傅里叶积分
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傅里叶积分变换
e jt0
f (u) e ju du
F e jt0 f (t)
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第六章 傅氏变换
前进
同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即
F -1 F ( 0 ) f (t)e j0t
（4）
这表明频谱函数
F
(
)
沿
轴向左向右位移
的傅氏
0
变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 e j0t或 e j0t 。
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
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第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这
(t
)dt
1
j
F f (t)
（8）
证 因为
d
t
f (t)dt f (t)
dt
所以
F
d dt
t
f
(t)dt
F
f
(t)
根据微分性质：F
d
dt
t
f
(t)dt
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
傅立叶积分
- 14 -
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
傅里叶积分
∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列 以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简 单复习高 数知识： 周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其 中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
简述傅里叶积分定理
简述傅里叶积分定理一、引言傅里叶积分定理是傅里叶分析的核心定理之一，它将信号在时域和频域之间的转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
本文将从定义、性质、应用等多个方面全面详细地阐述傅里叶积分定理。
二、定义傅里叶积分定理是指：如果函数f(t)和它的傅里叶变换F(ω)都绝对可积，那么它们之间存在一个相互逆的关系。
具体来说，函数f(t)可以表示为：f(t)=1/(2π)∫F(ω)e^(jωt)dω其中，j为虚数单位。
三、性质1.线性性：如果f1(t)和f2(t)的傅里叶变换分别为F1(ω)和F2(ω)，那么a1f1(t)+a2f2(t)的傅里叶变换为a1F1(ω)+a2F2(ω)，其中a1和a2为常数。
2.对称性：如果函数f(t)是实值函数，则它的傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω)=conj(F(ω))。
3.平移性：如果函数g(t)=f(t-t0)，那么它的傅里叶变换G(ω)=e^(-jωt0)F(ω)。
4.调制性：如果函数g(t)=f(t)e^(jω0t)，那么它的傅里叶变换G(ω)=F(ω-ω0)。
四、应用1.信号分析：傅里叶积分定理可以将信号在时域和频域之间进行转换，从而方便对信号进行分析和处理。
可以通过对声音信号进行傅里叶变换得到其频率分布，从而实现音频处理。
2.通信技术：傅里叶积分定理被广泛应用于通信技术中。
可以通过将数字信号转换为频域表示来进行调制和解调，从而实现高效的数据传输。
3.图像处理：在图像处理中，傅里叶积分定理也扮演着重要角色。
可以通过对图像进行傅里叶变换得到其频率分布，并利用这些信息实现图像增强、滤波等操作。
4.量子力学：在量子力学中，傅里叶积分定理也有着广泛的应用。
在薛定谔方程的求解过程中就需要使用到傅里叶积分定理。
五、总结傅里叶积分定理是傅里叶分析中的重要定理，它将信号在时域和频域之间进行转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
傅里叶积分与变换
t≠0 ⎧ f (t ), = ⎨ −1 ⎩ 2 [ f ( − 0) + f ( + 0)], t = 0
问题：
傅氏变换后再作傅氏变换会得到什么？
对 fˆ ( ω ) 再 作 一 次 傅 氏 变 换 , ( 1 ) . 当 − t 为 f ( t )的 连 续 点 时 , +∞ ˆ ˆ ( ω ) e − jω t d ω ˆ ( ω ) = F [ fˆ ( ω )] = f ∫ f
1 ˆ ˆ g (ω ) = fˆ ( ω ) = f ( − ω ) 2π
⎧1, | ω |≤ a =⎨ ⎩ 0, | ω |≤ a
重 要 积 分 (狄 利 克 雷 积 分 )： +∞ sin ω π ∫0 ω d ω = 2
事 实 上 ,只 要 在 下 面 结 论 中 取 t = 0, a = 1 ⎧π / 2, +∞ 1 ⎪ ∫0 ω sin aω cos ω td ω = ⎨π / 4, ⎪ 0, ⎩ | t |< a | t |= 0 | t |> a
f (t )e
− jω t
dt
=∫ e
− jω t
= −( jω)
=
−a a −1
dt
− jωt
2 sin aω
∫
−a
e
d(− jωt)
ω
(2)由 傅 氏 积 分 定 理 有
+∞ 1 fˆ ( ω ) e F [ fˆ ( ω ) ] = ∫−∞ 2π +∞ 2 s in aω 1 jω t e dω = ∫−∞ 2π ω −1 jω t
−βt
解： 定 义 有 由
fˆ ( ω ) =
∫
+∞ −∞
大学物理-傅里叶积分变换
里叶级数 问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x
6.1 傅里叶积分定理
]
上连续或只有有限个第一类间断点;
2)
在
[
T 2
,
T 2
]
上只有有限个极值点,
则函数 f T(x)在
[
T 2
,
T2上] 可以展开成傅里叶级数.
