2013高考数学教案和学案(有答案)--第10章__学案50
2013高考数学教案和学案(有答案)--第9章__学案48
学案48 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质自我检测1．(2010·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是____________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．(2011·课标全国改编)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．探究点一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．分类讨论思想例 (14分)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，过B 点作其准线的垂线，垂足为D ，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO →＝λOD →？多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →. 抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2，[2分](1)当直线AB 的斜率不存在， 即AB ⊥x 轴时，交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p .∵BD ⊥l ，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，∴存在λ＝1使AO →＝λOD →.[6分] (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px得ky 2－2py －kp 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2y 1，[8分]AO →＝(－x 1，－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 2y 1，假设存在实数λ，使AO →＝λOD →，则⎩⎪⎨⎪⎧－y 212p ＝－p2λ－y 1＝－p2y 1λ，解得λ＝y 21p 2，∴存在实数λ＝y 21p 2，使AO →＝λOD →.综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →.[14分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：AB ＝x 1＋x 2＋p 或AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________． 2．(2010·福建改编)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______________． 3．(2011·连云港模拟)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．(2011·淮安模拟)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．(2010·上海)动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．7．若抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则p 的值为________．8．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(14分)(2010·韶关一模)已知抛物线C ：x 2＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .11．(14分)(2010·济南一模)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．学案48 抛物线答案自主梳理1．相等 焦点 准线 自我检测1．4 2．4 3．y 2＝8x 4．6 5．36解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即AB ＝2p ，又AB ＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.课堂活动区例1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2， 代入y 2＝2x ，得x ＝2， ∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1解析点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.例2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把PF 转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解 方法一 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2， 准线方程为y ＝p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且MF ＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.方法二 如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2， 准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N . 则MN ＝MF ＝5，而MN ＝3＋p2， ∴3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ， 准线方程为y ＝2.由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1， 左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .例3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦点弦，以y 2＝2px (p >0)为例)：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； ②AB ＝x 1＋x 2＋p . 证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2.方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫ky ＋p 2， 整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ， ∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1. ∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴．变式迁移3 证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2 (k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 1y 224p 2＝p 24， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24. 因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24， 代入上式得1AF ＋1BF ＝2p ＝常数， 所以1AF ＋1BF 为定值． 课后练习区1．y 2＝8x解析 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p 2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x . 2．x 2＋y 2－2x ＝0解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.3．相切解析 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，于是M 到l 的距离d ＝12(AA 1＋BB 1)＝12(AF ＋BF )＝12AB ＝半径，故相切． 4．(18，±24) 5．(1，±2)解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设A 点坐标为(x 0，y 0)，则(x 0，y 0)·(1－x 0，－y 0)＝－4，即x 0(1－x 0)－y 20＝－4. 又y 20＝4x 0，得x 20＋3x 0－4＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，∴A (1，±2)．6．y 2＝8x解析 由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，则其方程为y 2＝8x .7．4解析 双曲线x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)， ∴－p 2＝－2，解得p ＝4. 8．324解析 抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2pxy ＝2x ＋1，消去y 得， 4x 2－(2p －4)x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14，(4分) ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，(7分) 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0， 解得p ＝6(p ＝－2舍去)，抛物线方程为y 2＝12x .(9分)(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2，此时抛物线方程为y 2＝－4x .综上可得，所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2＝12x .(14分)10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.(4分)抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .(7分) 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2 ＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .(14分)11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(5分)(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.(8分)因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1.(9分) RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，(11分) ∵k 2＋1k 2≥2， 当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.(14分)。
2013届高考数学第一轮专项复习教案10
10.5二项式定理●知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.48解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为·22=24.C24答案：C1）7的展开式中常数项是3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－xA.14B.－14C.42D.－42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r72r -7·（－1）r·x)7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14. 答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128， ∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128.∴n =7.设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x 23）r-7·（x 31-）r=C r 7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35.答案：355.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________.解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11.答案：11 ●典例剖析 【例1】如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ， 由题意得2×2n =1+8)1(-n n ，得n =8.设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8.有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r .【例2】求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6.设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r6·|x |r 26-，得6－2r =0，r =3.∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20.思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数； （2）求（x +x4－4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(x x -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =x x x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.【例3】设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n =qq n --11.于是A n =qq --11C1n+qq --112C2n+…+qq n--11C n n=q-11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C n n q n）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］} =q-11［2n －（1+q ）n ］.（2）nn A 2=q-11［1－（21q+）n ］. 因为－3<q <1，且q ≠－1， 所以0<|21q+|<1. 所以lim ∞→n nn A 2=q-11.●闯关训练 夯实基础1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1. 答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x －xa）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r .令8－2r =0，∴r =4.