5-2傅立叶积分变换
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§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换
例1：试研究矩形脉冲
0 , f ( t ) = h , 0 ,
( t < −T ) ( −T < t < T ) (t > T )
f (t )
h
的频谱。 的频谱。
−T
o
T
t
解： f ( x )是偶函数，可展成傅立叶余弦积分 是偶函数，
f ( x ) = ∫ A (ω ) cos ω tdω
称 ak cos ωk x + bk sin ωk x 为 f ( x ) 的第k次谐波， 次谐波，
ak cos ωk x + bk sin ωk x = ak + bk sin (ωk x + ϕk )
2 2
频率为 ω k 的第k次谐波的振幅， 的第k次谐波的振幅 记为 振幅，
Ak = ak 2 + bk 2 ,
−∞ ∞ − iω y
dω
将等式左边的y换成ω ,右边的ω换成x 即f ( −ω ) = ∫ F ( x ) e
1 l kπξ ak = δ l ∫− l f (ξ ) cos l dξ k , b = 1 l f (ξ ) sin kπξ dξ k l ∫− l l
2 δk = 1
( k = 0) ( k ≠ 0)
令
kπ , ωk = l
跳跃的增量
∞
( k = 0,1, 2,L)
讨论： 讨论： （1）当 f ( x ) 为奇函数时， 为奇函数时，
f ( x ) = ∫ B (ω ) sin ω xdω 0 2 ∞ 傅立叶正弦变换， 相应的 B (ω ) = ∫0 f (ξ ) sin ωξ dξ 傅立叶正弦变换， π 且 f ( 0) = 0
快速傅里叶积分变换
快速傅里叶积分变换
【原创实用版】
目录
1.傅里叶积分变换的概念
2.快速傅里叶积分变换的方法
3.快速傅里叶积分变换的应用
4.快速傅里叶积分变换的优点和局限性
正文
快速傅里叶积分变换是一种在信号处理、图像处理等领域中广泛应用的数学方法。
它是傅里叶积分变换的快速算法，可以有效地将一个信号从时域转换到频域，从而实现信号的频谱分析。
傅里叶积分变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它可以将一个复杂的时域信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数的叠加，从而实现信号的频谱分析。
但是，傅里叶积分变换的计算量较大，对于大规模的数据处理来说效率较低。
为了解决这个问题，人们提出了快速傅里叶积分变换的方法。
快速傅里叶积分变换采用分治算法的思想，将一个大规模的傅里叶积分变换分解为一系列小规模的傅里叶积分变换，从而大大提高了计算效率。
具体来说，快速傅里叶积分变换可以通过递归或迭代的方式实现。
快速傅里叶积分变换在信号处理、图像处理等领域中有广泛的应用。
它可以用于信号的频谱分析、图像的频谱分析、音频信号的处理等。
例如，在音频信号的处理中，快速傅里叶积分变换可以用来去除噪声、增强信号等。
尽管快速傅里叶积分变换具有许多优点，但是它也存在一些局限性。
首先，快速傅里叶积分变换的计算复杂度仍然较高，对于大规模的数据处
理来说效率仍然较低。
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
傅立叶积分变换
a0 an ibn an ibn 1 L 令 c0 , cn , dn , 则 c0 fT (t )dt 2 2 2 2L L 1 L 1 L int cn f ( t ) cos n t i sin n t dt f ( t ) e dt T T 2L L 2L L 1 L 1 L int dn f ( t ) cos n t i sin n t dt f ( t ) e dt c n T T 2L L 2L L n 1,2, (c n cn )
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
5
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
n
f (t 4n),
2 2 n , n n T 4 2 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
11
则
1 L jn t cn fT (t )e dt 2L L 1 2 1 1 jnt jn t f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 jn t jn jn e e e 4 jn 4 j n 1 1 sin n 1 sinc(n ) (n 0, 1, 2, ) 2 n 2
傅立叶积分变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
5
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
n
f (t 4n),
2 2 n , n n T 4 2 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
11
则
1 L jn t cn fT (t )e dt 2L L 1 2 1 1 jnt jn t f 4 (t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 jn t jn jn e e e 4 jn 4 j n 1 1 sin n 1 sinc(n ) (n 0, 1, 2, ) 2 n 2
傅立叶积分变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能有Fourier表示；
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
傅里叶积分和变换
C() 称为 f (x) 的振幅谱，() 称为 f (x) 的相位谱。可
以对应于物理现象中波动（或振动）。
数学物理方法
同傅里叶级数的情形类似，奇函数 f (x) 的傅里叶积分是傅
里叶正弦积分，
f (x) 0 B() sin xd
B()是 f (x) 的傅里叶正弦变换，
（5.2.6）
B()
2
0
f
( )sin d
( 0) ( 0)
数学物理方法
