傅里叶积分变换复习过程
积分变换复习指导 文档
积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念 Fourier 积分定理定理若f (t )在(-∞, +∞)上满足条件:(0)(0)(),.2f t f t f t t ++-而左端的在它的间断点处应以来代替j j 1()()d d (1.4)2t f t f e e ωτωττωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)|()|d f t t +∞-∞-∞+∞⎰在绝对可积是指的收敛注意: 定理的条件是充分的.1, f (t )在任一有限区间上满足Dirichlet 条件; 2, f (t )在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有● Fourier 正弦积分公式●● ●()f t 当是偶函数时,●1||1(),()Fourier.0||1tf t f tt≤⎧=⎨>⎩例1. 设求的积分表达式()f t因为为偶函数,根据Fourier余弦积分公式有002()()cos d cos df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰1002cos d cos d tωττωωπ+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰2sincos d, (1)t tωωωπω+∞=≠±⎰1 ,t=±为函数的间断点1t=±故当时,(1+0)+(10)1().22f ff t±±-=应以代替解:函数的图形为●综上所述, 可得(),1,2sin cosd1, 1.2f t tttωωωπω+∞≠±⎧⎪=⎨=±⎪⎩⎰, ||1,2sin cos, ||1,d40, || 1.ttttππωωωω+∞⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪⎪>⎩⎰即注:Fourier积分表达式可以推证一些广义积分的结果.如:0t=当时Dirichlet积分.●我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有j j1()()e d e d2tf t fωτωττωπ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰可以看出f(t) 与F(ω) 可相互转换,分别记为F(ω)=F [f(t)]和f(t)=F -1[F(ω)]1.Fourier变换的概念(1.10)则(1.9)式叫做f(t) 的Fourier变换式,(1.10)式为F(ω) 的Fourier逆变换式,●(),f t当为奇函数时002()()sin d sin df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,()()sin dsF f t t tωω+∞=⎰f(t)的Fourier正弦变换F(ω)的Fourier正弦逆变换(),f t当为偶函数时由f(t)的Fourier余弦积分公式002()()cos d cos df t f tτωττωωπ+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰可得,()()cos dcF f t t tωω+∞=⎰f(t)的Fourier余弦变换F(ω)的Fourier余弦逆变换()[()]s sF f tω=F1()[()]ssf t Fω-=F()[()]c cF f tω=F1()[()]c cf t Fω-=F●同样, Fourier 逆变换亦具有类似的线性性质, 即F -1[a F 1(ω)+b F 2(ω)]=a f 1(t )+b f 2(t )1.线性性质11221212()[()],()[()],,[()()][()][()].F f t F f t f t f t f t f t ωωa b a b a b ==+=+设是常数,则 F F F F F●2. 位移性质0[()][()]j t f t t ef t ω±±=F F 00()Fourier ()Fourier eej t j t f t t t f t ωω-沿轴向左或向右位移的变换等于的变换乘以因子或.●F [ f '(t )]=j ωF [ f (t )].3. 微分性质如果f (t )在(-∞, +∞)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t |→+∞时, f (t )→0, 则一个函数的导数的Fourier 变换等于这个函数的Fourier 变换乘以因子j ω.⎰+∞∞--τττd )()(21t f f 称为函数f 1(t )与f 2(t )的卷积, 记为f 1(t )*f 2(t )1212()()()()d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰即 若已知函数f 1(t ), f 2(t ), 则积分4f 1(t )*[f 2(t )+f 3(t )]=f 1(t )*f 2(t )+f 1(t )*f 3(t )123()[()()]f t f t f t *+证:根据卷积的定义1213()()d ()()d f f t f f t ττττττ+∞+∞-∞-∞=-+-⎰⎰1213()()()().f t f t f t f t =*+*123()[()()]d f f t f t ττττ+∞-∞=-+-⎰卷积的加法分配律2.