专题5.3 解析几何中的范围问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(原卷版)
一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在
圆上，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.
2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．
【举一反三】
1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，
，则的最大值为（）
A．B．2 C．D．4
2.点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例2】抛物线上一点
到抛物线准线的距离为
，点关于轴的对称点为，为坐标原点，
的内切圆与
切于点，点为内切圆上任意一点，则
的取值范围为__________．
【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，
属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆
的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，
从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．
【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：
相交于，两点，为坐标原点.当
的面积取得最大值时，
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相
交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，2）
C ．（﹣1，0）
D ．（﹣2，0）
【指点迷津】圆
都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，
即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到
，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.
【举一反三】已知直线1y x =-+与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐
标原点），若椭圆的离心率1
,22e ⎡∈⎢⎣⎦
，则a 的最大值为___________． 类型四 利用基本不等式求范围
【例4】如图，已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()2
21
14
x y -+=
于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）。
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题(解析版)
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的范围与最值问题（解析版）圆锥曲线中的范围与最值问题思路引导圆锥曲线中的范围、最值问题的求解常用的三种方法：(1)不等关系法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；（2）基本不等式法：根据题意将函数变形为两项和或积的形式，利用基本不等式求范围；(3)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解．母题呈现考法1利用不等关系求最值（范围）【例1】（2022·三明一中模拟预测）已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．【解题指导】【解题技巧】寻找不等关系的突破口(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系;(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用函数值域的求法,确定所求范围.【跟踪训练】（2022·石家庄二中模拟预测）已知双曲线的焦点在x ).(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点(),C m n ，(),D m n -在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，()M，)N，求PM PN →→⋅的取值范围.考法2利用基本不等式求最值【例2】（2022·全国甲（理）T ）20.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．（1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．【例3】（2022·河南焦作·三模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．【解题技巧】巧用基本不等式求最值问题利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。
高考数学大题突破 专项五 解析几何
3c).
由 y= 3(x-c),得 c=x- 33y.
于是������������ =
83 15
������-
3 5
������,
8 5
������-
33 5
������
, ������������=(x,
3x).
高考大题
高考大题增分专项五 高考中的解析几何
增分专项
考情分析
典例突破
专题总结
-7-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即
(������-������)2 + ������2=2c,
整理得 2
������ ������
2 + ������������-1=0,得������������=-1(舍去)或������������ = 12.所以 e=12.
因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为������1 ·������2 = -4=-1,
������1 ������2 4
所以 OA⊥OB.故坐标原点 O 在圆 M 上.
高考大题
高考大题增分专项五 高考中的解析几何
增分专项
考情分析
典例突破
专题总结
-9-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满
足������������ ·������������=-2,求点 M 的轨迹解析几何
增分专项
考情分析
典例突破
专题总结
2022年高考数学必刷压轴题- 有关三角形中的范围问题(选择题、填空题)(新高考地区专用)
专题26 有关三角形中的范围问题【方法点拨】1.正弦平方差公式sin 2α－sin 2β＝sin(α－β) sin(α＋β).2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系时作高更简单些.【典型题示例】例 1 在锐角ABC △中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为______________.【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】∵22a b bc -=，利用正弦定理可得：22sin sin sin sin A B B C -=， 由正弦平方差公式得()()sin sin sin sin A B A B C B -+=， 即()sin sin sin sin C B C A B -=， 易知sin 0C ≠，故()sin sin A B B -=又ABC △为锐角三角形，∴A B B -=，即2A B =，∴022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64B ππ<<，32A ππ<<∵()sin 1112sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin A B A A A B A B A A--+=+=+ 又32A ππ<<，∴sin 12A <<，令sin 12t A t ⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭，则()1212f t t t t ⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数性质知，()12f t t t =+在t ⎫∈⎪⎪⎝⎭上单调递增，又2f =+=⎝⎭()112131f =+⨯=，∴12sin sin A A ⎫+∈⎪⎪⎝⎭.