将(5.2.5)代入上式，可以证明，无论 0 还是 0 ，
F () 1 f (x)[eix ]*dx 2π
(5.2.13)
（ 5.2.12 ） 是 f (x) 的 复 数 形 式 的 傅 里 叶 积 分 表 示 式 ，
（5.2.13）则是 f (x) 的傅里叶变换式。这两个式子还可以
i
证明：
(x)
记 f ( )d (x) ，则
'(x) f (x) ，对于(x) 应用导数定理有
F[ '(x)] iF((x))
即： F[
(x)
f ( )d ]
1
F[f (x)]= F()
i
i
导数定理和积分定理很重要，原函数的求导和积分运
算，通过傅里叶变换后，变成了像函数的代数运算。
数学物理方法
2
eix0 F ()
数学物理方法
（5）位移定理 F[ei0x f (x)] F ( 0 )
证明：
F[ei0x
f
(x0 )]
1
2
ei0x f (x)eixdx
1 f (x)ei(0 )xdx
2
F( 0 )
数学物理方法
数学物理方法2019傅里叶变换
Em, Em,
0t t
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x n(n 0,±1,±2, )处不连续.
收敛于 Em Em Em(Em) 0,
2
2
当x n时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
ak
1
u(t)cos ktdt
1
0
(
Em
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
数学物理方法2019傅里叶变换
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f ( t )
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F() f (t)K(t,)dt a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ) , 这里 K (t, ) 是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f ( t )
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t,p)ept（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a0,b，则
F(p) f(t)eptdt 0
称函数 F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉氏变换．同时我们称 f ( t ) 为 F ( p )
记
a0 2
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换性质
傅里叶积分变换(Fourier integral transform，FIT)是一种重要的数学变换，它可以
将复杂的数学函数拆分为由实部和虚部构成的复数函数，它把时间域中信号变换到频域中，从而为我们提供了一种非常强大的数学工具，用于分析数学问题。
傅里叶积分变换基本性质包括幅度和相位变换，它们都是分析复杂信号的基本方法，幅度变换可以将信号变换到频域，而相位变换则将时间域的图形变换到频域的形式，以提取不同频率的信号。
这是因为傅里叶定理指出，任何正弦波都可以由多个单一频率的正弦和余弦波的和解析出来，综合这些元素形成一个复杂的信号。
傅里叶积分变换具有许多特殊的优点。
首先，它可以极大地减少计算量，并且可以非常精确地变换一种复杂的数学函数。
其次，傅里叶积分变换也可以被用来分析“抗锯齿”(antialiasing)过程中使用的低通滤波器，用于优化传播信号中最大信号强
度和最小噪声强度之间的比值。
最后，傅里叶积分变换可以在多维空间中表示许多非常强大的信号处理函数，它们可以准确地重建不同的模式。
因此，傅里叶积分变换是一种非常有用的数学变换，它在多维数学函数，信号模式分析，信号滤波，计算概率等方面都有广泛应用。
它使我们能够准确地分析复杂信号，从而使我们在涉及分析数学问题时更加有效，从而为我们分析问题提供了更多的帮助。
傅里叶积分变换
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0, Biblioteka t0e t , t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f (t)e j t dt
0 f (t)e j t dt f (t)e j t dt
0
e t ej t dt
0
0
e ( j )t dt
1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f (t) 1
2
f
(τ
)ej dτ
e j t d
（1）
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f (t 0) f (t 0) 来代替。 2
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
例5 作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。 图1-8
1
2
,
2
,t 0; t 0;
0, 1,
t 0; t 0;
这表明 1 j
() 的傅氏逆变换为u(t) 。u(t)
和 1 ()构成了一个傅氏变换对。同时得到 j
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
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(因为k
l
)
1 [
f ( ) cos d ]cosxd
0
A() cosxd 0
同理：
lim
l
k 1
bk
sin
k
x
lim
l
k 1
[1 l
l l
f ( ) sin k d ]sin k x
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
B() sin xd 0
综上可得：在 l 时，
|
f
(x) |2dx
2
| F () |2 d 2
1 (1)2d
1 2
例题（选学）：以平衡位置为零点，建坐标系.初始值为 x0 ，初速 v 0 .
