整理和复习4. 数学思考 推理的思想例3
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
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高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，情况复杂，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种情况讨论(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种情况讨论：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满足1 x 4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.【分析】于是可以知道解本题必须分类讨论，其划分点为.小结：分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行讨论);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级讨论.;(3)逐类讨论，获取阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
人教版六年级数学下册第六单元整理和复习4.数学思考——逻辑推理
人教版六年级数学下册第六单元整理和复习4.数学思考——逻辑推理1.王刚、李平、刘宁这三位老师中一位教语文，一位教数学，一位教英语。
请你根据下面的三句话判断这三位老师各教什么科目。
（1）李平和语文老师是朋友。
（2）刘宁和语文老师平时不一起下班。
（3）刘宁和数学老师是邻居。
2.甲、乙、丙、丁四人在一场比赛中得了前4名。
已知丁的名次不是最高，但它比乙、丙都高，而丙的名次也不比乙高。
问：他们各是第几名？3.填数游戏。
（1）在4×4的方格中，每行、每列都有A,B,C,D,这四个字母，并且每个字母在每行、每列都只出现一次，请你试着把字母填入合适的位置。
①②A C DB AC AC D A BBCD4.一个正方体的6个面上分别写着字母A、B、C、D、E、F，根据下面的三种摆放情况，判断字母A、B、D对面的字母分别是什么。
（1）（2）（3）5.（2019年小学毕业考试真题）甲、乙、丙、丁4所学校的足球队进行比赛。
赛前。
陈旭和田浩猜测从第一名到第四名的名次。
陈旭猜是:甲、丁、丙、乙.田浩猜是：甲、丙、乙、丁.比赛结果，他们各自只猜对了一个队的名次，并知道乙队获得了第一名。
比赛结果从第一名到第四名是( )。
A.乙、甲、丙、丁B.乙、丁、甲、丙C.乙、丙、甲、丁D.乙、丙、丁、甲6.已知小李、小王、小张三人中，只有一人会开汽车。
小李说：“我会开汽车。
”小王说：“我不会开汽车。
”小张说：“小李不会开汽车。
”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？7.六年级有三个班，每班有2个班长。
开班长会时，每次每班只要一个班长参加。
第一次到会的有A、B、C；第三次有B、D、E；第三次有A、E、F。
请问：哪两位班长是同班的？8.（2018年重点中学小升初分班考试真题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学同时参加数学竞赛并获得前5名。
发奖前老师让他们猜一猜各自的名次。
甲说：“乙第3名，丙第5名。
”乙说：“戊第4名，丁第5名。
”丙说：“甲第1名，戊第4各。
小学数学推理知识点总结
小学数学推理知识点总结在小学数学的学习中，推理是一项非常重要的能力。
它不仅有助于我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。
接下来，让我们一起系统地总结一下小学数学中的推理知识点。
一、推理的定义和类型推理，简单来说，就是根据已知的信息和条件，得出新的结论或判断的过程。
在小学数学中，常见的推理类型有归纳推理、演绎推理和类比推理。
1、归纳推理归纳推理是从个别事实中概括出一般结论的推理方法。
例如，我们观察到 2、4、6、8 都是偶数，并且都能被 2 整除，从而归纳出“所有偶数都能被 2 整除”这个结论。
2、演绎推理演绎推理则是从一般原理推出个别结论的推理方法。
比如，我们知道“所有直角都等于 90 度”，而给出一个角是直角，就可以得出这个角等于 90 度的结论。
3、类比推理类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似，推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。
例如，我们知道三角形的面积公式是“底×高÷2”，当学习梯形面积时，发现梯形可以分割成两个三角形，从而类比推测出梯形的面积公式。
二、数学推理在数与运算中的应用1、数的大小比较在比较数的大小时，我们会运用推理。
比如比较 325 和 289 的大小，我们从百位开始比较，3 大于 2，所以 325 大于 289。
