第一课时 成比例线段和比例的基本性质.pptx.ppt
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4.1成比例线段(1)(共28张PPT)
5
3∶5
a,b,c,d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm, 求线段d的长。
d=4cm
①若a=148 mm，b=220 mm，求a∶b；
②若a=148 mm，b=22 cm，求 a∶b．
解 : 1. a 148mm 37 ;
b 220mm 55
2. a 148mm 148mm 37 .
2
AE AD
AB 2 AD 2
2，
开平方，得 AB （2 AB 2舍去）
AD
AD
原来矩形长边与短边的比为 2∶1.
已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
如果2x 5y,那么 x ________ y
3.把mn pq写成比例式.写错的是
A. m p qn
A
CB
解：设一份为k，这样AC=5k，CB=3k，则AB=8k ∴AC∶AB=5k∶8k=5∶8， AB∶CB=8k∶3k=8∶3．
如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°， AD=10．AE为BC边上的高，垂足E为BC中点．
求:AE∶BC．
A
D
解：在Rt△ABE中,B=300
∴AB=2AE.
B
的值。你发现了什么？
成比例线段
议一议
如果a,b,c,d四个数成比例，即
a b
c d
，那么
ad=bc吗？反过来,如果ad=bc，那么a,b,c,d四个
数成比例吗？与同伴交流。
比例的基本性质
如果
,那么ad=bc。
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么
.
例1 如图，一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，
《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
比例线段ppt课件
D． 6
C．
课堂新授
例2 已知＝＝ ，则 ＋ ＝_______.
解题秘方：紧扣“比例的基本性质”用消元法或
参数法求解.
课堂新授
解：方法一
由 ＝ ，得y＝ .
由 ＝ ，得z＝2x.
方法二
易知k ≠
易知x ≠ 0，∴原式＝
设 ＝ ＝ ＝k，∴
课堂新授
如： ＝ ＝来自 →(b1－2b2＋3b3
－
－＋
＝
＝ →
＝
－ －＋
≠ 0).
课堂新授
例1 [母题 教材 P63 练习 T1]已知四个实数a，b，c，d成
比例，其中a＝2，b＝4，c＝5，则d等于(
5-1. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，
也蕴含着“黄金分割” . 如图 5-1，点 P 为线段
AB 的黄金分割点( AP ＞ PB)，则下列结 论中正
确的是 (
D )
A. AB2 ＝ AP2+BP2 B. BP2 ＝ AP·BA
C.
=
－
D.
=
－
课堂新授
例6 如图3.1-2，已知点C是线段AB的黄金分割点，且
解题秘方：根据黄金分割的定义，利用黄金分割
比进行计算 .
解：∵点 C 是靠近点 B 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
∴ AC=
－
AB ＝(40 － 40) cm.
∵点 D 是靠近点 A 的黄金分割点， AB ＝ 80 cm，
成比例线段PPT课件
E B F A B
）
C
图2
C
A、 AE = AF AB AC
B 、 AE = EF AB BC D、 BE = CF AB AC
C、 BE = AE CF AF
A ③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB 在图4中若△ACD∽△ABC， 则————————
B
B
C （E）
A
A
D
D B C(E) B E C
C
A P •O D
C B A P O • B A （B） O • C （D）
D
P
B A P C • O D P C A （B）
O •
D
2. 基本方法 （1）直接应用上述基本图形的性质；
（或）转化应用上述基本图形的性质
( 2 ) 寻找第三比（中间比）转化：
若a/b=m/n,c/d=e/f,且m/n=e/f,则a/b=c/d
等比性质
2、平行线分线段成比例定理 A B C D E F 若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
3、相似三角形 性质定理 如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF B 判定定理 如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D， 则△ ABC∽ △ DEF . 如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
A
D
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M P BP BD ∴ = CP CE
B
C 说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段 成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法
）
C
图2
C
A、 AE = AF AB AC
B 、 AE = EF AB BC D、 BE = CF AB AC
C、 BE = AE CF AF
A ③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB 在图4中若△ACD∽△ABC， 则————————