例2 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ．【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求的最值可想到余弦定理用边进行表示，，考虑角化边得到：，进而消去计算表达式的最值即可【解析】 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab 8ab＝6－24， 当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 例3 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin 2 A + sin 2B = 2sin 2C ，则的最小值为 ．【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：， 如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，CD ＝y ，BD ＝h ，因为，所以，，化简，得：，解得：x ＝3ycos C 222cos 2a b c C ab+-=sin 2sin A B C +=2a c =c 111tan tan tan A B C ++22222a b c +=22222a b c +=222222()()2()y h x y x h +++=+22230x xy y --=，，，＝＝ ＝＝. 【解析二】（边化角）由正弦定理，得：，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理，得：，即，化简得，以主元，化简得.例4 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222=++c b a ，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【解析一】（余弦定理+二次函数）看到式子的结构特征，联想余弦定理得：所以 当时，，． 【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式） 设BC 边上的中线为AM ，则22222()4a b c AM +=+∵82222=++c b a ∴22282a b c +=-代人得：2222(82)4c c AM -=+，即225416c AM +=tan()tan B A C +=-tan tan C tan B 1tan tan C A A +=--1tan tan 1tan tan tan A C A C B-=-+111tan tan tan A B C ++11tan tan A C +tan tan 1tan tan A C A C -++21h x y xyh h h h x y-+++22434y h y h yh -+1344y h h y +≥22222a b c +=()22222+3b c a b -=24cos 3bc A b =4cos 3c A b =4sin cos 3sin C A B =4sin cos 3sin()C A A C =+tan 3tan C A =82222=++c b a 2222233832cos 242a b c a b C ab ab ab +-+-==≥-222222113253()sin ()1()()1442162S ab C ab ab ab ab ⎡⎤=≤--=-+-⎢⎥⎣⎦125ab =2max 45S ⎡⎤=⎣⎦ABC ∆根据基本不等式得：225416c AM c +=≥=⋅ 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高所以c ⋅≥所以16≥，S ≤时． 【解法三】（隐圆）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8，得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－54c 2，所以点C 在以原点(0,0)为圆心，4－54c 2为半径的圆上，所以S ≤c24－54c 2＝125⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－54c 2＋54c 2≤255.ABC ∆【巩固训练】1. （多选题）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34π B ．4π C ．712π D ．23π 2.在△ABC 中，若2sin 22cosBC A =-，则cos B 的最小值是 . 3. 已知ABC ∆中， sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是 ( )ABCD4.若的内角满足，则角的最大值是 .5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若)(2c a a b +=，则Ba Ab Aa cos cos sin -的取值范围是（ ）A .)22,0(B .)23,0(C .)22,21(D .)23,21( 6.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1a =，cos cos 1b A B -=，当A ，B 则变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围为______________.A.0⎛ ⎝⎭B . 102⎛⎫⎪⎝⎭， C .32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， D. 112⎛⎫⎪⎝⎭， 7. 在ΔABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若√2a ，b ，c 成等差数列，则 3sinA +√2sinC的最小值为________．ABC ∆sin sin 2sin A B C +=C【答案与提示】1. 【答案】BC【解析】∵22a b bc =+，利用正弦定理可得：22sin sin sin sin A B B C -=， 由正弦平方差公式得()()sin sin sin sin A B A B C B -+=， 即()sin sin sin sin C B C A B -=， 易知sin 0C ≠，故()sin sin A B B -= ∴A B B -=，即2A B = ∵0A B π<+<， ∴102A A π<+<，∴203A π<<，故选：BC .2.【答案】12【提示】已知可化为coscos sin sin 2222A C A C +2sin 2A C π--=2cos 22A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos cos sin sin 2222A C A C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，弦化切得1tan tan 223A C =∴1tantan 1tan tan122tan 23tan tan tan 2222A C A CB AC A C --==≤=⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ∴26B π≤，3B π≤，∴1cos 2B ≥. 3. 【答案】A【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决. 4.【答案】【解析】由可得：， ∵在递减，∴3πsin sin 2sin A B C +=2a b c +=2a bc +∴=2222222233112442cos 2222a b a b a b ab a b c C ab ab ab +⎛⎫+-+- ⎪+-⎝⎭∴===≥cos C ()0π，03C π<≤5. 