高数中的重要定理与公式及其证明(一)学习资料
高数学公式和知识点笔记
高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含众多的公式和知识点。
以下是为您整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对您的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种对应关系，对于定义域内的每个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
2、基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
3、极限的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数，这个常数就是极限。
4、极限的计算方法（1）代入法：直接将趋近的值代入函数。
（2）化简法：通过约分、通分等方法化简函数。
（3）等价无穷小替换：在求极限时，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量替换。
5、两个重要极限（1）＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x\to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的变化率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。
3、基本函数的导数公式（1）＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄（2）＄（＼sin x)＇＝＼cos x$（3）＄（＼cos x)＇＝＼sin x$（4）＄（e^x)＇＝ e^x$（5）＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄4、导数的四则运算（1）＄（u ＋ v)＇＝ u' ＋ v'＄（2）＄（u v)＇＝ u' v'＄（3）＄（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＄（4）＄（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＄5、复合函数求导法则设$y ＝ f(g(x)）＄，则$y' ＝ f'（g(x)）＼cdot g'（x)＄6、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数$f(x)＄满足：在闭区间$a, b$上连续，在开区间$（a, b)＄内可导，且$f(a) ＝f(b)＄，那么在$（a, b)＄内至少存在一点$＼xi$，使得$f'（＼xi) ＝ 0$。
考研高等数学有哪些重要定理证明
考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。
店铺为大家精心准备了考研高等数学定理证明的复习指导，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
高数中的重要定理与公式及其证明
高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx→=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明：0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11t t te →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
高等数学知识点梳理
高等数学知识点梳理
高等数学是一门较为复杂的学科，涵盖了许多不同的知识点。
以下是一些常见的高等数学知识点的梳理：
1. 极限与连续
- 函数极限与数列极限
- 极限的运算法则
- 极限存在准则
- 无穷小与无穷大
- 连续函数与间断点
2. 导数与微分
- 导数的定义与性质
- 高阶导数和导数的应用
- 微分的定义和性质
- 微分中值定理
3. 积分与不定积分
- 不定积分的定义和性质
- 定积分的定义和性质
- 积分基本公式和换元法
- 积分的应用：曲线长度、曲面面积、旋转体体积等
4. 微分方程
- 常微分方程的基本概念与分类
- 一阶常微分方程的解法
- 高阶常微分方程的解法
- 常系数线性方程组的解法
5. 多元函数与偏导数
- 多元函数的极限与连续
- 偏导数与全微分
- 隐函数与参数方程的求导
- 多元函数的极值与条件极值
6. 无穷级数与幂级数
- 数项级数的收敛与发散
- 正项级数的审敛法
- 幂级数的收敛半径与收敛区间
- 幂级数的和函数和求和法
7. 多元函数的积分学
- 重积分的定义和性质
- 转换坐标系下的重积分
- 曲线积分和曲面积分的计算
- 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
这些是高等数学中一些重要的知识点，但还有许多其他知识点需要进一步学习和了解。
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
高等数学重要基本定理的证明
十、拐点的充分判别法及必要条件
十一、洛必达法则
十二、定积分的比较与定积分中值定理
十三、变限积分函数的连续性与可导性
十四、牛顿．莱布尼兹公式
十五、曲线积分与路径无关问题
高等数学重要基本定理的证明
一、连续函数的零点定理与介值定理
二、函数的可微性，可导性及连续性的关系
三、微分中值定理
四、导函数的性质——可导函数的间断点一定是第二类间断点
五ห้องสมุดไป่ตู้导函数的性质——导函数一定取中间值
六、函数单调性的充要判别法
七、函数极值点的充分判别法
八、一阶可导函数凹凸性的充要判别法
高等数学常用公式与定理总结
高等数学常用公式与定理总结作为一门基础学科，高等数学在各个领域中发挥着重要的作用。
学习高等数学，掌握一些常用的公式与定理是非常必要的。
本文将对高等数学常用的公式与定理进行总结，以供读者参考和下载使用。
一、常用公式总结1. 三角函数公式- 正弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC- 正切公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)2. 导数与微分公式- 导数的链式法则：若y = f(u)和u = g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))的导数为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)- 微分的乘法法则：若z = u * v，则dz = u * dv + v * du- 微分的复合法则：若z = f(u)且u = g(x)都可导，则复合函数z = f(g(x))的微分为：dz = f'(g(x)) * g'(x) * dx3. 级数公式- 幂级数：若幂级数∑(n=0,∞)an(x-a)^n的收敛半径为R，则在收敛区间内函数f(x)的表达式为：f(x) = ∑(n=0,∞)an(x-a)^n- 等比数列的和：如果|q| < 1，则等比数列∑(n=0,∞)aq^n的和为：S = a / (1 - q)二、常用定理总结1. 一元函数极值定理设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在(a, b)内具有极值，那么它的极值点必定在(a, b)内的某个驻点或者两个端点上。
