五年高考数学全国卷试题latex版
1955年全国高考数学试题及其解析
1955年全国高考数学试题及其解析一、下列四题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙,丁）.结果务须明确,过程可以简单.甲、以二次方程x2-3x-1=0的两根的平方为两根作一二次方程.乙、等腰三角形一腰的长是底边的4倍,求这三角形各角的余弦.丙、已知正四棱锥底边的长为a,侧棱与底面的交角为45°,求这棱锥的高. 丁、写出:二面角的平面角的定义.二、求b,c,d的值,使多项式x3+bx2+cx+d适合下列三条件:(1)被x-1整除;(2)被x-3除时余2;(3)被x+2除与被x-2除时余数相等.三、由直角三角形勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E、股的延长线于F、外接圆周于Q,求证:EQ为EA与EB的比例中项又为ED与EF的比例中项.四、解方程cos2x=cosx+sinx,求x的通值.五、一三角形三边的长成等差级数,其周长为12尺,面积为6平方尺,求证这三角形为一直角三角形.1955年试题答案一、甲、设方程x2-3x-1=0的二根为α,β,则α+β=3, αβ=-1.∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=32-2(-1)=11α2β2=(αβ)2=(-1)2=1∴所求的二次方程为y2-11y+1=0.乙、设△ABC中AB=AC=4BC,AD为BC边上的高,则各角的余弦为:丙、设S-ABCD为一正四棱锥,SH为其高,底边的长为a,∠SAH=45°,则△SHA为一等腰直角三角形,即 SH=AH.但 AH为其底的对角线的一半,且其底边的长为a,丁、自二面角的棱上一点在其各面上作棱的垂线,此二垂线所夹的角叫做该二面角的平面角.二、解:∵x3+bx2+cx+d可被x-1整除.∴ 1+b+c+d=0; ①∵ x3+bx2+cx+d被x-3除余2,∴ 27+9b+3c+d=2; ②∵ x3+bx2+cx+d被x+2除与被x-2除时余数相等,∴ -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d, ③由③: c=-4.代入①和②:b+d=3, ④9b+d=-13. ⑤由④和⑤:8b=-16,b=-2,d=5.三、证:连结QA,QB,则∠AQB为一直角,而EQ为直角三角形AQB弦上的高,∴ EQ为EA,EB的比例中项,又∵∠1=∠2.（均与∠ABF互余）∴△AED∽△FEB,∴ EA∶EF=ED∶EB,∴ EA²EB=EF²ED,∴ EQ2=EF²ED,即 EQ为ED与EF的比例中项.四、解:cos2x=cosx+sinx.cos2x-sin2x=cosx+sinx.(cosx+sinx)(cosx-sinx-1)=0,cosx+sinx=0, ①cosx-sinx-1=0,②五、证明:设△ABC即此三角形,CA、AB、BC各边的长为 x尺, (x-y)尺,(x+y)尺.则 x＋y＋x＋x-y=12 ①由①得x=4. ③由②及③得6(6-4-y)(6-4)(6-4+y)=36,12(2-y)(2+y)=36,4-y2=3,y2=1,∴y=±1,故此三角形各边的长为3尺,4尺,5尺.∵ 32+42=52∴△BAC为一直角三角形.。
2020高考数学全国卷123(LaTeX版 14页)
．
D(P )
A
B
C E(P )
F (P )
三、解答题：共 70 分，第 17∼21 题为必考题，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 1 ． 2
（1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率．
12. 若 2a + log2 a = 4b + 2 log4 b，则
A. a > 2b
B. a < 2b
C. a > b2
D. a < b2
二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
2x + y − 2 ⩽ 0,
13.
