自动搜索平衡车的两种数学模型

一、研究背景及意义
自动搜索平衡车的两种数学模型。

它是用小车及车上倒置的摆模拟控制火箭垂直起飞的装置。

外力u(t)目的使摆保持与车身垂直。

火箭起飞阶段必须维持与地面垂直，待到达指定速度和高度后才开始转弯。

倘若火箭在起飞阶段受侧风干扰，火箭轴线偏离铅垂线一个小角度，则在重力作用下偏离角度会越来越大最终导致发射失败。

为防止失败．在火箭轴线刚偏离垂直位置时，应启动发动机产生横向力校正火箭位置使其与地面垂直。

为使问题简化，设车与摆只在平面内运动并忽略杆的质量，电机本身的惯性，摩擦，风力等因素，设摆球质量为m ，车质量为M ，摆长为l 。

二、建模机理
令H(t)和V(t)分别是小车通过铰链作用于杆也就是作用于摆球的水平分力和垂直分力。

当然杆通过铰链作用于车的反作用力为—H(t)和—V(t)。

应用牛顿定律得到：小车水平方向
)()()(y t H t u t M -=。

（2-1） 摆水平方向
2
..
..
..
22
)(sin cos )
sin ()(θθθθθml ml y m l y dt d m t H -+=+= （2-2）
摆垂直方向
)cos ()(22
θl dt
d m mg t V =- 2
...
)(cos sin θθθθml ml --= （2-3）
力的分解
θ
θ
cos sin )()(=t V t H （2-4） 将式（2）带入式（1）得到
)()(sin cos )(2.
....t u ml ml y m M =-++θθθθ
将式（2-2）、（2-3）代入式（2-4）得到
θ
θ
θθθθθθθθcos sin )(cos sin )(sin cos ..
2
.
....
2
.
..
=
---+l l g l l y 三、模型简化
上面两式均系非线性方程。

该系统目的在于控制摆与地面垂直，可以认为θ(t)和
)(t 。

θ都接近于零。

在此假设下，取sin θ(t)≈θ(t)，cos θ(t)≈l ，同时略去此θ(t)，)
(t 。

θ更高阶的无穷小量，经过如此线性化后得到
)(..
..t u ml y m M =++θ）
（ （2-5） 0..
..
=-+θθg l y （2-6）
对式（5）和式（6）等号两边分别取拉氏变换并令初始条件为零便求出由u （t ）到y(t)的传递函数)(g s yu 和由u(t)到θ(t)的传递函数
)(s g u
θ分别如下：
])([)(222g m M Mls s g ls s g yu +--= (2-7)
g
m M Mls s g u )(1
)(2+--=θ (2-8)
或者写为
)()()()()(s u s s s s y g g u yu ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡θθ （2-9）
式（9）是系统频域中输入一输出描述式，为了推导它的动态方程式选取相变量作为状态变量，即 y x
=1
，。

y x
=2
，
θ=x
3
，。

θ=x 4 （2-10）
由式(5)和(6)导出
u M
M mg u M M mg y x x 1
132--=+-==θ。

u Ml
Ml g m M u Ml Ml g m M x x 1
)(1)(3
..
4.
-+=-+==θθ 得
)(1
010)()()()(0)(0
010*********
)()()()(4321.4.3.2.1t u M M t t t t g Ml m M g M
m t x t x t x t x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡（2-11) y=(1 0 0 0)x(t)
注意，本例得到的数学模型只适用θ(t)和)(t 。

θ很小的情况。

假设自动平衡车的参数为
2
/10,1,1,4s m g m l kg m kg M ====
则有
[]
00
0125.0-025.0005
.120
100005.2-00
0010=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=C B A
所以系统的状态空间表达式为：
[]X
y u X X 000125.0025.0005.1200
0005.20000
10
.
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=
4 系统能控性和能观性判别
控制系统的能控性和能观性是建立在状态空间描述的基础上的。

状态方程描述了输入()t u 引起状态()t x 变化的过程；输出方程则描述了由状态()t x 变化引起输出
()t y 变化的过程。

能控性和能观性正是利用状态方程和输出方程来分析输入()
t u 对状态()t x 的控制能力和输出()t y 对状态()t x 的反映能力。

若一个系统不能控、不能观，我们就无法对其控制、观测，因此，在分析和设计一个控制系统时，研究其能控性和能观性是非常有必要的。

4.1 能控性分析
用MA TLAB进行能控性判断程序如下：
A=[0 1 0 0;0 0 -2.5 0;0 0 0 1;0 0 12.5 0] B=[0 0.25 0 -0.25]'
C=[1 0 0 0]
d=ctrb(A,B)
r=Rank(d)
结果为：
d = 0 0.2500 0 0.6250
0.2500 0 0.6250 0
0 -0.2500 0 -3.1250
-0.2500 0 -3.1250 0
r = 4
由此得能控判别矩阵的秩为4等于n,因此该系统是。