【答案】C【解析】由)(2c a a b +=得：22sin sin sin sin B A A C =+，即22sin sin sin sin B A A C -=即()()sin sin sin sin B A B A A C +-=，而()sin sin 0B A C +=≠，所以()sin sin B A A -= 又ABC △为锐角三角形，∴B A A -=，即2B A =，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<()22sin sin sin 1sin ,cos cos sin cos sin cos sin 22a A A AA b A aB B A A B B A ⎛===∈ ---⎝⎭6. 【答案】A【解析】由1a =，cos cos 1b A B -=得：cos cos b A a B a -=根据正弦定理得：sin cos sin cos sin B A A B A -=，即()sin sin B A A -= 又ABC △为锐角三角形，∴B A A -=，即2B A =，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<< ，232A ππ<<2sin 2sin sin 2(1cos2)sin 2cos2B A A A A A λλλλ-=--=+-()2A ϕλ=+-（tan ϕλ=）∵232A ππ<<∴欲使2sin 2sin B A λ-存在最大值，必有22A πϕ+=∴06πϕ<<，故tan 0tan tan6πϕλ<=<，即0λ<<. 7.【答案】2(√3+1)【解析】由题得2b =√2a +c ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−(√22a+c 2)22ac，所以cosB =12a 2+34c 2−√22ac 2ac≥2√12a 2⋅34c 2−√22ac2ac=√6−√24，所以0<B ≤750，∴0<sinB ≤√6+√24，因为2sinB=√2sinA+sinC，∴√2sinA+sinC≤√6+√22，∴√2sinA+sinC√6+√22≤1．所以3sin A +√2sin C≥(3sinA+√2sinC)⋅√2sinA+sinC√6+√22=4√2+2sinAsinC+3sinCsinA√6+√22≥4√2+2√2sinAsinC⋅3sinCsinA√6+√22=√2+2√6√6+√22=2(√3+1)．故答案为：2(√3+1)．。
高三-解析几何综合题(填空).doc
辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型解析几何综合题（填空专题）授课日期及时段教学内容一知识梳理1 圆锥曲线--求离心率及其范围：注重定义、平面图形的几何性质、数形结合思想、平面向量的应用2求方程（直线的方程、圆的方程、轨迹方程、斜率、圆锥曲线方程）------待定系数法注重方程思想、注重定义及数形结合思想3直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系-----几何性质的代数表达4圆锥曲线综合应用---注重图形特征的代数表达二专题精讲题型一圆锥曲线--求离心率及其范围:（1）p为双曲线上的点满足PF c a≥-，证明如下：11111,(F d d :d ,d d c PFPF c a e P PF e PF PF a PF c a≥-===-≥-根据圆锥曲线的统一定义（即第二定义）为右焦点，为到相应准线的距离）则是关于的一次单调递增函数，故当P 点在右顶点时，最小，此时因而 例1.（2013镇江一模11）设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为 ．352255,e e 333a c a =≥-≥解答：根据双曲线的定义可知PF 经计算可得，故的最大值为练习1（2014无锡一模11）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为_______________211222ac6,2,,=e (1,2][36d 6PF d PF a e PF c a a c=-==≥-∈⋃-解答：PF PF 则解得，）（2）P 为椭圆上的点满足a c PF a c -≤≤+证明如下：(p =a ;p =a+PF de d P d PF c d PF c=-为到相应准线的距离）当在右顶点时，最小，此时最小且当在左顶点时，最大，此时最大且例2（2013南京一模12）已知1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ．答案： [0,222]+解答：1111(2a )2=|||2|,a-c ,PF PF aPF a c PF PF --=-≤≤+原式根据可得答案。
2020届高三数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值范围问题含解析
问题35 圆锥曲线中的最值、范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用． 二、经验分享1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 三、知识拓展1.已知P 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>一点，F 是该椭圆焦点，则,b OP a a c PF a c ≤≤-≤≤+；2.已知P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>一点，F 是该椭圆焦点，则,OP a PF c a ≥≥-；双曲线C 的焦点弦的最小值为2min 22,b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.四、题型分析(一) 利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【解析】由已知得(40)A ，是椭圆的右焦点,设左焦点为(40)F -，根据椭圆定义得=210MA MB a MF MB MB MF +-+=+-,因为210MB MF FB -≤=,所以MB MF -[210,210]∈-,故MA MB +的最小值和最大值分别为10210-和10210+.【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【山东省济宁市2020届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N 在圆上，则的最小值为( )A ．B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由题意可得2a ＝4，即a ＝2， 渐近线方程为y ＝±x ，即有， 即b ＝1，可得双曲线方程为y 2＝1， 焦点为F 1（，0），F 2，（，0），由双曲线的定义可得|MF 1|＝2a+|MF 2|＝4+|MF 2|， 由圆x 2+y 2﹣4y ＝0可得圆心C （0，2），半径r ＝2， |MN|+|MF 1|＝4+|MN|+|MF 2|， 连接CF 2，交双曲线于M ，圆于N ， 可得|MN|+|MF 2|取得最小值，且为|CF 2|3，则则|MN|+|MF 1|的最小值为4+3﹣2＝5． 故选：B ．(二) 单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足t =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21；根据椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p ,将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k x k ,根据()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk 得到212<k ；设()11,y x S ,()22,y x T 应用韦达定理222122212128,218k k x x k k x x +-=+=+.