高中数学解析几何中求参数取值范围的方法-
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
【高中数学】解析几何中求参数取值范围的方法
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（2π －α ）＝－sinα cos（2π －α ）＝cosα tan（2π －α ）＝－tanα cot（2π －α ）＝－cotα
sin（α ＋β ）＝sinα cosβ ＋cosα sinβ sin（α －β ）＝sinα cosβ －cosα sinβ cos（α ＋β ）＝cosα cosβ －sinα sinβ cos（α －β ）＝cosα cosβ ＋sinα sinβ tan（α ＋β ）＝(tanα +tanβ )／(1-tanα tanβ ) tan（α －β ）＝(tanα －tanβ )／(1＋tanα ²tanβ ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos^2(α )－sin^2(α )＝2cos^2(α )－1＝1－2sin^2(α ) tan2α ＝2tanα /[1－tan^2(α )] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin^2(α /2)＝(1－cosα )／2 cos^2(α /2)＝(1＋cosα )／2 tan^2(α /2)＝(1－cosα )／(1＋cosα ) 另也有 tan(α /2)=(1－cosα )/sinα =sinα /(1+cosα ) 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 万能公式推导
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略作者：陆爱莲来源：《教育教学科研》2013年第03期作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。
积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何最值问题参数范围求解策略解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。
运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。
常用的方法有： 1.配方法。
由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。
求参数的取值范围(解析几何)
03求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F ()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线2A Q 斜率的取值范围；解：（1）c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为：222213x y b b+=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ，则k =2A Q k22212A Q y k k x ∴⋅==- Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=-2221123A Q y k k x ∴⋅==--213A Q k k ∴=- 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：（1）c e a ==::a b c ∴2EGF 的周长4C a a ===1b ∴=，椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x y OA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩()()()22228412820k k k ∴∆=-+->，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++ ()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+，由条件25PA PB -<可得：25AB <12AB x ∴-<()()22121220149k x x x x ⎡⎤∴++-<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k -+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-⋅<⇒-+> ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴> 211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22221618=16,411232k t k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+262,,2t ⎛⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l与椭圆交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），求三角形OBE与三角形OBF 面积比值的范围解：（1）c e a == ::a b c ∴由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a=1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBF x S xS x x ∴== 联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=-+>⇒>12122286,01212k x x x x k k +=-=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x x x k k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+，122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t ⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBF S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切，O l d b -∴==b ∴=3a c =，22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =a ∴，221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =- 线段2PF 的垂直平分线交2l 于点2PM MF ∴=，即12M l d MF -=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中参数范围问题的求解策略解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1、椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b >0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。
例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
例4、设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32||2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。
背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
ｚ＝ １ ＋ｌ ＋ … ０ １ ＋２ ０．
旦． 凡
或 Ｊ ＝４ ｓ ．
＝丁 １
，
由 公 式 ３ 得 ， ＝
… … 鲁：
一
Ｓ ． ＝ １． １
的通 项 公 式 ．
综 上 ，口 ｔ的 通 项 为 （ ｛ Ｉ ｎ＝ １或 口 ＝ Ｔ ３ ２
一
解 条得 ・ ＝ ） ① 由件 孚 了 （ Ｓ ， 例 ５ ｛ ｝是等差数列 ， ＋口 ＋口ｌ ０， ４ 口 ６＋… ５＝１ ０， ０＋口ｌ ０ 孚孚 ＋ ② 口ｊ＋口２ ＋… ＋口” ＝３ 求 口ｌ Ｉ ＋… ＋口２的值． ２ ６ 解 设 Ａ ＝口 ｊ＋口 ６＋… ＋口５＝ １ 其 中 ＝ Ｉ ０， 出式得 一． 公 ２ ≥＝４亍 ３３ 一３ ③ ５＋６＋… ＋ｌ ；４ ＝口２ ＋… ＋口 ＝３ ， 中 ５． ＋口 ” ０其
Ｓ ＝ （ｎ ４ ）×了 Ｓ ３
，
其中 Ａ＝
Ａ ＋Ａ’ Ａ
ｌ＋Ａ
１． ５ 故 ｌ ｏ＋口Ｉ＋… ＋口０＝ １ Ｉ ２ ５
运用 ＋ ）÷ 相 同． 公式 ３要 注意公式 中互个式 子 中所 含项数 （ ×． （当 孚 ÷ ，＝了２６ １ Ｊ ＾； 时 一 ＋ｎ ）ｓ ＝ ｓ ６ 丁， ｎ２
解析几何中有关参数范 围问题的求解策略
王蓼 中
（ 肃省案 泰县第二 中学 甘 解析几何 Ｌ 的参 数范 围问题 屉一 类 综 合性 强 、 ｆ Ｊ ・
变 量 多 、 及 知 以 广 的 题 目 ， 而 也 是 解 几 中 的 一 涉 因 ．
高考数学解析几何解题技巧
配多少呢，我先配一次给大家看看
新手版：原式 ak 2 (3bk 2 4b)
1
1
( ak 2 3bk 2 4b )2
2
(4k 2 1)2 ab ab
(4k 2 1)2
1 4ab
[(a
3b)k 2 4b]2 (4k 2 1)2
只需系数对应成比例，a 3b 4b ,a 13b 41
• 方法：
• ①设参 ②联立+韦达（秒杀）
• 分类型：
• （i）单参问题：③△>0（秒杀）//解范围1
•
④由题干翻译出另一不等式（运用韦达定理）
•
//考察转换关系（秒杀），解范围2，取交集即可
• （ii）双参问题：
• ③△>0（秒杀）//一道含两个参数的不等式
• ④由题干翻译出一道等式，用于消参
• ⑤代回③得解
• 方法： • ①设参 ②联立+韦达（秒杀） • ③△>0得到一个不等式（秒杀） • //这一步通常没什么用，仅仅用于对消参后得到的式子进行
初步判断....但几乎每道题都会满足△>0，不过既然可以秒杀，浪 费不了多少时间 • ④消参（必定可以因式分解） • ⑤一般得到两个解.....一般利用题干（例如不过顶点等条件）舍去 一解，计算定点即可
套路三：证明直线过定点问题
祭出今年的解析几何大题
20.已知椭圆C：x a
2 2
y2 b2
1(a b 0),四点P1(1,1), P2 (0,1), P3(1,
3 2
),
P4
(1,
3) 2
中恰好有三点在椭圆C上
(1)求C的方程
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高中数学解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选(C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得(k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
故可用这些关系来构造不等式解题.例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a 的取值范围.分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则解得a >17当A、B同时在椭圆外，则解得0<6< p>综上所述，解得0<6 或a>17例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3又∵m≠0∴-3 <0或0<3< p>四、利用三角函数的有界性构造不等式曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围.分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.解：设椭圆的参数方程为(θ为参数)代入x2=2y 得4cos2θ= 2(a+sinθ)∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c 的取值范围分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)∵m+n = cosβ+1+sinβ= 2 sin(β+ π4 )+1∴m+n最小值为1-2 ，∴-(m+n)最大值为2 -1又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立∴c≥2 -1五、利用离心率构造不等式我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L 为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32设椭圆中心为(m,0)，则m-2 =c和m-32 = a2c两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2∵0<1，∴0<1,解得m>2，又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,∴- 3k >2，解得-32 <0< p>上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
华罗庚的退步解题方法我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。
少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。
19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。
从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。
晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。
下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。
他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。
因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。
但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。
这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。
假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。
看到这里。
同学们可能会拍手称妙吧。
后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。
他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。