2. 泰勒公式设函数f(x)在点a附近有直到n阶的连续导数，那么函数在点a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)3. 全微分定理设函数z = f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内偏导数存在且连续，那么在点(x0, y0)处可微分，且有：δz = ∂f/∂x * δx + ∂f/∂y * δy三、总结与下载通过本文的总结，我们对高等数学的常用公式与定理进行了梳理。
高数定理定义总结
高数定理定义总结高数定理定义总结高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}肯定有界。
假如数列{xn}无界，那么数列{xn}肯定发散；但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}肯定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则假如数列{xn}、{yn}、{zn}满意下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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高数中的重要定理与公式及其证明(一)
高数中的重要定理与公式及其证明（一）
考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材
上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
1）常用的极限
0ln(1)lim 1x x x
→+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2
x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限10lim(1)x
x x e →+=与0sin lim 1x x x
→=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明：
0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x
→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x
→+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim 11
t t t e →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim 1x x e x
→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x
→→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
因此有01lim ln x x a a x
→-=。
0(1)1lim a x x a x
→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x
+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限。
201cos 1lim 2
x x x →-=：利用倍角公式得22220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 22
2x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭。
2）导数与微分的四则运算法则 '''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv
uv u v uv uv vdu udv
u vu uv u vdu udv v v v v v ±=±±=±=+=+--==≠
【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。
3）链式法则
设(),()y f u u x ϕ==，如果()x ϕ在x 处可导，且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导，且有：
[]'''(())()()dy dy du f x f u x dx du dx
ϕϕ==或
【点评】：同上。
4）反函数求导法则
设函数()y f x =在点x 的某领域内连续，在点0x 处可导且'()0f x ≠，并令其反
函数为()x g y =，且0x 所对应的y 的值为0y ，则有：
'0''00111()()(())dx g y dy f x f g y dy dx
=
==或 【点评】：同上。
5）常见函数的导数
()'1x x ααα-=，
()
'sin cos x x =，()'cos sin x x =-， ()
'1ln x x =，()'1log ln a x x a =， ()'x x e e =，()'ln x x a e a =
【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。
实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
证明：
()'1x x ααα-=：导数的定义是'0()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆，代入该公式得 ()'
1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x
x
ααααααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆
-====∆∆∆。
最后一步用到了极限0(1)1lim a x x a x
→+-=。
注意，这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形。
0x =的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。
()
'sin cos x x =：利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆，由和差化积公式得002cos()sin sin()sin 22lim lim cos x x x x x x x x x x
x
∆→∆→∆∆++∆-==∆∆。
()'cos sin x x =-的证明类似。
()'1ln x x =
：利用导数定义()'00ln(1)ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆++∆-===∆∆。
()
'1log ln a x x a =的证明类似（利用换底公式ln log ln a x x a
=）。
()'x x e e =：利用导数定义()()'001lim lim x x x x x x x x x e e e e e e x x
+∆∆∆→∆→--===∆∆。
()'ln x x a e a =的证明类似（利用对数恒等式ln x x a a e =）。