∴（－a）4C48=1120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－x1）8展开式中x5的系数为_____________.解析：设展开式的第r+1项为T1+r =C r8x8－r·（－x1）r=（－1）r C r8x238r-.令8－23r=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C28=28.答案：284.（2004年湖南，理15）若（x3+xx1）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.解析：T1+r =C rn（x3）n－r·（x23-）r=C rn·x rn293-.令3n－29r=0，∴2n=3r.∴n必为3的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6时，C rn =C69=84.答案：95.已知（x x lg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.解：由题意C2-nn ＋C1-nn＋C nn=22，即C2n ＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.∴C36（x x lg）3=20000，即x3lg x=1000.∴x=10或x=101.培养能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+…+a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+…－a11=0.②①+②得a0+a2+…+a10=21（－26+0）=－32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.7.在二项式（ax m+bx n）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的范围.解：（1）设T1r =C r12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m（12－r）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即ba≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a≤49.8.在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0，解得n =8或n =1（舍去）.T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r8·r21·x434r -.∵4－43r ∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r =0，r =4，r =8.∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x －2.评述：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r ∈N.∴探究创新 9.有点难度哟！求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）.证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1+C 2n （n1）2+…+C nn （n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×nnn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n =2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3.显然（1+n1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C n n ×nn 1>2.所以2<（1+n1）n <3.●思悟小结1.在使用通项公式T 1+r =C r nr n a -br时，要注意：（1）通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项.（2）展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同. （3）通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n .2.证明组合恒等式常用赋值法. ●教师下载中心 教学点睛1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例【例题】求（a－2b－3c）10的展开式中含a3b4c3项的系数.解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号中取－3c，得含a3b4c3的项为C310a3C47·（－2b）4C33（－3c）3=C310C47C4332（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3项的系数为－C310C47×16×27.。
2013届高考数学
2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列教学案（教师版） 【知识网络构建】【重点知识整合】 一、等差数列与等比数列 1．S n 与a n 的关系在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列性质如果数列{a n }是公差为d 的等差数列，则 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝2a p ⇔m ＋n ＝2p .3．等比数列性质如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎨⎧a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m a n ＝a p a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m a n ＝a 2p ⇔m ＋n ＝2p . 4．等差、等比数列S n 的性质若等差数列的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．5．等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d 的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．二、数列求和及数列应用 1．常用公式等差数列的前n 项和，等比数列的前n 项和， 1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16，13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.3．数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型． 【高频考点突破】考点一 等差数列和等比数列的基本运算例1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n · 解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎨⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3时，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.【变式探究】S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6， a 4＝1，则a 5＝________.考点二 等差、等比数列的判定和证明数列{a n }是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列； (2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．(2)当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.b n ＋1＝a n ＋1－2n ＋13＋49考点三 等差、等比数列的性质例3、等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四数列求和数列求和的方法技巧：(1)转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．例4、等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n·【变式探究】等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{1bn}的前n项和．解：(1)设数列{a n}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝1 9 .由条件可知q＞0，故q＝1 3 .考点五数列与函数、不等式例5、设b＞0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nban－1an－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.②当b≠1时，c n＋11－b＝1b(c n－1＋11－b)，且c1＋11－b＝1b＋11－b＝1b1－b，{c n＋11－b}是首项为1b1－b，公比为1b的等比数列，∴c n＋11－b＝1b1－b·(1b)n－1，由nan＋11－b＝11－b b n得a n＝n1－b b n1－b n，∴a n＝⎩⎨⎧1， b ＝1n 1－b b n1－bn，b ≠1.【难点探究】难点一 等差数列的通项、求和的性质例1、(1)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110(2)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．难点二 等比数列的通项、求和的性质例2 (1)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 1·a 2·…·a 9＝________.【点评】 等比数列中有关系式a na m＝q n －m (m ，n ∈N *)，其中q 为公比，这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式，即a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)，当m ＝1时就是等比数列的通项公式．难点三 等差、等比数列的综合问题例3 、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是等比数列．【分析】 (1)由条件可以先求得数列{b n }的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出b n ，(2)充分结合等比数列的定义不难证明．【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．难点四 数列求和及其应用例4、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．难点五数列应用题的解法例5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等．(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器．从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？(2)设一共用了n 天，则n 天的平均耗资为P (n )，则P (n )＝3.2×104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n2n＝3.2×104n＋n 20＋9.92， 当且仅当3.2×104n＝n 20时P (n )取得最小值，此时n ＝800，故日平均耗资最小时使用了800天．【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第10章--学案54
学案54 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P (A )＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为________．2．(2009·山东改编)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．3.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 5．(2009·福建)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min 长的磁带上，从开始30s 处起，有10s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM 的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例(14分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7.如图所示，半径为10cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm 的小圆．现将半径为1cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案54 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1．14 解析∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]，∴P ＝9－612＝312＝14.2．13解析在区间[－π2，π2]内，0<cos x <12⇔x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2的长度为π.由几何概型知P ＝π3π＝13. 3．13解析当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．23解析圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.课堂活动区例1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关． 解包含两个间谍谈话录音的部分在30s 和40s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30s 之间时全部被擦掉，即在0到40s 之间，即0到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.变式迁移112解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P (A )＝12×22＝12.例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度. 解在AB 上取AC ′＝AC ，连结CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM <AC }，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P (A )＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2解不一样，这时M 点可取遍AC ′(长度与AC 相等)上的点， 故此事件的概率应为AC ′长度AB 长度＝22.例3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域． 解设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y |≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.变式迁移3解设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE ||AB |＝34.3．78 解析当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析根据题意易知输出数对(x ，y )的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P (A )＝π×122＝π4.9．解(1)设CM ＝x ，则0<x <a (不妨设BC ＝a )． 若∠CAM <30°，则0<x <33a ， 故∠CAM <30°的概率为P (A )＝区间⎝⎛⎭⎫0，33a 的角度区间(0，a )的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM <30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM <30°的概率为P (B )＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y )的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y ，y ＋6≥x ，0≤x ≤24，0≤y ≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分) 11．解(1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b >0，∴a －b >1，此为几何概型，所以事件“f (1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第5章--学案25
