二次函数单元测试 (8)
九年级上册数学《二次函数》单元测试题(带答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞22．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的3．(2020·浙江省初三二模)二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ．37 B ．47 C ．34 D ．435．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤3a b 2=． 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 411．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y 1=x 2(x≥0)与 y 2= 13x 2(x≥0)的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2(x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y 2=13x 2(x≥0)的图象于点E ，则DE AB=( )A ．3B ．1C ．2D ．3﹣ 12．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．414．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x轴上,且A B 为个单位长度,以A B 为边作等边△A B C ,使点C 落在该函数y轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x﹣1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分) 19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x﹣1)2+k的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．(1)求此二次函数的解析式;(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？(3)当x为何值时，y＞0？20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x (单位:km)，乘坐地铁的时间1y (单位:min)是关于x 的一次函数，其关系如下表:(1)求1y 关于x 的函数解析式;(2)李华骑单车的时间2y (单位:min)也受x 的影响，其关系可以用2y =12x 2-11x ＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)将这个二次函数化为2()y a x h k =++的形式为 ．(2)当自变量x 满足 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．(3)当自变量x 满足 时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量x 满足 时，两个函数的函数值的积小于0．22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC∆的面积．23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x2+B x+C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:(1)表中n的值为;(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A (m1，y1)，B (m+1，y2)两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m，到地面OA 的距离为172m.(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．(1)求二次函数解析式;(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.参考答案一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞2[答案]B[解析]∵函数y=(2-A )x 2-x 是二次函数，∴2-A ≠0，即A ≠2，故选B ．2．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的[答案]C[解析]A 、∵A =1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确;B 、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B 不正确;C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确;D 、∵A ＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x ＞时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确，故选C ．3．(2020·浙江省初三二模)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是() A ． B ．且C ．D ．且[答案]D[解析]∵二次函数y=kx 2−6x+3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2−6x+3=0(k≠0)有实数根， 122ba =121212263y kx x =-+x k 3k <3k <0k ≠3k ≤3k ≤0k ≠即△=36−12k ⩾0，k ⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k 的取值范围是k ⩽3且k≠0.故选D .4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ． B ． C ． D ． [答案]A[解析]∵竖直上抛的小球离地面的高度h (米)与时间t (秒)的函数关系式为h ＝﹣2t 2+mt +，小球经过秒落地，∴t ＝时，h ＝0， 则0＝﹣2×()2+m +， 解得:m ＝， 当t ＝＝=时，h 最大， 故答案为:． 5．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案]A[解析]结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可:①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误;②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误;③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误;④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故本说法正确． 2587437473443258747474742581272b a -()12722-⨯-3737综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．[答案]D [解析]解:A ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＞0，由抛物线图象可知，开口向上，A ＞0，对称轴x =﹣＞0，B ＜0;两者相矛盾，错误;B ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＜0，两者相矛盾，错误;C ．由一次函数的图象可知A ＜0，B ＞0，由抛物线图象可知A ＞0，两者相矛盾，错误;D ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＞0，对称轴x =﹣＞0，B ＜0;正确． 故选D ． 7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度[答案]D[解析]解:抛物线y=x 2顶点为(0，0)，抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的顶点为(2，﹣1)，则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的图象．故选D ．8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤． 你认为其中正确信息的个数有 2b a 2b a3a b 2A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案]D [解析]①如图，∵抛物线开口方向向下，∴A ＜0．∵对称轴x ，∴＜0．∴A B ＞0．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜0，即A +B +C ＜0．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=A ﹣B +C ＞0，∴2A ﹣2B +2C ＞0，即3B ﹣2B +2C ＞0．∴B +2C ＞0．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y ＞0，即A ﹣B +C ＞0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴C ＞0．∵B ＜0，∴C ﹣B ＞0．∴(A ﹣B +C )+(C ﹣B )+2C ＞0，即A ﹣2B +4C ＞0．故④正确．⑤如图，对称轴，则．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ．9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析]解:∵函数的解析式是y =(x -1)2-3，∴对称轴是x =1，∴点A 关于对称轴的点A ′是(4,y 1)，那么点B 在对称轴上，点C 、A ′都在对称轴的右边，∵，∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，b 12a 3=-=-2b a 3=-b 12a 3=-=-3a b 2=123y y y >>132y y y >>321y y y >>312y y y >>10a =>∵4＞2＞1.∴y 1＞y 3＞y 2.故选B .10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4[答案]A[解析]由图象可知: 抛物线y 1的顶点为(-2，-2)，与y 轴的交点为(0，1)，根据待定系数法求得y 1=(x+2)2-2; 抛物线y 2的顶点为(0，-1)，与x 轴的一个交点为(1，0)，根据待定系数法求得y 2=x 2-1;抛物线y 3的顶点为(1，1)，与y 轴的交点为(0，2)，根据待定系数法求得y 3=(x-1)2+1;抛物线y 4的顶点为(1，-3)，与y 轴的交点为(0，-1)，根据待定系数法求得y 4=2(x-1)2-3;综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．11．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y =x (x≥0)与 y =x (x≥0)的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y =x (x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y =x (x≥0)的图象于点E ，则=() 34122132122132DE ABAB ．1 CD ．3﹣[答案]D[解析]解:设点A的纵坐标为B , 因为点B 在的图象上, 所以其横坐标满足=B , 根据图象可知点B 的坐标为,B ), 同理可得点C 的坐标为 所以点D 因为点D 在的图象上, 故可得 y==3B ，所以点E 的纵坐标为3B ,因为点E 在的图象上, =3B ， 因为点E 在第一象限,可得E 点坐标为(,3B ),故D E=所以= 故选D .12．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[答案]B 21y x =2x ∴21y x =2)2213y x =∴213x (3b -DE AB3-403[解析]解:设抛物线的解析式为y ＝A (x ﹣1)2+， 把点A (0，10)代入A (x ﹣1)2+，得A (0﹣1)2+＝10， 解得A ＝﹣， 因此抛物线解析式为y ＝﹣(x ﹣1)2+， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1(不合题意，舍去);即OB ＝3米．故选B ．13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C [解析]解:设P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，四边形A PQC 的面积为SC m 2，则有:S=S △A B C -S △PB Q=12 ×12×6-12 (6-t)×2t =t 2-6t+36=(t-3)2+27．∴当t=3s 时，S 取得最小值．故选C ．14．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )403403403103103403A ．﹣＜m ＜3B ．﹣＜m ＜2C ．﹣2＜m ＜3D ．﹣6＜m ＜﹣2[答案]D[解析]如图，当y=0时，﹣x 2+x+6=0，解得x 1=﹣2，x 2=3，则A (﹣2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x ﹣3)，即y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)，当直线y=﹣x+m 经过点A (﹣2，0)时，2+m=0，解得m=﹣2;当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x 2﹣x ﹣6=﹣x+m 有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m ＜﹣2，故选D ．二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．[答案]20．[解析]求停止前滑行多远相当于求s 的最大值.则变形s =-5(t -2)2+20，所以当t =2时，汽车停下来，滑行了20m .16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标254254是_________.[答案](1,4).[解析]把A (0,3)，B (2,3)代入抛物线可得B =2，C =3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x 轴上,且A B 为位长度,以A B 为边作等边△A B C ,使点C 落在该函数y轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.[答案,3)或(2,-3).[解析]解:∵△A B C 是等边三角形，且∴A B 边上的高为3，又∵点C 在二次函数图象上，∴C 的纵坐标为±3， 令y=±3代入y=x 2-2x-3， ∴或0或2∵使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴或x=2∴3)或(2，-3)故答案为，3)或(2，-3)18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x ﹣1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．[答案]1≤A+1[解析]∵图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)，∴C 2的解析式为y=(x+1)2+3(x≤0).∵函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，∴1≤y ≤3.当(x ﹣1)2+1=3，x 当(x ﹣1)2+1=1，x =1;∴1≤A 时，该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关.故答案为三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分)19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x ﹣1)2+k 的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．(1)求此二次函数的解析式;(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？(3)当x 为何值时，y ＞0？[答案](1);(2)x ＜1时，y 随x 的增大而减小;(3)x ＜-1或x ＞3时，y ＞0.