若
x,
y
满足约束条件x y
− +
y 1
− ⩾
1⩾ 0,
0,
则 z = x + 7y 的最大值为
100%
80%
60%
发芽率
40%
20%
0% 0
10
20
30
40 温度/◦C
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + b ln x
6. 函数 f (x) = x4 − 2x3 的图像在点 1, f (1) 处的切线方程为
A. y = −2x − 1
x
A. 5
B. 10
C. 15
y
O
D. 20
πx
9. 已知 α ∈ (0, π)，且 3 cos 2α − 8 cos α = 5，则 sin α =
LATEX 新高考数学期中试卷模板
%这是用latex( texlive2021+texstudio)书写的一套高中数学期中试卷，试卷是新高考板A4版，你下载后，在对应的地方进行修改，就可以为自己所用。
文库账号HKMTLG\documentclass[titlepage]{article}\usepackage{ctex}\usepackage{geometry}\geometry{a4paper,left=2.7cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm} %landscape页面横制,twocolumn双栏%\geometry{a3paper,landscape,twocolumn,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm} %landscape页面横制,twocolumn双栏\usepackage{amsmath,amssymb,bm}\usepackage{tikz}\usepackage{xeCJKfntef}\usepackage[Symbol]{upgreek}\usepackage{enumerate}\setlength{\parindent}{4em}\usepackage{setspace}\usepackage{paralist}\usepackage{lastpage}%页码\usepackage{color}%颜色\usepackage{tcolorbox}%盒子\tcbuselibrary{skins , breakable , listings , theorems}\usepackage{array}%表格间距\usepackage{multirow}%合并单元格\usepackage{booktabs} %调整表格线与上下内容的间隔\usepackage{diagbox}\usepackage{pifont}%各种小符号\usepackage{graphicx}%插图宏包\usepackage{fancyhdr}%设置页眉页脚\usepackage{ulem}\fancypagestyle{plain}{\pagestyle{fancy}}\pagestyle{fancy}\fancyhf{}\cfoot{高一上学期期中考试$ \bullet $\textbf{数学}~~第~\thepage~页( 共\pageref{LastPage}~页）}\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} % 控制页眉与正文的分\线\renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % 控制页脚的分隔线\usepackage{titlesec,titletoc}%定义章节格式\titleformat{\section}{ \zihao {5}\bfseries }{\quad\chinese{section}、}{0em}{}\titleformat{\subsection}[block]{\zihao{5}\bfseries}{\quad(\chinese{subsection})}{0 em}{}\newcommand{\biaoti}[2]{\centerline{\zihao{-2}齐市普高联谊校2022\textasciitilde2023学年上学期期中考试\vspace{1cm}} \centerline{\heiti \zihao{2} 高一数学\vspace{1cm}}}\newcommand{\onexzt}{选择题:本题共$8$小题,每小题$5$分,共$40$分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.\vspace{-0.2cm}}\newcommand{\twoxzt}{选择题:本题共$4$小题,每小题$5$分,共$20$分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得$5$分，有选错的得$0$分，部分选对的得$2$分.\vspace{-0.2cm}}\newcommand{\tkt}{填空题:本题共$4$小题,每小题$5$分,共$20$分.\vspace{-0.2cm}}\newcommand{\jdt}{解答题:本题$ 6 $小题，共$70$分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.\vspace{-0.2cm}}\newcommand{\bkt}{必考题:共$60$分\vspace{-0.2cm}}%\newcommand{\xkt}{选考题:共$10$分．请考生在第$22$、$23$题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.\vspace{-0.3cm}}%选择题的4个选项，使用一个命令根据选项内容长度自动排版\usepackage{ifthen}\newlength{\lab}\newlength{\lb}\newlength{\lc}\newlength{\ld}\newlength{\lhalf}\newlength{\lquarter}\newlength{\lmax}\newcommand{\xx}[4]{\mbox{}\\[.5pt]%\settowidth{\lab}{A.~#1~~~}\settowidth{\lb}{B.~#2~~~}\settowidth{\lc}{C.~#3~~~}\settowidth{\ld}{D.~#4~~~}\ifthenelse{\lengthtest{\lab > \lb}} {\setlength{\lmax}{\lab}} {\setlength{\lmax}{\lb}}\ifthenelse{\lengthtest{\lmax < \lc}} {\setlength{\lmax}{\lc}} {}\ifthenelse{\lengthtest{\lmax < \ld}} {\setlength{\lmax}{\ld}} {}\setlength{\lhalf}{0.5\linewidth}\setlength{\lquarter}{0.25\linewidth}\ifthenelse{\lengthtest{\lmax > \lhalf}} {\noindent{}A.~#1 \\ B.~#2 \\ C.~#3 \\ D.~#4 } { \ifthenelse{\lengthtest{\lmax > \lquarter}} {\noindent\makebox[\lhalf][l]{A.~#1~~~}% \makebox[\lhalf][l]{B.~#2~~~}\\%\makebox[\lhalf][l]{C.~#3~~~}%\makebox[\lhalf][l]{D.~#4~~~}}%{\noindent\makebox[\lquarter][l]{A.~#1~~~}%\makebox[\lquarter][l]{B.~#2~~~}%\makebox[\lquarter][l]{C.~#3~~~}%\makebox[\lquarter][l]{D.~#4~~~}}}}\newcommand{\xz}{\hfill(\makebox[0.4cm][c]{})}\usepackage{ulem}\newcommand{\tk}{\uline{\makebox[2cm][c]{}}}\begin{document}\biaoti{2021}{理}%\thispagestyle{doubleline}\noindent\uuline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\noindent\begin{flushleft}\setstretch{1.6}\textbf{{\Large 考生注意：}}\\~~~~~~~~1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2005高考全国卷Ⅰ数学(理)试题