卷积定理11221212-11212()[()],()[()],[()()]()(),[()()]()().F f t F f t f t f t F F F F f t f t ωωωωωω==*=⋅⋅=*设则 或 F F F F●二、拉普拉斯变换的概念 ● 0[()]()()stL f t f t edt F s +∞-==⎰此为函数f(t)的Laplacer变换式● 记为=)(sF )]([t f● 若F(s)是f(t)的Laplace 变换,则称f(t) 为F(s) Laplace 的逆变换(或称为象原函数)记为, f(t)=[F(s)]三、几个常用函数的拉普拉斯变换[ktsin]=22ksk+; [ktcos]=22kss+四、拉普拉斯变换的性质(下文都用L表示)●微分性（时域）：若L[f(t)]=F(s) 则有()()()2[]0,[()]()(0)(0)L f t s F s f L f t s F s s f f''''=-=--●微分性（频域）：-L[tf(t)]=()()[()]L t f t F s'-=，()()()[()]n nL t f t F s-=●积分性（时域）：若L[f(t)]=F(s) 则有()()[]t F sL f t dts=⎰●积分性（频域）：()()[]sf tL F s dst∞=⎰（收敛）●位移性（时域）：()()[]atL e f t F s a=-●延迟性若L[f(t)]=F(s),又t<0j时f(t)=0则对于任一非负实数τ,有L[f(t-τ)]=)(sFe sτ-或1-L[)(s Fe sτ-]=f(t-τ)七、卷积及卷积定理●1212()*()()()f t f t f f t dτττ+∞-∞=-⎰● 1212[()()]()()L f t f t F s F s *=⋅ ● 1-L [)()(21s F s F ∙]=)()(21t ft f *例3若)1(122+=s s F S,求f(t).由卷积定理可得111)1(12222+∙=+=s ss s F S令)(1s F =21s)(2s F =112+s于是有 t t f =)(1,t t f sin )(2= 由卷积定理可得 f(t)t t t t t f t f sin sin )()(21-=*=*={t t t t sin sin -=* 参照课本P101例1 此题也应掌握!!!}八、几个积分公式 ● 分部积分:)()()()()()()()(x dg x x g x x d x g dx x g x bababab a⎰⎰⎰-*==*'μμμμ。
积分变换总复习
δ (t) f (t)dt = (−1) f (0)
(n) n (n)
函数的傅氏变换为: ∗δ-函数的傅氏变换为:
F(ω) = F[δ (t)] = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt +∞
dt = e
− jωt t =0 − jωt
=1
− jωt0
F[δ (t −t0 )] = ∫ δ (t −t0 )e
F−1[αF (ω) + β F2 (ω)] = α f1(t ) + β f2 (t ) 1
2)位移性质 2)位移性质
F[ f (t ± t0 )] = e± jωt0 F[ f (t )] F−1[F(ω m ω0 )] = e± jω0t f (t )
3)微分性质 3)微分性质
d F[ f ′(t )] = jωF[ f (t )], F(ω) = F[− jtf (t )] dω dn F[ f (n) (t )] = ( jω)n F[ f (t )], n F(ω) = (− j)n F[t n f (t )] dω
Dirichlet积分
Fourier积分定理 *Fourier积分定理 若f(t)在(-∞, +∞)上满足条件: 1、f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2、f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有 1 +∞ ∞ − jωτ ejωt dω f (t) = ∫−∞ ∫−∞ f (τ )e dτ 2π 成立 而左端的f (t)在它的间断点处 应以 , t ,
f (t + 0) + f (t − 0) 来代替 . 2
Fourier变换 2、 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则 在f(t)的连续点处, 有 ∞ − jωt F(ω) = ∫ f (t)e dt = F[ f (t)] −∞ f (t ) 的Fourier变换式 变换式 1 +∞ f (t) = F(ω)ejωt dω = F−1[F(ω)] ∫−∞ 2π
傅里叶积分变换
e jt0
f (u) e ju du
F e jt0 f (t)
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第六章 傅氏变换
前进
同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即
F -1 F ( 0 ) f (t)e j0t
（4）
这表明频谱函数
F
(
)
沿
轴向左向右位移
的傅氏
0
变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 e j0t或 e j0t 。
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
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第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这
(t
)dt
1
j
F f (t)
（8）
证 因为
d
t
f (t)dt f (t)
dt
所以
F
d dt
t
f
(t)dt
F
f
(t)
根据微分性质：F
d
dt
t
f
(t)dt
积分变换复习提纲(总结)
