高数中的重要定理与公式及其证明(一)
高数公式(精简版)
高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学概念定理推论公式
高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。
·假设自变量x 在定义域X 内每获得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否那么就是多值函数。
·假设函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；假设x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。
·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·假如数列收敛，必然是有界的； ·有界的数列不必然都是收敛的； ·无界数列必然是发散的。
·假如0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。
·假如f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。
·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要前提是左右极限都存在且相等。
·假如函数()f x 为无穷大，那么1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。
·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，假如函数可表示为常数及无穷小，那么该常数就是函数的极限。
·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。
·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。
·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。
高数中的重要定理与公式及其证明
高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx→=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明：0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11t t te →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
高等数学常用公式与定理总结
高等数学常用公式与定理总结作为一门基础学科，高等数学在各个领域中发挥着重要的作用。
学习高等数学，掌握一些常用的公式与定理是非常必要的。
本文将对高等数学常用的公式与定理进行总结，以供读者参考和下载使用。
一、常用公式总结1. 三角函数公式- 正弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC- 正切公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)2. 导数与微分公式- 导数的链式法则：若y = f(u)和u = g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))的导数为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)- 微分的乘法法则：若z = u * v，则dz = u * dv + v * du- 微分的复合法则：若z = f(u)且u = g(x)都可导，则复合函数z = f(g(x))的微分为：dz = f'(g(x)) * g'(x) * dx3. 级数公式- 幂级数：若幂级数∑(n=0,∞)an(x-a)^n的收敛半径为R，则在收敛区间内函数f(x)的表达式为：f(x) = ∑(n=0,∞)an(x-a)^n- 等比数列的和：如果|q| < 1，则等比数列∑(n=0,∞)aq^n的和为：S = a / (1 - q)二、常用定理总结1. 一元函数极值定理设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在(a, b)内具有极值，那么它的极值点必定在(a, b)内的某个驻点或者两个端点上。
2. 泰勒公式设函数f(x)在点a附近有直到n阶的连续导数，那么函数在点a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)3. 全微分定理设函数z = f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内偏导数存在且连续，那么在点(x0, y0)处可微分，且有：δz = ∂f/∂x * δx + ∂f/∂y * δy三、总结与下载通过本文的总结，我们对高等数学的常用公式与定理进行了梳理。
大学高等数学定理公式共11页
大学高等数学定理公式共11页在大学学习中，高等数学是一门重要的学科，其中包含了许多重要的定理和公式。
本文将总结和介绍大学高等数学中的一些重要定理和公式，共有11页。
请注意，文章中不会列举具体的定理和公式内容，仅用文字和排版格式来呈现。
第一页：高等数学定理公式总结第二页：1.导数和微分让我们先从导数和微分开始。
导数是用于衡量函数在某一点上的变化率。
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点上的局部线性近似。
第三页：2.极限和连续性极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上无限接近某个特定值的行为。
连续性则描述了函数在一个区间上的无间断性。
第四页：3.积分和不定积分积分是求解函数下方某个区间内面积的过程，而不定积分则是对函数求解原函数的过程。
第五页：4.级数和收敛性级数是无穷多个数的和，而收敛性则用于判断级数是否有一个有限的和。
第六页：5.微分方程微分方程是描述变化率和未知函数之间关系的方程，是许多实际问题的数学描述工具。
第七页：6.向量和矩阵向量是有方向和大小的量，矩阵是一个二维数组。
它们在数学和物理中具有广泛的应用。
第八页：7.多元函数与偏导数多元函数是有多个自变量的函数，偏导数是多元函数对某个自变量的导数。
第九页：8.二重积分和三重积分二重积分用于求解平面上某个区域内的曲面面积，三重积分用于求解空间内某个区域的体积。
第十页：9.曲线积分和曲面积分曲线积分用于求解曲线上的某个量，曲面积分用于求解曲面上的某个量。
第十一页：10.傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，而傅里叶变换则将一个非周期函数分解为一系列复指数函数的积分。
第十二页：这就是高等数学中一些重要的定理和公式的总结。
通过对这些内容的学习与理解，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，并在大学数学课程中取得良好的成绩。
注意：以上内容仅为示例，实际的定理和公式请根据需要自行添加和修改。
同时，文章排版和格式请根据需要进行调整，确保文章整洁美观，语句通顺，表达流畅。
高等数学十大定理公式
高等数学十大定理公式摘要：1.高等数学概述2.高等数学中的十大定理公式3.总结正文：【高等数学概述】高等数学是数学的一个重要分支，主要研究多元函数微分学、积分学、级数、常微分方程、线性代数等。
高等数学在工程、物理、化学等自然科学领域中具有广泛的应用，是这些学科的基础。
在高等数学的学习过程中，理解和掌握一些重要的定理和公式对于提高解题能力至关重要。
【高等数学中的十大定理公式】1.洛必达法则：求极限的一种方法，通过求导来解决极限问题。
2.泰勒公式：用多项式来表示函数的近似值，可以用来求解函数的值、导数和误差。
3.柯西中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的值等于该点的导数。
4.罗尔定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间端点的函数值相等，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的导数等于0。
5.牛顿- 莱布尼茨公式：定积分与原函数的关系，可以用来求解定积分。
6.积分中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可积，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的积分等于该点的平均值。
7.拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数的积分等于该点的导数与区间长度的乘积。
8.柯西- 施瓦茨不等式：求和的不等式，可以用来求解最值问题。
9.空间解析几何中的向量公式：用来求解向量的模、夹角和投影。
10.微分方程解法：一阶微分方程的解法，如分离变量法、常数变易法等。
【总结】高等数学中的十大定理公式是学习高等数学的重要基础，对于解决各类问题具有指导意义。
高数(一)微积分公式(重要)
R(P)的导数