① 求解振动问题 ② 让整个箱子自由下落，求解振动问题
解：① mx kx x 2x 0
(0
k) m
则
x Asin(0t ),
由初始条件求得
6. 积分定理：如果 f (x) 在 (, ) 上满足： lim
x
f (x)dx 0 ，则有
x -
Y [ x f (x)dx] 1 F ()
i
（若 lim x f (x)dx 0 ，则Y [ x f (x)dx] 1 F () F (0) () ）
x -
i
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
A
x0 ，
2
.
整个箱子自由下落，表示弹簧振子处于一个非惯性系中，应
受到惯性力 f ma mg ，由此得到运动方程：
mx kx mg ，
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
即：
x 02 x g ，
设
x
的傅里叶变换为
X
()
，即
X
x ()
1
x()eit d x(t)eit
二、 复数形式的傅里叶积分变换
通过欧拉变换 cos x 1 (eix eix ), sin x 1 (eix eix ) ，很容易将实数形式的傅里
2
2i
叶积分变换化为复数形式：
常用符号简化为：
f (x) F ()eixd
F () 1 f (x)eixdx
2
F () Y [ f (x)] f (x) Y 1[F ()]
f1( )
f2(x
)d
8.翻转定理
Y [ f (x)] F ()
9.共轭
Y [ f *(x)] F *()
10.Parseval 等式
|
f
(x) |2
dx
2
|
F ()
|2
d
-
例：求
sin 2 x2
xdx
f
(x)
sin x
x
，查表得其傅立叶变化为
F ()
1 , 2 0,
| x | 1， | x | 1
丁成祥
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
在使用导数定理和积分定理的时候，要注意定理成立的条件.
例题：求解常微分方程：
y' y f (x)
解：关键是要求一个非其次特解. 对两边作 Fowrier 变换可得：
iY () Y () F()
Y () F()
i 1
y Y ()eixd F () eixd
f (x) 和 F () 分别称为原函数和像函数.
例题：求
f
(x)
1, 0,
x [1,1] 其他
的傅里叶积分变换
解： F () 1 f (x)eixdx 1 1eixdx
2
2 1
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
1 2
1 i
ei x dx
|11
1 (ei 2 i
| x | 1
则
f
(x) L
x , L 0,
| x | L 的傅里叶积分为Y | x | L
[ f (ax)] i (cosL sin L)
L
3. 延迟定理
Y [ f (x x0 )] eix0 F ()
4. 位移定理
Y [ei0x f (x)] F ( 0 )
5. 导数定理：如果: lim f (x) 0 ，则[ f (x)] iF () x
傅里叶积分就是傅里叶级数在 l 情况下的极限：
令 k
k l
(k
0,1, 2,) ，则 k
k
k 1
l
则 f (x) a0 (ak cosk x bk sin k x) k 1
将傅里叶系数
ak
1 kl
l l
f
( ) cosk d
代入上式，取 l 极限即得傅立叶积分变换.
bk
1 l
i 1
一般而言，不是随便什么样的常微分方程都可以这么解，因为这里使用了导数定理. 故在计
算过程中，已默认 lim y 0, lim f (x) 0 . 比如 f (x) 是类似 ex 这样的形式等，可这样做，
x
x
而像 sin x, cos x 这样的函数，则一般不能这样做.