[解析]解:(1)把A (-1，0)和B (4，5)代入，联立方程组解得，， ∴即;(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x=1，∵A =1，∴函数图象开口向上，223y x x =--14a k =⎧⎨=-⎩()2y x 14=--2y x 2x 3=--∴当x<1时，y 随x 的增大而减小;(3)设y=0，则x 2−2x −3=0，解得:x=3或−1，∴函数图象和x 轴的交点坐标为(3，0)和(−1，0)，∵A =1，∴函数图象开口向上，∴x>3或x<−1时，y>0.20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位:km)，乘坐地铁的时间(单位:min)是关于的一次函数，其关系如下表:(1)求关于的函数解析式;(2)李华骑单车的时间(单位:min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．[答案](1) y 1=2x ＋2 ;(2) 李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min[解析]解:(1)设y 1关于x 的函数解析式为y 1=kx ＋B .将(7，16)，(9，20)代入，得解得∴y 1关于x 的函数解析式为y 1=2x ＋2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min ，y =y 1＋y 2则y =y 1＋y 2=2x ＋2＋x 2-11x ＋78=x 2-9x ＋80= (x -9)2＋39.5. ∴当x =9时，y 取得最小值，最小值为39.5.所以李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min. 21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与x 1y x 1y x 2y x 2y 12x x 716920k b k b +=⎧⎨+=⎩22k b =⎧⎨=⎩121212两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)将这个二次函数化为的形式为 ．(2)当自变量满足 时，两函数的函数值都随增大而增大．(3)当自变量满足 时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量满足 时，两个函数的函数值的积小于0．[答案](1) ; (２) ｘ＞1; (３) 0＜ｘ＜3;(4) ｘ＜-1.[解析](1)y ＝x 2 －2x －3＝(x － 1)2－4，(2)抛物线的对称轴为直线x ＝1，则x ＞1时二次函数的函数值都随x 增大而增大，而一次函数y 随x 增大而增大,所以当x ＞ 1时，两函数的函数值都随x 增大而增大，(3)当0＜x ＜3时，一次函数值大于二次函数值;(4)当x ＜－1时，两个函数的函数值的积小于0，故答案为y ＝(x －1)2－4 ; x ＞1 ; 0＜x ＜3 ;x ＜－1. 22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．[答案]见解析2()y a x h k =++x x x x 2(-1)-4y x =212y x bx c =-++()2,0A ()0,6B-x C BA BC ABC ∆[解析](1)把，代入得 ， 解得.∴这个二次函数解析式为. (2)∵抛物线对称轴为直线， ∴的坐标为，∴，∴. 23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x 2+B x+C 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:(1)表中n 的值为 ;(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3)若A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)两点都在该函数的图象上，且m ＞2，试比较y 1与y 2的大小．[答案](1)5;(2)当x=2时，y 有最小值，最小值是1;(3)y 1＜y 2[解析](1)∵根据表可知:对称轴是直线x=2，∴点(0，5)和(4，n)关于直线x=2对称，∴n=5，故答案为5;(2)根据表可知:顶点坐标为(2，1)，即当x=2时，y 有最小值，最小值是1; ()2,0A ()0,6B -212y x bx c =-++2206b c c -++=⎧⎨=-⎩46b c =⎧⎨=-⎩21462y x x =-+-44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭C ()4,0422AC OC OA =-=-=1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=(3)∵函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x=2，∴当m ＞2时，点A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∵m ＜m+1，∴y 1＜y 2．24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y (个)与售价x (元)之间的函数关系(12≤x ≤30);(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？[答案](1)y=－10x ＋300(12≤x ≤30);(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元;(3) 当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.[解析]解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知:y=180﹣10(x ﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30)．(2)设王大伯获得的利润为W ，则W=(x ﹣10)y=，令W=840，则=840，解得:=16，=24．答:王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．(3)∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=，∵A =﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答:当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x 2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为m. (1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？2104003000x x -+-2104003000x x -+-1x 2x 210(20)1000x --+16-172[答案](1)抛物线的函数关系式为y=x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是m ．[解析]解:(1)由题知点在抛物线上 所以，解得，所以 所以，当时， 答:，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 (2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0))当x=2或x=10时，，所以可以通过 (3)令，即，可得，解得答:两排灯的水平距离最小是26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．16-17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩24b c =⎧⎨=⎩21246y x x =-++62b x a=-=10t y =≦21246y x x =-++2263y =>8y =212486x x -++=212240x x -+=1266x x =+=-12x x -=2y x bx c =++(1)求二次函数解析式;(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形.是否存在点P ，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.[答案](1);(2)存在这样的点，此时P 点的坐标为，); (3)P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． [解析](1)将B 、C 两点的坐标代入，得， 解得. ∴二次函数的解析式为.(2)存在点P ，使四边形POP′C 为菱形;.设P 点坐标为(x ，x 2-2x-3)，PP′交C O 于E.若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO;.连接PP′，则PE ⊥C O 于E ，.∵C (0，-3)，.POP'C POP'C 2y=x 2x 3--32-321547582y x bx c =++93b c=0{c=3++-b=2{c=3--2y=x 2x 3--∴C O=3，.又∵OE=EC ，.∴OE=EC =. ∴y=−;. ∴x 2-2x-3=−， 解得(不合题意，舍去). ∴存在这样的点，此时P 点的坐标为，). (3)过点P 作y 轴的平行线与B C 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P(x ，x 2-2x-3)，设直线B C 的解析式为:y=kx+D ，.则，. 解得: .∴直线B C 的解析式为y=x-3，.则Q 点的坐标为(x ，x-3);.当0=x 2-2x-3，.解得:x 1=-1，x 2=3，.∴A O=1，A B =4，.S 四边形A B PC =S △A B C +S △B PQ +S △C PQ .=A B •O C +QP•B F+QP•OF. =×4×3+ (−x 2+3x)×3. 32323212x x ==32-330d k d -⎧⎨+⎩＝＝13k d ⎧⎨-⎩＝＝1212121212=− (x −)2+. 当x ＝时，四边形A B PC 的面积最大. 此时P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． 32327583232154758。
数学九年级上册《二次函数》单元测试题(带答案)
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征,主要利用了二次函数的增减性与对称性,根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
A. B. C. D.
【答案】D
A. –1≤x≤9B. –1≤x<9
C. –1<x≤9D.x≤–1或x≥9
7.已知两点 均在抛物线 上,点 是该抛物线 顶点,若 ,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△＞0,再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误；
B、∵x1＜x2,
∴△=b2-4ac＞0,故本选项错误；
C、若a＞0,则x1＜x0＜x2,
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
答案与解析
一、选择题(共24分)
1.将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()
A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝(x－1)2－2D.y＝(x＋1)2－2
20.在关于x,y的二元一次方程组 中．
(1)若a=3．求方程组的解；
(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值．
九年级上册数学《二次函数》单元测试(附答案)
(2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线G经过(﹣5，0)，(0， )，(1，6)三点，直线l的解析式为y=2x﹣3
(1)求抛物线G的函数解析式;
(2)求证:抛物线G与直线L无公共点;
【详解】解:根据题意得:AD=BC= ，上边三角形的面积为: (5﹣x) ，右侧三角形的面积为: x(12﹣ )，所以y=30﹣ (5﹣x) ﹣ x(12﹣ )，整理得:y=﹣ x2+12x，∴y=﹣ (x﹣ )2+15．
∵﹣ ＜0，∴长方形面积有最大值，此时边长x应为 m．
故要使长方形的面积最大，其边长 m．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
7.把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是()
19.若点P(1,a),Q(-1,b)都在抛物线y=-x2+1上,则线段PQ的长为_____.
20.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论:①ab＜0;②b2＞4ac;③a+b+2c＜0;④3a+c＜0.其中正确的是_____．
三、解答题
21.―抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题含答案
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题一、选择题：（每题3，共30分） 1.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ). A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ). A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+3、抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ） A ．直线x=－1 B ．直线x=1 C ．直线y=－1 D ．直线y=14、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35、若,,,,,123351A yB yC y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（ ）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y <<D.132y y y <<6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）OxyOxyOxyOxy(A)(B)(C)(D)7.〈常州〉二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0；（3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.08.〈南宁〉已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（ ）A.图象关于直线x =1对称B.函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大9、二次函数与882+-=x kx y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2<kB.02≠<k k 且C.2≤kD.02≠≤k k 且10. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠B =60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，MP 2 ＝y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为（ ）.二、填空题：（每题3，共30分）11.已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.12、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试(带答案)
A.(1, 0)B.(-1, 0)C.(2, 0)D.(-2, 0)
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A. 1B. 3C. 5D. 7
5.已知二次函数 的图象过点 , , ．若点 , , 也在二次函数 的图象上,则下列结论正确的是()
∴y=x2+x−2,
当y=0时,
x2+x−2=0,
解得x1=1,x2=−2.
故另一个交点坐标是(−2,0).
故答案选D.
[点睛]本题考查了抛物线与坐标轴的交点,解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的知识点.
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A.1B.3C.5D.7
[答案]B
[解析]
[分析]
先由A(1,2),B(3,2),C(5,7),代入y=Ax2+Bx+C,得到二次函数得到二次函数的解析式,再比较y1、y2、y3的大小．
[详解]把A(1,2),B(3,2),C(5,7)代入y=Ax2+Bx+C得
,
解得 .
∴函数解析式为y= x2− x+ = (x−2)2+ .