4.4 曲线的凹凸性和拐点 定理 1 如果 f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内 （1）f＇＇(x)＞0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （2）f＇＇(x)＜0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的。 曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。 2．拐点的求法 拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。 设函数 f(x)在 x0 的邻域内二阶可导且 f＇＇(x0)=0 或者二阶不可导： （1）x0 两侧 f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点； （2）x0 两侧 f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。 4 3 例 2、求曲线 y=3x -4x +1 的拐点及凹凸的区间。 解：
特殊角的三角函数值
例 1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。 （1）已知 tanx=3 求其他的三角函数值 斜边^2=a^2+b^2
Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx ①倒数关系：
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 1、0.∞型
。
步骤：
，或
。
3、
型
步骤： 一、单调性的判别法
用导数取得极限值后代入原极限对数 E
定理 设函数 y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， （1）如果在（a,b）内 f＇(x)＞0，那么函数 y=f(x),在[a,b]上单调增加； （2）如果在（a,b）内 f＇(x)＜0，那么函数 y=f(x)在[a,b]上单调减少。 例 1、讨论函数 解： 的单调性。
2024年考研数学高等数学部分重要基本定理证明
数学高等数学部分重要基本定理证明（数学一）本文将对2024年考研数学高等数学部分的几个重要基本定理进行证明，包括连续函数的一致连续性、可导函数的连续性、可导函数的增量有界性以及闭区间上函数的连续性。
首先，我们来证明连续函数的一致连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x1-x2，<δ时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
要证明函数的一致连续性，即要证明对于任意ε>0，不论取如何小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
反证法：假设对于一些ε>0，不论取多小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
则对于这个ε>0，无论如何选择δ，总可以找到这样的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
由连续函数的定义可知，当，x1-x2，足够小时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
这与我们的假设矛盾。
综上所述，连续函数的一致连续性成立。
接下来证明可导函数的连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上可导，则对于任意x∈(a,b)，f(x)在x处连续。
要证明函数的连续性，即对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε成立。
根据可导函数的定义可知，当x足够接近x0时，有，f(x)-f(x0)，<ε'成立，其中ε'是一个任意小的正实数。
取ε'=ε/2，则对于ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε'=ε/2成立。
又由于f(x0)-f(x0)=0<ε/2成立，所以有，f(x)-f(x0)，≤，f(x)-f(x0)，+，f(x0)-f(x0)，<ε/2+ε/2=ε成立。
综上所述，可导函数的连续性成立。
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高数中的重要定理与公式及其证明（一）
考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
1）常用的极限
0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1
lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1
lim(1)x
x x e →+=与
0sin lim
1x x
x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技
巧。
证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1
0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x
→+=。
01
lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0
lim
11
t t t
e →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01
lim
1x x e x
→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011
lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim
ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
因此有01
lim ln x x a a x
→-=。
0(1)1lim a x x a x
→+-=：利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x
+++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个和第二个极限。
201cos 1lim 2
x x x →-=：利用倍角公式得2
2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭。
2）导数与微分的四则运算法则
'''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv uv u v uv uv vdu udv u vu uv u vdu udv v v v v v
±=±±=±=+=+--==≠
【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。
3）链式法则
设(),()y f u u x ϕ==，如果()x ϕ在x 处可导，且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导，且有：
[]'
''(())()()dy dy du f x f u x dx du dx
ϕϕ==或
【点评】：同上。
4）反函数求导法则
设函数()y f x =在点x 的某领域内连续，在点0x 处可导且'()0f x ≠，并令其反函数为()x g y =，且0x 所对应的y 的值为0y ，则有：
'0''00111
()()(())dx g y dy
f x f
g y dy dx
=
==或 【点评】：同上。
5）常见函数的导数
()'
1x x ααα-=，
()'
sin cos x x =，()'
cos sin x x =-， ()
'
1ln x x =
，()'1log ln a x x a
=， ()'
x x e e =，()'
ln x x a e a =
【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。
实际上，
掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
证明：
()'1
x x ααα-=：导数的定义是'0()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆，代入该公式得 ()'1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x
x
αααα
ααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆-====∆∆∆。
最后一步用到了极限0(1)1
lim
a x x a x
→+-=。
注意，这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形。
0x =的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。
()'
sin cos x x =：利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆，由和差化积公式得002cos()sin
sin()sin 22lim lim cos x x x x
x x x x x x x ∆→∆→∆∆++∆-==∆∆。
()'cos sin x x =-的证明类似。
()'1ln x x =：利用导数定义()'00ln(1)
ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x
∆
→∆→∆++∆-===∆∆。
()'
1log ln a x x a =
的证明类似（利用换底公式ln log ln a x x a
=）。
()'
x x
e e
=：利用导数定义()
()'
001lim lim x x x x
x x x x x e e e e
e e x x
+∆∆∆→∆→--===∆∆。
()'
ln x x a e a =的证明类似（利用对数恒等式ln x x a a e =）。