7.卷积定理
Y
[ f1(x) f2 (x)] 2 F1()F2 () ，卷积 f1(x) f2 (x) =
dt
，则对方程两边同时作傅
2
里叶变换，有：
(i)2
X
()
02
X
()
1 2
geit dt
2
X
()
02
X
()
g
()
X
()
g () 2 02
X (t) X ()eitdt g () eitdt g 0 g
2 02
02 02
02
X (t) Asin(t ) g ，
f (x) B() sin xd 0
且
B() 2 f ( )sin d
0
同理，如果 f (x) 为偶函数，则 B(w) 0 ，且
（Fourier 正弦积分） （Fourier 正弦变换）
f (x) A() cosxd 0
A() 2
f ( ) cos d
0
（Fourier 余弦积分） （Fourier 余弦变换）
L
L
1
[
x
cosΒιβλιοθήκη x|LLL cosxdx]
L
1 [2L cosL 1
sin x |LL ]
1
[2L
cos
L
2
sin L
]
2L
(cos L
sin L L
)
由于 f (x) 为奇函数， A() 0
2. 傅里叶正弦变换和傅里叶余弦变换
和刚举的例子类似，如果 f (x) 是一个奇函数，则 A() 0 ，有
三、 傅里叶积分变换的基本性质及应用 1. 线性性质
F1() Y [ f1(x)], F2 () Y [ f2 (x)] ，, 为常数，则： Y [ f1(x) f2 (x)] F1() F2 ()
2. 相似性
Y
[
f
(ax)]
1
F
(
)
aa
例子：
f
(x)
x, 0,
| x | 1 的傅里叶变换为 F () i [cos sin ]
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
授课要点：傅里叶变换、傅里叶积分定理、傅里叶变换的性质及应用。
一、 实数形式的傅里叶变换
1. 考虑函数 f (x) ，将其在区间 (l, l) 上展开为傅里叶级数：
f
(x)
a0
k 1
(ak
cos
k l
x
bk
sin
k l
x
)
（当然，该函数是可以展为傅里叶级数的）
02
代入初始条件，可求出：
（特解）
A
x0
g 02
,
2
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
解：若是在 x (, ) 区间，则 f (x) x 不满足绝对可积条件，很可能无法表为傅里叶积
分，但由于 f (x) x 是定义在 (L, L) 的有限区间上，则可延拓，认为此区间之外，f (x) 0 。
则绝对条件是满足的，同时显然也满足狄里希利条件,故必可表为傅里叶积分:
B() 1 f (x)sin xdx 1 L x sin xdx 1 L xd cosx
f (x) A() cosxdw B() sin xd （傅里叶积分）
0
0
其中
A() B()
1 1
f ( ) cos d
f ( ) sin d
（傅里叶变换）
不是什么函数都可以作傅里叶展开，傅里叶积分定理：
若函数 f (x) 在 (, ) 上满足：（1）狄里希利条件；（2）绝对可积，则 f (x) 必然可表为傅
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
里叶积分，且
积分值 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2
注意：该定理中的条件是充分条件，而非必要条件，比如 f (x) cos0 x ，虽然不满足绝对
可积条件，但仍可表为傅里叶积分.
例题：求 f (x) x, x (L, L) 的傅里叶变换
ei )
1 ei ei sin
2i
f (x) F ()eixd sin eixd
取 x 0 ，有 f (0) 1, 1 sin d
即
sin d ，
即
sin d