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
[考试时间：90分钟分数：120分]
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)、
1.下列函数中,是二次函数的有()
① ② ③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示,给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ,其中结论正确有()个．
二次函数单元测试8
1二次函数单元测试一、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１．在圆的面积公式 S ＝πr 2中，s 与 r 的关系是（ ）．A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系２．已知函数 y ＝(m ＋2) 22mx 是二次函数，则 m 等于（ ）．A 、±2B 、2C 、－2D 、±2３．已知 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）．A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0４．苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）．A BC D５．抛物线 y ＝－x 2不具有的性质是（ ）．A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６．抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）．A 、0B 、4C 、－4D 、2二、填空题：（每题 4 分，共 48 分）7．抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ． 8．抛物线 y ＝2x 2的对称轴是 ，顶点坐标为 ． 9．函数 y ＝2 (x －1)2 +4图象的对称轴是 ，顶点坐标为 ．stO s tO st OxyO班级： 姓名： 考试号： -------------------------------------------------------装-------------------------------订------------------------------------线--------------------------------------------------------------s tO210．将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位所得的抛物线的解析式为 ．11．函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝ ． 12．二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值．13．函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大．14．将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ ． 15．若点 A ( 2, m) 在函数 y ＝x 2－1 的图像上，则 A 点的坐标是 ． 16．抛物线 y ＝2x 2＋3x －4 与 y 轴的交点坐标是 ． 17．请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上， ． 18．抛物线1222+--=x x y 在对称轴 侧部分是上升的．(填“左”或“右”) 三、解答题：（第19、20、21、22题每题10分;第23、24题每题12分;第25题14分，满分78分）19．如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2，① 求 y 与 x 之间的函数关系式．② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2．20．已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．321．已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式；并指出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．22．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．23．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试卷含答案
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试[考试时间:90分钟 满分:120分]一．选择题(共12小题)1．下列y 和x 之间的函数表达式中，是二次函数的是( )A ．y ＝(x +1)(x ﹣3)B ．y ＝x 3+1C ．y ＝x 2+x 1D ．y ＝x ﹣32．抛物线y ＝(x ﹣3)2﹣5的顶点坐标是( )A ．(3，5)B ．(﹣3，5)C ．(3，﹣5)D ．(﹣3，﹣5)3．已知二次函数y ＝x 2+k x ﹣12的图象向右平移4个单位长度后，所得新的图象过原点，则k 的值是()A ．4B ．3C ．2D ．14．由二次函数y ＝2(x ﹣3)2+1，可知正确的结论是( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为过点(﹣3，0)且与y 轴平行的直线C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大5．将二次函数y ＝x 2+4x ﹣1用配方法化成y ＝(x ﹣h )2+k 的形式，下列所配方的结果中正确的是( )A ．y ＝(x ﹣2)2+5B ．y ＝(x +2)2﹣5C ．y ＝(x ﹣4)2﹣1D ．y ＝(x +4)2﹣56．如图，A ＜0，B ＞0，C ＜0，那么二次函数y ＝A x 2+B x +C 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．如果二次函数y＝﹣x2﹣2x+C 的图象在x轴的下方，则C 的取值范围为()A ．C ＜﹣1B ．C ≤﹣1 C ．C ＜0D ．C ＜18．如图是二次函数y＝A x2+B x+C 的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是()A ．x≥﹣1B ．x≤﹣1C ．﹣1≤x≤3D ．x≤﹣1或x≥39．已知函数y1＝mx2+n，y2＝n x+m(m n≠0)，则两个函数在同一坐标系中的图象可能为()A ．B ．C ．D ．10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示．下列结论:①小球在空中经过的路程是40m;②小球运动的时间为6s;③小球抛出3秒时，速度为0;④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④11．把抛物线y ＝A x 2+B x +C 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+6x +5，则A ﹣B +C 的值为( )A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．012．已知:二次函数y ＝A x 2+B x +C (A ≠0)的图象如图所示，经过点(﹣1，2)和(1，0)．下列结论中，正确的是( )A ．A ＞1B ．2A +B ＜0C ．A +B ≤m (A m +B )(m 为任意实数)D ．(A +B )2＜C 2二．填空题(共4小题)13．如果函数()212++=-m m x m y 是二次函数，那么m ＝ ．14．若抛物线的对称轴是x ＝1，函数有最大值为4，且过点(0，3)，则其解析式为 ．15．抛物线y ＝x 2﹣4x +C 的图象上有三点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)，则y 1、y 2、y 3之间用“＜”连接为 ．16．物体自由下落时，它所经过的距离h (米)和时间t (秒)之间可以用关系式h ＝5×t 2来描述．建于1998年的上海金茂大厦高420.5米，当时排名世界第三高楼．若从高340米的观光厅上掉下一个物体，自由下落到地面约需 秒(精确到1秒)．三．解答题(共8小题)17．已知抛物线y ＝x 2+B x +C ，经过点A (0，5)和点B (3，2)(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标．18．在如图所示的直角坐标系中，正方形A B C D 的边长为4，．(1)求图象经过B ，E，F三点的二次函数的表达式;(2)求(1)中二次函数图象的顶点坐标．19．二次函数y＝A x2的图象与过A (2，0)，B (0，2)的直线交于P，Q两点，P点横坐标为1．(1)求直线l及二次函数的表达式;(2)求△OPQ的面积．20．到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x 元，且40＜x＜70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式;(2)设该景点一天的门票收入为w元．①试用x的代数式表示w;②试问:当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？学生推铅球，铅球出手(A 点处)的高度是35m ，出手后的铅球沿一段21．某抛物线弧运行，当运行到高度y ＝3m 时，水平距离是x ＝4m ．(1)试求铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式;(2)求该学生铅球推出的成绩是几米？22．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w (千克)随销售单价x (元/千克)的变化而变化，具体关系式为:w ＝﹣2x +240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y (元)，解答下列问题:(1)用含x 的代数式表示每千克绿茶的利润;并求y 与x 的关系式;(2)当x 取何值时，y 的值最大？(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？23．已知抛物线y ＝A x 2﹣5A x +4A 与x 轴交于点A 、B (A 在B 的左边)，与y 轴交于C 点，且过点(5，4)．(1)求A 的值;(2)设顶点为P ，求△A C P 的面积;(3)在该抛物线上是否存在点Q ，使ABP ABQ S S ∆∆=21？若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理(4)画出该函数的图象，根据图象回答当x为何值时，y≥0？(5)写出当2≤x≤6时，该函数的最大值和最小值．24．已知抛物线y＝A x2+B x+C 与直线y＝k x+4相交于A (1，m)，B (4，8)两点，与x轴交于原点O及点C ．(1)求直线与抛物线相应的函数关系式;(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D ，使得S△OC D ＝S△OC B ？如果存在，请求出满足条件的点D ;如果不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题(共12小题)1．下列y 和x 之间的函数表达式中，是二次函数的是( )A ．y ＝(x +1)(x ﹣3)B ．y ＝x 3+1C ．y ＝x 2+D ．y ＝x ﹣3[分析]利用二次函数的定义分别分析得出即可．[解答]解:A 、y ＝(x +1)(x ﹣3)＝x 2﹣2x ﹣3，是二次函数，所以A 选项正确;B 、y ＝x 3+1，最高次数是3，不是二次函数，所以B 选项错误;C 、y ＝x 2+，右边不是整式，不是二次函数，所以C 选项错误;D 、y ＝x ﹣3，最高次数是1，不是二次函数，所以D 选项错误．故选:A ．2．抛物线y ＝(x ﹣3)2﹣5的顶点坐标是( )A ．(3，5)B ．(﹣3，5)C ．(3，﹣5)D ．(﹣3，﹣5)[分析]根据抛物线y ＝A (x ﹣h )2+k 的顶点坐标是(h ，k )直接写出即可．[解答]解:抛物线y ＝(x ﹣3)2﹣5的顶点坐标是(3，﹣5)，故选:C ．3．已知二次函数y ＝x 2+k x ﹣12的图象向右平移4个单位长度后，所得新的图象过原点，则k 的值是()A ．4B ．3C ．2D ．1 x 1x 1[分析]先配方得到，然后把它向右平移4个单位长度后所得的新抛物线的解析式为，再把原点坐标代入即可求出k 的值． [解答]解:∵y ＝x 2+k x ﹣12＝， ∴抛物线向右平移4个单位长度后所得的新抛物线的解析式为: ，把(0，0)代入得，解得k ＝1．故选:D ． 4．由二次函数y ＝2(x ﹣3)2+1，可知正确的结论是( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为过点(﹣3，0)且与y 轴平行的直线C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大[分析]根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．[解答]解:A 、∵二次函数y ＝2(x ﹣3)2+1中，A ＝2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误;B 、∵二次函数的解析式是y ＝2(x ﹣3)2+1，∴其图象的对称轴是直线x ＝3，故本选项错误;C 、∵由函数解析式可知其顶点坐标为(3，1)，∴其最小值为1，故本选项正确;D 、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x ＝3，∴当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选:C ．5．将二次函数y ＝x 2+4x ﹣1用配方法化成y ＝(x ﹣h )2+k 的形式，下列所配方的结果中正确的是( ) 4122122k k x y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41242122k k x y --⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=4122122k k x --⎪⎭⎫ ⎝⎛+4122122k k x y --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41242122k k x y --⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=4124210022k k --⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A ．y ＝(x ﹣2)2+5B ．y ＝(x +2)2﹣5C ．y ＝(x ﹣4)2﹣1D ．y ＝(x +4)2﹣5[分析]运用配方法把一般式化为顶点式即可．[解答]解:y ＝x 2+4x ﹣1＝y ＝x 2+4x +4﹣4﹣1＝(x +2)2﹣5，故选:B ．