讨论当k=0,0≠t 的情况,确定t 的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-,∴圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21*∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,c b a 22==代入*式得1b c == ∴22==b a故所求椭圆方程为.1222=+y x （Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p 将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k∴212<k 设()11,y x S ,()22,y x T 则222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+………………8分 当k=0时,直线l 的方程为y=0,此时t=0,OP t OT OS =+成立,故,t=0符合题意. 当0≠t 时得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=-+=+=22210221210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty∴,2181220k k t x +•=22141k kt y +-•= 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k 整理得：2222116k k t +=由212<k 知402<<t 所以22t ∈-（，）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a b c 、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P 在椭圆上和向量式得()t f k =,进而求函数值域．【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>且椭圆经过点()0,1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1l ： 220x y +-=与圆22:640D x y x y m +--+=相切： （ⅰ）求圆D 的标准方程；（ⅱ）若直线2l 过定点()30，，与椭圆C 交于不同的两点,E F ，与圆D 交于不同的两点,M N ，求·EF MN 的取值范围． 【解析】(1) Q 椭圆经过点()0,1，∴211b=，解得21b =，e =Qc a ∴=， ()2223441a c a ∴==-，解得24a = ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=(2) (i)圆D 的标准方程为()()223213x y m -+-=-,圆心为()3,2， ∵直线1l ： 220x y +-=与圆D 相切， ∴圆D的半径r ==∴圆D 的标准方程为()()22325x y -+-=．（ⅱ）由题可得直线2l 的斜率存在, 设()23l y k x =-方程为,由()223{ 14y k x x y =++=消去y 整理得()222214243640k x k x k +-+-=，∵直线2l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ， ∴()()()()222222441436416150k k k k ∆=--+-=->，解得2105k ≤<． 设()()1122,,,E x y F x y ,则2212122224364,,1414k k x x x x k k -+==++ ∴ ()()2222221212222436414141414k k EF kx x x x k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=++-=+-⨯ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2222115414k k k +-=+，又圆D 的圆心()3,2到直线2:30l kx y k --=的距离2232311k k d k k --==++,∴圆D 截直线2l 所得弦长222251221k MN r d k +=-=+,()()()()22242222211551125·42811414k k k k EF MN k k k +-+-∴=⨯=+++ ，设29141,,5t k ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则214t k -=, 2221125114·8295025t EF MN t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴==-+- ⎪⎝⎭,∵91,5t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴21195025t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(]0,16∈，∵·EF MN 的取值范围为(]0,8．(三) 二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．【例2】若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP PF ⋅u u u v u u u v 的最大值为 【分析】设点P x y （，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OP PF ⋅u u u v u u u v用变量x y ，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．【解析】设P x y （，）,则OP PF ⋅u u u v u u u v =221x y x y x x y ⋅+=++（，）（，）,又点P 在椭圆上,故22143x y +=,所以()22223113322444x x x x x x ++-=++=++（）,又-2≤x ≤2,所以当x =2时,()21224x ++取得最大值为6,即OP PF ⋅u u u v u u u v的最大值为6,故答案为：6．【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．【小试牛刀】【湖南省益阳市2020届高三上学期期末】已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（ ） A ．2 B ． C ． D ．3【答案】C 【解析】 方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选. 方法二：作准线于，则，设，， ，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5. 即最大值为.故选.(四) 双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b+=＞≥的离心率32e =,且椭圆C 上一点N到点Q 03（，）的距离最大值为4,过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,当3AB ＜,求实数t 的取值范围. 【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a 与b 的关系,又因为椭圆上的N 点到点Q 的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N 在椭圆上,所以22244x b y =-,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出21b =,所以24a =,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,,A P B 点坐标,由题意设出直线AB 方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r得出,x y ,由于点P 在椭圆上,得到一个表达式,再由||3AB <,得到一个表达式,2个表达式联立,得到t 的取值范围.【解析】（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b = 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则22222(0)(3)44(3)NQ x y b y y =-+-=-+-222236493(1)412y y b y b =--++=-+++当1y =-时,NQ 24124,b +=解得21,b =∴24a =,椭圆方程是2214x y += （Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整得2222(14)243640k x k x k +-+-=.