100
2700000 2800000 } 80000
10000
1 P{
2 2
X
i 1
16
i
，
于是随机变量
Z
Xi n
i 1
16
2 n
X
i 1
16
i
1600
10000 16
X 1600 近似的服从 N (0,1) 400
P{ X 1920} P{
X 1600 1920 1600 X 1600 } P{ 0.8} 400 400 400 X 1600 1 P{ 0.8} 1 (0.8) ＝ 1 0.7881 0.2119 . 400
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① A是正交矩阵
② ATA=E (或者AAT=E) ③ A可逆，且A-1=AT
④ A的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组 可根据②,③或④证明或验证A是否为正交矩阵. 证法一 由于A是正交矩阵，故A可逆，且
, , …,
于是，是与等价的正交单位向量组. 利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造
出一个规范正交基)
解 取,
再将单位化，可得R3的一组规范正交基，
,,
2. 已知, ① 求两个向量，使它们与构成非零正交向量组. ② 已知A是正交矩阵，且第一列为，求A. [分析] ①求与一组n维列向量正交的非零向量，可利用 “齐次线性方程组 Ax=O的解集合是与A的行向量都正交的全部向量”，步骤如下：
4. 设.
①已知A可对角化，试说明理由； ②求可逆矩阵P和对角阵，使得P-1AP=； ③求Ak； ④设(x)=x2-2x-3，求(A)
[分析] 若A可对角化，即，存在可逆矩阵P使得P-1AP=，则可逆阵P和对 角阵可按如下方式求出：
(1) =diag(1, 2, …, n)，其中1, 2, …, n就是A的n个特征值； (2)
再将特征值 代入并求解. 对1=2=3，解，由 得基础解系 , ，即，对应于特征值3的特征向量. 对3= 0，解，由 得基础解系，即，对应于特征值0的特征向量. 由于二重特征值1=2=3有两个线性无关的特征向量 (即，A的每个特征值 的重数 = 属于该特征值的线性无关的特征值向量的最大个数)，故A可对 角化.
R(2E-A+A+E) = R(3E) = n (**) 由(*)(**)两式得，R(A-2E)+ R (A+E) =n，即，
[n- R(A-2E)]+ [n- R (A+E) ]=n 上式表明， (A-2E) x=0和 (A+E) x=0的基础解系共含有n个线性无关的 解向量，即A总共有n个线性无关的特征向量，所以A可对角化.
再将正交化， ；
(是基础解系的非零线性组合，所以仍然与正交)
于是，,构成一个非零正交向量组. ② 是一个单位向量，再将上面求出的单位化，有
,
它们与共同构成了一个正交单位向量组，于是
【思考题】已知A是正交矩阵，A*是A的伴随矩阵. 证明：A*也是正交矩阵. [提示：利用伴随矩阵的性质以及正交矩阵的性质，证明(A*)T
A-2E =O，即A=2E
所以A可对角化. [此时，对任意n阶可逆阵P，都有P-1AP=2P-1EP=2E)]
②同理，如果A的特征值仅为-1，可得A=-E，A可对角化. ③ 如果2和-1都是A的特征值，根据矩阵秩的性质，有
(A-2E)(A+E)=O R(A-2E)+ R (A+E)n (*) 以及，R(A-2E)+ R (A+E))= R(2E-A)+ R (A+E)
以为行向量构造矩阵 然后解齐次线性方程组Ax=O，可得基础解系，则基础解系的任意非零 线性组合都是与正交的非零向量. ② 由于A是n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组(或行向量组)是
正交单位向量组(即Rn的规范正交基)，因此，要构造出一个n阶正交矩
阵，需要有n个n维正交单位向量. 解 ① 建立齐次线性方程组，即 解之，得基础解系, ，它们都与正交
解 由于，故A的全部特征值为1, 0, -2.
令f(x)=x3-2x+1，则f(A)=A3-2A+E的全部特征值为f(1)=0, f(-2)=-3，于是
f(0)=1,
5. 设A2-A-2E=O，但A2E且A-E. 证明：A的全部特征值为2和-1.
证 A2-A-2E=O (A-2E) (A+E)=O 两边取行列式，得或 故A的特征值为2或-1 . (注意，根据条件A2-A-2E=O尚未确定A的特征 值，只是知道特征值取自2或-1) 下面证明2和-1必然都是A的特征值. ①已知(A-2E)(A+E)=O，其中A+EO，故A+E是矩阵方程(A-2E)X=O的一 个非零解，因此R(A-2E)<n，即A-2E=0，亦即2是矩阵A的特征值. 也可按以下方式证明2是矩阵A的特征值： 证二 已知(A-2E)(A+E)=O，将(A+E)和O按列分块，可得A+E的列向量都 是齐次线性方程组(A-2E)x=0的解. 又因为A+EO (即A+E中有非零列向 量)，故(A-2E)x=0有非零解，于是R(A-2E)<n，即A-2E=0，所以2是矩 阵A的特征值. 证三 反证法. 如果2不是A的特征值，则A-2E0，即A-2E可逆，对(A-2E) (A+E)=O两边左乘(A-2E)-1，得A+E=O，与已知条件A -E矛盾，故假设 不成立. ②已知(A-2E)(A+E)=O，其中A-2EO，转置，得(A+E)T(A-2E)T=O，(A2E)TO，故(A-2E)T是矩阵方程(A+E)TX=O的一个非零解，因 此R(A+E)T<n，即A+E=(A+E)T=0，亦即-1是矩阵A的特征值.