6．如图，A ＜0，B ＞0，C ＜0，那么二次函数y ＝A x 2+B x +C 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．[分析]根据A 、B 、C 的符号，可判断抛物线的开口方向，对称轴的位置，与y 轴交点的位置，作出选择．[解答]解:由A ＜0可知，抛物线开口向下，排除D ;由A ＜0，B ＞0可知，对称轴x ＝﹣＞0，在y 轴右边，排除B ， 由C ＜0可知，抛物线与y 轴交点(0，C )在x 轴下方，排除C ;故选:A ．7．如果二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +C 的图象在x 轴的下方，则C 的取值范围为( )A ．C ＜﹣1B ．C ≤﹣1 C ．C ＜0D ．C ＜1[分析]A 小于0，二次函数有最大值，二次函数的图像在x 轴下方，则二次函数的最大值小于0．[解答]解:由题意得，解得C ＜﹣1 故选:A ．8．如图是二次函数y ＝A x 2+B x +C 的部分图象，使y ≥﹣1成立的x 的取值范围是( )ab 204440442＜，即＜----c a b acA ．x≥﹣1B ．x≤﹣1C ．﹣1≤x≤3[分析]观察函数图象在y＝﹣1上和上方部分的x的取值范围便可．[解答]解:由函数图象可知，当y≥﹣1时，二次函数y＝A x2+B x+C 不在y＝﹣1下方部分的自变量x满足:﹣1≤x≤3，故选:C ．9．已知函数y1＝mx2+n，y2＝n x+m(m n≠0)，则两个函数在同一坐标系中的图象可能为()A ．B ．C ．D ．[分析]可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．[解答]解:A 、由一次函数y2＝n x+m(m n≠0)的图象可得:n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项不符合题意;B 、由一次函数y2＝n x+m(m n≠0)的图象可得:n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意;C 、由一次函数y2＝n x+m(m n≠0)的图象可得:n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意;D 、由一次函数y2＝n x+m(m n≠0)的图象可得:n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意; 故选:A ．10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位:m )与小球运动时间t (单位:s )之间的函数关系如图所示．下列结论:①小球在空中经过的路程是40m ;②小球运动的时间为6s ;③小球抛出3秒时，速度为0;④当t ＝1.5s 时，小球的高度h ＝30m ．其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②④ [分析]①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案;④可由待定系数法求得函数解析式，再将t ＝1.5s 代入计算，即可作出判断．[解答]解:①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m ，则小球在空中经过的路程一定大于40m ，故①错误;②由图象可知，小球6s 时落地，故小球运动的时间为6s ，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确;④设函数解析式为h ＝A (t ﹣3)2+40，将(0，0)代入得:0＝A (0﹣3)2+40，解得A ＝﹣， ∴函数解析式为h ＝﹣(t ﹣3)2+40， ∴当t ＝1.5s 时，h ＝﹣(1.5﹣3)2+40＝30， ∴④正确．940940940综上，正确的有②③④．故选:C ．11．把抛物线y＝A x2+B x+C 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+6x+5，则A ﹣B +C 的值为()A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．0[分析]求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得A 、B 、C 的值．[解答]解:y＝x2+6x+5＝(x+3)2﹣4．则其顶点坐标是(﹣3，﹣4)，将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到(﹣1，﹣1)．故原抛物线的解析式是:y＝(x+1)2﹣1＝x2+2x．所以A ＝1，B ＝，2，C ＝0．所以A ﹣B +C ＝1﹣2+0＝﹣1．故选:C ．12．已知:二次函数y＝A x2+B x+C (A ≠0)的图象如图所示，经过点(﹣1，2)和(1，0)．下列结论中，正确的是()A ．A ＞1B ．2A +B ＜0C ．A +B ≤m(A m+B )(m为任意实数)D ．(A +B )2＜C 2[分析]根据抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时，系数A 、B 、C 满足的关系进行推理判断即可．[解答]解:∵二次函数y＝A x2+B x+C (A ≠0)经过点(﹣1，2)和(1，0)．∵A ﹣B +C ＝2，A +B +C ＝0，∴2A +2C ＝2，即A +C ＝1，又∵C ＜0，∴A ＞1，因此选项A 正确;∵对称轴x ＝﹣＜1，A ＞0， ∴2A +B ＞0，因此选项B 不正确;当x ＝m 时，y ＝A m 2+B m +C ，当0＜x ＜1时，y 有最小值，有A m 2+B m +C ＜A +B +C ，因此选项C 不正确;∵(A +B +C )(A +B ﹣C )＝0，即(A +B )2﹣C 2＝0，因此选项D 不正确;故选:A ．二．填空题(共4小题)13．如果函数y ＝(m +1)x +2是二次函数，那么m ＝ ．[分析]直接利用二次函数的定义得出m 的值．[解答]解:∵函数y ＝(m +1)x+2是二次函数，∴m 2﹣m ＝2，(m ﹣2)(m +1)＝0，解得:m 1＝2，m 2＝﹣1，∵m +1≠0，∴m ≠﹣1，故m ＝2． ab 2故答案为:2．14．若抛物线的对称轴是x＝1，函数有最大值为4，且过点(0，3)，则其解析式为﹣x2+2x+3．[分析]根据题意得出顶点坐标，设出顶点形式，将(0，3)代入即可确定出函数解析式．[解答]解:根据题意得:顶点坐标为(1，4)，设抛物线解析式为y＝A (x﹣1)2+4，将(0，3)代入得:3＝A +4，即A ＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3．故答案为:﹣x2+2x+315．抛物线y＝x2﹣4x+C 的图象上有三点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，则y1、y2、y3之间用“＜”连接为y2＜y3＜y1．[分析]此题可以把图象上三点的横坐标代入求得纵坐标y值，再比较大小．[解答]解:由于三点(﹣1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在抛物线y＝x2﹣4x+C 的图象上，则y1＝1+4+C ＝C +5;y2＝4﹣8+C ＝C ﹣4;y3＝9﹣12+C ＝C ﹣3．故y1、y2、y3之间用“＜”连接为y2＜y3＜y1．16．物体自由下落时，它所经过的距离h(米)和时间t(秒)之间可以用关系式h＝5×t2来描述．建于1998年的上海金茂大厦高420.5米，当时排名世界第三高楼．若从高340米的观光厅上掉下一个物体，自由下落到地面约需8秒(精确到1秒)．[分析]直接把h的值代入，列方程解答即可求出自变量t的值．[解答]解:依题意，将h＝340代入h＝5×t2解得:t＝8．三．解答题(共8小题)17．已知抛物线y＝x2+B x+C ，经过点A (0，5)和点B (3，2)(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标．[分析](1)利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决．(2)利用配方法求顶点坐标即可;[解答]解:(1)因为抛物线y ＝x 2+B x +C ，经过点A (0，5)和点B (3，2)所以解得， 所以，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +5．(2)∵y ＝(x ﹣2)2+1，∴顶点坐标为(2，1)．18．在如图所示的直角坐标系中，正方形A B C D 的边长为4，．(1)求图象经过B ，E ，F 三点的二次函数的表达式;(2)求(1)中二次函数图象的顶点坐标．[分析](1)先利用正方形的性质得到B (﹣2，﹣2)，E (0，2)，F (2，0)，然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到顶点坐标．[解答]解:(1)∵原点为正方形A B C D 的中心，∴B (﹣2，﹣2)，E (0，2)，F (2，0)，设抛物线解析式为y ＝A x 2+B x +C ，根据题意得，解得， ⎩⎨⎧++==c b c 33252⎩⎨⎧=-=54c b ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+-0242224c b a c c b a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22143c b a∴抛物线解析式为; (2)∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为(，)． 19．二次函数y ＝A x 2的图象与过A (2，0)，B (0，2)的直线交于P ，Q 两点，P 点横坐标为1．(1)求直线l 及二次函数的表达式;(2)求△OPQ 的面积．[分析](1)先利用待定系数法求直线l 的解析式，再利用直线l 的解析式确定P 点坐标，然后把P 点坐标代入y ＝A x 2中求出A 得到抛物线解析式;(2)解方程组得Q (﹣2，4)，然后根据三角形面积公式，利用S △OPQ ＝S △OB Q +S △OB P 进行计算．[解答]解:(1)设直线A B 的解析式为y ＝kx +B ，把A (2，0)，B (0，2)代入得，解得，∴直线A B 的解析式为y ＝﹣x +2;当x ＝1时，y ＝﹣x +2＝﹣1+2＝1，∴P (1，1)，把P (1，1)代入y ＝A x 2得A ＝1，∴二次函数解析式为y ＝x 2;(2)解方程组得或， 221432++-=x x y 122531432214322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x y 311225⎩⎨⎧+-==22x y x y ⎩⎨⎧==+202b b k ⎩⎨⎧=-=21b k ⎩⎨⎧+-==22x y x y ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧=-=42y x∴Q (﹣2，4)∴S △OPQ ＝S △OB Q +S △OB P＝×2×2+×2×1 ＝3．20．到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x 元，且40＜x ＜70，经市场调研发现一天游览人数y 与票价x 之间存在着如图所示的一次函数关系．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式;(2)设该景点一天的门票收入为w 元．①试用x 的代数式表示w ;②试问:当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？[分析](1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +B (k ≠0)，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(2)①根据门票收入＝单价×游览人数列式整理即可;②把函数关系式整理成二次函数顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．[解答]解:(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +B (k ≠0)，∵函数图象经过点(50，3500)，(60，3000)，∴，解得． ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣50x +6000;(2)①w ＝xy ＝x (﹣50x +6000)＝﹣50x 2+6000x ，2121⎩⎨⎧=+=+300060350050b k b k ⎩⎨⎧=-=600050b k即w ＝﹣50x 2+6000x ;②w ＝﹣50x 2+6000x＝﹣50(x ﹣120x +3600)+180000＝﹣50(x ﹣60)2+180000，∵A ＝﹣50＜0，∴当x ＝60时，w 有最大值，w 最大＝180000．答:当门票定为60元时，该景点一天的门票收入最高，最高门票收入是180000元．21．某学生推铅球，铅球出手(A 点处)的高度是m ，出手后的铅球沿一段抛物线弧运行，当运行到高度y ＝3m 时，水平距离是x ＝4m ．(1)试求铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式;(2)求该学生铅球推出的成绩是几米？[分析](1)设出二次函数的顶点式y ＝A (x ﹣4)2+3，代入点A 的坐标即可解答;(2)令y ＝0，解出一元二次方程的根，取正根即是问题的解．[解答]解:(1)设二次函数解析式为y ＝A (x ﹣4)2+3，把点A (0，)代入解析式解得A ＝﹣， 因此铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式为y ＝﹣(x ﹣4)2+3; (2)令y ＝0，即﹣(x ﹣4)2+3＝0， 解得x 1＝10，x 2＝﹣2(不合题意，舍去);35121121121答:该学生铅球推出的成绩是10米．22．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w (千克)随销售单价x (元/千克)的变化而变化，具体关系式为:w ＝﹣2x +240，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y (元)，解答下列问题:(1)用含x 的代数式表示每千克绿茶的利润;并求y 与x 的关系式;(2)当x 取何值时，y 的值最大？(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？[分析](1)因为y ＝(x ﹣50)w ，w ＝﹣2x +240，故y 与x 的关系式为y ＝﹣2x 2+340x ﹣12000．(2)用配方法化简函数式求出y 的最大值即可．(3)令y ＝2250时，求出x 的解即可．[解答]解:(1)y ＝(x ﹣50)•w ＝(x ﹣50)•(﹣2x +240)＝﹣2x 2+340x ﹣12000，∴y 与x 的关系式为:y ＝﹣2x 2+340x ﹣12000．(2)y ＝﹣2x 2+340x ﹣12000＝﹣2(x ﹣85)2+2450∴当x ＝85时，y 的值最大．(3)当y ＝2250时，可得方程﹣2(x ﹣85)2+2450＝2250解这个方程，得x 1＝75，x 2＝95∴当销售单价为75元或95元时，可获得销售利润2250元．