由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞,得215k ＜.2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++ ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 则2122124()(14)k x x x t t k =+=+,[]12122116()()6.(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+① 又由21213,AB kx x =+-＜即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +,12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜ 化简,得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞, ∴21185k ＜＜②由①,得22223699,1414k t k k ==-++ 联立②,解得234,t ＜＜∴23t --＜＜或3 2.t ＜＜【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P 在椭圆上,和已知向量等式得变量,k t 的等量关系,和变量,k t 的不等关系联立求参数t 的取值范围．【小试牛刀】已知圆())0(2:222>=+-r r y x M ,若椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为圆M的圆心,离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线kx y l =:,使得直线l 与椭圆C 分别交于B A ,两点,与圆M 分别交于H G ,两点,点G 在线 段AB 上,且BH AG =,求圆M 的半径r 的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ,因为1,1,22,2==∴==b c a c a 所以椭圆的方程为12:22=+y x C . （2）设),(),,(2211y x B y x A ,联立方程得⎩⎨⎧=-+=02222y x kx y 所以02)21(22=-+x k则22222212121)1(8218)1(212,0k k k k AB k x x x x ++=++=∴+-=⋅=+又点)0,2(M 到直线l 的距离212kkd +=, 则222122k k r GH +-= 显然,若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线kx y =就是y 轴,与已知矛盾,所以要使BH AG =,只要GH AB =,所以)1321(2132)133(221221)1(212)12(421)1(8244242422222222222+++=++++=+++++=+-=++k k k k k k k k k k k k r k k r k k 当0=k 时,2=r .当0≠k 时,=+<+++=)211(2)23111(2242k k r 3,又显然2)23111(2242>+++=kk r ,所以32<<r . 综上,圆M 的半径r 的取值范围是)3,2[.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 四、迁移运用1．【湖南省浏阳一中、醴陵一中2020联考】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A ．4B ．C ．D ．1【答案】C 【解析】由题意得．设椭圆上一点，则，∴，又， ∴当时，取得最小值．故选C ．2．【湖南省怀化市2020届高三3月第一次模拟】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】C【解析】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.3.【河北省张家口市2020期末】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线l的方程为，则，设点、将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．．所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，将式代入韦达定理得，，则，所以，，，所以，．设直线MN的斜率为k，则即，所以，，解得或．故选：A．4．【浙江省宁波市2020届高三上学期期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立方程得，设，，则，由，得，∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C．5．【江西省红色七校2020届高三第二次联考】定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P 为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知，到轴的距离，当且仅当三点共线时，能取得最小值，此时.故选D.6．【四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断】已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线：，圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则，当三点共线时取最小值，．即有取得最小值4，故选B．7．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2020届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.8．【河南省郑州市2020届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）＝|CD|．∴1，即的最小值为1．故选：B．9．已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,则PQ d +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】 如图所示,由题意知,抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ,连接PF ,则d PF =．将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=,圆心为(1,4)C -,半径为2r =,则PQ d PQ PF +=+,于是由PQ PF FQ+≥（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）．而FQ为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离,显然当F ,Q,C 三点共线时取得最小值,且为22(12)(40)23CF r ---+--=,故应选C ．10．【福建省龙岩市2020届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．【答案】4【解析】假设k 存在，设AB 方程为：y ＝k （x ﹣1）， 与抛物线y 2＝4x 联立得k 2（x 2﹣2x +1）＝4x ， 即k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0设两交点为A （x 2，y 2），B （x 1，y 1）， ∵以为直径的圆过点,∴∠QBA ＝90°，∴（x 1﹣2）（x 1+2）+y 12＝0， ∴x 12+y 12＝4，∴x 12+4x 1﹣1＝0（x 1＞0）， ∴x 12，∵x 1x 2＝1， ∴x 22，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故答案为：411．【辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三第五次模拟】抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为____________.