在 fT (t) 的连续点处，
其中
，且
傅里叶级数的三角形式
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 0,1, 2,)
2
bn
2 T
T
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是 的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
(
)
cos(t
)d
d
可得 f (t) 1
0
f
(
) cos (t
)d
d
利用三角函数公式
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
dn
1 T
T T
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t)eintdt cn
上述两个系数可以合并为一个
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
n 0,1, 2,
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根据Fourier积分公式的复数形式，有
1 j e j t d f (t ) f ( ) e d 2π
1 1 j t cos t j sin t d e d 1 2π
1 f (t ) T
T 2
T 2
f ( )e
jn t
jn t d e
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第‹ 第 #› 8页
二、Fourier 积分 1. Fourier积分公式
积分变换
任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由 某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作 T T , 之内等于 周期为T的函数fT(t),使其在 2 2 T T , 之外按周期T延拓到整个数轴上, f(t), 而在 2 2 显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化 为f(t), 即有 lim fT ( t ) f ( t )
一、 Fourier级数
积分变换
1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都 可以表示为单纯的正弦与余弦之和.
1822年， Fourier在研究热传导理论时发表 了《热的解析理论》，提出了将周期函数展开为 正弦级数的原理.
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第‹ 第 #› 3页
（在(, )绝对可积即 | f ( t ) | d t收敛）
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第 第 ‹# 15 ›页
2. Fourier积分定理
积分变换
1 j j t f (t ) f ( )e d e d 2π
成立.
a0 an j bn jn t an j bn jn t e e 2 n 1 2 2
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第‹ 第 #› 7页
2.Fourier级数的复指数表示形式 其中令 n
积分变换
n (n=0,1,2, … ),
1 T n
积分变换
则当 T ，n 0时，
1 T jnt 2 jn f ( t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
1 T2 jn t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
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一、Fourier级数
积分变换
1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的 定理，奠定了Fourier级数的理论基础.
狄利克雷（1805－1859）
德国数学家
P. G. L. Dirichlet
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第‹ 第 #› 4页
1. Fourier级数展开
积分变换
设f ( t ) 是一个以T为周期的函数，若f ( t ) 在 [T , T ]
连续或有有限个间断点； 1） 上满足Dirichlet条件, 有有限个极值， 2）
T T 则f ( t )在[ , ] 上有Fourier级数展式 2 2 a0 f ( t )= (an cos n t bn sin n t ), 连续点处 2 n1 T 2 2 其中 2π ， a0 T f ( t )d t T T 2
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1 f (t )
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2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式： e j e j e j e j cos ,sin j 2 2 a0 f ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n 1 a0 e jn t e jn t e jn t e jn t an j bn 2 n 1 2 2
T
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第‹ 第 #› 9页
1. Fourier积分公式
积分变换
T
1 fT ( t ) T
2 j n t j n f ( ) e d e ， T T n 2
令 ，由
1 jnt jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
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第 第 ‹# 13 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
1 T2 j n t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
1 j （ f t）= （ f ） e d 2π
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第 第 ‹# 17 ›页
积分变换
1 1 j t cos t d e d 0 π
1 sin cos t j sin t d π
1, | t | 1 2 sin cos t d t 1 π 0 0, 其 他
T 2
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第 第 ‹# 11 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
当n取一切整数时, n所对应的点便均匀 分布在整个数轴上,两个相邻的点的距离为
2π π n n n1 ,或T T n
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第 第 ‹# 12 ›页
1. Fourier积分公式
F ( )
1 f (t ) 2
f (t ) e
jt
dt
称为f的Fourier变换。
F ( ) e jt d
下一页 退出
第 第 ‹# 16 ›页
称为F的Fourier逆变换。
主页 上一页
积分变换
1， t 1 求函数 f ( t ) 的Fourier积分表达式. 0， 其他
主页 上一页 下一Байду номын сангаас 退出
第‹ 第 #› 5页
1. Fourier级数展开
T 2
T 2
积分变换
an T f ( t )cos n t d t， bn T f ( t )sin n t d t .