23．已知抛物线y ＝A x 2﹣5A x +4A 与x 轴交于点A 、B (A 在B 的左边)，与y 轴交于C 点，且过点(5，4)．(1)求A 的值;(2)设顶点为P ，求△A C P 的面积;(3)在该抛物线上是否存在点Q ，使？若存在，请求出点Q 的坐标;若不存在，请说明理ABP ABQ S S ∆∆=21由;(4)画出该函数的图象，根据图象回答当x 为何值时，y ≥0？(5)写出当2≤x ≤6时，该函数的最大值和最小值．[分析](1)把点(5，4)代入y ＝A x 2﹣5A x +4A 解得A ;(2)求出A 、P 、C 点的坐标，过直线PC 与x 轴的交点M ，S △A PC ＝S △A MC +S △A MP ;(3)该抛物线上存在点Q ，使，确定Q 点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标即可; (4)由点A 、B 、C 、P 四点画出图象，由A 、B 两点的坐标得出x 的取值范围;(5)因为x ＝2，x ＝6在x ＝的右侧，A ＞0，y 随x 的增大而增大，把x ＝2，x ＝6代入解析式求得函数的最大值和最小值．[解答]解:(1)把点(5，4)代入y ＝A x 2﹣5A x +4A解得A ＝1;(2)如图，由y ＝x 2﹣5x +4可知，A (1，0)，C (0，4)，P (，)， 过PC 的直线为y ＝－x +4，与x 轴的交点M 为(，0)， S △A PC ＝S △A MC +S △A MP ＝; (3)该抛物线上存在点Q ． ABP ABQ S S ∆∆=21252549-25588154915821415821=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯因为使，所以点Q 的纵坐标的绝对值为， 当点Q 在x 轴的上方，由x 2﹣5x +4＝， 解得， 当点Q 在x 轴的下方，由x 2﹣5x +4＝， 解得， 由此得出Q 点的坐标为:(4)由图象可以看出当x ≤1或x ≥4时，y ≥0．(5)因为y ＝x 2﹣5x +4＝(x ﹣)2﹣， 所以把x ＝2，x ＝6分别代入y ＝x 2﹣5x +4，可得当x ＝2时，y ＝﹣2，当x ＝6时，y ＝10，∴函数的最大值为10，最小值为﹣． 24．已知抛物线y ＝A x 2+B x +C 与直线y ＝k x +4相交于A (1，m )，B (4，8)两点，与x 轴交于原点O 及点C ．(1)求直线与抛物线相应的函数关系式;ABP ABQ S S ∆∆=21898946310±=x 89-42310±=x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±89423108946310，，，254949(2)在x 轴上方的抛物线上是否存在点D ，使得S △OC D ＝S △OC B ？如果存在，请求出满足条件的点D ;如果不存在，请说明理由．[分析](1)直线y ＝k x +4只有一个待定系数，将B (4，8)代入可求k ，已知一次函数解析式，再求m ，将A 、B 、O 三点坐标代入可求抛物线解析式;(2)△OC D 与△OC B 同底OC ，面积比等于高的比，点B 离OC 的距离是8，则点D 离OC 的距离是8，又点D 在x 轴的上方，故D 点纵坐标是8，代入抛物线解析式可求D 点坐标．[解答]解:(1)将B (4，8)代入y ＝kx +4中得k ＝1，∴y ＝x +4，把A (1，m )代入y ＝x +4中的m ＝5，将A (1，5)，B (4，8)，O (0，0)代入y ＝A x 2+B x +C 中得∴y ＝﹣x 2+6x ;(2)存在，由﹣x 2+6x ＝0得C (6，0)，即OC ＝6，∴S △OB C ＝×6×8＝24， ∴S △OC D ＝24，∵D 点在x 轴上方，由此可得D 点纵坐标为8，代入抛物线解析式得:﹣x 2+6x ＝8，解得x ＝2或4;∴D 1(4，8)，D 2(2，8)．∵B (4，8)，∴D (2，8)．⎪⎩⎪⎨⎧==++=++084165c c b a c b a ⎪⎩⎪⎨⎧==-=061c b a 21。
九年级上册数学《二次函数》单元测试附答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷【考试时间：90分钟分数：120分】一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米,且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A. 第3.3sB. 第4.3sC. 第5.2sD. 第4.6s2.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是( )A. 抛物线的开口向下B. 当x＞-3时,y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是-2D. 抛物线的对称轴是x=-3.已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的一条边长为xm,圆柱的侧面积为ym2, 则y与x的函数关系式为( )A. y=﹣2πx2+18πxB. y=2πx2﹣18πxC. y=﹣2πx2+36πxD. y=2πx2﹣36πx4.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是( )A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m25.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1,－1),(2,－4)和(0,4)三点,那么a,b,c的值分别是()A. a＝－1,b＝－6,c＝4B. a＝1,b＝－6,c＝－4C. a＝－1,b＝－6,c＝－4D. a＝1,b＝－6,c＝46.二次函数的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点7.抛物线y=-2x2的对称轴是( )A. 直线x=B. 直线x=-C. 直线x=0D. 直线y=08.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D,与y轴交于点C,四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标是( )A. (-4,-3)B. (-3,-3)C. (-3,-4)D. (-4,-4)二、填空题9.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为梦函数,写出二次函数y=2(x+3)2+2的其中一个梦函数_____________________．10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象可知：当k__________时,方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.已知函数y=(m-2)x2-3x+1,当________时,该函数是二次函数；当_______时,该函数是一次函数．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B,与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B 两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时,y随x的增大而减小．其中,说法正确的是_________________．(只需填写序号)13.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为．14.观察下表：则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______,利用抛物线的对称性,可推知该方程的另一个近似根是_______．15.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0),则2a-3b______0．(＞、＜或=)16.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为1,抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2,则阴影部分的面积S=_____________．三、解答题17.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米．(1)当h=2.6时,求y与x的函数关系式；(2)当h=2.6时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网,又不出边界．则h的取值范围是多少？18.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？19.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),当a,b,c满足什么条件时,(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度,得到抛物线y=-x2+3,设原抛物线的顶点为P,且原抛物线与x 轴相交于点A、B,求△P AB的面积．21.(10分)已知二次函数．(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围；(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标．答案与解析一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米,且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A. 第3.3sB. 第4.3sC. 第5.2sD. 第4.6s【答案】D【解析】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等,∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s,∴当4.6s时,炮弹的高度最高．故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的应用,利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键．2.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是( )A. 抛物线的开口向下B. 当x＞-3时,y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是-2D. 抛物线的对称轴是x=-【答案】D【解析】【分析】选出3点的坐标,利用待定系数法求出函数的解析式,再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【详解】解：将点(-4,0)、(-1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中,得：,解得：,∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0,抛物线开口向上,A不正确；B、-=-,当x≥-时,y随x的增大而增大,B不正确；C、y=x2+5x+4=(x+)2-,二次函数的最小值是-,C不正确；D、-=-,抛物线的对称轴是直线x=-,D正确．故选：D．【点睛】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质,解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．3.已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的一条边长为xm,圆柱的侧面积为ym2, 则y与x的函数关系式为( )A. y=﹣2πx2+18πxB. y=2πx2﹣18πxC. y=﹣2πx2+36πxD. y=2πx2﹣36πx【答案】C【解析】试题分析：根据题意,矩形的一条边长为xcm,则另一边长为：(36﹣2x)÷2=18﹣x(cm),则圆柱体的侧面积y=2πx(18﹣x)=﹣2πx2+36πx,故选：C．考点：根据实际问题列二次函数关系式．4.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是( )A. 60 m2B. 63 m2C. 64 m2D. 66 m2【答案】C【解析】试题分析：设BC=xm,表示出AB,矩形面积为ym2,表示出y与x的关系式为y=(16﹣x)x=﹣x2+16x=﹣(x﹣8)2+64,,利用二次函数性质即可求出求当x=8m时,y max=64m2,即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C．考点：二次函数的应用．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1,－1),(2,－4)和(0,4)三点,那么a,b,c的值分别是()A. a＝－1,b＝－6,c＝4B. a＝1,b＝－6,c＝－4C. a＝－1,b＝－6,c＝－4D. a＝1,b＝－6,c＝4【答案】D【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1,－1),(2,－4)和(0,4)三点,∴,解得：,故选D.6.二次函数的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2,3)C. 抛物线的对称轴是直线x=1D. 抛物线与x轴有两个交点【答案】D【解析】∵2>0,∴抛物线开口向下,故正确；∵当x＝2时,y=2×4-3=5,故不正确；∵抛物线的对称轴是直线x=0,故不正确；对于方程,△=0-4×2×(-3)=24>0,所以抛物线与x轴有两个交点,故正确；故选D.7.抛物线y=-2x2的对称轴是( )A. 直线x=B. 直线x=-C. 直线x=0D. 直线y=0【答案】C【解析】【分析】抛物线y=-2x2的对称轴是y轴,即直线x=0．【详解】解：对称轴为y轴,即直线x=0．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标与抛物线解析式的关系,抛物线的顶点式：y=a(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k)．8.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D,与y轴交于点C,四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标是( )A. (-4,-3)B. (-3,-3)C. (-3,-4)D. (-4,-4)【答案】A【解析】【分析】首先利用抛物线与坐标轴的交点坐标求出A、D、C的坐标,再利用平行四边形的性质得出B点坐标．【详解】解：令y=0,可得x=3或x=-1,∴A点坐标为(-1,0)；D点坐标为(3,0)；令x=0,则y=-3,∴C点坐标为(0,-3),∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∵AD=BC=4,∴B点的坐标为(-4,-3),故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点及平行四边形的性质,掌握坐标轴上点的特点是解答此题的关键．