2、运算定律加法交换律（a ＋ b ＝ b ＋ a）、加法结合律（（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)）、乘法交换律（a × b ＝ b × a）、乘法结合律（（a × b) × c＝ a ×（b × c)）和乘法分配律（（a ＋ b) × c ＝ a × c ＋ b × c）等运算定律的推导和应用都离不开推理。
以加法交换律为例，通过观察多个具体的加法算式，如 2 ＋ 3 ＝ 3＋ 2，5 ＋ 6 ＝ 6 ＋ 5 等，归纳出“两个数相加，交换加数的位置，和不变”的结论。
小学数学逻辑推理知识点整理
小学数学逻辑推理知识点整理数学是一门理性思维的学科，其中的逻辑推理是数学思维的重要组成部分。
逻辑推理能够培养学生的思维能力、观察力和分析能力，帮助他们理解和解决问题。
在小学数学教学中，逻辑推理也是不可或缺的一环。
下面，我将整理一些小学数学中常见的逻辑推理知识点。
1. 数字规律数字规律是小学数学中重要的逻辑推理知识点之一。
通过观察数字的变化规律，学生可以推理出下一个数字。
例如，给出一个数字序列：2，4，6，8，__，学生可以通过观察到每个数字都比前一个数字大2，因此下一个数字应该是10。
这种数字规律的训练可以帮助学生提高观察力和分析能力。
2. 图形推理图形推理是小学数学中常见的逻辑思维题型。
通过观察图形的形状、结构、大小等特点，学生可以推理出下一个图形。
例如，给出一系列图形：正方形，正方形，长方形，正方形，__，学生可以推理出下一个图形应该是正方形，因为这个序列在形状上有规律：正方形，正方形，长方形，正方形，正方形。
图形推理可以帮助学生培养空间思维和观察力。
3. 题意理解在小学数学中，题意理解是解题的重要环节。
学生需要通过阅读和理解题目描述，把握问题的核心内容。
理解题目的特点和要求可以帮助学生进行正确的逻辑推理。
例如，给出一个问题：小明家有8个苹果，他吃掉了3个，那么还剩下__个。
学生需要理解题目中给出的初始条件和要求，通过减法进行逻辑推理，得出答案为5。
题意理解是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要一环。
4. 条件判断条件判断是数学逻辑推理中非常常见的一种形式。
学生需要根据已知的条件推断出结果。
例如，给出一个问题：如果1只鸭子的体重是2千克，那么20只鸭子的体重是多少千克？学生需要根据已知条件（1只鸭子的体重是2千克）和问题的要求进行逻辑推理，得出结果是40千克。
条件判断可以培养学生的逻辑思维和分析能力。
5. 推理证明在小学数学中，推理证明是数学逻辑推理的高阶能力要求。
学生需要通过已知条件和推理过程，来得出结论。
数学思维知识点归纳总结
数学思维知识点归纳总结一、逻辑思维逻辑思维是指运用逻辑原理和方法进行思维活动，在解决问题时常常通过分析、推理和证明等方式来求解问题。
在数学中，逻辑思维是非常重要的，因为数学本身就是一门逻辑严谨的学科。
数学的定理和公式都是通过推理和证明得出来的。
只有具备较强的逻辑思维能力，才能更好地理解数学知识，解决数学问题。
逻辑思维的知识点主要包括：命题与命题联结词、逻辑等价、推理和证明、数学归纳法等。
1. 命题与命题联结词：命题是陈述句，可以判断真假，并且是非但必须为真或者为假的陈述。
命题联结词是用来连接命题的词，主要包括“非”、“与”、“或”、“蕴含”和“等价”等。
通过命题及其联结词的运用，能够构建复杂的逻辑结构，进而进行问题的推理和证明。
2. 逻辑等价：逻辑等价是指两个命题在逻辑上完全等价的关系。
两个命题P和Q逻辑等价，表示为P⇔Q，如果P为真则Q也为真，P为假则Q也为假。
逻辑等价关系常用于化简命题、推理和证明等。
3. 推理和证明：推理是指从已知的条件出发，根据逻辑规律经过推理推出结论的过程。
证明是指用逻辑的方法来证实数学结论的正确性。
推理和证明都是逻辑思维的一种体现，它能够提高学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
4. 数学归纳法：数学归纳法是一种以自然数的数学归纳原理作为证明数学问题的一种方法。
归纳法在证明数学问题时有很大的作用，它能够将问题化简为一系列较简单的情况，然后逐个证明这些情况的正确性，最终得出整个问题的解答。
以上是关于逻辑思维的一些知识点，通过熟练掌握这些知识点，能够提高学生的逻辑思维能力，使他们更好地运用逻辑思维解决数学问题。
二、创新思维创新思维是指在解决问题时运用创造性的思维方式，能够提出新颖的见解和观点，创造新的解决问题的方法。
对于数学问题而言，创新思维尤为重要，因为数学本身就是一门创造性的学科。
数学家们在解决数学难题时，往往需要发挥创新思维，提出新的数学方法和概念。
创新思维的知识点主要包括：数学问题的构建、数学建模和数学启发。
版六年级册数学与复习第4《数学思考教案》
， “数与形教学目标1.引导学生利用所给出的图形和数字，探索其中蕴含的规律，知道运用数学思想的方法，使 题目化难为易，帮助解决问题。
2.让学生经历猜测——找规律——验证规律——运用规律的过程，形成解决问题的基本策略； 发展学生的逻辑思维能力。
3.进一步体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于实践、勇于探索的科学素养。
学情分析学生已经有小学六年学习经历，掌握了各种的学习方法，比如：转化法、化难为易法、数形 结合等等，并且通过六年的循序渐进的学习-运用-领会-熟练掌握。