2005高考全国卷Ⅰ数学（理）试题（河北、河南等地区用）2005年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（）（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ））（221S C S C S I I ⋂⊆ （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ））（221S C S C S I I ⋃⊆（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（3）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242- （D ）），（8181-（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）（A ）32 （B ）33（C ）34（D ）23（5）已知双曲线)0( 1222>=-a yax 的一条准线与抛物线x y62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（） （A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332（6）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34（7）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+-（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log+∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（）（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（10）在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）（A ）18对 （B ）24对 （C ）30对 （D ）36对 （12）复数ii 2123--=（ ）（A ）i （B ）i - （C ）i -22 （D ）i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
高中数学毕业招生全国统一考试5
高中数学毕业招生全国统一考试5数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时刻120分钟．考试终止，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名理想都和他们关心的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范畴是（ ）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．假如正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯独 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯独 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯独 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯独8．关于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判定如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为确实所有函数的序号是（ ） Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②数学（理工农医类） 第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直截了当写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清晰．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范畴是 ．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △能够通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．x1 2 3 ()f x 131x1 23 ()g x321 OCADB18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，打算将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若关于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判定m 和n 的大小关系，并证明你的结论．1231020 30 40 50 参加人数 活动次数4rC DAB2r数学（理工农医类）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ 8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i - 10．211n - 311．10212．(23)，13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 因此2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，因此1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，因此22(12)n a n n n =-+=，，． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =， CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，225CE CO OE ∴=+=． 又132DE AO ==．∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，23tan 3CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为23arctan3． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，(0023)OA ∴=，，，(213)CD =-，，，cos OA CD OA CD OA CD∴<>=，6642322==． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos4． OCADB xyzOCADBE（III ）同解法一 17．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，因此直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，因此AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 因此M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又22(20)(02)22AM =-++=．