二、填空题9.在同一平面直角坐标系中,如果两个二次函数y1=a1(x+h1)2+k1与y2=a2(x+h2)2+k2的图象的形状相同,并且对称轴关于y轴对称,那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=(x+1)2-1与y=(x-1)2+3互为梦函数,写出二次函数y=2(x+3)2+2的其中一个梦函数_____________________．【答案】y=2(x-3)2+2(答案为不唯一)．【解析】【分析】由一对梦函数的图象的形状相同,并且对称铀关于y轴对称,可|a1|=a2,h1与h2互为相反数；【详解】解：二次函数y=2(x+3)2+2的一个梦函数是y=2(x-3)2+2；故答案为：y=2(x-3)2+2(答案为不唯一)．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,得出变换的规律是解题的关键．10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象可知：当k__________时,方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．【答案】＜2【解析】【分析】此题实际上是求直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点问题,当直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)有两个交点时,方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．【详解】解：如图,当k＜2时,直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)有两个交点,即方程ax2+bx+c=k有两个不相等实数根；故答案为：＜2【点睛】考查二次函数和一元二次方程根的关系,利用数形结合的数学思想解题,使问题变得直观化,降低了题的难度．11.已知函数y=(m-2)x2-3x+1,当________时,该函数是二次函数；当_______时,该函数是一次函数．【答案】(1). m≠2(2). m=2【解析】【分析】根据二次项系数不等于零是二次函数,二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数,可得答案．【详解】解：y=(m-2)x2-3x+1,当m≠2时,该函数是二次函数；当m=2 时,该函数是一次函数,故答案为：m≠2,m=2．【点睛】本题考查了二次函数的定义,利用y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数得出关于a的不等式是解题关键．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B,与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B 两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时,y随x的增大而减小．其中,说法正确的是_________________．(只需填写序号)【答案】①②④【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式得出抛物线的对称轴,即可判断①；解方程2x2-4x-6=0求出点A、B的横坐标,即可判断②；求出AB的长及点C的坐标,得出△ABC的面积,即可判断③；根据二次函数的增减性即可判断④．【详解】解：①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x=-=1,故①正确；②2x2-4x-6=0,解得x=-1或3,所以AB=4；故②正确；③∵AB=4,C(0,-6),∴S△ABC=×4×6=12,故③错误；④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上,对称轴是直线x=1,∴当x＜1时,y随x的增大而减小；x＞1时,y随x的增大而增大；∴当x＜0时,y随x的增大而减小,故④正确,所以正确的是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-),对称轴是直线x=-,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：①当a＞0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x＜-时,y随x的增大而减小；x＞-时,y随x的增大而增大；x=-时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x＜-时,y随x的增大而增大；x＞-时,y随x的增大而减小；x=-时y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点．13.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为．【答案】(1+,2)或(1﹣,2)．【解析】试题解析：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,∴点P在线段CD的垂直平分线上,如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,∵抛物线与y轴交于点C,∴C(0,3),且D(0,1),∴E点坐标为(0,2),∴P点纵坐标为2,在中,令y=2,可得,解得x=,∴P点坐标为(,2)或(,2),故答案为：(,2)或(,2)．14.观察下表：则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______,利用抛物线的对称性,可推知该方程的另一个近似根是_______．【答案】(1). 2.7(2). -0.7【解析】【分析】当y等于0时,x的值即为方程x2-2x-2=0的一个根,分析题干中的表格,方程的解应为y最接近0时x的值,由于x=2.7时,y=-0.11；x=2.8时,y=0.24,而-0.11与原点的距离小于0.24与原点的距离,则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时的一个近似根是2.7,再由函数的对称轴为直线x=1,根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程,即可求出该方程的另一个近似根．【详解】解：∵x=2.7时,y=-0.11；x=2.8时,y=0.24,∴方程的一个根在2.7和2.8之间,又∵x=2.7时的y值比x=2.8更接近0,∴方程的一个近似根为：2.7；∵此函数的对称轴为x=1,设函数的另一根为x,则=1,解得x=-0.7．故答案为2.7；-0.7．【点睛】本题考查的是利用图象法求一元二次方程的近似根及一元二次方程的对称轴与两根之间的关系,解答此题的关键是分析题干中的表格,取y值最接近0时x的值作为方程的近似解,并熟知一元二次方程的对称轴为直线x=-．15.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(-2,0),则2a-3b______0．(＞、＜或=)【答案】＞【解析】试题分析：由开口方向向下可得,根据抛物线与x轴的两个交点得到对称轴是,求出a与b的关系,代入代数式即可判定代数式的正负．∵抛物线的开口向下∴∵抛物线经过原点和点(-2,0)∴对称轴是∴,∴考点：二次函数的图象与系数的关系点评：本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握二次函数的图象与系数的关系,即可完成.16.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为1,抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2,则阴影部分的面积S=_____________．【答案】4【解析】【分析】根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．【详解】解：根据题意知,图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图形的面积．三、解答题17.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点,其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米．(1)当h=2.6时,求y与x的函数关系式；(2)当h=2.6时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网,又不出边界．则h的取值范围是多少？【答案】(1)y=-(x-6)2+2.6；(2)球能过球网,会出界；(3)h的取值范围是h≥．【解析】【分析】(1)利用h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,将点(0,2)代入解析式求出即可；(2)利用当x=9时,y=-(x-6)2+2.6=2.45,当y=0时,−(x-6)2+2.6=0,分别得出即可；(3)根据当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),以及当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2)时分别得出h的取值范围,或根据不等式即可得出答案．【详解】解：(1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出,∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0,2),∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=−,故y与x的关系式为y=-(x-6)2+2.6；(2)当x=9时,y=−(x-6)2+2.6=2.45＞2.43,所以球能过球网；当y=0时,−(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2＞18,x2=6-2(舍去),故会出界；(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得,,解得,此时二次函数解析式为y=−(x-6)2+,此时球若不出边界h≥,当球刚能过网,此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2),代入解析式得:解得,此时球要过网h≥,故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是h≥【点睛】此题主要考查了二次函数的应用题,求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,再根据题意确定范围．18.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？【答案】(1)足球飞行的时间是s时,足球离地面最高,最大高度是4.5m；(2)能.【解析】试题分析：(1)由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+,当t=时,y最大=4.5；(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44,于是得到他能将球直接射入球门．解：(1)由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),∴,解得：,∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+,∴当t=时,y最大=4.5；(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44,∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．19.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),当a,b,c满足什么条件时,(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？【答案】⑴当a≠0时；⑵当a=0且b≠0时；⑶当a=0,c=0, b≠0时.【解析】二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数一次函数的定义：形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数,且a≠0正比例函数的定义：形如y=kx(k为常数,且k不等于0),y就叫做x的正比例函数根据各自的概念可以得出答案.20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度,得到抛物线y=-x2+3,设原抛物线的顶点为P,且原抛物线与x轴相交于点A、B,求△P AB的面积．【答案】27．【解析】【分析】根据平移的性质得出y=mx2+n-6,根据题意求得m=-1,n=9,从而求得原抛物线的解析式,得出顶点坐标和与x 轴的交点坐标,进而根据三角形面积求得即可．【详解】解：∵将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度,得到y=mx2+n-6,∴m=-1,n-6=3,∴n=9,∴原抛物线y=-x2+9,∴顶点P(0,9),令y=0,则0=-x2+9,解得x=±3,∴A(-3,0),B(3,0),∴AB=6,∴S△P AB=AB•OP=×6×9=27．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力,求得原抛物线的解析式是解题的关键．21.(10分)已知二次函数．(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围；(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标．【答案】(1)m＞﹣1；(2)P(1,2)．【解析】试题分析：(1)由二次函数的图象与x轴有两个交点,得到△＞0于是得到m的取值范围；(2)把点A(3,0)代入二次函数的解析式得到m的值,于是得到二次函数的解析式,再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组,即可得到结果．试题解析：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点,∴△=,∴m＞﹣1；(2)∵二次函数的图象过点A(3,0),∴0=﹣9+6+m,∴m=3,∴二次函数的解析式为：,令x=0,则y=3,∴B(0,3),设直线AB的解析式为：,∴,解得：,∴直线AB的解析式为：,∵抛物线的对称轴为：x=1,∴,解得：,∴P(1,2)．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的性质；3．综合题．。
二次函数单元测试卷