学案25 平面向量的基本定理与坐标表示导学目标： 1.了解平面向量的基本定理与其意义.2.掌握平面向量的正交分解与其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，__________一对实数λ1，λ2，使a ＝______________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组________． 2．把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．3．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对________叫做向量a 的________，记作a ＝________，其中x 叫a 在________上的坐标，y 叫a 在________上的坐标．4．平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝____________________，a －b ＝__________________，λa ＝______________.(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．5．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是________________． 6．(1)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为________________________． (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为________________________．自我检测 1．(2010·XX 改编)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的________条件．2．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α＝________. 3．已知向量a ＝(6，－4)，b ＝(0,2)，OC →＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上，则实数λ＝________.4．(2010·陕西)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.5．(2009·XX)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．探究点一平面向量基本定理的应用例1如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a 、b 为基底表示OM →.变式迁移1如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．探究点二平面向量的坐标运算例2已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和MN →的坐标．变式迁移2已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．探究点三在向量平行下求参数问题例3已知平面内三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，XX 数k .变式迁移3 (2009·XX)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被a 所唯一确定，此时a 的坐标与点A 的坐标都是(x ，y )．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x ，y )向量OA→点A (x ，y )．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A (1,2)，B (3,4)，则AB →＝(2,2)．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________．2．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为________．3．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是________(填上正确命题的序号)．①若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.②对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈R . ③λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R .④对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对．4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.7．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是__________．8．(2009·XX)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________．二、解答题(共42分)9．(12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF→＝13BC →.求证：EF →∥AB →.10．(14分)如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC →，m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；(2)若m ＋n ＝1，求|MN →|的最小值．11．(16分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sin A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．答案自主梳理1．不共线有且只有λ1e 1＋λ2e 2基底2.互相垂直3．(x ，y ) 坐标 (x ，y ) x 轴y 轴4.(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1)(2)终点始点5．x 1y 2－x 2y 1＝06.(1)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22(2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33自我检测1．充分而不必要解析由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．2．45°解析∵a ∥b ，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°. 3.52解析c ＝a ＋λb ＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.4．－1解析a ＋b ＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ， 得1×2－(m －1)×(－1)＝0，所以m ＝－1. 5．2解析建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos120°，sin120°)，即B (－12，32)．设∠AOC ＝α， 则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎨⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎨⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区例1解题导引本题利用方程的思想，设OM →＝m a ＋n b ，通过建立关于m 、n 的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法．解设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1，即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝37.所以OM →＝17a ＋37b .变式迁移16 解析如图，OC →＝OD →＋OE →＝λOA →＋μOB →.在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°，可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2， ∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.例2解∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，因此MN →＝(9，－18)．∴所求M (0,20)，N (9,2)，MN →＝(9，－18)． 变式迁移2 (5,4)解析∵向量AB →与a 同向，∴设AB →＝(2t,3t ) (t >0)． 由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4.∵t >0，∴t ＝2.∴AB →＝(4,6)．设B 为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.例3解(1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解之得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.变式迁移35解析∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.课后练习区1．(1213，513)或(－1213，－513)2．－1解析BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，由已知得AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．①4．(0，－2)解析设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC →＝AD →，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)． 5．2解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2.6．{(－2，－2)}解析M ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }， N ＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }，令⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－4λ2＋3＝04λ1－5λ2＋4＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，代入M 或N 中得a ＝(－2，－2)．∴M ∩N ＝{(－2，－2)}． 7．[－6,1]解析∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α， 即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m ≤4.又∵λ＝2m －2， ∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m ≤1. ∴λm ∈[－6,1]． 8. 3解析由|AB →|＝|DC →|，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝ 3 BD →|B D →|可知四边形ABCD 为菱形，则有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3BD →|BD →|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得 1＋2BA →|BA →|·BC →|BC →|＋1＝3，BA →·BC →|BA →||BC →|＝12.|BA →||BC →|cos 〈BA →，BC →〉|BA →||BC →|＝12，所以cos 〈BA →，BC →〉＝60°.S ＝|AB →||BC →|sin60°＝2×2×32＝ 3.9．证明设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝⎝⎛⎭⎫23，23， BF →＝13BC →＝⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝⎛⎭⎫23，23，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1.……………………………………………………(4分) ∴(x 1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23＋(－1,0)＝⎝⎛⎭⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝⎛⎭⎫－23，1＋(3，－1) ＝⎝⎛⎭⎫73，0.∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫83，－23.