谈动态平衡问题的分析方法

谈动态平衡问题的分析方法
在有关物体平衡的问题中，存在着大量的动态平衡问题。

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又处于一系列的平衡状态。

分析动态平衡问题通常有两种方法。

（1）解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化确定应变物理量的变化情况。

（2）图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图（画在同一个图中），然后根据有向线段（表示力）的长度变化判断
各个力的变化情况。

【例1】如右图所示，一个重为G 的匀质球放在光滑斜面上，斜
面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于
静止状态。

今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对
挡板和球对斜面的压力大小如何变化？
【解析】解析法：选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G 、
斜面支持力1F 、挡板支持力2F ，受力分析如右图所示。

由平衡条件
可得：
21cos(90)sin 0F F αβα---=
12cos sin(90)0F F G ααβ----=
联立求解并进行三角形变换可得：
1cos sin cot()G
F αααβ=-+，2sin sin F
G αβ
=∙ 讨论：
（1）对1F ：①()90αβ+<，1cot()F βαβ↑→+↓→↓
②()90αβ+>，1cot()F βαβ↑→+↑→↓
（2）对2F ：①90β<，2sin F ββ↑→↑→↓
②90β>，2sin F ββ↑→↓→↑
综上所述：球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力在90β<时，随β增大而减小，在90β>时，随β增大而增大；当90β=时，球对挡板的压力最小。

图解法：取球为研究对象，球受重力G 、斜面支持力1F ，挡板支持力2F 。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，
2F 的方向也逆时针转动，作出如右图所示的动态矢量三角形，由图可
见，2F 先减小后增大，1F 随β增大而始终减小。

【点评】从分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，多用于定量
分析。

图解法直观、鲜明，多用于定性分析。

【例2】建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶装置一个
定滑轮（图中未画出），用绳AC 通过滑轮将建筑材料提到某一高处。

为了防止材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳CD 拉住材
料，使它与竖直墙面保持一定的距离L ，在建筑材料提起的过程中，
绳AC 和CD 的拉力1T 和2T 的大小变化情况是（ ）
A.1T 增大，2T 增大
B.1T 增大，2T 不变
C.1T 增大，2T 减小
D.1T 减小，2T 减小
【解析】建筑材料在吊起过程中，AC 绳和CD 绳与竖直方向的夹
角都不断变化，若采用列式解析法讨论本题时，由于变量太多，难以得
出结论。

如右图所示，在三力平衡中，利用图示法来处理问题，往往可以使
问题的解答变得简单明了。

在建筑材料竖直升高的过程中，角α增大，角β也增大，但1T 、2
T 的合力不变，由此可知，1T 、2T 都增大。

即A 选项正确。

【例3】如右图所示的“L ”形支架放在竖直平面内，两环P 、Q 用轻质无弹性细绳 相连，分别套在光滑的竖直部分OM 和粗糙程度均匀的水平部分ON 上，在用水平向右的
拉力F 缓慢拉动Q 环的过程中，则有 （ ）
A.细绳的弹力T 变小
B.Q 环所受的摩擦力f F 变小
C.拉力F 变大
D.Q 环对支架的压力N F 变大
【解析】以P 环为研究对象：绳子拉力的竖直分力与重力平衡，设绳子与竖直方向的夹 角为θ，cos T mg θ=，θ增大，cos θ减小，所以T 增大，A 错误。

以Q 环为研究对象：f N F F μ=。

以P 、Q 环为研究对象：()N Q P F m m g =+不变，D 错误。

所以f F 也不变。

B 错误。

sin f F F T θ=+，T 增大，sin θ增大，所以F 增大，C 正确。

【点评】利用解析法求解此类动态平衡问题的关键，在于在研究不同的物理量时恰当地选取研究对象，物理对象的正确选取，往往可以问题的求解变得简单明了。