从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，因此PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 因此22PM PN =+， 即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =．因此虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤． 18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ12P41995099 899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（共13分）解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<<221(22)22S x r r x =+-222()x r r x =+-，其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =． CDA B Oxy因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，因此12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值． 因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即梯形面积S 的最大值为2332r ． 20．（共13分）（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：第一，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，因此()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，因此当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）关于()a b S ∈，，依照定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 假如()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）关于()a b T ∈，，依照定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．假如()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．≤，可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n m．由（1）（2）可知，m n。
五年(2017-2021)全国卷数学(理)高考真题考点分布对比
五年（2017-2021）全国卷数学（理）高考真题考点分布对比卷别题号2017年2018年2019年2020年2021年全国I/乙卷1集合的运算复数的四则运算、复数的模集合的交集运算复数的运算、复数的模复数的运算、共轭复数2几何概型集合的运算复数的几何意义和模的运算集合的交集运算集合的运算3复数的运算、共轭复数、命题真假的判断扇形图、统计的数据特征指数和对数的大小比较正四棱锥特称命题、全称命题以及复合命题的真假性4等差数列的通项公式及求和等差数列的通项公式和前n项和数学文化、黄金分割比例及估算抛物线的定义及几何性质函数的奇偶性5函数的性质函数的基本性质、导数及其应用函数的图象和性质回归分析立体几何中异面直线所成角的大小6二项式定理平面向量的线性运算数学文化、古典概型、计数原理导数的几何意义分步乘法计数原理、排列组合7几何体的三视图空间几何体的三视图、圆柱的性质平面向量的夹角、垂直和模三角函数的图象和性质三角函数图象的变换8算法与程序框图抛物线的方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积算法和程序框图二项式定理几何概型9三角函数图象的变换分段函数、函数的图象与性质、函数的零点等差数列的通项与求和二倍角的余弦公式数学文化中的三角形求解问题10直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点弦、基本不等式数学文化中的几何概型直线和椭圆的位置关系、焦点与弦长问题三棱锥的外接球、球的表面积导数与不等式11指数函数与对数函数的单调性、指数与对数的运算双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系函数的基本性质、正弦函数的性质直线和圆的方程及位置关系椭圆的几何性质、最值问题12等比数列的通项与求和空间几何体的性质、空间角三棱锥的外接球、面面垂直的判定指数函数和对数函数的单调性、指数和对数的运算函数的单调性、比较大小13平面向量的运算线性规划导数的几何意义线性规划双曲线的几何性质14线性规划数列的递推关系式、等比数列的定义与前n项和公式等比数列的通项与求和平面向量的运算平面向量数量积的坐标表示、向量垂直15双曲线的标准方程与几何性质、直线与圆排列组合互斥事件和相互独立事件的概率双曲线的标准方程及几何性质三角形的面积公式、余弦定理16三棱锥的体积、折叠问题、导数及函数思想三角恒等变换、导数及其应用、函数的最值双曲线的几何性质、平面向量三棱锥、余弦定理空间几何体的三视图17解三角形、三角恒等变换解三角形、同角三角函数基本关系式解三角形、三角恒等变换等差数列和等比数列统计中的平均数、方差18空间直线和平面的位置关空间面面垂直的证明、空间直四棱柱的性质、线面圆锥的性质、线面垂直线段长度的求解、二面角系、平面与平面垂直的判定、二面角向量的应用与线面角的求解平行的判定、二面角的判定、二面角的求解19统计与概率、正态分布、平均数与期望椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系抛物线的定义和几何性质、直线与抛物线的位置关系相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率等差数列的通项公式、数列的前n项和20椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系相互独立事件、独立重复试验、二项分布、随机变量的分布列与数学期望导数的应用、函数的零点椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系函数的极值与导数的关系、利用导数证明不等式21导数的应用、函数的零点导数及其应用、函数的单调性、极值与最值、不等式的证明随机变量的分布列、等比数列函数的单调性、导数的应用、不等式抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的弦长公式22椭圆的参数方程、直线的参数方程、点到直线的距离极坐标方程与直角坐标方程的相互转化、直线与圆的位置关系椭圆的参数方程、直线的极坐标方程圆的参数方程、直线的极坐标方程圆的参数方程、圆的切线方程、直角坐标方程和与极坐标方程的互化23绝对值不等式绝对值不等式的求解与性质不等式的证明绝对值不等式的解法绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的参数范围的求解问题全国II/甲卷1复数的运算复数的运算集合的交集运算集合的运算集合的交集运算2集合的运算集合的运算复数的运算及几何意象限角的三角函数的符频率分布直方图的应用义、共轭复数号判断3数学文化与等比数列函数图象的识别平面向量的坐标运算随机事件的概率复数的运算4三视图、空间几何体的体积平面向量的数量积数学与物理学背景结合的创新应用、函数与方程等差数列前n项和的实际应用对数的运算5线性规划双曲线的标准方程与几何性质样本的数字特征直线与圆的位置关系、点到直线的距离双曲线的定义与几何性质6排列与组合二倍角的余弦公式、余弦定理函数的单调性及不等关系等比数列的递推公式及前n项和三视图7推理与证明算法与程序框图两平面的位置关系以及充要条件的判定三视图等比数列的前n项和、充分条件与必要条件8算法与程序框图古典概型、计数原理椭圆与抛物线的焦点双曲线的几何性质解三角