……………………………………………………(8分) 又∵AB →＝(4，－1)，∴4×⎝⎛⎭⎫－23－(－1)×83＝0， ∴EF →∥AB →.………………………………………………………………………………(12分)10．解(1)由A ，M ，N 三点共线，得AM →∥AN →，设AM →＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋AF →)＝12λ(AB →＋AC →)，所以mAB →＋nAC →＝λ(AB →＋AC →)，所以m ＝n .……………………………………………(5分)(2)因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－12(AE →＋AF →)＝12(1－m )AB →＋12(1－n )AC →，……(8分)又m ＋n ＝1，所以MN →＝12(1－m )AB →＋12mAC →，所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋12(1－m )mAB →·AC → ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.…………………………………………………………………………(12分) 故当m ＝12时，|MN →|min ＝34.……………………………………………………………(14分)11．证明∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A ．………………………………………………(2分) 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0.…………………………………………………………………………(5分) ∵A 、B 为三角形的内角， ∴－π<A －B <π.∴A ＝B .……………………………………………………………………………………(9分)∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.……………………………………………………………………………(14分)又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．………………………………………………………………(16分)。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第11章__学案57
学案57 数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理 1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为____⊆____⊆____，实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的______和______．若______，则a ＋b i 为实数，若______，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示__________．复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝____________；④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝__________________________________(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝______________.自我检测1．(2011·山东改编)复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限第________象限．2．(2010·广东改编)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝________. 3．(2011·天津改编)i 是虚数单位，复数1－3i1－i＝________.4．(2010·北京)在复平面内，复数2i1－i对应的点的坐标为________．5．(2010·江苏)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________.探究点一 复数的基本概念例1 设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)． (1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________. 变式迁移1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二复数的运算例2计算：(1)1＋2i2＋31－i2＋i；(2)－23＋i1＋23i ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫21＋i2 012＋4－8i2－－4＋8i211－7i.变式迁移2 计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1－3i3＋i2；(3)1＋i1－i2＋1－i1＋i2.探究点三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．变式迁移3 (2010·苏北四市期末)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围为____________________．1.复数a ＋b i ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0虚数――→b ≠0纯虚数a ＝02．乘法法则：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法法则：a ＋b ic ＋d i＝a ＋b ic －d i c 2＋d 2ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．特别地：(a ±b i)2＝a 2±2ab i －b 2＝a 2－b 2±2ab i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0 (n ∈N )；(2)(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·课标全国改编)复数5i1－2i＝________.2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为________．3．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在第________象限．4．(2011·湖南改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则a ＝________，b ＝________. 5．下面四个命题： (1)0比－i 大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； (3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；(4)如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是________．6．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，则复数i ＋z 2z 1的虚部为______．7．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝________.8．(2010·上海九校联考)复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )满足|z －1|＝x ，则复数z 对应的点Z (x ，y )的轨迹方程为______________．二、解答题(共42分)9．(12分)已知|z |－z ＝1－2i ，求复数z .10．(14分)(2011·海口调研)已知复数z 0＝2a ＋1＋a i 和z ＝z 0－|z 0|＋1－(1＋2)i ，i 为虚数单位，a 为实数．求证：复数z 不可能为纯虚数．11．(16分)已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．学案57 数系的扩充与复数的引入答案自主梳理1．自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2.(1)实部虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 (2)a ＝c ，b ＝d (3)a ＝c ，b ＝－d (4)x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 原点 (5)|z | |a ＋b i|a 2＋b 2 3.(1)①(a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i④ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)自我检测 1．四解析 ∵z ＝2－i2＋i ＝2－i 22＋i 2－i ＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限．2．4＋2i解析 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ， ∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2 ＝3＋2i ＋1＝4＋2i. 3．2－i解析 1－3i 1－i ＝1－3i 1＋i 1－i 1＋i ＝4－2i2＝2－i.4．(－1,1)解析 ∵2i1－i＝2i 1＋i 2i ＋i 2＝－1＋i ，∴复数2i1－i 对应的点的坐标为(－1,1)．5．2解析 方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ， ∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i2－3i.则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝62＋4222＋－32＝2.课堂活动区例1 解题导引 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．答案 (1)1或2 (2)－12解析 z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)若z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0.∴m ＝1或2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.变式迁移1 解 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0且a 2－1≠0， ∴a ≠－1且a ≠6且a ≠±1.∴a ≠±1且a ≠6. ∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．例2 解题导引 复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a ＋b i)(a－b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．解 (1)1＋2i 2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i ＝i 2－i 5＝15＋25i. (2)原式＝－23＋i 1－23i 12＋232＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋i 2 1 006＋4－8i 2－4－8i 211－7i＝13i 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 006＋0 ＝i ＋(－i)1 006＝i ＋i 2＝i －1＝－1＋i.变式迁移2 解 (1)－1＋i 2＋i i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.(2)1－3i 3＋i 2＝3＋i －i 3＋i 2＝－i 3＋i ＝－i 3－i 4＝－14－34i.(3)1＋i1－i 2＋1－i1＋i 2＝1＋i －2i ＋1－i 2i ＝－1－i ＋1－i 2i ＝－2i 2i＝－1.例3 解题导引 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．解 (1)∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.变式迁移3 c >4911且c ≠9 解析 在复平面内三点坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角得AB →·AC →<0且B 、A 、C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，三点共线，故c ≠9.课后练习区1．－2＋i解析5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 1＋2i 5＝－2＋i. 2．2＋4i解析 复数6＋5i 对应A 点的坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.3．二解析 由三角函数线知识得当θ∈(3π4，5π4)时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.故点在第二象限．4．1 －1解析 (a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5．0解析 (1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数；(4)当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．6．－1解析 i ＋z 2z 1＝i ＋1－3i 2＋i ＝1－2i 2－i 5＝－i ， 故虚部为－1.7．－32解析 z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝m ＋2i 3＋4i 25＝3m －8＋6＋4m i 25是实数，∴6＋4m ＝0，故m ＝－32. 8．y 2＝2x －1解析 由|z －1|＝x 得|(x －1)＋y i|＝x ，故(x －1)2＋y 2＝x 2，x ≥0，整理得y 2＝2x －1.9．解 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )， 则a 2＋b 2－(a ＋b i)＝1－2i.(2分)由两复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝1，－b ＝－2，(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32b ＝2，.所以所求复数为z ＝32＋2i.(12分) 10．证明 因为2a ＋1≥0，所以a ≥－12，所以|z 0|＝2a ＋1＋a 2＝|a ＋1|＝a ＋1，(4分)z ＝2a ＋1＋a i －(a ＋1)＋1－(1＋2)i ＝(2a ＋1－a )＋(a －1－2)i ，若使z 为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1－a ＝0， ①a －1－2≠0， ②(10分) 解方程①得a ＝1＋2(a ≥－12)，代入②不符合，故z 不可能为纯虚数．(14分)11．解 (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(4分)(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1＝0m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0，或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(8分)(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，则有，⎩⎪⎨⎪⎧ m m －2m －1<0m 2＋2m －3>0.解得m <－3或1<m <2，故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(12分)(4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m m 2＋2m －4m －10，解得m ＝0或m ＝－1± 5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时，点Z 在直线x ＋y ＋3＝0上．(16分)。