本节课主要让学生运用所 学的方法来自主解决问题，培养学生融会贯通的学习能力。
教学过程【导入】一、开门见山，引领思维1.同学们，都说数学是思维的体操，我们就来先做一做思维的体操请你找一找下面图形、数 字中规律。
①★◇◎★◇◎★◇◎②1，2，3，5，,8， ( )，( )③ 2，4，8，16，( )， 64，( )师：数学思想和方法可以帮助我们有条理地思考、简捷地解决问题。
你能举例说一说你知道 哪些数学思想和方法吗？【评析：课始开门见山，引导学生针对图形、数列；找出规律、归纳属性，寻找理由，进行 分析、综合推理论证，初步映现了一些数学思想方法；接着一幅一幅主题图的呈现，唤醒学 生对美妙的“数学广角”知识的记忆，让学生明确了本节课复习内容的范围，又激起了学生的 认知冲突和学习欲望。
】二、合作学习，探究规律（一）直接设疑，引发猜想：1.这么多的数学方法是我们学好数学的好帮手！今天我们就一起走进数学思考的殿堂（板 书课题：数学思考）。
让同学们挑战一下自己的思考力！看看我们最强大脑在哪里？师：我们经常说到“两点一线”表示什么意思？(两点之间只有一条线段)师：开动脑筋思考 一下：平面内，10 个点可以连多少条线段？生;------ 师：为什么会有这么多不同的答案呢？生：太多了，没办法数清。
2.师：每两个点都可以连出一条线段，10 个点确实有点难， 繁”你们怕不怕？（同时板书：难）。
初中数学思维知识点梳理
初中数学思维知识点梳理随着科技的不断发展，数学思维对人们的重要性也越来越凸显出来。
数学思维是指通过对问题的思考和分析，运用数学概念和方法解决问题的能力。
在初中阶段，学习数学的重点是培养学生的数学思维能力，下面将对初中数学中常见的思维知识点进行梳理。
1. 分析与推理思维分析与推理思维是指通过观察、分析问题的特点和规律，运用推理和演绎思维解决问题。
例如，对于一些组合问题，学生需要通过分析不同条件的关系，推理出最优解。
另外，学生还需要培养对图表、数据的分析能力，能够从中找到相关规律，推理出未知的结果。
2. 抽象与归纳思维抽象与归纳思维是指学生能够通过观察和实践，从具体的事物中抽象出共同的特征，进行归纳总结，并运用这些共同的特征解决问题。
例如，在解决代数问题时，学生需要将具体的问题转化为数字和符号的抽象表示，通过归纳总结规律，解决类似的问题。
3. 建模与应用思维建模与应用思维是指学生能够将实际问题转化为数学问题，并应用数学知识和方法解决问题。
例如，在解决一些实际问题时，需要学生将问题中的实际情境转化为数学语言，建立数学模型，通过解方程、解不等式等方法得到答案。
此外，学生还需要能够将数学知识应用到生活中，解决实际的日常问题。
4. 发散与创新思维发散与创新思维是指学生能够独立思考，提出与传统方法不同的解题思路，并能够发现新方法解决问题。
例如，在解决一些困难问题时，学生需要运用发散思维，尝试不同的解题方法，从多个角度思考问题。
创新思维则是指学生能够通过整合不同的数学概念和方法，提出新颖的解题策略。
5. 逻辑与证明思维逻辑与证明思维是指学生能够运用逻辑思维和推理方法，通过严密的证明过程推导出结论。
例如，学生需要通过证明题目中的已知条件，以及通过规律的分析和推理，得出结论。
逻辑与证明思维的培养可以帮助学生提高数学推理和证明的能力，更加深入地理解数学知识。
综上所述，初中数学思维知识点的梳理主要包括分析与推理思维、抽象与归纳思维、建模与应用思维、发散与创新思维以及逻辑与证明思维。
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4. 数学思考 推理的思想 例3
一、引入情境，探究方法
（一）出示信息，明确问题
1. 、 、 ＋ 和 、 、 各代表一个数。 ＝ ＋ ＋ 。
（1）已知 求
＝24， 的值。
问题：
＝
＋
＋
是什么意思？
一、引入情境，探究方法
（二）独立思考，分享方法
等量代换 ＋ ＝ 24 ＝ 24 ＝ 6 ＝ ＋ ＋ ＝18
＋ ＋ ＋
问题：1. 请你独立解决这个问题。 2. 圈起来的这一步运用了什么数学思想？
一、引入情境，探究方法
（二）独立思考，分享方法
（ 2） ＋ ＝ 160， ？ ＝ ＝ ＝ 问题：1. 请你独立思考，然后跟同伴说说你的想法。 2. 在推理的过程中，你运用了什么知识？ ＋ ＋ － ＋ ＝ 160。 是否等于 ＋ ＋ －
（2）你能推出∠1＝∠3吗？ ∠1＋∠2 ＝ 180° ∠2＋∠3 ＝ 180° ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ ∠ 2＋ ∠ 3 ∠1＋∠2 －∠2＝ ∠2＋∠3 －∠2 ＝
∠1
∠3
问题：1. 请你独立思考，说说你的想法。 2. 在推理的过程中，你运用了什么知识？
二、梳理方法，提升认识
1. 找等量关系 2. 等量代换 3. 合情推理
问题：对看似不相关的独立的信息，在解决问题时你 会怎样思考呢？
三、布置作业
作业：第104页练习二十二，第10题。
一、引入情境，探究方法
（二）独立思考，分享方法
2. 如右图，两条直线相交于点O。 （1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？ ∠1 和∠2 、∠2和∠3 、∠3和∠4 、∠4和∠1，一 共能组成4个平角。 问题：什么是平角？平角与直线有什么区别？
一、引入情境，探究方法
（二）独立思考，分享方法