形9双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系异面直线所成的角三角函数的周期性与单调性对数函数的奇偶性和单调性二倍角公式、同角三角函数的基本关系10空间几何体的性质与空间角三角函数的单调性二倍角公式、同角三角函数的基本关系球的表面积、点到平面的距离排列组合、古典概型11导数及其应用、函数的单调性与极值函数的基本性质圆与圆的位置关系、弦长问题、双曲线的离心率导数判断函数单调性以及不等关系的应用球的结构特征、锥体的体积公式12平面向量的数量积椭圆的几何性质函数的解析式、不等式数的求和的创新应用函数的图象与性质恒成立问题13二项分布导数的几何意义加权平均数、利用样本估计总体平面向量的垂直、数量积导数的几何意义14三角函数的图象与性质线性规划函数的奇偶性、指数运算、对数运算排列组合平面向量的坐标运算15等差数列的性质与数列求和两角差的正切公式、三角恒等变换余弦定理、三角形面积公式复数的加减运算、模的运算椭圆的几何性质16抛物线的定义、方程与几何性质圆锥的侧面积、线面角数学文化中的立体几何问题、空间几何体的性质平面的性质、空间点线面的位置关系、命题的真假判断三角函数的图象与性质17同角三角函数基本关系式、解三角形等差数列的通项和前n项和公式线面垂直的性质和判定、二面角、空间向量解三角形、三角恒等变换样本频率、独立性检验18独立事件的概率、独立性检验、频率分布直方图线性回归方程、折线统计图对立事件、互斥事件的概率统计的应用等差数列的通项公式、前n项和公式19空间线面关系、空间向量的应用、空间角的求解抛物线的几何性质、直线与圆的位置关系数列的递推公式、等差数列与等比数列的性质、通项公式椭圆、抛物线的性质直三棱柱中的线线垂直、二面角、空间向量20椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系三棱锥的性质、空间线面垂直的证明、线面角和二面角函数的单调性、函数的零点、导数的应用线面平行的性质、面面垂直的判定、线面角抛物线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系21导数及其应用、函数的单调性、极值与最值导数的应用、函数的零点轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合应用三角函数的性质及恒等变换、导数的应用导数在研究函数单调性以及方程根的问题中的应用22极坐标方程与直角坐标方程的转化椭圆的参数方程、直线的参数方程极坐标方程极坐标方程、参数方程与普通方程的互化极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的参数方程、判断两曲线是否存在公共点23不等式的证明含绝对值不等式的解法含绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法、不等式成立的参数问题绝对值不等式的解法全国Ⅲ卷1集合交集的运算集合交集的运算集合交集的运算集合的运算2复数的四则运算与复数的模复数的运算复数的运算复数的运算3折线图三视图逻辑联结词的意义和统计知识离散型随机变量的均值和方差、标准差4二项式定理二倍角公式二项式定理指数函数5双曲线与椭圆中基本量的关系二项式定理等比数列的性质及前n项和抛物线的几何性质6三角函数的图象与性质直线与圆的位置关系导数的几何意义平面向量的数量积7算法与程序框图函数图象的识别函数的图象和性质解三角形8圆柱体体积离散型随机变量的期望与立体几何中线段长度三视图、三棱锥的表面方差的计算与位置关系的判断积9等比数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式解三角形算法与程序框图三角函数的化简与计算10椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系三棱锥的外接球双曲线的几何性质直线与曲线相切问题、利用导数计算切线斜率11函数的零点双曲线的几何性质指数、对数函数大小的比较双曲线的几何性质12直线与圆的位置关系与平面向量的坐标运算的综合应用对数函数的性质与对数的计算三角函数的性质对数值的大小比较13线性规划平面向量的坐标运算平面向量的运算线性规划14等比数列的通项公式与性质导数的几何意义等差数列的前n项和二项式定理15分段函数与不等式的解法三角函数的性质及计算椭圆的几何性质圆锥体内接球和球体体积的计算16空间线面角的求解直线与抛物线的相交问题空间几何体的体积三角函数和复合函数的性质17解三角形等比数列通项公式与前n项和频率分布直方图、平均值数列通项公式及前n项和18分布列的求解及根据分布列解决具体问题茎叶图、中位数、独立性检验解三角形概率的计算、平均数的计算、独立性检验19空间线面位置关系的证明、二面角的求解立体几何中线面垂直的证明以及二面角的计算立体几何中面面垂直的证明及二面角的计算立体几何中线线平行的证明及二面角的计算20直线与抛物线的位置关系直线与圆锥曲线的相交问题利用导数判断函数的单调性及计算最值椭圆的方程与性质、直线与椭圆的位置关系21导数在解决函数与数列不等式中的应用利用导数判断函数的单调性、函数的极值直线与抛物线的位置关系利用导数计算曲线切线的斜率、利用导数判断函数的单调性、计算函数的最值22极坐标方程与参数方程参数方程与普通方程的互化与计算圆的极坐标方程极坐标与参数方程的运算23绝对值不等式、不等式恒成立以及求参数问题绝对值不等式的计算基本不等式、不等式的证明及求参数问题不等式的应用。
五年高考数学全国卷试题LaTeX版
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题
贵州省六盘水市第一实验中学试题（全国卷 I）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2005全国卷二文科数学试题及答案
一、选择题：1. 函数f (x )=|sin x +cos x |的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. π D. 2π2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点. 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形3. 函数)0(12≤-=x x y 的反函数是（ ）A. )1(1-≥+=x x yB. )1(1-≥+-=x x yC. )0(1≥+=x x yD. )0(1≥+-=x x y4. 已知函数)2,2(tan ππω-=在x y 内是减函数，则（ ）A. 0<ω≤1B. －1≤ω<0C. ω≥1D. ω≤－15. 抛物线y x42=上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（ ） A. x y 32±= B. x y 94±= C. x y 23±= D. x y 49±= 7. 如果数列}{n a 是等差数列，则（ ）A. 5481a a a a +<+B. 5481a a a a +=+C. 5481a a a a +>+D. 5481a a a a =8. 10)2(y x -的展开式中46y x 项的系数是（ ）A. 840B. －840C. 210D. －2109. 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,→=→CE BC 等于（ ）A. 2B.21C. －3D. －31 10. 已知集合为则N M x x x N x x M ⋂>--=≤≤-=},06|{|},74|{2（ ）A. }7324|{≤<-<≤-x x x 或B. }7324|{<≤-≤<-x x x 或C.D.11. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量)3,4(-=v （即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）。