积分变换复习提纲（20学时）——基本内容第一章Fourier变换（一）目的与要求1．熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义—频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容第一节Fourier积分1．主要内容：傅里叶积分。
2．基本概念和知识点：Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3．问题与应用（能力要求）：熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
第二节Fourier变换1．主要内容：傅里叶变换。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
3．问题与应用（能力要求）：理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义—频谱。
第三节Fourier变换的性质1．主要内容：傅里叶变换的性质。
2．基本概念和知识点：傅里叶变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）：掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。
第四节卷积与相关函数1．主要内容：卷积与相关函数。
2．基本概念和知识点：卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）：了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
第五节Fourier变换的应用1．主要内容：Fourier变换的应用。
2．基本概念和知识点：微分方程的Fourier变换解法。
3．问题与应用（能力要求）：掌握一些微分方程的Fourier变换解法。
（三）课后练习习题一21)2）；31),3)；4；习题二1；31)；7；9；12；习题三2；3；4；7；8；10；112),4) 6),8)；习题四16) 8)；2；52) 4) 5) 6)。
数学物理方法_傅里叶积分变换
sin ntdt (利用正交性)
2
[ak
cos kt sin ntdt bk
sin kt sin ntdt] bn,
k 1
则
1
bn
f (t)sin ntdt
(n 1,2,3,).
得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
a0
2
n1
an
cos nt
bn
sin nt
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
0
同理可证 : sin kt sin nt dt 0
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
11d t 2
cos2 nt dt
sin2 nt dt
cos2 nt 1 cos 2nt , sin2 nt 1 cos 2nt
0
(n 1, 2,
)
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0
2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
f (t) 条件?
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
5-2傅立叶积分变换
(因为k
l
)
1 [
f ( ) cos d ]cosxd
0
A() cosxd 0
同理：
lim
l
k 1
bk
sin
k
x
lim
l
k 1
[1 l
l l
f ( ) sin k d ]sin k x
1 [
f ( ) sin d ]sin xd
0
B() sin xd 0
综上可得：在 l 时，
|
f
(x) |2dx
2
| F () |2 d 2
1 (1)2d
1 2
例题（选学）：以平衡位置为零点，建坐标系.初始值为 x0 ，初速 v 0 .
① 求解振动问题 ② 让整个箱子自由下落，求解振动问题
解：① mx kx x 2x 0
(0
k) m
则
x Asin(0t ),
由初始条件求得
6. 积分定理：如果 f (x) 在 (, ) 上满足： lim
x
f (x)dx 0 ，则有
x -
Y [ x f (x)dx] 1 F ()
i
（若 lim x f (x)dx 0 ，则Y [ x f (x)dx] 1 F () F (0) () ）
x -
i
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
A
x0 ，
2
.
整个箱子自由下落，表示弹簧振子处于一个非惯性系中，应
受到惯性力 f ma mg ，由此得到运动方程：
mx kx mg ，
此为初稿，问题很多，请读者注意甄别
数学物理方法
傅立叶积分变换
丁成祥
即：
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
傅里叶积分变换
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换
1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
13 13 目录
课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数
F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：
f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .
0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l
l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
7 7 目录
一维有限傅里叶积分变换
傅里叶变换是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的工具，它可以将一个信号或函数表示为不同频率的叠加形式。
对于一维有限傅里叶积分变换，以下是其基本步骤：
1. 定义：如果一个函数f(x)在区间[0, N]上绝对可积，那么它的傅里叶变换F(k)可以通过以下公式定义：
F(k) = ∫_{0}^{N} f(x) e^{-2πikx/N} dx
其中，k是整数，表示频率。
2. 逆变换：对于任意函数g(k)，如果在区间[-N/2, N/2]上绝对可积，那么它的逆变换g(x)可以通过以下公式求得：
g(x) = ∑_{k=-N/2}^{N/2} g(k) e^{2πikx/N}
其中，k是整数，表示频率。
3. 性质：傅里叶变换具有线性、平移、周期、对偶、相似和卷积等性质。
这些性质对于理解和应用傅里叶变换非常有用。
4. 应用：傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信、控制系统等领域有广泛的应用。
例如，在信号处理中，傅里叶变换可以用于分析信号的频谱；在图像处理中，傅里叶变换可以用于进行图像滤波、去噪等操作。
请注意，由于一维有限傅里叶积分变换涉及到复数和积分运算，因此在实际应用中可能需要使用数值计算的方法来近似求解。
大学物理-傅里叶积分变换
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
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f (t) F1F()
1 F()ejtd
2
21
2 j2ejtd
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第六章 傅氏变换
前进
2 1 (2 2 j2 2)( c t o jss ti)d n
1 (co t ssit) n j(sitn co t) d s
2 2 2 2 2
2 2 2 2
证明
F() F (t)
(t)e-jtdejt
1
t 0
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第六章 傅氏变换
前进
例3
证明单位阶跃函数
u(t)
0,
1,
变换为 1 ()
j
t 0
的傅氏
t 0
解：只需证明
1
j
() 的傅氏逆变换为u(t)
。
f (t) F-1 F()
21 j1 ()ejtd 1 2 ()je td 2 1 s itn d
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第六章 傅氏变换
前进
1210si n td
由于
0
sin
td
0 ,
2
,t 0; t0
2
,
t0
故
f(t)1 210s i ntd 1 1 2 2 1 1 2 ,2,tt 0 0 ;;
1 0,,
t0; t0;
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第六章 傅氏变换
前进
这表明
1
j
()
的傅氏逆变换为u(t)
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第六章 傅氏变换
前进
解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f(t)ejtdt
0 f(t)ejtdt f(t)ejtdt
0
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第六章 傅氏变换
前进
e te jtd t e ( j)td t
0
0
1 j j 22
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f(t)叫做F(ω)的象原函数。
（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换； （3）式右端的积分运算，叫做取F(ω) 的傅氏逆
变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。
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第六章 傅氏变换
前进
3．例子
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0,
t 0
e t ,t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
0
2 2
d2,
t 0;
et, t 0
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第六章 傅氏变换
前进
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0,
(t)
1
t0或t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t)l i0m (t)
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第六章 傅氏变换
前进
单位脉冲函数的一些性质：
a.
( 0 i m (t) d l t 0 i0 m d 1 t
前进
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
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第六章 傅氏变换
前进
5．非周期函数的频谱
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
。u(t)
和 1 ()构成了一个傅氏变换对。同时得到 j
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
u (t)1 2 10 s in td (t0 )
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第六章 傅氏变换
前进
类似的方法可得
F -12()1 F -1 2( 0) ej0 t
所以1和2()构成了一个傅氏变换对;
e
j
t 0
和
2(0)也构成了一个傅氏变换对。
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。 2
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第六章 傅氏变换
前进
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd成立。
设 F() f(t)ejtdt
（2）
则
f(t)21
F()ejtd
（3）
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第六章 傅氏变换
前进
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
f (t) F -1 F()
2 1 (c 2 o 2 t ss 2 it 2 ) n j ( s 2 it 2 n c 2 o t 2 ) d s
10co t2 s s2 i nt d
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第六章 傅氏变换
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由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0, t0;
costsint
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第六章 傅氏变换
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例4 求正弦函数 f(t)si n0t 的傅氏变换。
解：
F() F
f (t)
e jt
sin0tdt
e j0t ej0tejtdt
2j
1
e e j(0)t
j(0)t
dt
2j
2 1j2(0)2(0)
j( 0 ) ( 0 )
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第六章 傅氏变换
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
积分变换
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第六章 傅氏变换
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主要内容
§1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换
注：积分变换的学习中，规定： j 2 1
§1 傅里叶（Fourier）积 分变换
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第六章 傅氏变换
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傅里叶变换——又简称为傅氏变换
内容： 傅氏变换概念 傅氏变换性质 卷积与相关函数
一返、回 傅氏变第换六章 傅氏变换
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1．傅氏积分定理
若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：
（1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有
有限个第一类间断点和极值点；
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd（1）
b. 若f(t)为无穷可微的函数，则 (t)f(t)dtf(0)
证明 记
(t)f(t)dt
l i0m (t)f(t)d tl i0m (t)f(t)d
t
l i0m01f(t)dtf(0) 更一般地有 (tt0)f(t)dtf(t0)
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c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t)1