2013高考数学教案和学案(有答案)----第3章__学案13
第3章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y =C (C 为常数)，y =x ,y =x 2,y =1x的导数.熟记基本初等函数的导数公式（c ,x m (m 为有理数)，sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log ax 的导数），能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数.自主梳理1．函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为________________________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义设f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝____________________无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________． (3)导数的物理意义：函数s ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0)，是物体的运动方程s ＝s (t )在t 0时刻的瞬时速度v ，即v ＝__________；v ＝v (t )在点t 0处的导数v ′(t 0)，是物体的运动方程v ＝v (t )在t 0时刻的瞬时加速度a ，即a ＝____________.3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内任一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x )．4．基本初等函数的导数公式表5.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[f (x )g (x )]′＝________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x ′＝________________________ [g (x )≠0]． 6．复合函数的求导法则：若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 自我检测1．(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.4．（2009·海南、宁夏）曲线y =x e x +2x +1在点（0，1）处的切线方程为 . 5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ； (3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .变式迁移2 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln xx 2＋1.探究点三 求复合函数的导数 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ；(3)y ＝ln(2x ＋5)．变式迁移3 求下列函数的导数： (1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝x 1＋x 2.探究点四 导数的几何意义 例4 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解． (1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋6x ，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 12Δx →常数A ，则A ＝________.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是__________．3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________． 4．(2010·辽宁改编)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____________．5．(2009·福建)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 6．(2009·安徽改编)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围为______________．7．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________(填上正确的序号)．8．设点P 是曲线y =32333x y x x =---上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是 .二、解答题(共42分)9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数． (1)f (x )＝e x 1－x ＋e x1＋x，x 0＝2；(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln xx 2，x 0＝1.10．(14分)求经过点P (2,0)的曲线y ＝1x的切线方程．11．(16分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案 自主梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 1 2.(1)f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)切线的斜率 (3)s ′(t 0) v ′(t 0) 4.0 αx α－1 cosx －sin x a x ln ae x1x ln a 1x5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′xg x －f x g ′x [g x ]2自我检测1.134 2.(2x ＋x 2)e x 3.3 4. y =3x +1 5.1 课堂活动区例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．解 (1)Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－1＋Δx Δx1＋Δx 1＋1＋Δx＝－ΔxΔx 1＋Δx ＋1＋Δx ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，从而，当Δx →0时，Δy Δx →－12，∴f ′(1)＝－12.(2)Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝x ＋2－x ＋2＋Δx Δx x ＋2x ＋2＋Δx ＝－1x ＋2x ＋2＋Δx ，从而，当Δx →0时，ΔyΔx →－1x ＋22，∴f ′(x )＝－1x ＋22.变式迁移1 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx 2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1，∴ΔyΔx＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，ΔyΔx→x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --， ∴y ′＝(12x-x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx 2.(3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. 变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2. (3)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－ln x ·2x x 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为： 选定中间变量→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x .(3)设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5) 由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝121－3x 5. (2)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋π3)．(3)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． (3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标来解决． 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1， 即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移4 解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x . 综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 课后练习区1．3 2.1秒或2秒末 3.4x －y －3＝0 4.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5．a <0解析 由题意可知该函数的定义域为{x |x >0}，且f ′(x )＝2ax ＋1x.因为曲线存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x 存在零点．令2ax ＋1x＝0，即2ax 2＋1＝0，即x 2＝－12a ，显然只有a <0，方程2ax 2＋1＝0才有正实数根，故实数a 的取值范围是a <0.6．[2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2. 7．④解析 由导函数y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的图象上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除①、③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )在点x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除②.8. 12x +3y +8=0解析 设切线的斜率为k ,则k =f'(x )=x 2-2x -3=(x -1)2-4.当x =1时，k 有最小值-4.又f (1)=203, 所以切线方程为y +203=-4(x -1),即12x +3y +8=0. 9．解 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x 1－x ′＝2e x ′1－x －2e x 1－x ′1－x 2 ＝22－x e x1－x 2，∴f ′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分) (2)∵f ′(x )＝(x －32)′－x ′＋(ln x )′ ＝－32x －52－1＋1x ，∴f ′(1)＝－32.………………………………………………………(12分) 10．解 设切点为M (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝1x 0. ∵切线过P (2,0)，∴切线斜率为y 0－0x 0－2＝1x 0x 0－2.…………………………………………………………(4分)又y ′＝(1x )′＝－1x 2，∴k ＝－1x 20.…………………………………………………………(6分) 由导数的几何意义知－1x 20＝1x 0x 0－2.解得x 0＝1.………………………………………………………………………………(10分)∴y 0＝1x 0＝1，∴M (1,1)．∴切线斜率为k ＝－1， 故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.………………………………………(14分)11．(1)解 f ′(x )＝a －1x ＋b 2，…………………………………………………………(2分) 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －12＋b 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.…………………………………………………………(6分)(2)证明 已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数， 所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1. 可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．………………………………(10分)(3)证明 在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－12(x －x 0)．…………………………………………………(12分)令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.……………………………………………………(16分)。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第2章__学案8