【答案】【解析】由是抛物线上的两个动点，得又，所以，在中，由余弦定理得：，又，即，所以，因此的最大值为.故答案为12．【江西省九江市2020届高三第一次高考模拟】已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______．【答案】18【解析】抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|＝x1+2+4（+2）＝+4+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|＝2+4×2+10＝20，当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），代入y2＝8x得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴＝4，∴|FA|+4|FB|4+10≥210＝18，当且仅当x1＝1时取等号．|FA|+4|FB|的最小值是18．故答案为：18．13．【山东省淄博市2018-2020学年度3月高三模拟】已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________．【答案】【解析】设直线的方程为，，，联立直线的方程与抛物线方程，则有，即，，因为直线与抛物线方程有两个交点，所以，，，因为，所以，即，，解得或者，化简可得或者因为，所以，，所以直线的方程为，即，故直线过定点，当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值，最大值为，故答案为。
专题5.3+解析几何中的范围问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品
一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若A 点坐标为()1,1，1F 是椭圆225945y x +=的下焦点，点P 是该椭圆上的动点，则1PA PF +的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=__________． 【答案】22【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线222:41(0)xC y aa-=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于3，抛物线2:2E y px=的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线1:4360l x y-+=和2:1l x=-的距离之和的最小值为__________．【答案】2类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】【2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）【答案】即答案为.类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ． 2 C ． 2 D ． 4 【答案】B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,A B 的横坐标间的关系，便于确定直线AB 在y 轴上的解截距．【举一反三】【2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a 的最大值为___________．【答案】10类型四 利用基本不等式求范围【例4】【江西省南昌市第二中学2017-2018期中考试】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-． 由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+． 同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-， 由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴55134424222A D A D AB CD x x x x +=++≥=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ． 【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【吉林省普通中学2018届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =u u u v u u u v（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A ．73 B ． 6 C ． 132D ． 43 【答案】B设点A 在x 轴的上方，则10y >， ∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号 ∴124S S +的最小值是6，故选B. 类型五 求解函数值域得范围【例5】【云南省师范大学附属中学2018届12月适应性月考】已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ． 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ． 弦长AB 不存在最小值 【答案】D()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时，247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k+==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k =+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（ ）A ． ()0,2B ． [)2,+∞C ． (]0,2 D ． ()2,+∞ 【答案】D类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l 与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，与圆()2225(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ． ()1,3B ． ()1,4C ． ()2,3D ． ()2,4 【答案】D【举一反三】【2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____． 【答案】15⎫-+⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（22a b -可得∠B 1PA 等于向量2B A u u u u v 与21F B u u u u v的夹角，∵A（a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0）∴2B A u u u u v =（a ，﹣b ），21F B u u u u v =（﹣c ，﹣b ），∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A u u u u v 与21F B u u u u v 的夹角大于2π，由此可得2B A u u u u v •21F B u u u u v ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0， 解之得e ＜152--或e ＞152-+， 结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得152-+＜e ＜1，即椭圆离心率的取值范围为（152-+，1）．故答案为（152-+，1）．三．强化训练1．【辽宁省凌源市2018届上学期期末】已知直线:10l x y +-=截圆()222:0x y rr Ω+=>所得的弦长为14，点,M N 在圆Ω上，且直线()():12130l m x m y m -'++-=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为__________． 