二次函数单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = x² - 2x + 1的顶点坐标是（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)2. 二次函数y = -2x² + 4x - 5的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -23. 二次函数y = 3(x - 1)² + 2的图象的开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右4. 把二次函数y = x²的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（）A. y=(x - 2)²+3B. y=(x + 2)²+3C. y=(x - 2)² - 3D. y=(x + 2)² - 35. 二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），当y = 0时，得到一元二次方程ax²+bx + c = 0，若方程有两个相等的实数根，则二次函数的图象与x轴（）A. 有两个交点B. 有一个交点C. 没有交点D. 无法确定6. 二次函数y = 2x² - 3x + 1与y轴的交点坐标是（）A. (0, 1)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (-1, 0)7. 已知二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象经过点(0, -1)，(5, -1)，则它的对称轴是（）A. x = 0B. x = 2.5C. x = 5D. 无法确定8. 二次函数y = x²+bx + c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y = x² - 2x + 1的图象，则b、c的值分别为（）A. b = -6，c = 6B. b = -8，c = 14C. b = -8，c = 18D. b = -6，c = 89. 若二次函数y = kx² - 6x + 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k<3B. k≤3C. k<3且k≠0D. k≤3且k≠010. 对于二次函数y = ax²+bx + c（a≠0），若a>0，b = 0，c<0，则它的图象（）A. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴B. 开口向上，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴C. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴负半轴D. 开口向下，对称轴是y轴，与y轴的交点在y轴正半轴二、填空题（每题3分，共15分）11. 二次函数y = -x²+2x - 3的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数单元测试及答案
人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试及答案考试分值：120分；考试时间：100分钟；姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中属于二次函数的是（）A．y=x（x+1）B．x2y=1 C．y=2x2﹣2（x2+1）D．y=2．（3分）若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0C．a=﹣1 D．a=33．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣55．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0 D．当x＜时，y随x的增大而减小6．（3分）如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣27．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3B．k＜4且k≠3C．k＜4 D．k≤48．（3分）对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣29．（3分）正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）A．B．C．1 D．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个评卷人得分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是．12．（3分）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是．13．（3分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为．14．（3分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．15．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1y2．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 4 …y…10 5 2 5 …则当x≥1时，y的最小值是．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、C D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求y与x的函数关系式；（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．19．（8分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．（1）抛物线的对称轴为x=（用含m的代数式表示）；（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x p，y p），y p≤2，求m的取值范围．20．（8分）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB 的长是4；它还与过点C（1，﹣2）的直线有一个交点是D（2，﹣3）．（1）求这条直线的函数解析式；（2）求这条抛物线的函数解析式；（3）若这条直线上有P点，使S△PAB=12，求点P的坐标．21．（8分）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）22．（10分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列函数中属于二次函数的是（）A．y=x（x+1）B．x2y=1 C．y=2x2﹣2（x2+1）D．y=【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答．【解答】解：A、y=x2+x，是二次函数；B、y=，不是二次函数；C、y=﹣2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选：A．【点评】本题考查二次函数的定义．2．（3分）若y=（a2+a）是二次函数，那么（）A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0C．a=﹣1 D．a=3【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a=3．故选：D．【点评】解题关键是掌握二次函数的定义．3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，根据对称轴x=﹣＜0，可得b＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵函数图象经过原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，解题时注意：正比例函数的图象是经过原点的一条直线．4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时，y＞0D．当x＜时，y随x的增大而减小【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；由抛物线与y轴的交点，可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．6．（3分）如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．﹣1 D．﹣2【分析】设A（x1，0），B（x2，0），C（0，t），由题意可得t=2；在直角三角形ABC中，利用射影定理求得OC2=OA•OB，即4=|x1x2|=﹣x1x2；然后根据根与系数的关系即可求得a的值．【解答】解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y=ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t=2；∵AC⊥BC，∴OC2=OA•OB，即4=|x1x2|=﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2=，∴a=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数y=ax2+bx+2与关于x的方程ax2+bx+2=0间的转换关系．7．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3B．k＜4且k≠3C．k＜4 D．k≤4【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求出k的范围．【解答】解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．综上k的取值范围是k≤4．故选：D．【点评】本题考察了二次函数、一次函数的图象与x轴的交点、一次不等式的解法．解决本题的关键是对k的值分类讨论．8．（3分）对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣2【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为x＜0、0≤x＜2、x≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数值，判断正误．【解答】解：对称轴为：x=﹣=﹣，y==1﹣，分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；②当0≤x＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣＞0时，﹣2＜m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；当1﹣＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；∴当﹣2＜m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y≥0，4+2m+1≥0，m≥﹣，此种情况m无解；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围，解决此类问题：首先要计算出顶点坐标，再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值．9．（3分）正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）A．B．C．1 D．【分析】根据已知条件将所求式子消元，用配方法将式子配方，即可求出最小值．【解答】解：由已知，得x=，∴=+=（﹣）2+1，当=，即x=时，的值最小，最小值为1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数求最大（小）值的运用，关键是将所求式子消元，配方．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是2．【分析】根据二次函数的定义求解即可．【解答】解：由题意，得m2﹣2=2，且m+2≠0，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．12．（3分）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．【分析】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．【解答】解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．【点评】此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．13．（3分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为y=﹣x2﹣2x﹣1．【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣=﹣1，c＜0，由此举例得出答案即可．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．14．（3分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是y1＜y2＜y3．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y=3（x﹣1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，A（﹣4，y3）关于直线x=﹣2的对称点是（6，y3），∵2＜3＜6，∴y1＜y2＜y3，故答案为y1＜y2＜y3．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．15．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1＞y2．【分析】先确定对称轴是：x=1，由知a=﹣1，抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小，根据横坐标3＞2得：y1＞y2．【解答】解：∵二次函数对称轴为：x=1，a=﹣1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵3＞2＞1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，明确二次函数的增减性：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 4 …y…10 5 2 5 …则当x≥1时，y的最小值是1．【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．【解答】解：∵由表可知，当x=﹣1时，y=10，当x=0时，y=5，当x=1时，y=2，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+5，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2．