学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理 1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a M N＝____________；③log a M n ＝__________(n ∈R )； ④log am M n ＝nmlog a M .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测1．(2010·四川改编)2log 510＋log 50.25的值为________．2．(2010·辽宁改编)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为________．3．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．4．(2010·宿迁模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log 18x )>0的x 的取值范围是__________________．5．(2009·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__________．探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1)log (2＋3)(2－3)；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(3)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)xy.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565 (2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log12b ，(12)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)(2010·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为______________．(2)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填写“<”“＝”“>”)转化化归与分类讨论思想例 (16分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )及g (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0. 【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1. ∴不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a )．[4分]∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x >0，1－a x <1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[8分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1.∵1－a x >0，∴a x <1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)； 0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．[12分] 当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴ax 2<ax 1.∴1－ax 21－ax 1>1.∴log a 1－ax 21－ax 1<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1. 综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[16分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1. ①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b .2．(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________.2．(2010·全国Ⅰ改编)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125-，则a ，b ，c 大小关系为________．3．2lg 5＋23＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.4．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．5．(2010·青岛二模)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．6．(2010·天津改编)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围为______________．7．(2011·宿迁模拟)已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 8．下列命题： ①若函数y ＝lg(x ＋x 2＋a )为奇函数，则a ＝1；②若a >0，则方程|lg x |－a ＝0有两个不相等的实根； ③方程lg x ＝sin x 有且只有三个实数根； ④对于函数f (x )＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f (x 1＋x 22)<f x 1＋f x 22.以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)(2010·北京东城检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集．11．(14分)已知函数f(x)＝lg(a x－b x)(a>1>b>0)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a b＝N(a>0，且a≠1)b＝log a N a N 2.(1)①N②0③N④1(2)①log c Nlog c a②log a d(3)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M 3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0(5)y<0 y>0(6)增(7)减 4.y＝log a x y＝x自我检测1．2 2.10 3.1244.(0，12)∪(2，＋∞) 5.m>n课堂活动区例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解(1)方法一利用对数定义求值：设log(2＋3)(2－3)＝x，则(2＋3)x＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解： log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－4312lg 8＋12lg 245＝12－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y2)2＝lg xy ，∴(x －y2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y)2－6(x y)＋1＝0.∴x y＝3±22.∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y>1，∴x y3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log 3－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝322log 2-＝－32(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c . 变式迁移2 (1)a >b >c解析 a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .(2)a <b <c解析 ∵a ，b ，c 均为正，∴12log a＝2a >1，12log b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c ∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ， 则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[132]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a－1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1，∴lg a <0，lg b >0.又∵f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在(0,1)上单调递减，∴μ>3.即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．课后练习区1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]．∴M ∪N ＝(－∞，1]．2．c <a <b解析 ∵1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b >1，∴0<a <b <1.∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .3．34．－2解析 依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x＝0， 即1－ax 1－2x ·1＋ax 1＋2x＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2， 所以a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2.5．2解析 当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．6．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 ①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >12log a ＝log 21a ， ∴a >1a，解得a >1. ②当a <0时，f (a )＝12log ()a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即12log ()a ->log 2(－a )＝121log a -，∴－a <1－a，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1. 7．2 008解析 令3x ＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8．①②③解析 ①∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.∴lg(－x ＋x 2＋a )＋lg(x ＋x 2＋a )＝lg[(x 2＋a )－x 2]＝lg a ＝0，∴a ＝1.②|lg x |－a ＝0，∴|lg x |＝a .作出y ＝|lg x |，y ＝a 的图象可知，当a >0时有两个交点．∴方程有两个不等实根．③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，可知在y 轴右侧有三个交点．故方程有三个实根．④对于f (x )＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，应有y A >y B ，即f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2 ＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……………………………………………………(5分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1， ……………………………………………………………………………………………(10分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.……………………………………(14分) 10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(9分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(14分)11．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得a b >1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则ax 1>ax 2>0，bx 1<bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，即lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)．故f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)．这样只需f (1)＝lg (a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)。
2013高考数学教案和学案有答案
2013高考数学教案和学案(有答案)--第1章学案1第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标： 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理12?表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．若A?B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x?A，则 A B(或B A)．若A?B且B?A，则A＝B. 5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．设全集为S，则?SAA∩?＝?，A∩B?AA∩B＝A?A?B.A∪?＝A，A∪B?A，A∪B?B， A∪B＝B.A∩?UA＝?；A∪?UA＝U. 自我检测 1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；③M＝{4,5}，N＝{5,4}；④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．答案③ 2．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________. 答案{x|－3<x<5}解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}． 3．(2010·湖南)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________. 答案 3解析∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.224．(2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝－x，x∈R}，则M∩N＝________. 答案 [－1,3]解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a＝________. 答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.探究点一集合的基本概念b例1 若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b}，求b－a的值．a解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．