【答案】62,62⎡⎤-+⎣⎦所以MN 的取值范围是62,62⎡⎤-+⎣⎦．2．【福建省莆田市第二十四中学2017-2018期第二次月考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】2,31⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为： 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 3．【江西省临川第二中学2018届上学期第四次月考】如图所示，点F 是抛物线28y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是__________．【答案】(]8,125．【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P 是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=u u u u v u u u v．某同学用以下方法研究|OM|：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点，得|OM|=12|NF 1|=…=a．类似地：P 是椭圆22221x y a b+= (a >b >0，xy≠0)上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且20F M MP ⋅=u u u u v u u u v，则|OM|的取值范围是________．【答案】0＜|OM|＜c ．【解析】延长F 2M 交PF 1于点N ，可知△PNF 2为等腰三角形，且M 为F 2N 的中点， 得|OM|=|NF 1|=（|PF 1|-|PF 2|），∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，∴|OM|=a -|PF 2|， ∵a -c≤|PF 2|≤a +c ，∵P、F 1、F 2三点不共线∴0＜a -|PF 2|＜c ，∴0＜|OM|＜c ．6．【贵州省凯里市第一中学2016-2017效果检测】点P 是圆()()22251x y -+-=上的点，点Q 是抛物线24y x =上的点，则点Q 到直线1x =-的距离与到点P 的距离之和的最小值是__________．【答案】261-【解析】如下图， ()1261d PQ QM AQ QF AF =+≥-+≥=-，所以填261-．7．【山东省日照第一中学2017届高三4月考试】过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且4AB =，这样的直线可以作2条，则P 的取值范围是_____________． 【答案】02p <<()()1122,,,A x y B x y ，则21222k p px x k ++=，根据抛物线性质，得()122222pAB AF BF p x x p p k=+=++=+>．则抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足4AB =的直线可以作2条，则通径24p <，即2p <．那么p 的取值范围是()0,2．故本题应填02p << 8．【2017届上海市奉贤区4月调研测试（二模）】双曲线2213y x -=的左右两焦点分别是12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________．【答案】77,,22⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；9．【河南省豫南六市2016-2017第一次联考】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222x y b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________ 5【解析】 连接1,PF OQ ， 由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =， 圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-，又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b ab c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-， 化为23a b =，即23b a =， 225c a b a =-=，即有5c e a ==，则222515155923229293a a ea a ba a a ++⎛⎫==+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a=时，即5a =时等号成立，所以223a e b +的最小值为5．10．【2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．【答案】，，所以，应填答案．11．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末】 抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为__________．【答案】3∴()()1323a b MN AB a b +≤=+MN AB 3答案：3 12．【2017届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=-u u u r u u u r()R λ∈，且72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ． 【答案】15。
圈定高三数学精彩试题微刊系列之解析几何解读专题六解析几何中的范围、最值和探索性问题Word版含解析
解析几何中的范围、最值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查范围、最值和探索性问题，试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．考向1．圆锥曲线中范围问题圆锥曲线中参数的范围问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.例1【2017届江苏南京市高三上学期学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PF ＝λ1FQ ．（1）若点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭），且△2PQF 的周长为，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于轴，且椭圆C 的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，求实数λ的取值范围．【思路分析】（1）求椭圆标准方程，实质就是要求,a b 的值，为此要找两个关于,,a b c 的方程，本题由已知，把P 点坐标代入可得一个方程，由椭圆定义知2ΔPF Q 的周长是4a ，又可得值，从而得解；（2）本小题关键是建立起与离心率的关系，利用,P Q 两点在椭圆上，由2PF x ⊥轴可求得2(,)b P c a，由1PF ＝λ1FQ ，可求得Q 点坐标，把Q 点坐标代入椭圆方程，再转化后可得,λe 的关系()222431e λλλ++=-，因为10λ+≠，故有λ=222314311e e e +=---，从而可得的范围．（2）方法一：因为2PF 垂直于轴，且P 在轴上方，故设(),c P c y ，0c y >．设()11,Q x y ．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得c y =2b a ，即2,b Pc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为()1,0F c -，所以212,b PF c a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1FQ ()11,x c y =+．由1PF λ=1FQ ，得()12c x c λ-=+，21b y a λ-=，解得1x = 2c λλ+-，1y =－2a b λ，所以22,b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．