2
2
在间断点t处：
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1
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第 第 ‹# 18 ›页
积分变换
π 2， t 1 sin cos t π 即 d ， t 1 0 4 0， t 1 当t 0时，有
sin
0
π d 2
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Dirichlet积分
e j t d
Fourier积分公式
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第 第 ‹# 14 ›页
2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理. 定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:
1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
第一章 Fourier 变换
§1.1 Fourier 积分
一、Fourier级数 二、Fourier积分
一、 Fourier级数
积分变换
傅里叶(1768—1830)
法国数学家
J．B．J．Fourier
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
法国数学家Fourier
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第‹ 第 #› 2页
1 j e j t d f (t ) f ( ) e d 2π
1 1 j t cos t j sin t d e d 1 2π
1 f (t ) T
T 2
T 2
f ( )e
jn t
jn t d e
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第‹ 第 #› 8页
二、Fourier 积分 1. Fourier积分公式
积分变换
任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由 某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作 T T , 之内等于 周期为T的函数fT(t),使其在 2 2 T T , 之外按周期T延拓到整个数轴上, f(t), 而在 2 2 显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化 为f(t), 即有 lim fT ( t ) f ( t )
一、 Fourier级数
积分变换
1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都 可以表示为单纯的正弦与余弦之和.
1822年， Fourier在研究热传导理论时发表 了《热的解析理论》，提出了将周期函数展开为 正弦级数的原理.
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第‹ 第 #› 3页
（在(, )绝对可积即 | f ( t ) | d t收敛）
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第 第 ‹# 15 ›页
2. Fourier积分定理
积分变换
1 j j t f (t ) f ( )e d e d 2π
成立.
a0 an j bn jn t an j bn jn t e e 2 n 1 2 2
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第‹ 第 #› 7页
2.Fourier级数的复指数表示形式 其中令 n
积分变换
n (n=0,1,2, … ),
1 T n
积分变换
则当 T ，n 0时，
1 T jnt 2 jn f ( t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
1 T2 jn t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
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第 第 ‹# 19 ›页
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一、Fourier级数
积分变换
1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的 定理，奠定了Fourier级数的理论基础.
狄利克雷（1805－1859）
德国数学家
P. G. L. Dirichlet
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第‹ 第 #› 4页
1. Fourier级数展开
积分变换
设f ( t ) 是一个以T为周期的函数，若f ( t ) 在 [T , T ]
连续或有有限个间断点； 1） 上满足Dirichlet条件, 有有限个极值， 2）
T T 则f ( t )在[ , ] 上有Fourier级数展式 2 2 a0 f ( t )= (an cos n t bn sin n t ), 连续点处 2 n1 T 2 2 其中 2π ， a0 T f ( t )d t T T 2
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1 f (t )
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第‹ 第 #› 6页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式： e j e j e j e j cos ,sin j 2 2 a0 f ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n 1 a0 e jn t e jn t e jn t e jn t an j bn 2 n 1 2 2
T
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第‹ 第 #› 9页
1. Fourier积分公式
积分变换
T
1 fT ( t ) T
2 j n t j n f ( ) e d e ， T T n 2
令 ，由
1 jnt jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
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第 第 ‹# 13 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
1 T2 j n t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
1 j （ f t）= （ f ） e d 2π
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第 第 ‹# 17 ›页
积分变换
1 1 j t cos t d e d 0 π
1 sin cos t j sin t d π
1, | t | 1 2 sin cos t d t 1 π 0 0, 其 他
T 2
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第 第 ‹# 11 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
当n取一切整数时, n所对应的点便均匀 分布在整个数轴上,两个相邻的点的距离为
2π π n n n1 ,或T T n
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第 第 ‹# 12 ›页
1. Fourier积分公式
F ( )
1 f (t ) 2
f (t ) e
jt
dt
称为f的Fourier变换。
F ( ) e jt d
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第 第 ‹# 16 ›页
称为F的Fourier逆变换。
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积分变换
1， t 1 求函数 f ( t ) 的Fourier积分表达式. 0， 其他
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1. Fourier级数展开
T 2
T 2
积分变换
an T f ( t )cos n t d t， bn T f ( t )sin n t d t .
2
2
在间断点t处：
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1
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第 第 ‹# 18 ›页
积分变换
π 2， t 1 sin cos t π 即 d ， t 1 0 4 0， t 1 当t 0时，有
sin
0
π d 2
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Dirichlet积分
e j t d
Fourier积分公式
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2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理. 定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:
1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
第一章 Fourier 变换
§1.1 Fourier 积分
一、Fourier级数 二、Fourier积分
一、 Fourier级数
积分变换
傅里叶(1768—1830)
法国数学家
J．B．J．Fourier
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
法国数学家Fourier
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