∵x≥1，∴当x=2时，y最小===1．故答案为：1．【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、C D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把点代入即可得出解析式；（2）分两种情况：①当点E在直线CD的抛物线上方；②当点E在直线CD的抛物线下方；连接CE，过点E作EF⊥CD，再由三角函数得出点E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），∴y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4，（2）①当点E在直线CD的抛物线上方，记E′，连接CE′，过点E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）得OC=4，∵∠ACO=∠E′OF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴==，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4），∵点E′在抛物线上，∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，∴h1=0（舍去），h2=，∴E′（1，）；②当点E在直线CD的抛物线下方；同①的方法得，E（3，），综上，点E的坐标为（1，），（3，）．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的解析式三种不同的形式是解题的关键．18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．（1）求直线AB的解析式；（2）求y与x的函数关系式；（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法即可求解；（2）根据S△OMP=，即可求解；（3）根据面积之间关系列出等式即可求解；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，先求出D点坐标，看是否在直线y=上即可判断；【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，A点坐标为（24，0），B为（0，12），把A、B两点的坐标代入上式，得：，解得，∴y=；（2）∵S△OMP=，∴y=•x即y=﹣；（3）∵S△AOB=，∴S△AOB=18，即y=18，当﹣，解得：x=6；（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，当x=﹣=6时，S△POM=y有最大值．此时OP=6，OM=12﹣x=6∴△OMP是等腰直角三角形．∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM．∴四边形OPDM是正方形∴D（6，6），把D（6，6）代入y=x=6时，y=﹣×6+12=9≠6∴点D不在直线AB上．【点评】本题考查了二次函数的最值及矩形的性质，难度较大，关键是正确理解与把握题中给出的已知信息．19．（8分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．（1）抛物线的对称轴为x=m（用含m的代数式表示）；（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x p，y p），y p≤2，求m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x=﹣，代入数据即可得出结论；（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x==m．故答案为：m．（2）当x=0时，y=mx2﹣2m2x+2=2，∴点A（0，2）．∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，∴m=2，∴抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+2．（3）当m＞0时，如图1．∵A（0，2），∴要使0≤x p≤4时，始终满足y p≤2，只需使抛物线y=mx2﹣2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴m≥2；当m＜0时，如图2，在0≤x p≤4中，y p≤2恒成立．综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）牢记抛物线的对称轴为直线x=﹣；（2）根据二次函数的性质找出对称轴为x=2；（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑．20．（8分）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB 的长是4；它还与过点C（1，﹣2）的直线有一个交点是D（2，﹣3）．（1）求这条直线的函数解析式；（2）求这条抛物线的函数解析式；（3）若这条直线上有P点，使S△PAB=12，求点P的坐标．【分析】（1）由于所求直线经过点C（1，﹣2）和D（2，﹣3），利用待定系数法即可确定直线的解析式；（2）由于抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4，由此可以确定A、B的坐标，还经过D（2，﹣3），利用待定系数法可以确定抛物线的函数解析式；（3）由于线段AB的长是4，利用三角形的面积公式可以求出P的纵坐标的绝对值，然后代入（1）中直线解析式即可确定P的坐标．【解答】解：（1）∵直线经过点：C（1，﹣2）、D（2，﹣3），设解析式为y=kx+b，∴，解之得：k=﹣1，b=﹣1，∴这些的解析式为y=﹣x﹣1；（2）由抛物线的对称轴是：x=1，与x轴两交点A、B之间的距离是4，可推出：A（﹣1，0），B（3，0）（2分）设y=ax2+bx+c，由待定系数法得：，解之得：，所以抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2分）；（3）设点P的坐标为（x，y），它到x轴的距离为|y|．（1分）∴，解之得：y=±6（1分）由点P在直线y=﹣x﹣1上，得P点坐标为（﹣7，6）和（5，﹣6）．【点评】此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标与对称轴的关系、待定系数法确定函数的解析式即三角形的面积公式等知识，有一定的综合性，一起学生熟练掌握各个知识点才能很好解决问题．21．（8分）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．（1）写出y与x的函数关系式y=300+20x；（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．【解答】解：（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），y与x的函数关系式为：y=300+20x；故答案为：y=300+20x；（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：W=（300+20x）（60﹣40﹣x）=﹣20x2+100x+6000．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系是解题关键．22．（10分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c；（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，再根据三角函数性质求出倾斜角∠GEF的度数．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣+c，∵点（0，5）在抛物线上∴c=5；（2）由（1）知，OC=5，令y=0，即﹣+5=0，解得x1=10，x2=﹣10；∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，∴30×1.5×20=900答：购买地毯需要900元．（3）可设G的坐标为（m，﹣+5）其中m＞0则EF=2m，GF=﹣+5，由已知得：2（EF+GF）=27.5，即2（2m﹣+5）=27.5，解得：m1=5，m2=35（不合题意，舍去），把m1=5代入，﹣+5=﹣×52+5=3.75，∴点G的坐标是（5，3.75），∴EF=10，GF=3.75，在Rt△EFG中，tan∠GEF===0.375，∴∠GEF≈20.6°．【点评】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形做题．23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．【分析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积，表示出三角形BCD 面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．【解答】解：（1）将A，C代入得：，则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），∵S﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，四边形OCDB∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，当m=2时，S△BCD取得最大值4，此时y D=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y 轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．。
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二次函数单元测试
一、选择题
1已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）
A ． 0或2
B ． 0
C ． 2
D ．无法确定
2函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）
A.一、二、三象限
B.一、二象限
C.三、四象限
D.一、二、四象限
3如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15
x 2＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）
A ．3.5m
B ．4m
C ．4.5m
D ．4.6m
3题图 6题图 12题图
4已知抛物线y=x 2－8x ＋c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ）
A ．16．
B ．－4．
C ．4．
D ．8．
5若A(－134，y 1)、B(－1，y 2)、C(53
，y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3．
6某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8m ，两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高为（精确到0.1 m ，水泥建筑物的厚度忽略不计）（ ）
A ．5.1 m
B ．9 m
C ．9.1 m
D ．9.2 m
二、填空题
7若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为 。
8抛物线y=x 2-2x-3关于x 轴对称的抛物线的解析式为
9抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．
10抛物线2)3(9
4-=x y 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，则△AOB 的面积为 11 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.
12已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，请你确定关于x 的一元二次方程
－x 2＋2x ＋m=0的解 。
2.5
3.05m l x y
O y x O 1 3
13二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为 ．
14若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A(m ，n)，B(m ＋6，n)，则n ＝______．
三、解答题
15如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m ，水面宽度4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？
16如图，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点，点C 、D 是二次函
数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．(1)求D 点的坐标；(2)求一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．
17 如图，二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，
其中A 点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式；(2)求点B 、M 的坐标；(3)求△MCB 的面积.
18方芳在一次投掷铅球时，刚出手时铅球离地面的3
5m ，铅球运行的水平距离为4m 时， 达到最高，高度为3m ，如图所示(1)请确定这个抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线的 函数关系式；（3）方芳这次投掷成绩大约是多少？
19二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax 2+bx+c ＝0的两个根。
（2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集。
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围。
（4）若方程ax 2+bx+c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取
值范围。
20某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ， 与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮 球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m 。
（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，
那么他能否获得成功？
x y O A B x y 3 3 2 2 1 1 4 -1 -1 -2
O。