因为点Q 在椭圆上，所以2222221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()()222221e e λλ++-=，()222431e λλλ++=-，因为10λ+≠，所以()231e λλ+=-，从而λ=222314311e e e +=---．因为1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21142e ≤≤，即753λ≤≤．所以的取值范围为7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 方法二：因为2PF 垂直于轴，且P 在轴上方，故设(),c P c y ，0c y >．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得c y =2b a ，即2,b Pc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为()1,0F c -，故直线1PF 的方程为2()2b y x c ac =+．由22222()21b y x c ac x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()()22222224240c b x b cx c b a +++-=．因为直线1PF 与椭圆有一个交点为2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设()11,Q x y ，则－c －x 1＝22224b c c b +．因为11PF FQ λ=，所以λ=12c c x --＝22222222243314311c b c a e b a c e e +++===----．1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，所以21142e ≤≤，即753λ≤≤．所以的取值范围为7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【试题点评】本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率的范围，因此我们可以把表示为的函数，为此先求得点P 的坐标（这里P 点是确定的，否则设出P 点坐标），由向量的运算求得Q 点的坐标，再把Q 点坐标代入椭圆方程可得,,,λa b c 的等式，利用222,c e a b c a==+可化此等式为,e λ的方程，解出，即把表示为的函数，由函数性质可求得的范围．范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.【规律总结】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.求解特定字母取值范围问题的常用方法：(1)构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．(2)构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．(3)数形结合法：研究特定字母所对应22:1(0)4x y C m m+=>. （Ⅰ）若2m =，求椭圆C 的离心率及短轴长；（Ⅱ）如存在过点(1,0)P -，且与椭圆C 交于,A B 两点的直线，使得以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点，求m 的取值范围.（Ⅱ）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为(1)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ．由221,4(1),x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(4)8440m k x k x k m +++-=.所以0∆>，212284k x x m k +=-+，2122444k m x x m k-=+. 因为以线段AB 为直径的圆恰好过原点，所以OA OB ⊥.所以12120x x y y +=，即2221212(1)()0k x x k x x k ++++=.所以2222222448(1)()044k m k k k k m k m k --+++=++.即2443m k m =-.由24043m k m =≥-，0m >，所以403m <<.当直线的斜率不存在时，因为以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点，所以(1,1)A -.所以1114m +=，即43m =.综上所述，m 的取值范围是403m <≤. 考向2．圆锥曲线中最值问题 圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题，这些问题形式多变。
高考解析几何压轴题精选(含答案)
高考解析几何压轴题精选(含答案)1. 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
（3分） 2 .已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.（6分）3已知以原点O 为中心，)5,0F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =。
（I ） 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （II ） 如题（20）图，已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y （其中2xx≠）的直线222:44lx x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH ∆的面积。
（8分）4.如图，已知椭圆22221(0)xy a b ab +=＞＞的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CDλ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（7分）5.在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。
专题32以解析几何中最值范围的综合问题的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
【名师综述】圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点． 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。
1.【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学（理）】（本题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，-3)和(0，3)，并且经过点3(1)2，，抛物线的顶点E 在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F ． （Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求HB AG ⋅的最小值．试题解析：（I ）设椭圆的标准方程为12222=+bx a y (a >b >0)，焦距为2c ，2.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中,已知点(1,0)E 和(1,0)F ,圆E 是以E 为圆心,半径为22的圆,点P 是圆E 上任意一点，线段FP 的垂直平分线l 和半径EP 所在的直线交于点Q .（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程T ；（Ⅱ）已知M ，N 是曲线T 上的两点，若曲线T 上存在点P ，满足OM ON OP λ+=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围.3.（山东省德州市2014届高三上学期期末考试） (本题满分l3分)已知椭圆C ：2211x y m +=+的两个焦点是F 1(-c,0)，F 2(c ，0)(c>0)。