全国高考五年真题数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 2ax + b在x=a时取得最小值，则a、b的关系是（）A. a > 0，b > 0B. a < 0，b < 0C. a > 0，b < 0D. a < 0，b > 02. 下列函数中，单调递增的是（）A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = e^x3. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则abc 的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 274. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^2在x=0处取得最小值B. 函数y = e^x在x=0处取得最大值C. 函数y = ln(x)在x=1处取得最小值D. 函数y = 1/x在x=1处取得最大值5. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1 + a2 + a3 = 6，a1 a2 a3 = 8，则q 的值为（）A. 2B. 1/2C. 4D. 1/46. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC 是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 29. 若数列{an}满足an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. 3^n - 2^nB. 2^n - 1C. 3^n + 2^nD. 3^n - 110. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值为6，则f(x) = 0的根的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2005年普通高考数学试题及解答(重庆文科卷)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k knn P P C k P --=)1()( 第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x 2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ ）A ．（1，1）B ．（－4，－4）C ．－4D ．（－2，－2） 5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为（ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平等于γ；③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 210．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该 塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6D ．7第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 14．若y x y x -=+则,422的最大值是 .15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响. （Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上 一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点. （Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线. 设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCDAE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角. 在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG 故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、DC 、分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角. 故,4,22cos πθθ===即二面角E —PC —D 的大小为.4π 21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故 （II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ， 2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b 故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n 因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾） ,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n 因故 故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n n n b b b n n n 解法二：（Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由 （Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n 所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n ).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n n n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nn n n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---nn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由。
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2015 高考试题（全国卷 I）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2015 高考试题（全国卷 I）文科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2015 高考试题（全国卷 II）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2015 高考试题（全国卷 II）文科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2016 高考试题（全国卷 I）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2016 高考试题（全国卷 I）文科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2016 高考试题（全国卷 II）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2016 高考试题（全国卷 II）文科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2016 高考试题（全国卷 III）理科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2016 高考试题（全国卷 III）文科数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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