(伴随矩阵的性质) 于是，
由于(正交矩阵的性质)，得，故A*是正交矩阵
证法二 由于A是正交矩阵，故A可逆，且. 于是，
由于，由以上两式得，所以A*是正交矩阵.
A*=E或者
第二节 矩阵的特征值和特征向量
1. 求矩阵的特征值和特征向量
[分析] 对于n阶“数值”方阵A，求特征值和特征向量的步骤如下： ①解特征方程，得A的全部特征值(包括重根共n个)； ②将A的每个特征值i代入齐次线性方程组，求基础解系，则基础解系的 所有非零线性组合就是A的属于特征值i的全体特征向量(即解集合中除 零向量外的全体解向量). (注意，根据定义，特征向量必须是非零向量)
于是有
A =0 ( 0) ”，由
3. 设，已知AT的特征值为1, 4, -2，求a, b的值.
[分析] 3阶方阵有3个特征值. 由于A和AT有相同的特征值，故A的全部特 征值是1=1, 2=4, 3=-2. 解一 [利用定理：tr(A)= 1+2+…+n；A=12…n.]
A和AT有相同的特征值，故A的全部特征值是1, 4, -2，于是 tr(A)=2+1+b=1+4-2；=2(2a-b) =14(-2).
【思考题1】设A是正交矩阵，且，证明-1是A的特征值 [分析] 要证明-1是A的特征值，就是要证明A+E=0. 证 A是正交矩阵 ATA=E，于是
已知，于是，即A+E=0，所以-1是A的特征值.
【思考题2】已知 是n阶矩阵A的属于特征值 的特征向量，P是n阶可逆 矩阵，证明：也是矩阵P-1AP的特征值，并且P-1 是对应于该特征值的特 征向量. [分析] 要证明结论成立，就是要证明(P-1AP)(P-1)=(P-1)成立，并且P-1 是
A有一个特征值 0= -3 于是，有一个特征值.
第三节 相似矩阵
1. 设A和B都是n阶矩阵，且A可逆，证明：AB和BA相似. [分析] 根据相似矩阵的定义，要证明AB和BA相似，就是要证明“存在可 逆矩阵P，使得P-1(AB)P=BA”. 证 A是可逆矩阵，并且
A-1(AB)A = (A-1A)(BA) = BA 根据定义，AB和BA相似.
【思考题1】设三阶矩阵A的特征值为1, 1, -2，相应的特征向量分别为 ,,,
① A是否可对角化？②求矩阵A. 解 根据题设条件，有, , ，即
，记作
① 由于，可逆，即R(P)=3，故特征向量线性无关，所以矩阵A可对角化 (3阶方阵A有3个线性无关的特征向量). ②
(式中P-1可用初等变换法求出，略) 【思考题2】若A是n阶矩阵，A O，但存在一个大于1的整数m使得，证 明：A不可对角化. 证法一 (利用矩阵可对角化的充分必要条件) 由于Am=O，所以Am的特征值全为0.
解 A的特征方程为：
故特征值为(单重特征值),(三重特征值，解 得基础解系 所以，是对应于的全部特征向量.
② 对，解
得基础解系 所以，是对应于的全部特征向量. 2. 设，并且是A的一个特征向量，求参数a,b的值以及 所对应的特征值.
[分析] 根据定义，“是方阵A的属于特征值0的特征向量 此可建立方程. 解 设对应的特征值为0，则[或]，即
2. 设，. 已知A和B相似，求a, b的值.
解法一 (相似矩阵的特征值相同)
B是对角阵，其特征值就是主对角元1, 4, b. 由于A与B相似，故A的特征值也是1, 4, b，于是
tr(A)=2+1+a=1+4+b；= -2(a+4) =14b 得a=0, b=-2 解法二 (1. 相似矩阵的多项式也是相似矩阵；2. 相似矩阵的行列式相等)
，其中就是属于各个特征值的线性无关的特征向量，也就是的基础解 系.
注意，由于的基础解系不是唯一的，故可逆阵P也不是唯一的. 另外，可
逆阵P中各个特征向量的次序必须和对角阵中的各个特征值的次序一致. 利用方阵的对角化，可进一步求方阵的幂和多项式： 已知
，则 (1)
，其中；
(2)
，其中.
解 ① 先求A的特征值. 得特征值1=2=3(二重根)，3= 0(单重根).
另外，相似关系属于一种等价关系(具有反身性、对称性、传递性). 因 此，如果已知A和B相似，并且B和对角阵相似(B可对角化)，则A也和对 角阵相似(A可对角化). 解 ①②都是可对角化的，理由：对角阵以及上(下)三角矩阵的特征值就 是主对角元，于是3阶方阵①和②皆有3个不同的特征值，所以可对角 化. ③可对角化，理由：③是实对称矩阵.
[分析] 矩阵可对角化是指：存在可逆矩阵P，使得A和对角阵相似，