B
B
C （E）
A
A
D
D B C(E) B E C
C
A P •O D
C B A P O • B A （B） O • C （D）
D
P
B A P C • O D P C A （B）
O •
D
2. 基本方法 （1）直接应用上述基本图形的性质；
（或）转化应用上述基本图形的性质
( 2 ) 寻找第三比（中间比）转化：
若a/b=m/n,c/d=e/f,且m/n=e/f,则a/b=c/d
等比性质
2、平行线分线段成比例定理 A B C D E F 若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
3、相似三角形 性质定理 如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF B 判定定理 如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D， 则△ ABC∽ △ DEF . 如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
A
D
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M P BP BD ∴ = CP CE
B
C 说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段 成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法
《比例的基本性质》课件
《比例的基本性质》PPT 课件
比例的定义、表示方法和基本性质是数学中重要的概念。了解比例的基本性 质，可以帮助我们更好地理解和应用比例在实际问题中。
比例的定义
比例是指两个或多个量之间的相对关系。在比例中，两个量之间的比值保持 不变。
举例来说，如果两个物体的长度成比例是2:5，那么无论这两个物体的实际长 度是多少，它们的比值都是2:5。
问题一
已知三个数成比例是3:4:6，如果 第一个数是12，求第三个数。
问题二
已知两个数的比例是5:8，如果第 一个 第一个数是6，求第二个数。
总结与展望
通过本课件的学习，我们了解了比例的定义、表示方法和基本性质。掌握比 例的基本性质对于解决实际问题和进一步学习数学非常重要。
在接下来的学习中，我们将深入研究比例的应用和相关的数学概念，提高解 题能力和数学思维。
在一个比例中，如果两条线段与一条射线成比例， 那么这两条线段的延长线必然交于同一点。
同角三角形的性质
在比例中，两个三角形的对应角度相等。
解题技巧
1
步骤一
根据题目中给出的数据，确定比例的比
步骤二
2
较对象。
利用比例的性质和已知信息进行推理和
计算。
3
步骤三
验证计算结果，并进行必要的调整和修 正。
例题分析
比例的表示方法
1 冒号表示法：
比例可以使用冒号来表示。例如，2:5表示一个比例。
2 分数表示法：
比例也可以使用分数来表示。例如，2/5表示一个比例。
比例的基本性质
相等比例的性质
如果两个比例相等，它们的对应项之间的比值也 相等。
反比例的性质
如果两个比例呈反比关系，它们的对应项的乘积 始终相等。
三线共点定理
比例的定义、表示方法和基本性质是数学中重要的概念。了解比例的基本性 质，可以帮助我们更好地理解和应用比例在实际问题中。
比例的定义
比例是指两个或多个量之间的相对关系。在比例中，两个量之间的比值保持 不变。
举例来说，如果两个物体的长度成比例是2:5，那么无论这两个物体的实际长 度是多少，它们的比值都是2:5。
问题一
已知三个数成比例是3:4:6，如果 第一个数是12，求第三个数。
问题二
已知两个数的比例是5:8，如果第 一个 第一个数是6，求第二个数。
总结与展望
通过本课件的学习，我们了解了比例的定义、表示方法和基本性质。掌握比 例的基本性质对于解决实际问题和进一步学习数学非常重要。
在接下来的学习中，我们将深入研究比例的应用和相关的数学概念，提高解 题能力和数学思维。
在一个比例中，如果两条线段与一条射线成比例， 那么这两条线段的延长线必然交于同一点。
同角三角形的性质
在比例中，两个三角形的对应角度相等。
解题技巧
1
步骤一
根据题目中给出的数据，确定比例的比
步骤二
2
较对象。
利用比例的性质和已知信息进行推理和
计算。
3
步骤三
验证计算结果，并进行必要的调整和修 正。
例题分析
比例的表示方法
1 冒号表示法：
比例可以使用冒号来表示。例如，2:5表示一个比例。
2 分数表示法：
比例也可以使用分数来表示。例如，2/5表示一个比例。
比例的基本性质
相等比例的性质
如果两个比例相等，它们的对应项之间的比值也 相等。
反比例的性质
如果两个比例呈反比关系，它们的对应项的乘积 始终相等。
三线共点定理
北师大版九年级数学上4.1 成比例线段 第一课时 (共15张PPT)
去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！
b a
=
d c
b d
=
a c
7
勇于探索
已知
ac bd
，判断下列比例式是否
成立,并说明理由．
(1) a －b c －d (2) a a c
bd
b bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
8
应用稳固
1.已知 a b3 ,求下列算式的值. b3 4
(1) 2a b b
(2) 3a 4b a 5b
z2
12
黄金分割 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段〔AB〕分割成大小两条线段〔AP、PB〕， 假设小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比
， 即PB:AP=AP:AB，那么可得出这一比值等于0．618…． 这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.
雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑 物，它是世界上最美丽的建筑之一
连女神维纳 斯的雕像上 也都烙有
自然界中的黄金分割 “0.618”的印
记
为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割 点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并 广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所 建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形 似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接 近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金 分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上， 台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体 总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶 身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、 黄金三角形〔顶角为36°的等腰三角形〕等，五角星中更是充 满了黄金分割．
b a
=
d c
b d
=
a c
7
勇于探索
已知
ac bd
，判断下列比例式是否
成立,并说明理由．
(1) a －b c －d (2) a a c
bd
b bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
8
应用稳固
1.已知 a b3 ,求下列算式的值. b3 4
(1) 2a b b
(2) 3a 4b a 5b
z2
12
黄金分割 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现： 将一条线段〔AB〕分割成大小两条线段〔AP、PB〕， 假设小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比
， 即PB:AP=AP:AB，那么可得出这一比值等于0．618…． 这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点.
雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑 物，它是世界上最美丽的建筑之一
连女神维纳 斯的雕像上 也都烙有
自然界中的黄金分割 “0.618”的印
记
为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割 点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点．
自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并 广泛地用于建造神殿和雕刻中．但在比古希腊还早2000多年所 建的金字塔中，它就已被采用了．文明古国埃及的金字塔，形 似方锥，大小各异．但这些金字塔的高与底面的边长的比都接 近于0．618．不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金 分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上， 台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体 总高度的比也接近黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶 身长与双翅展开后的长度之比也接近0．618．还有黄金矩形、 黄金三角形〔顶角为36°的等腰三角形〕等，五角星中更是充 满了黄金分割．
鲁教版9.1成比例线段第一课时PPT课件
7
像这样，对于四条线段a、b、c、d，
如 两果条其线中段两的条比线，段如的a长度c的（比或等a∶于b另＝外
c∶d），
bd
那么，这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段．此时也称这四条线段成比
例．
8
注意：
1、单位统一
2、顺序性：
称a,b,c,d成比例
ac(或a:bc:d)
bd
ac(或a:dc:b) 称a, d,c,b 成比例 db
3
线段的比：
如果选用同一个长度单位量得两条线段
AB,CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的
比就是它们长度的比，即AB:CD=m:n或写
成 AB m.其中，线段AB,CD分别叫做这个线段
CD n
比的前项、后项.如果把 么 AB K ，或AB=k﹒CD.
mm nn
表示成比值k,那
CD
4
五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相 同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
a c
b=d
ad bc cb = da .
34
练习2—1：如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF =
BE BF
，
AE BE =
AF BF
，
BE BF
=
AE AF
，
BE AE
=
BF AF
，
BF AF
=
BE AE
，
BF BE
=
AF AE
，
AF AE
=
BF BE
，
AF BF
=
AE BE
；
35
说明： 同时对调比例式两边的比的前后项， 比例式仍然成立 (比值变了).
成比例线段PPT课件
3．如图，在 △ABC 中，AB = 12 cm，AE = 6 cm，
EC = 5 cm，且 AD = AE ，求 AD 的长． DB EC
下课了!
注：四条线段成比例与这四条线段的排列顺序有关。
比例外项
其中a : b c : d
比例内项
当比例内项相等时，即 a b (或 a : b b : c) bc
那么b叫作a，c的比例中项
问三题、：比如果例a的、基b、本c、性d 质四个数成比例，
即a bBiblioteka c d，那么ad＝bc 吗？反过来，如果ad
n
CD
例题1：
五边形 ABCDE与五边形 A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段A’B’ 的比是多少？
注： 1、这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 2、线段的比要统一单位长度。
做一做
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么 AB,AD,EH,EF的长度分别是多少？分别
计算 AB 、AD、AB 、EH 的值。你发 EH EF AD EF
现了什么？
二、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与
b的比等于c与d的比，即
a b
dc（或a∶b＝c∶d）
，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简
称比例线段，也称这四条线段成比例。
练习 已知线段a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=6cm。问：a、b、c、 d是不是成比例线段？
＝bc，那么a、b、c、d 四个数成比例吗？
三、比例的基本性质
如果 a c ，那么ad＝bc．
bd
如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么