b解由{1，a＋b，a}＝{0，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：aa＋b＝0，a＋b＝0，??b?a＝a，??b＝1由①得???b＝a，①或?b??a1.②??a＝－1，?b＝1，? 符合题意；②无解．∴b－a＝2.变式迁移1 设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A ＝B，求实数a，b. 解由元素的互异性知，a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，22???a＝1，?a＝b，得?或?解得a＝－1，b＝0. ?ab＝b，?ab ＝1，??探究点二集合间的关系例2 设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.2变式迁移2 设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx＋4mx －4<0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．答案 P Q解析 P＝{m|－1<m<0}，??m<0，Q：?或m＝0.∴－1<m≤0. 2?Δ＝16m＋16m<0，?∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴P Q.探究点三集合的运算例3 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．1解 (1)A＝{x≤x≤3}．2当a＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，1∴A∩B＝{x≤x<2}，2A∪B＝{x|－2<x≤3}．1(2)?RA＝{x|x<或x>3}．2当(?RA)∩B＝B时，B??RA，即A∩B＝?.①当B＝?，即a≥0时，满足B??RA；②当B≠?，即a<0时，B＝{x|－a<x<a}，11要使B??RA－a≤a<0.241综上可得，a的取值范围为a≥.4变式迁移 3 已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}． (1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝1时，A＝{x|－3<x<5}， B＝{x|x<－1或x>5}．∴A∩B＝{x|－3<x<－1}．(2)∵A＝{x|a－4<x<a＋4}，B＝{x|x<－1或x>5}，且A∪B＝R， ??a－4<－1∴??1<a<3. ?a＋4>5?∴实数a的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用2例 (14分)(1)若集合P＝{x|x＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值组成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；[2分]1当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x,[4分]a11为满足S?P3＝2，aa11即a＝a.[6分]3211故所求集合为{0，}．[7分]32(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；[9分] 若B≠?，且满足B?A，如图所示，∴2≤m≤3.[13分]?m＋1≤2m－1，?则?m＋1≥－2，??2m－1≤5，?m≥2，?即?m≥－3，??m≤3，故m<2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a＝0时，S＝?这种情况．(2)想当然认为m＋1<2m－1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意?的特殊性．在利用A?B解题时，应对A是否为?进行讨论． 4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠?时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝?.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·北京改编)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝________. 答案 {0,1,2}解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}． 2．(2011·南京模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q＝________________. 答案{1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________．答案 3解析 A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 4．(2010·天津改编)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝?，则实数a 的取值范围是______________．答案 a≤0或a≥6解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6. 5．设全集U是实数集R，2M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．x－1答案 {x|1<x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为 {x|1<x≤3}，由集合的运算，知(?UM)∩N＝{x|1<x≤2}． 6．(2011·泰州模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为________．答案 4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．*7．(2009·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N|lg x<1}，若A ∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝______________. 答案 {2,4,6,8}*解析 A∪B＝{x∈N|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(?UB)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．28．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____. 答案 12解析∵3∈B，由于a＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1. 二、解答题(共42分)229．(14分)集合A＝{x|x＋5x－6≤0}，B＝{x|x＋3x>0}，求A∪B和A∩B. 解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0} ＝{x|－6≤x ≤1}．(3分)B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)如图所示，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(10分) A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0} ＝{x|－6≤x<－3，或0<x≤1}．(14分)110．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|<x≤2}．若2B?A，求实数a的取值范围．解当a＝0时，显然B?A；(2分)当a<0时，若B?A，如图，41－，a2则(6分)1－，a???a≥－8，??1∴?∴－a<0；(8分) 12?a>－2.?当a>0时，如图，若B?A，1－，?－1a2则?4?a2， (11分)??a≤2，∴?∴0<a≤2.(13分) ?a≤2.?1综上知，当B?A时，－a≤2.(14分) 2x－5211．(14分)已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x－2x－m<0}， x＋1(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．x－5解由≤0， x＋1所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(3分)(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则?RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)所以A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，(12分)所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，故实数m的值为8.(14分)荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字]荐工程数学教案 (500字)。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第10章--学案54
2013高考数学教案和学案(有答案)--第10章--学案54学案54几何概型导学目标：了解几何概型的意义．自主梳理1．几何概型设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝d的测度D的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM 的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例(14分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．【答题模板】解(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率为P(A)＝612＝12.[7分](2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.[9分]设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分] 由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分] 【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示(A⊆Ω)，则P(A)＝A的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2009·辽宁)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是__________________________________________ ________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R}内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案54 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测1．14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]，∴P ＝9－612＝312＝14.2．13解析 在区间[－π2，π2]内，0<cos x <12⇔x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2的长度为π.由几何概型知P ＝π3π＝13.3．13解析 当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．23解析 圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23. 课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到2 3min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移112解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A的角度试验的全部结果所构成区域的角度.解在AB上取AC′＝AC，连结CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA＝67.5°，P(A)＝μAμΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2解不一样，这时M点可取遍AC′(长度与AC相等)上的点，故此事件的概率应为AC′长度AB长度＝22.例3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域．解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y |≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13212＝89.变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝μAμΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE ||AB |＝34.3．78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧ f (2)≤12f (－1)≤3， 得⎩⎨⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y )的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P (A )＝π×122＝π4.9．解(1)设CM＝x，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a的角度区间(0，a)的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°.若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x轴和y轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x＋4≥y，y＋6≥x，0≤x≤24，0≤y≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分) ∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288. 所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分) 11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b >0，∴a －b >1，此为几何概型，所以事件“f (1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝9.(14分) 32。
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学案50 总体分布及特征数的估计导学目标：1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．自主梳理1．在频率分布直方图中，纵轴表示____________________，数据落在各小组内的频率用________________表示，所有长方形面积之和________．2．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．3．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的________顺次连结起来，就得频率分布折线图，简称频率折线图．(2)总体密度曲线：如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．4．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，二是方便记录与表示，但当样本数据很多时，茎叶图的效果就不是很好了．5．众数、中位数、平均数(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数．(2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)如果有n个数a1，a2，……，a n，那么a＝____________________叫做这n个数的平均数．6．标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种__________．(2)标准差：s＝_____________________________________________________________________________________________________________________________________.(3)方差：s2＝_________________________________________________________________________________________________________________________________________(x n是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．自我检测1．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图的高为h，则|a－b|＝________.2．(2010·福建改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________和________.3.(2010·滨州一模)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．(2010·山东改编)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为______________．5．(2011·浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．探究点一 频率分布直方图例1 (2010·福州调研)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数．变式迁移1 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b值分别为________和________．探究点二用样本数字特征估计总体数字特征例2甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如表所示：s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有s1，s2，s3的大小关系为______________，三名运动员中________成绩最稳定．变式迁移2 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．探究点三用茎叶图分析数据例3随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．变式迁移3 (2010·天津汉沽模拟)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·陕西改编)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则x A________x B，s A________s B(填大小关系)．2．(2010·宁波期末)10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a＝________，b＝________，c＝________.3．(2010·浙江金华十校3月模拟)为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6～4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．4．下图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为______和_______________．|7 8 99 4 4 6 4 7 35．(2011·湖北)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为________．6．(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为______和______________________________________________．7．(2010·福建)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.8．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__________．二、解答题(共42分)9．(14分)甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．10．(14分)(2010·湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；1.15，1.30中的概率为多少；(2)估计数据落在[)(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．11．(14分)(2010·安徽)某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表．(2)作出频率分布直方图．(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．学案50 总体分布及特征数的估计答案自主梳理1．频率与组距的比值 小长方形的面积 等于1 3．(1)中点 5．(1)最多 (2)中间(3)a 1＋a 2＋…＋a n n 6．(1)平均距离 (2)1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2] (3)1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]自我检测1．mh解析 在频率分布直方图中横轴是组距，高为频率组距， 所以|a －b |＝mh. 2．91.5 91.5解析 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5， 中位数为91＋922＝91.5. 3．32解析 ∵中间一个占总面积的15，即15＝x 160， ∴x ＝32.4．2解析 由样本平均值为1，知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，故a ＝－1. ∴样本方差s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5．600解析 由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.课堂活动区例1 解题导引 (1)解关于图形信息题的关键是正确理解各种统计图表中各个量的含义，灵活运用这些信息和数据去发现结论．(2)在频率分布直方图中，最高矩形的中点对应值是众数；而中位数的左右两边的直方图面积相等；平均数是直方图的“重心”．解 (1)∵月收入在[1 000,1 500)的概率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2；月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15；月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴月收入在[2 500,3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2.∴样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0.2×10 000＝2 000.(2)∵月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，∴再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)． (3)由(1)知月收入在[1 000,2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6>0.5，∴样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)． 变式迁移1 0.27 78解析 由频率分布直方图知组距为0.1.4．3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1.4．4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27.∴a ＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87(人)．设公差为d ，则6×27＋6×52d ＝87. ∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32×(－5)＝78. 例2 s 2>s 1>s 3 丙解析 由已知可得甲、乙、丙的平均成绩均为8.5.方法一 ∵s 21＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，∴s 1＝120[5×7－8.52＋5×8－8.52＋5×9－8.52＋5×10－8.52] ＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3. 丙成绩最稳定．方法二 ∵s 21＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，∴s 21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52 ＝73.5－72.25＝1.25＝54， ∴s 1＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120，∴s 2>s 1>s 3.丙成绩最稳定．变式迁移2 甲解析 x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定．例3 解题导引 茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助我们分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了．因为数据较多时，枝叶就会很长，需要占据较多的空间．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．(2)x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170， 甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P (A )＝410＝25. 变式迁移3 解 (1)两学生成绩的茎叶图如图所示．(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559从以上排列可知甲学生成绩的中位数为536＋5382＝537. 乙学生成绩的中位数为532＋5362＝534. 甲学生成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537， 乙学生成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537. 课后练习区1．< >解析 A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A <x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A >s B .2．14.7 15 173．54解析 前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.∵后五组频数和为62，∴前三组为38.∴第三组为22.又最大频率为0.32的最大频数为0.32×100＝32，∴a ＝22＋32＝54.4．85 1.6解析 去掉最高分93，最低分79，平均数为15(84＋84＋86＋84＋87)＝85， 方差s 2＝15[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6. 5．36解析 由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41，∴落在区间[2,10]内的频率为0.41×2＝0.82.∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.6．24 23解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， x 乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23. 7．60解析 ∵第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，∴前三组频数为2＋3＋420·n ＝27，故n ＝60. 8．10.5,10.5解析 ∵总体的个体数是10，且中位数是10.5，∴a ＋b 2＝10.5，即a ＋b ＝21.∴总体的平均数是10.要使总体的方差最小，只要(a －10)2＋(b －10)2最小，即(a －10)2＋(b －10)2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －2022＝12. 当且仅当a ＝b 时取“＝”，∴a ＝b ＝10.5.9．解 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：甲 10分 13分 12分 14分 16分乙 13分 14分 12分 12分 14分甲、乙两人的平均成绩x 甲＝x 乙，都是13分，(6分)s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(12分) (2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．(14分)10．解 (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：(6分) (2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.(10分)(3)因为120×1006＝2 000， 所以水库中鱼的总条数约为2 000.(14分)11．解 (1)频率分布表：(6分)(2)频率分布直方图如图所示．(10分)(3)答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好． ②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善．(14分)。